第29課直線與平面平行

號(hào)目標(biāo)導(dǎo)航

課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀

1線.面平行的判定定理中，包含要素:兩線一面.兩線一面

1.掌握直線與平面平行的判定定理，并能初的關(guān)系是:一線在面外一線在面內(nèi).結(jié)論是:線面平行.

步利用定理解決問題2掌握直線與平面平線面平行的性質(zhì)定理中，包含要素:兩線兩面.兩線兩面

行的性質(zhì)定理，明確由線面平行可推出線的關(guān)系是:一線在一面內(nèi)平行于另一面，一線是兩面的交

線平行..

線，結(jié)論是:兩線平行。

2.熟記和理解直線和平面平行的判定定理和性質(zhì)定理，

就能靈活運(yùn)用實(shí)現(xiàn)“線線”“線面”平行的轉(zhuǎn)化

取‘知識(shí)精講

知識(shí)點(diǎn)01直線與平面平行的判定定理

如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,那么該直線

文字語言

與此平面平行

符號(hào)語言a^a,bUa,a//b^a//a

圖形語言

【即學(xué)即練1】如圖，四邊形ABC。是平行四邊形，尸是平面ABC。外一點(diǎn)，M,N分別是AB,PC的中

點(diǎn).求證：〃平面B4D

證明如圖，取尸。的中點(diǎn)G,連接GA,GN.

p

VG,N分別是△尸DC的邊尸。，尸C的中點(diǎn),

J.GN//DC,GN=3DC.

為平行四邊形ABC。的邊AB的中點(diǎn),

：.AM=^DC,AM//DC,

J.AM//GN,AM=GN,

：.四邊形AMNG為平行四邊形，

：.MN//AG.

又腦W平面AGU平面出。,

〃平面PAD.

知識(shí)點(diǎn)02知識(shí)點(diǎn)二直線與平面平行的性質(zhì)定理

一條直線與一個(gè)平面平行,如果過該直線的平面與此平面相交，

文字語言

那么該直線與交線平行

符號(hào)語言alla,〃U￡,aG￡=?=>〃〃/?

圖形語言p-4

/ab/

【即學(xué)即練2】如圖所示，在四棱錐P—ABCD中，底面ABC。是平行四邊形，AC與80交于點(diǎn)O,M

是尸C的中點(diǎn)，在。M上取一點(diǎn)G,過G和AP作平面交平面于G”，求證：AP//GH.

B

證明如圖，連接

p

Jwc

AB

四邊形ABCD是平行四邊形，

，O是AC的中點(diǎn).

又是PC的中點(diǎn)，：.AP//OM.

又平面BDM,

OMU平面BDM,

〃平面BDM.

又平面APG8,平面APGHC平面C.AP//GH.

反思感悟線面平行的性質(zhì)定理和判定定理經(jīng)常交替使用，也就是通過線線平行得到線面平行，再通過線

面平行得到線線平行.

（J篦方拓展

考法01直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用

【典例1】如圖，在正方體ABC。一4B1C1D1中，E,F,G分別是BC,CCi，8囪的中點(diǎn)，求證：跖〃平

面ADiG.

證明連接（圖略）,

在△BCG中,

,；E,尸分別為2C,CG的中點(diǎn)，：.EF//BCi,

)L'：AB//AiBi//DiCi,S.AB=AiBi=DiCi,

四邊形ABCiDi是平行四邊形，

：.BCi//ADi,：.EF//ADi,又EM：平面ADiG,

ADU平面AUG,〃平面AAG.

反思感悟利用直線和平面平行的判定定理證明線面平行的關(guān)鍵是在平面內(nèi)找一條直線與已知直線平行,

常利用平行四邊形、三角形中位線、基本事實(shí)4等.

考法02直線與平面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用

【典例2］如圖所示，在四面體A8C。中，用平行于棱AS,。的平面截此四面體，求證：截面MNP。是

平行四邊形.

證明因?yàn)锳B〃平面MNP。，平面A8CC平面MNPQuMN,且ABU平面ABC,

所以由線面平行的性質(zhì)定理，知AB〃MN.

同理A8〃PQ,所以MN〃尸Q.

同理可得MQ〃NP.

所以截面跖VP0是平行四邊形.

【變式訓(xùn)練】如圖，在五面體/石一42。中，四邊形所為矩形，M,N分別是BC的中點(diǎn)，則MN

與平面ADE的位置關(guān)系是.

答案平行

解析,：M,N分別是BP,BC的中點(diǎn),

J.MN//CF,

又四邊形CDEF為矩形，

J.CF//DE,：.MN//DE.

又平面ADE,OEU平面AOE,

〃平面ADE

考法03線面平行有關(guān)的計(jì)算

【典例3】如圖，直線?！ㄆ矫鎍,點(diǎn)A在a另一側(cè)，點(diǎn)8,C,OGa.線段48,AC,分別交a于點(diǎn)E,

F,G.若8。=4,CF=4,AF=5,貝UEG=.

姣案空

口木9

解析A&z,則點(diǎn)A與直線。確定一個(gè)平面，即平面A8D

因?yàn)閍〃a,且aC平面ABZ）=EG,

AFAF

所以a〃EG,即5D〃EG,所以彳=蒜.

ACAn

EGAEAF_EG

乂麗一瓦'所r以北一麗'

于是舊喏巖號(hào)

反思感悟（1）利用線面平行的性質(zhì)定理找線線平行，利用線線平行得對(duì)應(yīng)線段成比例即可求線段長(zhǎng)度.

⑵通過定理的運(yùn)用和平行的性質(zhì)，提升直觀想象和邏輯推理素養(yǎng).

M分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

一、單選題

1.如圖，一塊矩形木板A8CO的一邊A8在平面a內(nèi)，把這塊矩形木板繞轉(zhuǎn)動(dòng)，在轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，AB

的對(duì)邊CD與平面a的位置關(guān)系是（）

c

A.平行B.相交

C.在平面a內(nèi)D.平行或在平面a內(nèi)

【答案】D

【分析】根據(jù)線面平行判定定理的條件可得.

【詳解】在旋轉(zhuǎn)過程中，CDIIAB,易得CDIIa或COua.

故選：D.

DEDF

2.在空間四邊形ABC。中，￡,尸分別在AD,CD上，且滿足=則直線所與平面ABC的位置關(guān)系

EAFC

是()

A.EF平面ABCB.EFu平面ABC

C.所與平面ABC相交D.以上都有可能

【答案】A

DEDF

【分析】由可推出EFAC,再根據(jù)線面平行的判定可得出答案.

EAFC

【詳解—管嘿

EFAC

文:ACu平面ABC,EF<z平面ABC.

EF:平面ABC.

故選：A

3.如圖，正方體ABC。-431GA的棱長(zhǎng)為°,動(dòng)點(diǎn)￡、尸在棱人片上，且EF=b,動(dòng)點(diǎn)尸、。分別在棱A3、

CD上.現(xiàn)有兩個(gè)命題：①△所Q的面積為定值；②點(diǎn)尸到平面EFQ的距離為定值.則有（）.

A.①②都真；B.①真、②假；

C.①假、②真；D.①②都假.

【答案】A

【分析】根據(jù)線線平行和線面平行的判定定理與性質(zhì)依次判斷命題即可.

【詳解】對(duì)于①，因?yàn)镃D//4片，所以Q到直線4片的距離力為定值，

而跖為定值，故△MQ的面積為定值，所以①真.

對(duì)于②，因?yàn)锳B//A與，4耳u平面EF。，所以AB〃平面EFQ,

故點(diǎn)P到平面EFQ的距離為定值，所以②真.

故選：A

4.下列四個(gè)正方體圖形中，為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M、N、尸分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出AB〃平

面腦VP的圖形的序號(hào)是（）

A.①③B.①④C.①③④D.②④

【答案】B

【解析】利用線面平行、線面相交的知識(shí)對(duì)四個(gè)圖形逐一分析，由此確定正確選項(xiàng).

【詳解】解：對(duì)于①，如圖，依題意M、N、P分別為其所在棱的中點(diǎn)，結(jié)合正方體的性質(zhì)可知

BC//AD//MN,BD//NP,

由于平面MVP,MNu平面MAP,所以BC〃平面MNP；

由于平面MNP,NPu平面MNP,所以B。//平面MNP；

由于BCBD=B,所以平面ACBD〃平面MAP,所以A5〃平面MNP,所以①正確.

對(duì)于②，如圖，設(shè)BC與。E相交于。，依題意M、N、P分別為其所在棱的中點(diǎn)，結(jié)合正方體的性質(zhì)可知

AB//ON,因?yàn)镼V與平面腦VP相交，所以A3與平面MNP不平行，所以②錯(cuò)誤.

對(duì)于③，如圖，設(shè)C是的中點(diǎn)，因?yàn)楹邮?。的中點(diǎn)，所以AB//CW,而CM與平面MNP相交，所以

A3與平面MNP不平行，所以③錯(cuò)誤.

對(duì)于④，如圖，依題意M、N、P分別為其所在棱的中點(diǎn)，結(jié)合正方體的性質(zhì)可知AB〃CD〃NP,ABz平

面AW,NPu平面MNP,所以AB〃平面MNP,所以④正確.

綜上所述，正確的序號(hào)有①④.

故選：B.

5.下列命題中正確的個(gè)數(shù)是（）

①若直線a上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面a內(nèi)，則aIIa；

②若直線aII平面a,則直線a與平面a內(nèi)的任意一條直線都平行；

③若直線all直線6,直線加I平面a,則直線all平面a；

④若直線aII平面a,則直線a與平面a內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點(diǎn).

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】對(duì)于①，由線面位置關(guān)系的定義判斷，對(duì)于②，由線面平行的性質(zhì)判斷，對(duì)于C,由線面平行的

判定定理判斷，對(duì)于D,由線面平行的定義判斷

【詳解】對(duì)于①，若直線。上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面a內(nèi)，則直線?？赡芘c平面a相交，也可能與平面a平

行，所以①錯(cuò)誤，

對(duì)于②，當(dāng)直線all平面a時(shí)，直線a與平面a內(nèi)直線平行或異面，所以②錯(cuò)誤，

對(duì)于③，當(dāng)直線all直線6,直線加I平面a,則直線all平面a,或直線a在平面a內(nèi)，所以③錯(cuò)誤，

對(duì)于④，當(dāng)直線all平面a時(shí)，則直線a與平面a無公共點(diǎn)，所以直線。與平面a內(nèi)的任意一條直線都沒有

公共點(diǎn)，所以④正確，

故選：B

6.已知。，尸是空間兩個(gè)不同的平面，相，”是空間兩條不同的直線，下列說法中正確的是（）

A.a11/3,mlla,則機(jī)//〃

B.mHn,n/la,則〃z//c

C.平面。內(nèi)的不共線三點(diǎn)4B、C到平面￡的距離相等，則a與尸平行

D.如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么這條直線與此平面內(nèi)的無數(shù)條直線平行

【答案】D

【分析】aII（3,m/la,則機(jī)〃刀或〃zu/7,判斷選項(xiàng)A,mHn,nl/a,則〃2〃or或：wua,判斷選項(xiàng)B,

當(dāng)兩個(gè)面相交時(shí)，可以在平面。內(nèi)找到的不共線三點(diǎn)AB、C到平面力的距離相等，判斷選項(xiàng)C,根據(jù)平

行的傳遞性判斷選項(xiàng)D.

【詳解】a//j0,mlla,則〃z//￡或〃zu4，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

mHn,nlla,則〃?〃a或故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

當(dāng)平面”與平面月相交時(shí)，可以在平面。內(nèi)找到不共線三點(diǎn)4B、C到平面￡的距離相等，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;

如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么平面內(nèi)必有一條直線與給定直線平行，而平面內(nèi)與一條直線平行的直

線有無數(shù)條，根據(jù)平行的傳遞性，這些直線都與給定直線平行，所以有無數(shù)條，故選項(xiàng)D正確.

故選：D.

二、多選題

7.?為平面，有下列命題，其中假命題的是（）

A.若直線/平行于平面a內(nèi)的無數(shù)條直線，貝

B.若直線a在平面a外，則。Pa

C.若直線ab,直線則。尸a

D.若直線?！ㄍ?〃a,則。平行于平面。內(nèi)的無數(shù)條直線

【答案】ABC

【分析】根據(jù)線面平行的知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.

【詳解】A選項(xiàng)，若直線/平行于平面。內(nèi)的無數(shù)條直線，貝h可能含于a,A為假命題.

B選項(xiàng)，若直線a在平面"外，則可能〃與a相交，B為假命題.

C選項(xiàng)，若直線ab,直線則“可能含于"，C為假命題.

D選項(xiàng)，由于直線不妨設(shè)6u4,cc6=c,則＞〃c,所以a〃c,所以。平行于平面a內(nèi)的無數(shù)條直

線，D為真命題.

故選：ABC

8.如圖，在透明塑料制成的長(zhǎng)方體A3。-4月￡口容器內(nèi)灌進(jìn)一些水（未滿），現(xiàn)將容器底面一邊BC固定

在底面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下列四種說法，其中正確命題的是（）

A.水的部分始終呈棱柱狀

B.水面四邊形EFG”的面積為定值

C.棱42始終與水面EFGH平行

D.若EeAA],F旺BB[,則AE+3尸是定值

【答案】ACD

【分析】利用棱柱的定義即可判斷選項(xiàng)A,由水面四邊形EFG”的邊長(zhǎng)在變化，即可判斷選項(xiàng)B,利用線面

平行的判定定理即可判斷選項(xiàng)C,由于水平放置時(shí)，水的高度是定值，從而求出AE+3戶為定值，即可判斷

選項(xiàng)D

【詳解】解：由于四邊形ABEE與四邊形DCG/7全等，且平面平面。CGH,則由棱柱的定義可知,

水的部分始終呈棱柱狀，所以A正確，

因?yàn)锽CIIFG,3c1平面所以FG_L平面,因?yàn)镋Fu平面AB⑸A，所以FG_LEF,因?yàn)?/p>

FGHEH,FG=EH,所以因?yàn)樗倪呅蜤FG"為矩形，所以水面四邊形瓦G”的面積等于EFjG,因?yàn)?/p>

水面四邊形EFGH的邊長(zhǎng)對(duì)不變，E尸在變化，所以水面四邊形EFGH的面積在變化，所以B錯(cuò)誤，

容器底面一邊BC固定在底面上時(shí)，BCIIFGH,所以由線面平行的判定定理可知，棱A2始終與水面

四邊形EFG"平行，所以C正確，

如圖，由于水平放置時(shí)，水的體積是定值，水的高度是定值K底面面積不變，所以當(dāng)一部分上升的同時(shí)，

另一部分下降相同的高度。，設(shè)BF=h-a,貝UAE=/z+a,所以3尸+AE=/z-a+/z+a=2/?為定值，所以當(dāng)

M＞尸e鶴時(shí)，AE+B廠是定值，所以D正確，

故選：ACD

三、填空題

9.直線a與平面夕的位置關(guān)系

位置關(guān)系直線在平面內(nèi)相交平行

公共點(diǎn)個(gè)數(shù)—

符號(hào)表示

圖形表示

直線與平面平行的判定定理

文字語言：如果一條直線和此的一條直線,那么和

平行該定理常表述為"若線線平行，則線面平行

圖形語言：如圖所示.

符號(hào)語言：若。b,且_____________,則aPa.

直線與平面平行的性質(zhì)定理:

文字語言：一條直線和一個(gè)平面平行，如果過的平面和相交，那么這條直線與

_____________平行.

圖形語言：如圖所示.

符號(hào)語言：若aPa,且_____________,則ab.

【答案】無數(shù)個(gè)，1個(gè)，0個(gè)，aua,aa=P,aPa,

平面外平面內(nèi)平

行該直線此平面aBa,bua該直線此平面交線au￡,ap=b

【分析】略

【詳解】略

10.三棱錐A-3C￡＞中，AB=CD=1,過線段5c中點(diǎn)E作平面后取汨與直線A3、。都平行，且分別交

BD、AD,AC于尺G、H,則四邊形EFGH的周長(zhǎng)為.

【答案】2

【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，結(jié)合點(diǎn)E為BC中點(diǎn)可得四邊形EFG"各邊長(zhǎng)，然后可得.

【詳解】因?yàn)锳3P平面EFG”,平面ABCc平面=E”,ABu平面ABC,

所以ABP即，又點(diǎn)E為3c中點(diǎn)，所以即為三角形ABC的中位線，故==

22

同理，EF=FG=GH=-

2

所以四邊形EPG”的周長(zhǎng)為2.

故答案為：2

11.正方體ABCD-AqCQ中，E,G分別是BC,G2的中點(diǎn)，如圖，貝U：EG與平面加0瓦的位置關(guān)系

【答案】平行

【分析】取的中點(diǎn)/，連接所，2尸，進(jìn)而證明四邊形EFDfi為平行四邊形得2歹//EG,進(jìn)而證明EG〃

平面BDD{B{.

【詳解】解析：如圖，取3。的中點(diǎn)八連接即，D.F.

?；E為3c的中點(diǎn)，

???E尸為△BCD的中位線，

則砂〃DC,B.EF=-DC.

2

???G為C|2的中點(diǎn)，

.-.26//8且麗=；皿

EF//D、G且EF=D、G,

..四邊形口明。為平行四邊形，

:.D[F//EG,而2廠u平面80。1耳，EG(Z平面3。。出，

12.如圖所示，過三棱臺(tái)上底面的一邊4G，作一個(gè)平行于棱8片的截面，與下底面的交線為。E若D、E

V

分別是AB、8c的中點(diǎn)，則產(chǎn)①=______.

^\B{CX-ABC

G

【分析】證得S4%=；SMC，然后結(jié)合棱臺(tái)與棱柱的體積公式即可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?耳//平面OEGA,且平面B4GCCI平面。EGA=C1E,所以8耳//Cg,

又因?yàn)锽IQ//BE,所以四邊形8瓦GE為平行四邊形，所以B°i=BE,且E分別是BC的中點(diǎn)，所以

Bg=；BC,同理因此S的q=；5鉆一設(shè)上底面的面積為S,高為h,則下底面的面積為4S,

匕*G-DBE_Sh_3

所以匕向G.ABCg(S+JS-4S+4S)〃7，

,3

故答案為：—■

四、解答題

13.如圖，在長(zhǎng)方體A8C。-4B1G2中，E為的中點(diǎn)，尸為CG的中點(diǎn).證明：EF，平面ACQ.

【答案】證明見解析

【分析】取的中點(diǎn)G,連接G凡AG,證明四邊形AEPG為平行四邊形，進(jìn)而有AGEF,然后根據(jù)

線面平行的判斷定理即可證明.

【詳解】證明：取G。的中點(diǎn)G,連接GRAG,

D\G

因?yàn)镚為G。的中點(diǎn)，尸為eg的中點(diǎn)，所以GP8且CD=2GR

又E為A8的中點(diǎn)，AB=CD,ABCD,所以AEGF且AE=GP,

所以四邊形AEFG為平行四邊形，所以AGEF,

因?yàn)锳Gu平面AC。，ERZ平面AG。，

所以,，平面ACQ.

14.如圖，長(zhǎng)方體ABCD-AqGR中，|AB|=|四=1,|A4j=2,點(diǎn)p為。2的中點(diǎn).

⑴求證：直線BDJ］平面PAC-,

⑵求異面直線B1與AP所成角的大小.

【答案】⑴證明見解析

(2)30°

【分析】(1)設(shè)AC和3D交于點(diǎn)O,可得PO//BR,根據(jù)線面平行的判定定理即可得證.

(2)由尸?！?2,得NAPO即為異面直線8,與AP所成的角.求得各個(gè)邊長(zhǎng)，根據(jù)三角函數(shù)的定義，即可

得答案.

【詳解】（1）設(shè)AC和5。交于點(diǎn)0,則。為的中點(diǎn)，連接尸0,

,.1P是。2的中點(diǎn),

P0IIBD,,

又,/POu平面PAC,BDt<z平面PAC,

：.直線BDXII平面PAC；

(2)由⑴知,P0//BD1,

???/APO即為異面直線8R與AP所成的角，

,/\PA\=\PC\=yjCD2+PD2=72,|AO|=||AC|=^,且尸O_LAO,

?，,sinZAPO=^4=^=--

|AP|忘2

又乙山0€（0。,90°],

ZAPO=30°

故異面直線BDI與AP所成角的大小為30°.

題組B能力提升練

一、單選題

1.a、b、/是直線，。是平面，則下列說法正確的是（）

A./平行于。內(nèi)的無數(shù)條直線，則〃/a

B.〃不在面a,則a//a

C.若a//b,bua,則a//a

D.若a//A,bua,則。平行于〃內(nèi)的無數(shù)條直線

【答案】D

【分析】利用線面平行的判定定理和性質(zhì)定理逐個(gè)分析判斷即可

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)/平行于。內(nèi)的無數(shù)條直線，若lua,則/與“不平行，所以A錯(cuò)誤，

對(duì)于B,當(dāng)。不在面。時(shí)，。與々有可能相交，所以B錯(cuò)誤，

對(duì)于C,當(dāng)?！?,bua時(shí)，若aua,則。與a不平行，所以C錯(cuò)誤，

對(duì)于D,當(dāng)a//b,時(shí)，由線面平行的性質(zhì)可知。平行于4內(nèi)的無數(shù)條直線，所以D正確，

故選：D

2.過平面a外的直線/作一組平面與。相交，若所得交線分別為a,b,c...,則這些交線的位置關(guān)系為（）

A.相交于同一點(diǎn)B.相交但交于不同的點(diǎn)

C.平行D.平行或相交于同一點(diǎn)

【答案】D

【分析】對(duì)/于。的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論，由此確定正確選項(xiàng).

【詳解】當(dāng)〃/e時(shí)，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理以及平行公理可知：所得交線平行.

當(dāng)“a=A時(shí)，所得交線交于同一點(diǎn)A.

所以所得交線平行或相交于同一點(diǎn).

故選：D

3.如圖，已知正方體ABCD-AAGA的棱長(zhǎng)為2,則下列四個(gè)結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

c,

A.直線4G與A2為異面直線

4G//平面AC，

三棱錐2-ADC的表面積為6+273

Q

三棱錐2-AOC的體積為￡

【答案】D

【分析】根據(jù)異面直線的定義即可判斷A,根據(jù)AC//4G，線線平行證明線面平行即可判斷B,根據(jù)每個(gè)三角

形的面積可得三棱錐的表面積，可判斷C,根據(jù)體積公式可判斷D.

【詳解】因?yàn)?Gu平面4G,ADt平面aq=A,AD,仁平面AG,AeAG，所以直線4G與AR為異面直

線，故A對(duì).AC//AG，ACu平面ACR,Ag仁平面AC。，二4C一平面ACR,故B對(duì).

5=58=S皿，2x2=2,Sj=1xAC2sin60邛x（2何=2折所以三棱錐A-皿的

表面積為6+2省，故C對(duì).

1114

VS

Dl-ADC=-AOC㈤口=]*y2乂2乂2=§,故D錯(cuò).

故選:D

4.如圖，正方體ABC。-44GA的棱長(zhǎng)為1,線段8自上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E、F,且屏'=；,則下列結(jié)論中正

確的是（）

A.線段4A上存在點(diǎn)E、F使得AE//BF

B.砂〃平面ABCD

C.△AEF的面積與△3EF的面積相等

D.三棱錐A-施尸的體積不為定值

【答案】B

【分析】利用異面直線的定義可判斷A；根據(jù)線面平行判定定理可判斷B；根據(jù)三角形的高不相等可判斷C；

直接計(jì)算體積可判斷D.

【詳解】線段42上不存在點(diǎn)￡、/使得AE//BF,

因?yàn)锳在平面BDR4平面外，E在平面內(nèi)，

所以AE,所是異面直線，所以A不正確；

連接8。，幾何體是正方體，所以EF//BD,3Du平面A3CD,后尸仁平面A3CD,可知所〃平面A3CD,

所以B正確.

B到BR的距離為A到BR的距離大于上下底面中心的連線，

則A到百A的距離大于1,

△AEF的面積大于ZiBEF的面積，故C錯(cuò)誤；

A到平面BDD.B,的距離為變，ABEF的面積為定值，

2

二三棱錐A-3E尸的體積為定值，故D不正確.

故選：B.

5.正方體A3。-中，用平行于44的截面將正方體截成兩部分，則所截得的兩個(gè)幾何體不可能

是（）

A.兩個(gè)三棱柱B.兩個(gè)四棱臺(tái)

C.兩個(gè)四棱柱D.一個(gè)三棱柱和一個(gè)五棱柱

【答案】B

【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)及棱柱的概念，找出滿足題意的截面即得.

【詳解】在正方體ABCD-4旦￡9中，連接A。,BQ,

因?yàn)锳BJ/G2，人由<Z平面A￡>[C]B,G2u平面A2GB,

所以4片〃平面A2GB,則截面A2c超把正方體截成兩個(gè)三棱柱;

分別取綜M的中點(diǎn)E,￡G,H,連接EF,FG,GH,HE,

則可得EV//44//GH,又所u平面EFG”,4月仁平面EFG”,

二44〃平面EFG",則截面EPG"把正方體截成一個(gè)三棱柱和一個(gè)五棱柱;

分別在83上取點(diǎn)MN使*次,泌［皿

同理可得44〃平面E/MV,則截面￡7小3把正方體截成兩個(gè)四棱柱;

不存在平行于4片的截面將正方體截成兩個(gè)四棱臺(tái).

故選：B.

6.”直線的方向向量與平面的法向量垂直”是"直線與平面平行”的（）

A.充要條件B.充分非必要條件

C.必要非充分條件D.既非充分又非必要條件

【答案】C

【分析】根據(jù)直線與平面平行的性質(zhì)及判定定理可得.

【詳解】直線/的方向向量與平面的法向量垂直，不一定得到直線與平面平行，例如直線在平面內(nèi)的時(shí)候就

不滿足，

當(dāng)直線/與平面。平行時(shí)，可以得到直線的方向向量與平面的法向量垂直，

，前者不能推出后者，后者可以推出前者，

前者是后者的必要不充分條件，

即"直線的方向向量與平面的法向量垂直"是"直線與平面平行”的必要不充分條件.

故選：c

二、多選題

7.如圖，在正三棱柱ABC-4BG中，AB=AA]=1,P為線段2/G上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.點(diǎn)A到平面A/BC的距離為之B.平面A/PC與底面ABC的交線平行于A/P

2

TT

C.三棱錐P-48C的體積為定值D.二面角4-BC-A的大小為:

4

【答案】BC

【分析】根據(jù)點(diǎn)面距、面面平行、線面平行、二面角等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，由此確定正確選項(xiàng).

【詳解】A選項(xiàng)，四邊形ABB,是正方形，所以A瓦，A3,所以

但40與8C不垂直，所以AM與平面4BC不垂直，所以A到平面ABC的距離不是受，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.

2

B選項(xiàng)，根據(jù)三棱柱的性質(zhì)可知，平面ABC〃平面A4G，所以4產(chǎn)〃平面A3C,

設(shè)平面4PC與平面ABC的交線為/，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可知4尸/〃，B選項(xiàng)正確.

C選項(xiàng)，由于B.G//BC,4G<2平面ABC,3CU平面ABC,所以4G〃平面42c.所以P到平面AXBC的距

離為定值，所以三棱錐尸-ABC的體積為定值，C選項(xiàng)正確.

D選項(xiàng)，設(shè)Q是BC的中點(diǎn)，由于aC=A2,AC=AB,所以其。，2cAQ，BC,所以二面角4-BC-A的

7T

平面角為由于所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：BC

8.棱長(zhǎng)為1的正方體ABC。-Aq中，P、。分別在棱BC、CG上，CP=X,CQ=y,xe[o,l],ye[0,1]

且V+VwO,過A、尸、Q三點(diǎn)的平面截正方體A3CD-A4GA得到截面多邊形，則（）

A.x=y時(shí)，截面一定為等腰梯形B.x=l時(shí)，截面一定為矩形且面積最大值為近

C.存在X,y使截面為六邊形D.存在x,y使與截面平行

【答案】BD

【分析】對(duì)A,舉反例判斷即可；

對(duì)B,當(dāng)X=1時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)8重合，再根據(jù)面面平行的性質(zhì)與線面垂直的性質(zhì)判斷即可;

對(duì)C,直觀想象根據(jù)截面可能的情況判定即可；

11

對(duì)D,根據(jù)線面平行與截面的性質(zhì)舉例當(dāng)無=],y=§時(shí)成立判定即可

【詳解】對(duì)A,x=y=l時(shí)，截面為矩形，故A錯(cuò)；

對(duì)B,當(dāng)x=1時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，設(shè)過A、P、。三點(diǎn)的平面交于M,則因?yàn)槠矫?4QO〃平面即CC,

故尸?！ˋM,且A3,P0,此時(shí)截面為矩形，當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)CI重合時(shí)面積最大，此時(shí)截面積5=k應(yīng)=&,

B正確;

對(duì)C,截面只能為四邊形、五邊形，故c錯(cuò)；

對(duì)D,當(dāng)x=；，y時(shí)，延長(zhǎng)耳B交。P延長(zhǎng)線于N,畫出截面APQM如圖所示.此時(shí)因?yàn)槠?CP,

BN//CQ,故RtNBPN=RtNCPQ,則BN=C。=g.由面面平行的截面性質(zhì)可得YADM:NPCQ,

21

AD=2PC,故MD=2QC=],此時(shí)故MR=BN且MD、〃BN,故平行四邊形故

MN〃D出,根據(jù)線面平行的判定可知與截面平行，故。正確.

故選：BD

三、填空題

9.若直線/上有三點(diǎn)A、B、C到平面。的距離均為1,則直線/與平面夕的位置關(guān)系為

【答案】平行

【分析】由線面的位置關(guān)系和點(diǎn)到平面的距離的定義，可得結(jié)論.

【詳解】解：若直線/上有三點(diǎn)A、B、C到平面。的距離均為1,

則直線/與平面a平行，不可能相交，

故答案為：平行.

10.“直線/與平面a內(nèi)無數(shù)條直線平行"是"直線/與平面。平行"的條件.

【答案】必要不充分

【分析】通過舉反例可得充分性不成立，根據(jù)直線和平面平行的定義可得必要性成立，從而即可求解.

【詳解】解：由“直線/與平面。內(nèi)無數(shù)條直線平行"不能推出"直線/與平面。平行”，因?yàn)橹本€/可能在平面

a內(nèi)；

由“直線/與平面。平行”，根據(jù)直線和平面平行的定義可得"直線/與平面"內(nèi)無數(shù)條直線都平行

所以"直線/與平面。內(nèi)無數(shù)條直線平行"是"直線/與平面a平行”的必要不充分條件.

故答案為：必要不充分.

11.下列各圖是正方體或正四面體，P、Q、R、S分別是所在棱的中點(diǎn)，這四個(gè)點(diǎn)求理的圖是.

【答案】①②③

【分析】由正方體、正四面體的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合點(diǎn)線、線線位置關(guān)系判斷四點(diǎn)是否共面.

【詳解】圖①：PS//AC,QR//AC,WPSIIQR,即四點(diǎn)共面，滿足;

圖②：RSIID'C,若E為中點(diǎn)，則尸E//￡>'C,故RS//PE,即氏S,尸,E共面,

而QE//AC,PS//AC,故QEIIPS,即Q,S,P,E共面,

且S,P,E三點(diǎn)不共線，故氏。,S,P,E共面，滿足；

圖③：由題設(shè)PQ〃BC,RS/IBC,故PQ//RS,則民Q,S,尸共面，滿足;

圖④：若E為中點(diǎn)，%\PR"BQ,SE//BQ,故依〃SE,即P,氏S,E共面，

而PRu面尸理S,8Q<Z面尸理S,則〃面PRES,

又QWBQ,且尺S,尸三點(diǎn)不共線，故面即為面PRS,故。e面PRS,即氏。,5,尸不共面，不滿足;

故答案為：①②③

12.如圖，四邊形EFG”為四面體ABCD的一個(gè)截面，若四邊形EFGH為平行四邊形，AB=4,CD=6,

則四邊形瓦G”的周長(zhǎng)的取值范圍是.

【答案】(8,12)

【分析】依題意可得團(tuán)〃AB,EF//CD,設(shè)EH=x,EF=y,求出x、V的關(guān)系式，再求四邊形EFGH

的周長(zhǎng)/的取值范圍即可.

【詳解】解：四邊形EFG”為平行四邊形，，硒〃尸G；

EHC平面ABO,FGu平面

,四〃平面48。；

又'E”u平面ABC,平面ABCc平面=

EHIIAB,同理可得￡F〃CD；

設(shè)EH=x,EF=y,

EH_CEEF_AE

"AB~CA'CD~AC'

EHEFCEAEAC

ABCDCAACAC

Xy

又AB=49CD=6,F—=1,

46

=—且0vxv4；

二?四邊形EFGH的周長(zhǎng)為/=2(%+y)=2[x+6(1-

4

=12—x,

/.8<12-x<12；

二?四邊形EFG"周長(zhǎng)的取值范圍是(8,12).

故答案為：(8,12)

四、解答題

13.已知正方體A3C。-4耳GA,求證：4c〃平面4QG.

【答案】證明見詳解

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合線面平行的判定，即可證明.

【詳解】證明：在正方體ABC。-44GA中，易知an〃BC，因?yàn)锳Du平面AQG，8cz平面

所以與c〃平面ar)G.

14.四面體ABC。如圖所示，過棱AB的中點(diǎn)￡作平行于A。，BC的平面，分別交四面體的棱瓦)，DC,

C4于點(diǎn)EG,H.證明：E、F、G、X四點(diǎn)共面且四邊形斯G8是平行四邊形.

【答案】證明見解析

【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，分別證得E"UBC,FGIIBC,則得FG,從而可證得E、F、

G、X四點(diǎn)共面，同理可證得所IIHG,再根據(jù)平行四邊形的判定定理可得結(jié)論

【詳解】因?yàn)?CII平面EFG”,平面EPGH平面BDC=FG,平面ER3HI平面ABC=￡H,

所以3cliFG,BCIIEH,

所以EHIIFG,

所以E、F、G、H四點(diǎn)共面，

同理可證得￡FIIAD,HGIIAD,

所以￡FIIHG,

所以四邊形EFGH是平行四邊形.

題組C培優(yōu)拔尖練

1.如圖，在四棱柱ABC。-44GA中，點(diǎn)M是線段42上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E,尸分別是8CCM的中點(diǎn).

⑴設(shè)G為棱C￡＞上的一點(diǎn)，問：當(dāng)G在什么位置時(shí)，平面GEP/平面?

（2）設(shè)三棱錐C-比不的體積為匕，四棱柱ABC。-4gGR的體積為匕，求

V2

【答案】（1）G為C￡＞中點(diǎn)時(shí)，平面GEF■平面瓦兀（4；

f

【分析】（1）G為CD中點(diǎn)時(shí)，先證EF平面BDD[B],再證GE平面BDDXBX,