第1頁(yè)（共1頁(yè)）線(xiàn)面平行問(wèn)題一．選擇題（共12小題）1．如果直線(xiàn)a∥平面α，那么直線(xiàn)a與平面α內(nèi)的（）A．一條直線(xiàn)不相交 B．兩條直線(xiàn)不相交C．無(wú)數(shù)條直線(xiàn)不相交 D．任意一條直線(xiàn)不相交2．A，b，c為三條不重合的直線(xiàn)，α，β，γ為三個(gè)不重合平面，現(xiàn)給出六個(gè)命題①?a∥b②?a∥b③?α∥β④?α∥β⑤?α∥a⑥?α∥a其中正確的命題是（）A．①②③ B．①④⑤ C．①④ D．①③④3．下列說(shuō)法正確的是（）A．三點(diǎn)確定一個(gè)平面B．一條直線(xiàn)和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面C．梯形一定是平面圖形D．過(guò)平面外一點(diǎn)只有一條直線(xiàn)與該平面平行4．能保證直線(xiàn)與平面平行的條件是（）A．直線(xiàn)與平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行B．直線(xiàn)與平面內(nèi)的某條直線(xiàn)不相交C．直線(xiàn)與平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線(xiàn)平行D．直線(xiàn)與平面內(nèi)的所有直線(xiàn)不相交5．如圖，各棱長(zhǎng)均為1的正三棱柱ABC﹣A1B1C1，M，N分別為線(xiàn)段A1B，B1C上的動(dòng)點(diǎn)，且MN∥平面ACC1A1，則這樣的MN有（）A．1條 B．2條 C．3條 D．無(wú)數(shù)條6．如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線(xiàn)AB與平面MNQ不平行的是（）A． B． C． D．7．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為DD1的中點(diǎn)，則下列直線(xiàn)中與平面ACE平行的是（）A．BA1 B．BD1 C．BC1 D．BB18．在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，AD上的點(diǎn)，且AE：EB=AF：FD=1：4，又H，G分別是BC，CD的中點(diǎn)，則（）A．BD∥平面EFG，且四邊形EFGH是平行四邊形B．EF∥平面BCD，且四邊形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD，且四邊形EFGH是平行四邊形D．EH∥平面ADC，且四邊形EFGH是梯形9．在三棱錐S﹣ABC中，E，F(xiàn)分別為SB，SC上的點(diǎn)，且EF∥面ABC，則（）A．EF與BC相交 B．EF∥BC C．EF與BC異面 D．以上均有可能10．如圖是某幾何體的平面展開(kāi)圖，其中四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為PA，PD的中點(diǎn)．在此幾何體中，以下結(jié)論一定成立的是（）直線(xiàn)BE∥PF B．直線(xiàn)EF∥平面PBC平面BCE⊥平面PAD D．直線(xiàn)PB與DC所成角為60°11．平面α與△ABC的兩邊AB，AC分別交于點(diǎn)D，E，且AD：DB=AE：EC，如圖，則BC與α的位置關(guān)系是（）A．異面 B．相交 C．平行或相交 D．平行12．如圖，矩形ABCD中，AB=2AD，E是邊AB的中點(diǎn)，將△ADE沿DE翻折成△A1DE，若M為線(xiàn)段A1C的中點(diǎn)，則在翻折過(guò)程中，有下列四個(gè)命題：①存在某個(gè)位置，使MB∥平面A1DE；②點(diǎn)M在某個(gè)球面上運(yùn)動(dòng)；③存在某個(gè)位置使DE⊥A1C；④BM的長(zhǎng)是定值，其中正確的結(jié)論是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④二．解答題（共18小題）13．如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，BD交AC于點(diǎn)E，F(xiàn)是線(xiàn)段PC中點(diǎn)，G為線(xiàn)段EC中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：FG∥平面PBD；（Ⅱ）求證：BD⊥FG．14．如圖所示，PD垂直于正方形ABCD所在的平面，AB=2，PC與平面ABCD所成角是45°．F是AD的中點(diǎn)，M是PC的中點(diǎn)，求證．DM∥平面PFB．15．如圖，在四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，平面SAD⊥平面ABCD，SA=SD，E，P，Q分別是棱AD，SC，AB的中點(diǎn)．（1）求證：PQ∥平面SAD；（2）若SA=AB=2，求三棱錐S﹣ABC的體積．16．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若D為BB1上一點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)．求證：MN∥平面A1C1D．17．如圖，在三棱錐P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分別為AB，AC中點(diǎn)．（1）求證：DE∥平面PBC；（2）求證：AB⊥PE；（3）求三棱錐P﹣BEC的體積．18．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面，∠BAC=90°，AB=AA1=2，AC=1，M，N分別是A1B1，BC的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：MN∥平面ACC1A1；（II）求二面角M﹣AN﹣B的余弦值．19．如圖所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，點(diǎn)M，N分別是AB，A1B1的中點(diǎn)．（1）求證：BN∥平面A1MC；（2）若A1M⊥AB1，求證：AB1⊥A1C．20．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為等腰梯形，AD∥BC，，E，F(xiàn)分別為線(xiàn)段AD，PB的中點(diǎn)．（1）證明：PD∥平面CEF；（2）若PE⊥平面ABCD，PE=AB=2，求四面體P﹣DEF的體積．21．如圖，矩形ABCD所在平面與三角形ABE所在平面互相垂直，AE=AB，M，N，H分別為DE，AB，BE的中點(diǎn)．（1）求證：MN∥平面BEC；（2）求證：AH⊥CE．22．如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=AA1=2，D為棱CC1的中點(diǎn)AB1∩A1B=O．（1）證明：C1O∥平面ABD；（2）已知AC⊥BC，△ABD的面積為，E為線(xiàn)段A1B上一點(diǎn)，且三棱錐C﹣ABE的體積為，求．23．如圖，在三棱錐P﹣ABC中，PB⊥BC，AC⊥BC，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為AB，BC，PC，的中點(diǎn)（1）求證：PB∥平面EFG；（2）求證：BC⊥EG．24．如圖，在幾何體ABC﹣A1B1C1中，點(diǎn)A1，B1，C1在平面ABC內(nèi)的正投影分別為A，B，C，且AB⊥BC，AA1=BB1=4，AB=BC=CC1=2，E為AB1中點(diǎn)，（Ⅰ）求證；CE∥平面A1B1C1，（Ⅱ）求證：求二面角B1﹣AC1﹣C的大?。?5．如圖所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC為等邊三角形，AB=2，∠A1AB=∠A1AC=60°，M，N分別為AB，A1C1的中點(diǎn)．（1）證明：MN∥平面BCC1B1；（2）若MN=，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)面積．26．如圖，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面為菱形，∠BAD=120°，AB=2，E，F(xiàn)為CD，AA1中點(diǎn)．（1）求證：DF∥平面B1AE；（2）若AA1⊥底面ABCD，且直線(xiàn)AD1與平面B1AE所成線(xiàn)面角的正弦值為，求AA1的長(zhǎng)．27．如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，設(shè)AB1的中點(diǎn)為D，BC1∩B1C=E．求證：（Ⅰ）DE∥平面AA1C1C；（Ⅱ）BC1⊥AB1．28．四邊形ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥平面ABCD，E是PC的中點(diǎn)．（1）求證：PA∥平面BDE；（2）求證：BD⊥PC．29．如圖所示，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，DB=BC，DB⊥AC，點(diǎn)M是棱BB1上一點(diǎn)．（1）求證：B1D1∥平面A1BD；（2）求證：MD⊥AC．30．如圖所示，正方形ABCD與直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE=90°，AF∥DE，DE=DA=2AF=2．（1）求證：AC∥平面BEF；（2）求四面體BDEF的體積．

參考答案一．選擇題（共12小題）1．解：根據(jù)線(xiàn)面平行的定義可知直線(xiàn)與平面無(wú)交點(diǎn)∵直線(xiàn)a∥平面α，∴直線(xiàn)a與平面α沒(méi)有公共點(diǎn)從而直線(xiàn)a與平面α內(nèi)任意一直線(xiàn)都沒(méi)有公共點(diǎn)，則不相交故選：D．2．解：根據(jù)平行公理可知①正確；根據(jù)面面平行的判定定理可知④正確；對(duì)于②錯(cuò)在a、b可能相交或異面．對(duì)于③錯(cuò)在α與β可能相交，對(duì)于⑤⑥錯(cuò)在a可能在α內(nèi)．故選：C．3．解：∵不在一條直線(xiàn)上的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上時(shí)不能確定平面∴A不正確；∵點(diǎn)在直線(xiàn)上時(shí)，不能確定平面，∴B不正確；∵梯形有兩條邊平行，兩條平行線(xiàn)確定一個(gè)平面，梯形的兩腰也在平面內(nèi)，∴C正確；∵過(guò)平面外一點(diǎn)與平面平行的平面內(nèi)，過(guò)該點(diǎn)的直線(xiàn)都符合條件，∴D不正確．故選：C．4．解：A不正確，因?yàn)橛芍本€(xiàn)與平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，不能推出直線(xiàn)與平面平行，直線(xiàn)有可能在平面內(nèi)．B不正確，因?yàn)橛芍本€(xiàn)與平面內(nèi)的某條直線(xiàn)不相交，不能推出直線(xiàn)與平面平行，直線(xiàn)有可能在平面內(nèi)，也可能和平面相交．C不正確，因?yàn)橛芍本€(xiàn)與平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線(xiàn)平行，不能推出直線(xiàn)與平面平行，直線(xiàn)有可能在平面內(nèi)．D正確，因?yàn)橛芍本€(xiàn)與平面內(nèi)的所有直線(xiàn)不相交，依據(jù)直線(xiàn)和平面平行的定義可得直線(xiàn)與平面平行．故選：D．5．解：如圖，任取線(xiàn)段A1B上一點(diǎn)M，過(guò)M作MH∥AA1，交AB于H，過(guò)H作HG∥AC交BC于G，過(guò)G作CC1的平行線(xiàn)，與CB1一定有交點(diǎn)N，且MN∥平面ACC1A1，則這樣的MN有無(wú)數(shù)個(gè)．故選：D．6．解：對(duì)于選項(xiàng)B，由于A(yíng)B∥MQ，結(jié)合線(xiàn)面平行判定定理可知B不滿(mǎn)足題意；對(duì)于選項(xiàng)C，由于A(yíng)B∥MQ，結(jié)合線(xiàn)面平行判定定理可知C不滿(mǎn)足題意；對(duì)于選項(xiàng)D，由于A(yíng)B∥NQ，結(jié)合線(xiàn)面平行判定定理可知D不滿(mǎn)足題意；所以選項(xiàng)A滿(mǎn)足題意，故選：A．7．解：連結(jié)BD1，AC、BD，設(shè)AC∩BD=O，連結(jié)OE，∵在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為DD1的中點(diǎn)，∴O是BD中點(diǎn)，∴OE∥BD1，∵OE?平面ACE，BD1?平面ACE，∴BD1∥平面ACE．故選：B．8．解：如圖，由條件知，EF∥BD，，GH∥BD，且；∴EF∥HG，且；∴四邊形EFGH為梯形；EF∥BD，EF?平面BCD，BD?平面BCD；∴EF∥平面BCD；若EH∥平面ADC，則EH∥FG，顯然EH不平行FG；∴EH不平行平面ADC；∴選項(xiàng)B正確．故選：B．9．證明：如圖∵E，F(xiàn)分別為SB，SC上的點(diǎn)，且EF∥面ABC，又∵EF?平面SBC，平面SBC∩平面ABC=BC，∴EF∥BC．故選：B．10．解：如圖所示，連接EF，BE∥PF顯然不正確，是異面直線(xiàn)；∵E、F分別為PA、PD的中點(diǎn)，∴EF∥AD，∵AD∥BC，∴EF∥BC，∴直線(xiàn)EF∥平面PBC，選項(xiàng)B正確；EF∥BC，∵EF?平面PBC，BC?平面PBC，④由于不能推出線(xiàn)面垂直，故平面BCE⊥平面PAD不成立．選項(xiàng)C不正確；直線(xiàn)PB與DC所成角就是PB與AB所成角，不確定為60°，選項(xiàng)D不正確；故選：B．11．證明：∵AD：DB=AE：EC，∴DE∥BC，∵DE?平面α，BC?平面α，∴BC∥平面α．故選：D．12．解：對(duì)于①：取CD中點(diǎn)F，連接MF，BF，則MF∥DA1，BF∥DE，∴平面MBF∥平面A1DE，∴MB∥平面A1DE，故①正確對(duì)于②：∵B是定點(diǎn)，∴M是在以B為球心，MB為半徑的球上，故②正確，對(duì)于③：若③成立，則由DE⊥CE，可得DE⊥面A1EC∴DE⊥A1E，而這與DA1⊥A1E矛盾，故③錯(cuò)誤．對(duì)于④：由∠A1DE=∠MFB，MF=A1D=定值，F(xiàn)B=DE=定值，由余弦定理可得MB2=MF2+FB2﹣2MF?FB?cos∠MFB，所以MB是定值，故④正確．故正確的命題有：①②④，故選：B．二．解答題（共18小題）13．證明：（Ⅰ）連接PE，G、F為EC和PC的中點(diǎn)，∴FG∥PE，F(xiàn)G?平面PBD，PE?平面PBD，∴FG∥平面PBD…（6分）（Ⅱ）∵菱形ABCD，∴BD⊥AC，又PA⊥面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥PA，∵PA?平面PAC，AC?平面PAC，且PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，F(xiàn)G?平面PAC，∴BD⊥FG…（14分）14．證明：∵PD垂直于正方形ABCD所在的平面，AB=2，PC與平面ABCD所成角是45°．F是AD的中點(diǎn)，M是PC的中點(diǎn)，∴以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，D（0，0，0），M（0，1，1），P（0，0，2），F(xiàn)（1，0，0），B（2，2，0），=（0，1，1），=（1，0，﹣2），=（2，2，﹣2），設(shè)平面PFB的法向量=（x，y，z），則，取z=1，得=（2，﹣1，1），∵=0，DM?平面PFB，∴DM∥平面PFB．15．證明：（1）取CD中點(diǎn)G，連結(jié)PG、QG，∵在四棱錐S﹣ABCD中，E，P，Q分別是棱AD，SC，AB的中點(diǎn)．∴PG∥SD，QG∥AD，∵PG∩QG=G，SD∩AD=D，∴平面PGQ∥平面SDA，∵PQ?平面PGQ，∴PQ∥平面SAD．（2）∵在四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，SA=SD，SA=AB=2，∴SE⊥AD，SE=，∵平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD=AD，∴SE⊥平面ABC，∵S△ABC==，∴三棱錐S﹣ABC的體積V===1．16．證明：三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M為AB的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)，∴MN∥AC，又AC∥A1C1，∴MN∥A1C1，又MN?面A1C1D，A1C1?面A1C1D，∴MN∥面A1C1D．17．證明：（1）∵D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，∴DE∥BC，又DE?平面PBC，BC?平面PBC，∴DE∥平面PBC．（2）連接PD，∵DE∥BC，又∠ABC=90°，∴DE⊥AB，又PA=PB，D為AB中點(diǎn)，∴PD⊥AB，又PD∩DE=D，PD?平面PDE，DE?平面PDE，∴AB⊥平面PDE，又PE?平面PDE，∴AB⊥PE．（3）∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，PD⊥AB，PD?平面PAB，∴PD⊥平面ABC，∵△PAB是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，∴PD=，∵E是AC的中點(diǎn)，∴．18．解：解法一：依條件可知AB、AC，AA1兩兩垂直，如圖，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz．根據(jù)條件容易求出如下各點(diǎn)坐標(biāo)：A（0，0，0），B（0，2，0），C（﹣1，0，0），A1（0，0，2），B1（0，2，2），C1（﹣1，0，2），M（0，1，2），（I）證明：∵是平面ACCA1的一個(gè)法向量，且，所以又∵M(jìn)N?平面ACC1A1，∴MN∥平面ACC1A1（II）設(shè)=（x，y，z）是平面AMN的法向量，因?yàn)?，由得解得平面AMN的一個(gè)法向量=（4，2，﹣1）由已知，平面ABC的一個(gè)法向量為=（0，0，1）∴二面角M﹣AN﹣B的余弦值是解法二：（I）證明：設(shè)AC的中點(diǎn)為D，連接DN，A1D∵D，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，∴又∵，∴，∴四邊形A1DNM是平行四邊形∴A1D∥MN∵A1D?平面ACC1A1，MN?平面ACC1A1∴MN∥平面ACC1A1（II）如圖，設(shè)AB的中點(diǎn)為H，連接MH，∴MH∥BB1∵BB1⊥底面ABC，∵BB1⊥AC，BB1⊥AB，∴MH⊥AC，MH⊥AB∴AB∩AC=A∴MH⊥底面ABC在平面ABC內(nèi)，過(guò)點(diǎn)H做HG⊥AN，垂足為G連接MG，AN⊥HG，AN⊥MH，HG∩MH=H∴AN⊥平面MHG，則AN⊥MG∴∠MGH是二面角M﹣AN﹣B的平面角∵M(jìn)H=BB1=2，由△AGH∽△BAC，得所以所以∴二面角M﹣AN﹣B的余弦值是19．證明：（1）因?yàn)锳BC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以AB∥A1B1，且AB=A1B1，又點(diǎn)M，N分別是AB、A1B1的中點(diǎn)，所以MB=A1N，且MB∥A1N．所以四邊形A1NBM是平行四邊形，從而A1M∥BN．又BN?平面A1MC，A1M?平面A1MC，所以BN∥平面A1MC；（2）因?yàn)锳BC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥底面ABC，而AA1?側(cè)面ABB1A1，所以側(cè)面ABB1A1⊥底面ABC．又CA=CB，且M是AB的中點(diǎn)，所以CM⊥AB．則由側(cè)面ABB1A1⊥底面ABC，側(cè)面ABB1A1∩底面ABC=AB，CM⊥AB，且CM?底面ABC，得CM⊥側(cè)面ABB1A1．又AB1?側(cè)面ABB1A1，所以AB1⊥CM．又AB1⊥A1M，A1M、MC平面A1MC，且A1M∩MC=M，所以AB1⊥平面A1MC．又A1C?平面A1MC，所以AB⊥A1C．20．（1）證明：連接BE、BD，BD交CE于點(diǎn)O，∵E為線(xiàn)段AD的中點(diǎn)，AD∥BC，，∴BC∥ED，∴四邊形BCDE為平行四邊形，∴O為BD的中點(diǎn)，又F是BP的中點(diǎn)，∴OF∥PD，又OF?平面CEF，PD?平面CEF，∴PD∥平面CEF；（2）解：由（1）知，四邊形BCDE為平行四邊形，∴BE∥CD，∵四邊形ABCD為等腰梯形，AD∥BC，，∴AB=AE=BE，∴三角形ABE是等邊三角形，∴，做BH⊥AD于H，則，∵PE⊥平面ABCD，PE?平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD，又平面PAD∩平面ABCD=AD，BH⊥AD，BH?平面ABCD，∴BH⊥平面PAD，∴點(diǎn)B到平面PAD的距離為，又∵F為線(xiàn)段PB的中點(diǎn)，∴點(diǎn)F到平面PAD的距離等于點(diǎn)B到平面PAD的距離的一半，即，又，∴=．21．證明：（1）取CD中點(diǎn)F，連結(jié)NF、MF，∵矩形ABCD所在平面與三角形ABE所在平面互相垂直，M，N，H分別為DE，AB，BE的中點(diǎn)．∴NF∥BC，MF∥CE，∵NF∩MF=F，BC∥CE=C，NF、MF?平面MNF，BC、CE?平面BCE，∴平面BCE∥平面MNF，∵M(jìn)N?平面MNF，∴MN∥平面BEC．（2）∵AE=AB，H為BE的中點(diǎn)，∴AH⊥BE．∵矩形ABCD所在平面與三角形ABE所在平面互相垂直，∴BC⊥平面ABE，∴BC⊥AH，∵BE∩BC=B，∴AH⊥平面BCE，∴AH⊥CE．22．證明：（1）取AB的中點(diǎn)F，連接OF，DF，∵側(cè)面ABB1A1為平行四邊形，∴O為AB1的中點(diǎn)，∴，又，∴，∴四邊形OFDC1為平行四邊形，則C1O∥DF．∵C1O?平面ABD，DF?平面ABD，∴C1O∥平面ABD．解：（2）過(guò)C作CH⊥AB于H，連接DH，∵DC⊥平面ABC，∴DC⊥AB．又CH∩CD=C，∴AB⊥平面CDH，∴AB⊥DH．設(shè)BC=x，則，，，∴△ABD的面積為，∴x=2．設(shè)E到平面ABC的距離為h，則，∴h=1，∴E與O重合，．23．證明：（1）∵點(diǎn)F，G分別為BC，PC，的中點(diǎn)，∴GF∥PB，∵PB?平面EFG，F(xiàn)G?平面EFG，∴PB∥平面EFG．（2）∵在三棱錐P﹣ABC中，PB⊥BC，AC⊥BC，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為AB，BC，PC，的中點(diǎn)，∴EF∥AC，GF∥PB，∴EF⊥BC，GF⊥BC，∵EF∩FG=F，∴BC⊥平面EFG，∵EG?平面EFG，∴BC⊥EG．24．（Ⅰ）證明：∵點(diǎn)A1，B1，C1在平面ABC內(nèi)的正投影分別為A，B，C，∴AA1∥BB1∥CC1，取A1B1中點(diǎn)F，連接EF，F(xiàn)C，則EF∥A1A，EF=A1A，∵AA14，CC1=2，∴CC1∥A1A，CC1=A1A，∴CC1∥EF，CC1=EF，∴四邊形EFC1C為平行四邊形，∴CE∥C1F，∵CE?平面A1B1C1，C1F?平面A1B1C1，∴CE∥平面A1B1C1；（Ⅱ）解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A（2，0，0），C（0，2，0），B1（0，0，4），C1（0，2，2），∴=（﹣2，2，0），=（0，0，2），=（﹣2，0，4），=（0，2，﹣2）．設(shè)平面ACC1的法向量為=（x，y，z），則，令x=1，則=（1，1，0）．同理可得平面AB1C1的法向量為=（2，1，1），∴cos＜，＞==．由圖可知二面角B1﹣AC1﹣C為鈍角，∴二面角B1﹣AC1﹣C的大小為150°．25．證明：（1）如圖，取BC中點(diǎn)P，連接MP，C1P．∵M(jìn)為AB的中點(diǎn)，∴MP∥AC，且MP=AC．又AC∥A1C1，AC=A1C1，且NC1=，∴NC1∥MP，且NC1=MP．∴四邊形MNC1P為平行四邊形，∴NM∥PC1．又PC1?平面BCC1B1，MN?平面BCC1B1，∴MN∥平面BCC1B1．…………（4分）解：（2）如圖，作BH⊥A1A，交AA1于H，連接CH．∵AC=AB，∠A1AB=∠A1AC，AH為公共邊，∴△ABH≌△ACH，∴∠CHA=∠BHA．∴BH⊥AA1，⊥AA1．而B(niǎo)H∩CH=H，∴A1A⊥平面BCH，A1A⊥BC．又A1A∥C1C，∴C1C⊥BC．在直角△C1CP中，CP==1，C1P=MN=，∴C1C=．在直角△ABH中，BH=ABsin60°=．∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)面積S=4×．……（12分）26．證明：（1）設(shè)G為AB1的中點(diǎn)，連EG，GF，因?yàn)镕G，又DE，所以FGDE，所以四邊形DEGF是平行四邊形，所以DF∥EG又DF?平面B1AE，EG?平面B1AE，所以DF∥平面B1AE．解：（2）因?yàn)锳BCD是菱形，且∠ABD=60°，所以△ABC是等邊三角形取BC中點(diǎn)G，則AG⊥AD，因?yàn)锳A1⊥平面ABCD，所以AA1⊥A