第1章函數(shù)、極限與連續(xù)

1.1函數(shù)

一、是非題

1.丁=4^與丁=》相同：（）

*2.y=（2*+2-*）ln（x+Jl+Y）是奇函數(shù);（）

3.凡是分段表示的函數(shù)都不是初等函數(shù)；（）

4.y=/（X>0）是偶函數(shù)；（）

5.兩個單調(diào)增函數(shù)之和仍為單調(diào)增函數(shù)；（）

6.實數(shù)域上的周期函數(shù)的周期有無窮多個：（）

7.復合函數(shù)〃g（x）］的定義域即g（x）的定義域；（）

8.y=/（x）在（a,6）內(nèi)處處有定義，則/（x）在（a,6）內(nèi)一定有界。（）

二、填空題

1.函數(shù)y=/（x）與其反函數(shù)y=雙幻的圖形關于對稱；

2.若/")的定義域是[0,1],則/(x2+l)的定義域是；

2X

*3.y=-----的反函數(shù)是；

2,+1

*4./(x)=x+l,,x)=I,則/必x)+l]=.(p[f{x)+1]=

\+x

5.y=log2(sinx+2)是由簡單函數(shù)和復合而成；

6.f(x)=x2+1,°(x)=sin2x,則f(0)=，/(—)=

a

f[(p(x)]=_____________o

三、選擇題

1.下列函數(shù)中既是奇函數(shù)又是單調(diào)增加的函數(shù)是（)

A、sin3xB、d+iC>x3+xD、x，-x

*2.設/(幻=4/+人%+5,若/(x+1)—/(x)=8x+3,則人應為()

A、1B、-1C、2D、-2

3./(x)=sin(x2—幻是()

A、有界函數(shù)B、周期函數(shù)

C、奇函數(shù)D、偶函數(shù)

四、計算下列各題

,----3—2尤

1.求定義域y=x+arcsin----

2.求下列函數(shù)的定義域

⑴y=Jx?-4x+3(2)y=+----

1

(3)y=lg(x+2)+l(4)y=Igsinx

*3.設/(x)=/,g(x)=e)求〃g(x)],g"(x)]J"(x)],g[g(x)]；

4.判斷下列函數(shù)的奇偶性

⑵/(x)=(京

(1)/(%)=x-3

*(3)/(x)=1g(4)/(%)=xsinx

1-x

5.寫出下列函數(shù)的復合過程

(l)y=sin3(8x+5)(2)y-tan(V-X2+5)

⑶y=2i(4)y=lg(3-x)

\x\,\x\<l,1火一；)，板一2)，并作出函數(shù)y

6.設9(%)=<o,國之i.求a?,°(幻的圖形。

1.2極限

一、是非題

1.在數(shù)列｛/｝中任意去掉或增加有限項，不影響｛%｝的極限:)

2.若數(shù)列｛a,“｝的極限存在，則｛““｝的極限必存在:()

*3.若數(shù)列｛招｝和｛>,｝都發(fā)散，則數(shù)列卜”+以｝也發(fā)散；（）

*4.若lim(N“”)=0,則必有l(wèi)imu”=0或lim=0。()

n—xx>n—>oo"―>8

5.若lim/(%)=A,則/(x0)=A；()

o

6.已知/（%）不存在，但Umf（x）有可能存在;()

7.若f（x0+0）與-與都存在,則lim/（x）必存在;()

8.limarctanx=—；（）

X->OO2

9.lim/=0；（）

x—>-00

10.非常小的數(shù)是無窮??；（）

11.零是無窮??；（）

12.無限變小的變量稱為無窮??；（）

13.無限個無窮小的和還是無窮小。（）

二、填空題

1.lim(J〃+1-y/n)=

.n7i

sin——

2.lim——匚

〃一>8n

*3.

4.lim—=

〃T83〃

5.lim(2x-l)

XTl

6.lim—

x*1+X

7.limcosx=,limcosx=

x->0x-xo

ex,x<Q

*8.設/(》)=1',則/(0+0)=___________J(0-0)=___________,當

ax+b,x>0

h-_____時，limf(x)=1o

x-?0

9.設y=」一，當xf___時，y是無窮小量，當xf_____時，y是無窮大量；

x+1

10.設a(x)是無窮小量，E(x)是有界變量，則e(x)E(x)為；

11.Um/(x)=A的充分必要條件是當xf/時，A為

X-?Xo

*12.1imxsin—=_

XT0X

三、選擇題

1.已知下列四數(shù)列:

23〃一1

；④、Z=(一1產(chǎn)

①、xn=2；②、x?=③、

3〃+13〃+13〃+1

則其中收斂的數(shù)列為()

A、①B、①②C、①④D、①②③

2.已知下列四數(shù)列：

②、。，；，。擊。擊…,。擊…

①、1,一1,1,一1,…，(一I)",…

與13141n+2

③、一，一，一，一，④、1,2,

2233'〃+1'〃+1'

則其中發(fā)散的數(shù)列為()

A、①B、①④C、①③④D、②④

?代鬻則必有

*3?X”=<)

JQ7〃為偶數(shù)

7

A、limxn=0B>limxn=10-

rt—>00

0,〃為奇數(shù)j

C、hmx“={1)、hmx“不存在

fo[10,〃為偶數(shù)

4.從limf(x)=1不能推出()

xf0

A、limf(x)-1B、/(x0+0)=1

XT%一

D、lim【/(%)—D=0

c、/(Xo)=l

Ijd+1,xH0

5.設/(x)=41,則的值為()

2,x=0x->o

A、0B、1C、2D、不存在

6.當X-1時，下列變量中是無窮小的是()

A、x3-1B、sinxC、exD、ln(x+l)

*7.下列變量在自變量給定的變化過程中不是無窮大的是()

—,(X—>+00)B、Inx(x->+oo)

V%3+1

C^In%(%—>0+0)

8.若limf(x)=8,limg(x)=oo,則下列極限成立的是()

A、lim"(x)+g(x)]=coB、lim"(x)+g(x)]=O

C、lim-----------=ooD、limf(x)g(x)=oo

—&/(X)+g(X)

9.以下命題正確的是()

A、無界變量一定是無窮大

B、無窮大一定是無界變量

C、趨于正無窮大的變量一定在充分大時單調(diào)增

D、不趨于無窮大的變量必有界

*10.limex

A、等于0B、等于+8C、等于1D、不存在

四、設/(x)=^—，回答下列問題：

1.函數(shù)/(x)在x=0處的左、右極限是否存在？

2.函數(shù)/(幻在x=0處是否有極限？為什么？

3.函數(shù)/(x)在x=l處是否有極限？為什么？

五、下列各題中，指出哪些是無窮??？哪些是無窮大？

1+x/、八3x—1/八、

1.——(x—°o)；2.------(x—>0)；

xx

￡

3.問?。?0)；4.ex(x—>0)

六、當Xf+8時，下列哪個無窮小與無窮小L是同階無窮?。磕膫€無窮小與無窮小L是等

XX

價無窮??？哪個無窮小是比無窮小L高階的無窮??？

X

—，2.——,3.

2xx~pj

1.3極限的運算

一、是非題

1.在某過程中，若/(%)有極限，g5)無極限，則y(x)+g(x)無極限；()

2.在某過程中，若/(x),g(x)均無極限，則f(x)+g(x)無極限；()

3.在某過程中，若/(x)有極限，g(x)無極限，則/(x)g(x)無極限；()

4.在某過程中，若/(x),g(x)均無極限，則/(x)g(x)無極限；()

5.若limf(x)=A,limg(x)=0,則hi必不存在;()

?IfoXf%IX。g(x)

r1+2+3+???+〃[.1「2].n八

6.lim---------------=lim—+lim—++—=0；()

n—KOn—>oo幾?n—>oc〃foo

*7.limxsin—=limx-limsin—=0；()

xf°X工―°X

*8.1im(x2-3x)=limx2-31imx=oo-oo=0；()

X->00X—>CO

sinx

9.lim=1；()

xf8x

10.1iin(l--)A=eo()

x—%

二、計算下列極限

1.lim與里2.limj-1-

XnX~+152x-x-1

2x?+x+1

3.lim----------4.；

e3x'+121+x

x3+2x23

5.1im6.1im(—不);

XT2(X—2)2Xf11_x\-x

1+2+3H----F(n-1)

7.lim(dx~+x+l-J尸—x+1)；8.lim

XT8n—n2

(2X-1)300(3X-2)200「2xsinx1

*9.lim*10.lim.arctan—；

X—KC(2x+1)500…Vl+x2x

2

sinx+3x

11.lim12.lim(l-3x)A；

xf。tanx+2xXf0

X

13.lim2〃sin—(x*0)；14.lim(xsin—+—sinx)；

n—>oc2"xx

tanx-sinx,「X+1y

*15.1im------；----；*16.lim(z-----)；

x->0y3xtsx+2

廠4-GX+h

*三、已知lim—--=1,求常數(shù)。與人的值。

I1-X

X

*四、已知lim(——尸=2,求c。

X*x-c

*五、證明：當x-0時，tan2x~2x,l-cosx~—x2o

2

1.4函數(shù)的連續(xù)性

一、是非題

*1.若/(1)，g(x)在點X。處均不連續(xù)，則/(x)+g(x)在點X。處亦不連續(xù)；()

*2.若/(x)在點處連續(xù)，g(x)在點/處不連續(xù)，則/(x)g(x)在點X。處必不連續(xù);

()

*3.若/(x)與g(x)在點X。處均不連續(xù)，則/(x)g(x)在點4處亦不連續(xù)；()

4.y=W在x=0處不連續(xù)；（）

5.7（x）在X。處連續(xù)當且僅當/（x）在人處既左連續(xù)又右連續(xù)；（）

6.設y=/（x）在①/）內(nèi)連續(xù)，則/*）在（a,切內(nèi)必有界；（）

7.設y=/（x）在［a,。］上連續(xù)，且無零點，則/（幻在［凡句上恒為正或恒為負；（）

TT37rJr37r

*8.tan--tan—=-1<0,所以tanx=0在（一,一）內(nèi)有限。）

4444

二、填空題

sinX

*l.x=0是函數(shù)的類_________型間斷點；

*2.x=0是函數(shù)e'G的類型間斷點；

*3.設/（?=,111（1一幻，若定義/（0）=,則/（x）在x=0處連續(xù);

X

tanax

*4.若函數(shù)/（外二（二—XH0

在x=0處連續(xù)，則a等于____________

x=0

2,

5./（x）=---的連續(xù)區(qū)間是；

In（x-l）

6.arctaar在［0,+oo）上的最大值為,最小值為

7.函數(shù)丁=X2+尤-2,當x=l,Ax=0.5時，Ay=；當x=l,Ar=-0.5時,

Ay=。

三、選擇題

1

einrpx

*1.函數(shù)/（工）=把上+'在（—8,+8）內(nèi)間斷點的個數(shù)為（）；

X1-x

A、0B、1C、2D、3

2./3+0）=/（。-0）是函數(shù)/（幻在工=。處連續(xù)的（）；

A、必要條件B、充分條件C、充要條件D、無關條件

3.方程/-3》+1=0在區(qū)間（0,1）內(nèi)（）

A、無實根B、有唯一實根C、有兩個實根D、有三個實根

*四、要使/（幻連續(xù)，常數(shù)a,8各應取何值?

*五、指出下列函數(shù)的間斷點，并指明是哪一類型間斷點。

\_

1"工

2.f(x)=ex

1

x<—1,

蒼x豐1x+1

3./(幻=<14J(X)={X,

1

I5'X=(x-l)sinX>1.

六、求下列極限

21膏可

l.limIn(婷+國)；1m

%T111IJx-2—四

一.log?（l+3x）,2'-1

*3.1im——-------；4.lim—：---。

X->0XXT。--

2V+1

七、證明方程4x—2'二。在（（）,工）內(nèi)至少有一個實根。

2

%2—1,0<x<11

八、設/（幻=1'，試判定/Xx）在尤=±,x=l,x=2處的連續(xù)性，并求出

x+1,X>12

連續(xù)區(qū)間。

第1章復習題

一、填空題

x+1Ixlv2

1.設/（x）=《’11，則/（x+1）的定義域為___________;

1,2<x<3

2.函數(shù)/(%)=?+ln(3-x)在連續(xù);

*3.lim(12sin士+S^^~)=___________________；

xfOX"X

4.1im(l+與=________________；

Xf8X

12

5.設f(x)在x=l處連續(xù)，且/(I)=3,則lim/(x)(-----------)=___________

fx-1x-1

*6.x=0是函數(shù)/(x)=xsin—的間斷點；

x

X-X

7寸(玲=、:,的間斷點是,其中可去間斷點是

W(%2-i)

，跳躍間斷點是_______________

二、選擇題

l.y=/+I,XG(-8,0]的反函數(shù)是()；

A、y=y/x-l,xG[l,+00)B、y~-4x-1,xefO,+oo)

C、y=-vx-1,xefl,+?o)D、y=yjx-\,xG[1,+?>)

2.當x->8時，下列函數(shù)中有極限的是();

.1x+1

A,sinxB、一C、—---D、arctaax

e*x2-l

x40,

*3./(x)=<1在點x=0不連續(xù)是因為()；

x>Q

lx

A、/(O—0)不存在B、/(O+O)不存在

C./(0+0)^/(0)D、/(O-O)9^/(0)

*4.iS/(x)=x2+arccot—―.則x=l是/(x)的()；

x-1

A、可去間斷點B、跳躍間斷點C、無窮間斷點D、連續(xù)點

cosx-1,x<0..

*5.設/(x)=1，則％=0是Bm/(x)存在的()；

k,x>0o

A、充分但非必要條件B、必要但非充分條件

C、充分必要條件D、無關條件

6.當時,，a和夕(工0)都是無窮小。當X—與時，下列變量中可能不是無窮小的

是（）；

a

A、a+[3B、a-pC、a?BD、

o11

*7.當〃->8時，若sin?—與是等價無窮小，貝|J%=（）；

nn

1

A、2B、一C、1D,3

2

*8.當x-0時，下列函數(shù)中為x的高階無窮小的是（）；

A、1—cosxB、x+x2C、sinxD、4x

9.當〃一>8時，"sin!是（）；

n

A、無窮大量B,無窮小量C、無界變量D、有界變量

10.方程/+°龍+1=0（0>0）的實根個數(shù)是（）:

A、一個B、二個C、三個D、零個

*11.當x-0時，(1-cosx)2是sin?x的()；

A、高階無窮小B、同階無窮小，但不等價

C、低階無窮小D、等價無窮小

*12.設limG+D?"匕=則q的值為（）.

…（x2+1產(chǎn)

A、1B、2C、我D、A、B、C均不對

三、求下列函數(shù)的極限

J2x+1-3c..sin(x-l)

l.lim---=------；2.1im—------

34Vx-2x+x-2

sinx3

*3.lim("，二；*4.lim

za廠+1x->0(sinx)3

..J1+X-J1-Xx+3

*5.1im----------------；*6.lim(sinx+2)

x->°sin3xX—>ocx1-x

sin有

*7.lim8.lim--------

xfax-a—4(x-l)

x3X25"+(-2)”

9.1im()；10.lim—

X—>002x~—12x+1向+(_2嚴

/+一1-4-4-

*四、設lim^~~―—^-—=b(常數(shù))，求a,b°

K"X+1

五、證明下列方程在(0,1)之間均有一實根。

1.x5+x3=1；2.e~x-x；3.arctanx=1-x；

*六、設/(幻在［。向上連續(xù)，且。</(%)</?,證明在①⑼內(nèi)至少有一點J使/《)=3

3x,-1<x<1,

七、設/(x)=<2,x=1,求lim/(x),lirn_/(%)。

x-*0xf1x-^41

3尸，1<x<2.

ln(l-x)

x>0,

x

*八、設fM=<-1,X=0,討論/(x)在x=0處的連續(xù)性。

|sin.r|

x<0.

x

九、證明方程x=2sinx+l至少有一個小于3的正根。

參考答案或提示

第1章

習題1.1

一、1.非；2.是；3.非；4.非;5.是；6.是；7.非；8.非。

二、1.軸；2.；3.；4.與；5.、；6.1,。

二、1.C；2.B；3.Ao

四、1.；2.(1)(2)(3)(4)；

3.；4.(1)奇(2)非奇非偶(3)奇(4)偶；5.(1)(2)(3)(4)；6..

習題1.2

一、1.；是2.非；3.非；4.非;5.非；6.是；7.非；8.非；9.是；10.非；11.是；12.非；13.非。

二、1.0；2.0；3.4；4.0；5.1；6.0；7.1,不存在；8.11,1；9.；10.無窮??；二無窮小;

12.0。

三、l.D；2.C；3.D；4.C；5.B；6.A；7.D；8.D；9.B；1O.D?

四、1.;2.無極限，因；3.。

五、1.無窮??；2.無窮大；3.無窮大()；4.既不是無窮小也不是無窮大。

六、1.同階無窮?。?.高階無窮?。?.等價無窮小。

習題1.3

一、1.是；2.非；3.非；4.非；5.非；6.非；7.非；8.非；9.非；10.非。

二、1.-1；2.；3.；4.0；5.；6.-1；7.1；8.；9.；10.0；11.；12.；13.；14.1；15.；

16.o

三、提示：由極限乘法運算法則及由分母極限為0,可得分子極限必為0,且分子、分母同

時有的公因式，。

四、。

五、（略）

習題1.4

一、1.；非2.非；3.非；4.非；5.是；6.非;7.是；8.非?

二、1.第一類，跳躍型；2.第二類，無窮型；3.-1；4.2；5.；6.無，0；7.。

二、1.C；2.A；3.B?

四、。

五、1.是第二類間斷點中的無窮間斷點；2.是第二類間斷點中的無窮間斷點；3.為第一類

間斷點中的可去間斷點；4.為第二類間斷點中的無窮間斷點，為第一類間斷點中的跳躍間

斷點。

六、1.；2.；3.；4.-1o

七、（略）

八、在處連續(xù)，在處間斷，連續(xù)區(qū)間為。

復習題

一、1.；2.；3.3；4.；5.；6.第一類間斷點且是可去間斷點；7,0,,。

二、l.C；2.C；3.B；4.B；5.C；6.D；7.A；8.A；9.D；10.A；ll.A；12.C。

三、1.；2.；3.；4.1；5.；6.0；7.；8.；9.；10.。

四、。

五、（略）

六、（略）

七、。

八、，故在處連續(xù)。

九、（略）

第2章導數(shù)與微分

2.1導數(shù)的概念

一、是非題

1.小0）="（%）］'：（）

2.曲線y=/(x)在點(X0，/(與))處有切線，則/'(/)一定存在；()

3.若/'(x)>gG),則/(x)>g(x)；()

4.周期函數(shù)的導函數(shù)仍為周期函數(shù)；()

5.偶函數(shù)的導數(shù)為奇函數(shù)，奇函數(shù)的導數(shù)為偶函數(shù)；()

6.丁=/(處在》=/處連續(xù)，則/(%)一定存在。()

二、填空題

1.設/(幻在/處可導，則lim〃%一3-,

/(x+/?)-/(x-A)

lim----0-----------0----=____________；

20h

2.若/'(O)存在且/(O)=0,則lim/=______________；

XTOx

x2,x>0,,

3.已知f(x)=八貝I/(0)=___________;

-x2,X<O,

4.當物體的溫度高于周圍介質(zhì)的溫度時，物體就不斷冷卻，若物體的溫度T與時間，的

函數(shù)關系為T=TQ),則該物體在時刻t的冷卻速度為；

5.設某工廠生產(chǎn)x單位產(chǎn)品所花費的成本是f(x)元，則其邊際成本為；

6.物體作直線運動，運動方程為s=3產(chǎn)-5/,則物體在2s到(2+加川的平均速度

為,物體在2s時的速度為。

三、選擇題

1.函數(shù)/(%)的f'(xQ)存在等價于()；

A、lim存在B、——，6°)存在

"->8n力->°h

C、11m存在D11m/(判+3=-/(/+泡存在

4V

Ar->oAVAX

2.若函數(shù)/(x)在點與處可導，則|/(x)|在點處()；

A、可導B、不可導C、連續(xù)但未必可導D、不連續(xù)

四、利用定義求下列函數(shù)的導數(shù)

l.y=—*2.y=cosx3.y=+為常數(shù))

x

*五、設e(x)在x=a處連續(xù)，f(x)=(x-a)(p(x),求，'⑷。

x2,x<1,

*六、已知/(%)=\

ax+b,x>\.

1.確定a力,使/(x)在實數(shù)域內(nèi)處處可導；

2.將上一問中求出a,b的值代入/(x),求/(x)的導數(shù)。

七、求曲線y=/-3在點(1,-2)處的切線方程和法線方程。

2.2導數(shù)的運算

一、填空題

1.(72/=__________.；2")，=_________一其中〃為實常數(shù)

3.(/)'=___________；4.(2、y=_________——；

5.(Inx)'=；6.(iog,,xy=______.a>0且。w1

7.(sinx)'=__________；8.(cosx)x=_______

9.(tanx)'=；10.(cotx)'=?

ll.(arcsinx)z=；12.(arccosv)'=

13.(arctanx)'=__________；14.(awcotx)'=___-------；

2Z2

15.(COS2X)=_________；16.(cos2x)J2?=.__________；

17.(cos2/)3)=___________；(其中圓括號中的下標標相對求導變量

18.y=2x2+Inx,貝！印=；

*19.y=—1―,y⑹=____________；*20.y=10',則y⑸(0)=

l+2x

二、求下列函數(shù)的導數(shù)

l-yfx

\.y=x2(cosx+Vx)；

xx

3.y=(x-l)(x-2)(x-3)；M.y=Vxsinx+ae；

5.y=xlog2x+ln2；6.y=cotxarctanx；

1—I1k

7.y=cos—；8.y=ln(—FIn—)；

xxx

9.3=ln(l—x)；10.y=ln(x+Jl+x')；

sin2尤

5丁

設y=xlnx+J=,求電

三、

Vxdx

四、以/(〃)為可導函數(shù)，且/(X+3)=X5,求f(x+3)和/1'(X)。

五、設y=f(x)由方程e"+y3-5x=0所確定，試求④

dxt=0

設隱函數(shù)y=/(x)由方程x=ln(x+y)確定，求電。

六、

dx

*七、利用對數(shù)求導法求導數(shù)

1.y=Jxsinxjl-e*；2.y=xlnv

*八、求由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)

x=l",求工x=lnf,求心

1J2J

y=t-rdxy=sin/,dx

九、計算下列各題

Inx4""、

\.y=3x2+cosx^y"；2.y=——，求y(1)。

X

*3.y=xe、，求y("),y5)(0)；4,y=ln(l+x2),求y〃；

5.y=e~2tsint,求y"。

2.3微分的概念

一、填空題

1.設y=x3-x在％=2處Ax=0.01,貝,dy=___________

2.2x2dx-d；

*3.設y=ax+arccotx,則dy=dx；

=+dx；

4.d

*5.設y=e皿，則辦=J(sin2x)；

6.設y=exsinx,則辦=d(/)+J(sinx)；

二、選擇題

1.設yucos，，則dy=()

A、-2xcosx2dxB、2xcosx2dxC、-2xsinx2dxD、2xsinx2dx

2.設y=/(〃)是可微函數(shù)，〃是x的可微函數(shù)則辦=()

A、fr(u)udxB、f\u)duC>f\u)dxD、f\u)udu

*3.用微分近似計算公式求得e°05的近似值為()

A、0.05B、1.05C、0.95D、1

*4.當|A|充分小時，尸(x)w0時，函數(shù)y=/(x)的改變量Ay與微分內(nèi)的關系是()

A、內(nèi)=dyB>Ay<JyC、D>

三、求下列函數(shù)的微分

l.y=xex；2.y=x2x；

3.y=x4+5x+6；4.y=—+2&；

x

/Inx

*5.y=e3；6.y=—；

2________

*7.y=3/；8.y=InVl-x2。

四、計算yr質(zhì)的近似值。

五、一個外直徑為Id