山東省聊城市十八里鋪鎮(zhèn)農(nóng)場中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.袋子中有四張卡片，分別寫有“瓷、都、文、明”四個字，有放回地從中任取一張卡片，將三次抽取后“瓷”“都”兩個字都取到記為事件A，用隨機模擬的方法估計事件A發(fā)生的概率.利用電腦隨機產(chǎn)生整數(shù)0，1，2，3四個隨機數(shù)，分別代表“瓷、都、文、明”這四個字，以每三個隨機數(shù)為一組，表示取卡片三次的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了以下18組隨機數(shù)：232321230023123021132220001231130133231031320122103233

由此可以估計事件A發(fā)生的概率為（

）A. B. C. D.參考答案：C【分析】事件A即為表中包含數(shù)字0和1的組，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，即可求解【詳解】事件A包含“瓷”“都”兩字，即包含數(shù)字0和1，隨機產(chǎn)生的18組數(shù)中，包含0,1的組有021,001,130,031,103，共5組，故所求概率為，故選C【點睛】本題考查古典概型，熟記概率計算公式即可，屬基礎(chǔ)題。2.已知兩個非零向量e1，e2不共線，設(shè)向量若A、B、D三點共線，則實數(shù)k的值為

A．3

B．—3 C．—2 D．2參考答案：A3.已知向量＝（2，1），＝（1，3），則向量2﹣與的夾角為（）A．45° B．105° C．40° D．35°參考答案：A【解答】解：向量＝（2，1），＝（1，3），∴2﹣＝（3，﹣1），∴（2﹣）＝6﹣1＝5，||＝，|2﹣|＝，設(shè)量2﹣與的夾角為θ，∴cosθ＝＝＝，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝45°，4.設(shè)函數(shù)y=x2與y=的圖象交點為（x0，y0），則x0所在區(qū)間是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）參考答案：B【考點】56：二分法求方程的近似解．【分析】利用方程的解與函數(shù)的零點的關(guān)系，結(jié)合零點判定定理求解即可．【解答】解：函數(shù)y=x2與y=的圖象交點為（x0，y0），x0方程x2=的解，就是函數(shù)f（x）=x2﹣的零點．∵f（2）=22﹣1=3＞0，f（1）=1﹣2=﹣1＜0，∴f（1）?f（2）＜0．由零點判定定理可知：方程的解在（1，2）內(nèi)．故選：B．5.設(shè)，且，則

(

)A

B

10

C

20

D

100參考答案：A6.已知向量＝（4，2），＝（6，），且∥，則等于（

）A．3

B．

C．12

D．

參考答案：A略7.一光源P在桌面A的正上方，半徑為2的球與桌面相切，且PA與球相切，小球在光源P的中心投影下在桌面產(chǎn)生的投影為一橢圓，如圖所示，形成一個空間幾何體，且正視圖是Rt△PAB，其中PA=6，則該橢圓的短軸長為（）

A．6 B．8 C． D．3參考答案：C【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】由原空間幾何體作出其左視圖，求解三角形可得左視圖底邊長，即橢圓的短軸長．【解答】解：由題中空間幾何體可得其左視圖為等腰三角形如圖，其中PG=PA=6，OG為球的半徑為2，則PO=4，又OM=2，可得∠OPM=30°，∴∠CPD=60°，則△CPD為正三角形，又PG=6，在Rt△PGD中可得GD=6×．∴該橢圓的短軸長為2GD=4．故選：C．【點評】本題以中心投影及中心投影作圖法，考查了橢圓的簡單性質(zhì)，同時考查了橢圓的基本量，屬于中檔題．8.已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限參考答案：D9.某產(chǎn)品的廣告費用x與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：

廣告費用x(萬元)4235銷售額y(萬元)49263954根據(jù)上表可得回歸方程＝x＋中的為9.4，據(jù)此模型預(yù)報廣告費用為6萬元時銷售額為()A．63.6萬元B．65.5萬元C．67.7萬元D．72.0萬元參考答案：B10.已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)（1+ai）（2+i）是純虛數(shù)，則實數(shù)a等于（）A．2 B． C． D．﹣2參考答案：A【考點】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．【專題】計算題．【分析】利用復(fù)數(shù)的運算法則進行化簡，然后再利用純虛數(shù)的定義即可得出．【解答】解：∵復(fù)數(shù)（1+ai）（2+i）=2﹣a+（1+2a）i是純虛數(shù)，∴，解得a=2．故選A．【點評】熟練掌握復(fù)數(shù)的運算法則、純虛數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知變量滿足，若目標(biāo)函數(shù)（其中）僅在點處取得最大值，則a的取值范圍是__________.

參考答案：12.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．在極坐標(biāo)系中，的方程為，則與的交點的個數(shù)為_____________.參考答案：113.已知集合,，若=，R，則的最小值為

.參考答案：略14.設(shè)a，b，m，n∈R，且a2+b2=5，ma+nb=5，則的最小值為

．參考答案：考點：基本不等式．專題：不等式的解法及應(yīng)用．分析：根據(jù)柯西不等式（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc取等號，問題即可解決．解答：解：由柯西不等式得，（ma+nb）2≤（m2+n2）（a2+b2）∵a2+b2=5，ma+nb=5，∴（m2+n2）≥5∴的最小值為故答案為：點評：本題主要考查了柯西不等式，解題關(guān)鍵在于清楚等號成立的條件，屬于中檔題．15.在區(qū)間上隨機取一個數(shù)，則的概率為

．參考答案：略16.函數(shù)f（x）=cosx－log8x的零點個數(shù)為

。參考答案：3由得，設(shè)，作出函數(shù)的圖象，由圖象可知，函數(shù)的零點個數(shù)為3個。17.已知單位向量的夾角為，若，如圖，則叫做向量的坐標(biāo)，記作，有以下命題：①已知，則；②若，則；③若，則；④若，，且三點共線，則。

上述命題中正確的有．（將你認為正確的都寫上）參考答案：②④略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，等腰梯形ABCD中,E,F為CD的三等分點，以AE為折痕把△ADE折起，使點D到達點P的位置，且PE與平面ABCE所成角的正切值為．（1）證明:平面PCE⊥平面PAE；（2）求二面角的余弦值．參考答案：（1）見解析（2）【分析】（1）根據(jù)折疊前后關(guān)系可得再根據(jù)線面垂直判定定理可得，最后根據(jù)面面垂直判定定理得結(jié)果，（2）作，垂足為O，則易得平面，過O作，交于G.以O(shè)為坐標(biāo)原點，的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點坐標(biāo)，列方程組解得各面法向量，利用向量數(shù)量積解得法向量夾角，最后根據(jù)二面角與向量夾角關(guān)系得結(jié)果.【詳解】（1）證明：依題意得，所以，因為，所以平面平面．（2）假設(shè)，由（1）過P作，垂足為O，則平面，過O作，交于G.以O(shè)為坐標(biāo)原點，的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

則

設(shè)平面的法向量為，則

即令，得為平面的一個法向量.同理可得平面的一個法向量為，，所以二面角的余弦值為．【點睛】本題考查空間直線、平面垂直的判定與性質(zhì)、二面角的求解及空間向量的坐標(biāo)運算基礎(chǔ)知識；考查空間想象能力、推理論證及運算求解能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想．19.（本小題滿分10分）《選修4——5:不等式選講》已知函數(shù)，，且的解集為.（I）求的值；（II）若，且求證:.參考答案：24.(I)，.當(dāng)m＜1時，，不等式的解集為，不符題意.當(dāng)時，①當(dāng)時，得，.②當(dāng)時，得，即恒成立.③當(dāng)時，得，.綜上的解集為.由題意得，.

…………5分(II),,,,由(1)知,

…………10分20.（本題滿分12分）已知數(shù)列{}為等比數(shù)列，（Ⅰ）求數(shù)列{}的通項公式；（Ⅱ）設(shè)是數(shù)列{}的前項和，證明參考答案：（I）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則a2=a1q,a5=a1q4.

依題意，得方程組解此方程組，得a1=2,q=3.

故數(shù)列{an}的通項公式為an=2·3n－1.（II）21.(本小題滿分14分)設(shè)函數(shù)

(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)當(dāng)時，若方程在上有兩個實數(shù)解，求實數(shù)t的取值范圍；

(Ⅲ)證明：當(dāng)m>n>0時，.

參考答案：解析：（Ⅰ）①時，

∴在（—1，+）上是增函數(shù)

……………1分②當(dāng)時，在上遞增，在單調(diào)遞減.…………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減又

∴∴當(dāng)時，方程有兩解

………………8分（Ⅲ）要證：只需證只需證：設(shè)，

則

………………10分由（Ⅰ）知在單調(diào)遞減

………………12分∴，即是減函數(shù)，而m>n∴，故原不等式成立。

………………14分22.某校舉行中學(xué)生“日常生活小常識”知識比賽,比賽分為初賽和復(fù)賽兩部分，初賽采用選手從備選題中選一題答一題的方式進行；每位選手最多有5次答題機會，選手累計答對3題或答錯3題即終止比賽，答對3題者直接進入復(fù)賽，答錯3題者則被淘汰.已知選手甲答對每個題的概率均為，且相互間沒有影響.（1）求選手甲進入復(fù)賽的概率；（2）設(shè)選手甲在初賽中答題的個數(shù)為，試求的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考答案：(1）設(shè)選手甲答對每個題的概率為，則，設(shè)“選手甲進入復(fù)賽”為事件，則選手甲答了3題都對進入復(fù)賽概率為：；