階段方法技巧訓練（一）專訓2利用平行四邊形的

性質與判定的四種

常見題習題課平行四邊形的性質與判定的應用是中考的重點內容之一，從平行四邊形的邊、角、對角線等方面進行考查，題型多樣，一般以簡單題為主，有向解決實際問題方面發(fā)展的趨勢．1題型利用性質與判定判定平行四邊形1．如圖，在?ABCD中，AE，CF分別是∠DAB，∠BCD的平分線．求證：四邊形AFCE是平行四邊形．∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴DC∥AB，∠BCD＝∠DAB.又∵AE，CF分別是∠DAB，∠BCD的平分線，∴∠EAB＝∠DAB，∠DCF＝∠BCD.∴∠EAB＝∠DCF.∵DC∥AB，∴∠DCF＋∠CFA＝180°.∴∠EAB＋∠CFA＝180°.∴AE∥CF.又∵DC∥AB，即CE∥AF，∴四邊形AFCE是平行四邊形．證明：2題型利用性質與判定探究線段的關系2．【中考?青島】如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的中線，AE∥BC，CE⊥AE，垂足為E.(1)求證：△ABD≌△CAE.(2)連接DE，線段DE與AB之間

有怎樣的位置和數量關系？

請說明理由．∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.又∵AD是BC邊上的中線，∴AD⊥BC.即∠ADB＝90°.∵AE∥BC，∴∠EAC＝∠ACB.∴∠B＝∠EAC.∵CE⊥AE，∴∠CEA＝90°.∴∠ADB＝∠CEA.又∵AB＝CA，∴△ABD≌△CAE(AAS)．（1）證明：DE∥AB且DE＝AB.理由如下：∵△ABD≌△CAE，∴AE＝BD.又∵AE∥BD，∴四邊形ABDE是平行四邊形．∴DE∥AB且DE＝AB.（2）解：3題型利用性質與判定探究四邊形的動點問題3．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝5，BC＝8，M是CD的中點，P是BC邊上的一個動點(點P與點B，C不重合)，連接PM并延長交AD的延長線于點Q.問：當BP取何值時，四邊形ABPQ是平行四邊形？請說明理由．當BP＝

時，四邊形ABPQ是平行四邊形．理由如下：設CP＝x，則BP＝8－x.因為M是CD的中點，所以DM＝CM.因為AD∥BC，所以∠Q＝∠MPC.又因為∠DMQ＝∠CMP，所以△DMQ≌△CMP.所以DQ＝CP＝x.所以AQ＝AD＋DQ＝5＋x.當BP＝AQ時，8－x＝5＋x，解得x＝.此時BP＝8－

＝.故當BP＝

時，四邊形ABPQ是平行四邊形．解：4題型利用性質與判定解決翻折問題4.如圖，在長方形紙片ABCD中，翻折∠B，∠D，使BC，AD都恰好落在AC上，F，H分別是B，D落在AC上的兩點，E，G分別是折痕CE，AG與AB，CD的交點．(1)求證：四邊形AECG是平行四邊形；(2)若AB＝4cm，BC＝3cm，求線段EF的長．由翻折的性質可得∠GAH＝∠DAC，∠ECF＝∠ACB.∵四邊形ABCD是長方形，∴DA∥BC，AB∥CD，∠B＝90°.∴∠DAC＝∠ACB.∴∠GAH＝∠ECF.∴AG∥CE.又∵AE∥CG，∴四邊形AECG是平行四邊形．(1)證明：由翻折的性質可得BC＝CF＝3cm，BE＝EF，∠B＝∠CFE＝90°.在Rt△ABC中，根據勾股定理得AC＝5cm，∴AF＝2cm.設EF＝BE＝xcm，則AE＝(4－x)cm，在Rt△