湖北省恩施州三年（2020-2022）中考數(shù)學(xué)真題分類匯編-03解答

題

一.分式的化簡(jiǎn)求值（共3小題）

1.（2022?恩施州）先化簡(jiǎn)，再求值：式其中

x2x

2_

2.（2021?恩施州）先化簡(jiǎn)，再求值：1-空2+—一,其中”=&-2.

a+4a2+8a+16

22

3.（2020?恩施州）先化簡(jiǎn)，再求值：（-/一2）+旦其中小=&.

m2-6m+9m-3m-3

二.一次函數(shù)的應(yīng)用（共3小題）

4.（2022?恩施州）某校計(jì)劃租用甲、乙兩種客車送180名師生去研學(xué)基地開展綜合實(shí)踐活

動(dòng).已知租用一輛甲型客車和一輛乙型客車共需500元，租用2輛甲型客車和3輛乙型

客車共需1300元.甲型客車每輛可坐15名師生，乙型客車每輛可坐25名師生.

（1）租用甲、乙兩種客車每輛各多少元？

（2）若學(xué)校計(jì)劃租用8輛客車，怎樣租車可使總費(fèi)用最少？

5.（2021?恩施州）“互聯(lián)網(wǎng)+”讓我國(guó)經(jīng)濟(jì)更具活力，直播助銷就是運(yùn)用“互聯(lián)網(wǎng)+”的生

機(jī)勃勃的銷售方式，讓大山深處的農(nóng)產(chǎn)品遠(yuǎn)銷全國(guó)各地.甲為當(dāng)?shù)靥厣ㄉc茶葉兩種

產(chǎn)品助銷.已知每千克花生的售價(jià)比每千克茶葉的售價(jià)低40元，銷售50千克花生與銷

售10千克茶葉的總售價(jià)相同.

（1）求每千克花生、茶葉的售價(jià)；

（2）已知花生的成本為6元/千克，茶葉的成本為36元/千克，甲計(jì)劃兩種產(chǎn)品共助銷

60千克，總成本不高于1260元，且花生的數(shù)量不高于茶葉數(shù)量的2倍.則花生、茶葉各

銷售多少千克可獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？

6.（2020?恩施州）某校足球隊(duì)需購買A、B兩種品牌的足球.已知A品牌足球的單價(jià)比3

品牌足球的單價(jià)高20元，且用900元購買A品牌足球的數(shù)量與用720元購買B品牌足球

的數(shù)量相等.

（1）求4、B兩種品牌足球的單價(jià)；

（2）若足球隊(duì)計(jì)劃購買A、B兩種品牌的足球共90個(gè)，且A品牌足球的數(shù)量不小于B

品牌足球數(shù)量的2倍，購買兩種品牌足球的總費(fèi)用不超過8500元.設(shè)購買A品牌足球，"

個(gè)，總費(fèi)用為W元，則該隊(duì)共有幾種購買方案？采用哪一種購買方案可使總費(fèi)用最低？

最低費(fèi)用是多少元？

三.反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題(共3小題)

7.(2022?恩施州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知/ACB=90°,A(0,

2),C(6,2).。為等腰直角三角形ABC的邊BC上一點(diǎn)，且SMBC=3SA4DC.反比例

函數(shù)yi=K(kWO)的圖象經(jīng)過點(diǎn)。.

X

(1)求反比例函數(shù)的解析式.

(2)若A8所在直線解析式為y2=ox+b(aKO),當(dāng)yi>”時(shí)，求x的取值范圍.

是BC的中點(diǎn)，ZABC=30°,BC=4,雙曲線y=K經(jīng)過點(diǎn)4.

X

(1)求攵；

(2)直線4c與雙曲線y=-虺叵在第四象限交于點(diǎn)。，求的面積.

9.(2020?恩施州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=or-3〃(aWO)與x軸、y軸分別

相交于A、B兩點(diǎn)，與雙曲線y=K(x>0)的一個(gè)交點(diǎn)為C,且BC=4AC.

x2

(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)SAAOC=3時(shí)，求a和A的值.

四.二次函數(shù)綜合題(共3小題)

10.(2022?恩施州)在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=-/+c與y軸交于點(diǎn)

P(0,4).

(1)直接寫出拋物線的解析式.

(2)如圖，將拋物線了=-7+c向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，記平移后的拋物線頂點(diǎn)為。，

平移后的拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)4在點(diǎn)8的右側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C.判斷以

B、aQ三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是否為直角三角形，并說明理由.

(3)直線BC與拋物線y=-/+c交于M、N兩點(diǎn)(點(diǎn)N在點(diǎn)M的右側(cè))，請(qǐng)?zhí)骄吭趚

軸上是否存在點(diǎn)T,使得以從N、T三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與aABC相似，若存在，請(qǐng)求

出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

(4)若將拋物線y=-7+c進(jìn)行適當(dāng)?shù)钠揭?，?dāng)平移后的拋物線與直線BC最多只有一

個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)直接寫出拋物線y=-?+c平移的最短距離并求出此時(shí)拋物線的頂點(diǎn)坐

標(biāo).

上，拋物線y=/+6x+c經(jīng)過點(diǎn)B,0(-4,5)兩點(diǎn)，且與直線。C交于另一點(diǎn)E.

(1)求拋物線的解析式；

(2)F為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，。為平面直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)Q,F,E,

B為頂點(diǎn)的四邊形是以BE為邊的菱形.若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明

理由；

(3)P為y軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線對(duì)稱軸的垂線，垂足為連接ME,BP,探究

EM+MP+PB是否存在最小值.若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最小值及點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，

請(qǐng)說明理由.

12.(2020?恩施州)如圖1,拋物線產(chǎn)-工W+bx+c經(jīng)過點(diǎn)C(6,0),頂點(diǎn)為B,對(duì)稱軸x

=2與x軸相交于點(diǎn)A,。為線段8c的中點(diǎn).

（1）求拋物線的解析式；

（2）P為線段8c上任意一點(diǎn)，M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接MP,以點(diǎn)例為中心，將△MPC

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,記點(diǎn)尸的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E,點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F.當(dāng)直線EF與拋物線y=-

X.^+bx+c只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

4

（3）AMPC在（2）的旋轉(zhuǎn)變換下，若PC=M（如圖2）.

①求證：EA=ED.

②當(dāng)點(diǎn)E在（1）所求的拋物線上時(shí)，求線段CM的長(zhǎng).

五.菱形的判定（共1小題）

13.（2020?恩施州）如圖，AE//BF,8。平分/ABC交AE于點(diǎn)O,點(diǎn)C在8尸上且BC=

AB,連接CO.求證：四邊形ABC。是菱形.

六.矩形的性質(zhì)（共1小題）

14.（2021?恩施州）如圖，矩形ABCO的對(duì)角線AC,BO交于點(diǎn)0,S.DE//AC,AE//BD,

連接0￡求證：OE_LA￡>.

七.正方形的性質(zhì)（共1小題）

15.（2022?恩施州）如圖，已知四邊形A8CQ是正方形，G為線段AO上任意一點(diǎn)，C￡±

BG于點(diǎn)、E,OF_LCE于點(diǎn)F.求證：DF=BE+EF.

八.切線的性質(zhì)（共1小題）

16.（2022?恩施州）如圖，P為。。外一點(diǎn)，PA,PB為。0的切線，切點(diǎn)分別為A、B,直

線PO交OO于點(diǎn)。、E,交AB于點(diǎn)C.

（1）求證：ZADE=ZPAE.

（2）若/AQE=30°,求證：AE=PE.

17.（2021?恩施州）如圖，在中，乙408=90°,。。與AB相交于點(diǎn)C,與A0

相交于點(diǎn)E,連接CE,已知NAOC=2NACE.

（1）求證：A8為。。的切線；

（2）若40=20,B0=15,求CE的長(zhǎng).

E

一十.圓的綜合題（共1小題）

18.（2020?恩施州）如圖1,A8是。。的直徑，直線AM與。0相切于點(diǎn)A,直線BN與0。

相切于點(diǎn)8,點(diǎn)C（異于點(diǎn)4）在AM上，點(diǎn)力在。。上，且CD=CA,延長(zhǎng)CO與BN

相交于點(diǎn)E,連接AD并延長(zhǎng)交8N于點(diǎn)F.

（1）求證：CE是。。的切線；

（2）求證：BE=EF；

（3）如圖2,連接EO并延長(zhǎng)與00分別相交于點(diǎn)G、H,連接若AB=6,AC=4,

求tan/BHE.

一十一.解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題（共1小題）

19.（2021?恩施州）鄉(xiāng)村振興使人民有更舒適的居住條件，更優(yōu)美的生活環(huán)境，如圖是怡佳

新村中的兩棟居民樓，小明在甲居民樓的樓頂。處觀測(cè)乙居民樓樓底8處的俯角是30°,

觀測(cè)乙居民樓樓頂C處的仰角為15°,已知甲居民樓的高為10”，求乙居民樓的高.（參

考數(shù)據(jù)：1.414,百厚1.732,結(jié)果精確到0.1〃?）

一十二.解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題（共2小題）

20.（2022?恩施州）如圖，湖中一古亭，湖邊一古柳，一沉靜，一飄逸，碧波蕩漾，相映成

趣.某活動(dòng)小組賞湖之余，為了測(cè)量古亭與古柳間的距離，在古柳4處測(cè)得古亭8位于

北偏東60°,他們向南走50根到達(dá)。點(diǎn)，測(cè)得古亭8位于北偏東45°.求古亭與古柳

之間的距離AB的長(zhǎng)（參考數(shù)據(jù)：A/2?1.41,巡心1.73,結(jié)果精確到

,匕

4^東

A

D

21.（2020?恩施州）如圖，一艘輪船以每小時(shí)30海里的速度自東向西航行，在A處測(cè)得小

島P位于其西北方向（北偏西45°方向），2小時(shí)后輪船到達(dá)B處，在B處測(cè)得小島P

位于其北偏東60。方向.求此時(shí)船與小島P的距離（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：加心

1.414,73^1.732）.

一十三.條形統(tǒng)計(jì)圖（共1小題）

22.（2020?恩施州）某中學(xué)為了解九年級(jí)學(xué)生對(duì)新冠肺炎防控知識(shí)的掌握情況，從全校九年

級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.調(diào)查結(jié)果分為四類：A類--非常了解；8類--

比較了解；c類--般了解；。類--不了解.現(xiàn)將調(diào)查結(jié)果繪制成如圖不完整的統(tǒng)計(jì)

圖，請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中的信息解答下列問題：

（1）本次共調(diào)查了名學(xué)生；

（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

（3）。類所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角的大小為；

（4）若該校九年級(jí)學(xué)生共有500名，根據(jù)以上抽樣結(jié)果，估計(jì)該校九年級(jí)學(xué)生對(duì)新冠肺

炎防控知識(shí)非常了解的約有名.

一十四.方差（共1小題）

23.（2021?恩施州）九（1）班準(zhǔn)備從甲、乙兩名男生中選派一名參加學(xué)校組織的一分鐘跳

繩比賽，在相同的條件下，分別對(duì)兩名男生進(jìn)行了八次一分鐘跳繩測(cè)試.現(xiàn)將測(cè)試結(jié)果

繪制成如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖表，請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表中的信息解答下列問題：

185185185

185

180

175

170

165

/II1IIIII.

°12345678號(hào)

平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差

甲175ab93.75

乙175175180,175,170C

（1）求4、〃的值；

（2）若九（1）班選一位成績(jī)穩(wěn)定的選手參賽，你認(rèn)為應(yīng)選誰，請(qǐng)說明理由;

（3）根據(jù)以上的數(shù)據(jù)分析，請(qǐng)你運(yùn)用所學(xué)統(tǒng)計(jì)知識(shí)，任選兩個(gè)角度評(píng)價(jià)甲乙兩名男生一

分鐘跳繩成績(jī)誰優(yōu).

一十五.列表法與樹狀圖法（共1小題）

24.（2022?恩施州）2022年4月29日，湖北日?qǐng)?bào)聯(lián)合夏風(fēng)教室發(fā)起“勞動(dòng)最光榮，加油好

少年”主題活動(dòng).某校學(xué)生積極參與本次主題活動(dòng)，為了解該校學(xué)生參與本次主題活動(dòng)

的情況，隨機(jī)抽取該校部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖（如

圖）.請(qǐng)結(jié)合圖中信息解答下列問題：

（1）本次共調(diào)查了名學(xué)生，并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖.

（2）若該校共有1200名學(xué)生參加本次主題活動(dòng)，則本次活動(dòng)中該?！跋匆路钡膶W(xué)生

約有多少名？

（3）現(xiàn)從參與本次主題活動(dòng)的甲、乙、丙、丁4名學(xué)生中，隨機(jī)抽取2名學(xué)生談一談勞

動(dòng)感受.請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法，求甲、乙兩人同時(shí)被抽中的概率.

參考答案與試題解析

分式的化簡(jiǎn)求值（共3小題）

1.(2022?恩施州)先化簡(jiǎn)，再求值：x2-14-ZZ1-1,其中》=y.

x2x

【解答】解：3H+zzi-1

X2VX

=(x+l)(x-l).X_]

2

xX-l

=x+l一1

X

=x+l-x

X

-_--1，

X

當(dāng)工=百時(shí)，原式=_^=1_.

V33

2_

2.(2021?恩施州)先化簡(jiǎn)，再求值：]-J-4其中。=&-2.

a+4a2+8a+16

2

【解答】解：1gzl

2

a+4a+8a+16

—j_a-2r(a+4)2

a+4(a+2)(a-2)

=1-a+4

a+2

—a+2-a~4

a+2

=-—,

a+2

當(dāng)。=&-2時(shí)，原式=-廠2----V2.

V2-2+2

3.(2020?恩施州)先化簡(jiǎn)，再求值：(一記唱.一旦)小旦其中m=&.

m2-6m+9m-3m-3

22

【解答】解：(:_2).4

m-6m+91n-3m-3

_「(m+3)(irr3)__3〔m-3

2

(m-3)m-3m2

=(m+3一3).irrS

2

m-3m-3m

_mm-3

m-3m2

=1.

m

當(dāng)皿=料時(shí)，

原式=3=&?

V22

二.一次函數(shù)的應(yīng)用(共3小題)

4.(2022?恩施州)某校計(jì)劃租用甲、乙兩種客車送180名師生去研學(xué)基地開展綜合實(shí)踐活

動(dòng).已知租用一輛甲型客車和一輛乙型客車共需500元，租用2輛甲型客車和3輛乙型

客車共需1300元.甲型客車每輛可坐15名師生，乙型客車每輛可坐25名師生.

(1)租用甲、乙兩種客車每輛各多少元？

(2)若學(xué)校計(jì)劃租用8輛客車，怎樣租車可使總費(fèi)用最少？

【解答】解：(1)設(shè)租用甲種客車每輛x元，租用乙種客車每輛)，元，

根據(jù)題意可得，行刊=500,

|2x+3y=1300

解得卜=200.

]y=300

租用甲種客車每輛200元，租用乙種客車每輛300元.

(2)設(shè)租用甲型客車〃？輛，則租用乙型客車(8-m)輛，租車總費(fèi)用為w元，

根據(jù)題意可知，w=200/n+300(8-m)=-100w+2400,

?.T5m+25(8-m)>180,

V-100<0,

.".w隨m的增大而減小，

.?.當(dāng)m=2時(shí),w的最小值為-100X2+2400=2200.

...當(dāng)租用甲型客車2輛，租用乙型客車6輛，租車總費(fèi)用最少為2200元.

5.(2021?恩施州)“互聯(lián)網(wǎng)+”讓我國(guó)經(jīng)濟(jì)更具活力，直播助銷就是運(yùn)用“互聯(lián)網(wǎng)+”的生

機(jī)勃勃的銷售方式，讓大山深處的農(nóng)產(chǎn)品遠(yuǎn)銷全國(guó)各地.甲為當(dāng)?shù)靥厣ㄉc茶葉兩種

產(chǎn)品助銷.已知每千克花生的售價(jià)比每千克茶葉的售價(jià)低40元，銷售50千克花生與銷

售1()千克茶葉的總售價(jià)相同.

(1)求每千克花生、茶葉的售價(jià)；

(2)已知花生的成本為6元/千克，茶葉的成本為36元/千克，甲計(jì)劃兩種產(chǎn)品共助銷

60千克，總成本不高于1260元，且花生的數(shù)量不高于茶葉數(shù)量的2倍.則花生、茶葉各

銷售多少千克可獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？

【解答】解：(1)設(shè)每千克花生x元，每千克茶葉(40+x)元，

根據(jù)題意得：50x=10(40+x),

解得：x=10,

40+x=40+10=50(元)，

答：每千克花生10元，每千克茶葉50元；

(2)設(shè)花生銷售機(jī)千克，茶葉銷售(60-俄)千克獲利最大，利潤(rùn)卬元，

由題意得：［6m+36(60-m)41260,

Iirf42(60~m)

解得：30W,〃W40,

w=(10-6)m+(50-36)(60-m)=4〃?+840-14〃?=-10m+840,

V-10<0,

隨m的增大而減小，

當(dāng)，"=30時(shí)，利潤(rùn)最大，

此時(shí)花生銷售30千克，茶葉銷售60-30=30千克，

w垠大=-10X30+840=540(元)，

，當(dāng)花生銷售30千克，茶葉銷售30千克時(shí)利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為540元.

6.(2020?恩施州)某校足球隊(duì)需購買A、B兩種品牌的足球.已知A品牌足球的單價(jià)比B

品牌足球的單價(jià)高20元,且用900元購買A品牌足球的數(shù)量與用720元購買B品牌足球

的數(shù)量相等.

(1)求4、B兩種品牌足球的單價(jià)；

(2)若足球隊(duì)計(jì)劃購買A、B兩種品牌的足球共90個(gè)，且A品牌足球的數(shù)量不小于B

品牌足球數(shù)量的2倍，購買兩種品牌足球的總費(fèi)用不超過8500元.設(shè)購買A品牌足球機(jī)

個(gè)，總費(fèi)用為W元，則該隊(duì)共有幾種購買方案？采用哪一種購買方案可使總費(fèi)用最低？

最低費(fèi)用是多少元？

【解答】解：(1)設(shè)購買A品牌足球的單價(jià)為x元，則購買8品牌足球的單價(jià)為(x-20)

元，

根據(jù)題意，得90°=720,

x-20

解得：JC=100,

經(jīng)檢驗(yàn)x=100是原方程的解，

%-20=80,

答：購買A品牌足球的單價(jià)為100元，則購買B品牌足球的單價(jià)為80元；

(2)設(shè)購買機(jī)個(gè)A品牌足球，則購買(90-巾)個(gè)B品牌足球，

則W=100〃?+80(90-m)=20m+7200,

品牌足球的數(shù)量不小于B品牌足球數(shù)量的2倍，購買兩種品牌足球的總費(fèi)用不超過

8500元，

,fl00m+80(90-m)<8500i

Im^2(90-m)

解不等式組得：60<mW65,

所以，〃z的值為：60,61,62,63,64,65,

即該隊(duì)共有6種購買方案，

當(dāng)〃i=60時(shí)，W最小，

相=60時(shí)，W=20X60+7200=8400(元)，

答：該隊(duì)共有6種購買方案，購買60個(gè)A品牌30個(gè)B品牌的總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用是

8400元.

三.反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題(共3小題)

7.(2022?恩施州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知NACB=90°,4(0,

2),C(6,2).。為等腰直角三角形4BC的邊BC上一點(diǎn)，S.S&ABC=3SMDC.反比例

函數(shù)>1=區(qū)的圖象經(jīng)過點(diǎn)￡).

(1)求反比例函數(shù)的解析式.

(2)若AB所在直線解析式為y2=or+b(“#0),當(dāng)時(shí)，求x的取值范圍.

：.AC=f),

???△ABC是NC為直角的等腰直角三角形，

：.BC=AC=6,

為等腰直角三角形ABC的邊BC上一點(diǎn)，且SAA?C=3SAADC.

:.CD=2,

：.D(6,4),

:反比例函數(shù)v=Kawo)的圖象經(jīng)過點(diǎn)。，

X

???Z=6X4=24,

...反比例函數(shù)的解析式為y=24;

X

(2)VA(0,2),B(6,8),

.?.把4、8的坐標(biāo)代入*=ax+6得，b=2,

[6a+b=8

解得卜=1,

lb=2

，)2=X+2,

'24

解y<得卜=-6或h=4,

y=x+2]y=Yly=6

...兩函數(shù)的交點(diǎn)為(-6,-4),(4,6)

...當(dāng)yi>>2時(shí)，x的取值范圍是x<-6或0<x<4.

8.(2021?恩施州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，n△A8C的斜邊BC在x軸上，坐標(biāo)原點(diǎn)

是BC的中點(diǎn)，ZABC=30°,BC=4,雙曲線y=K經(jīng)過點(diǎn)A.

X

(1)求心

(2)直線AC與雙曲線y=-2?在第四象限交于點(diǎn)。，求△4BO的面積.

x

【解答】解：(1)如圖，作AH_LBC于H,

為△ABC的斜邊BC在x軸上，坐標(biāo)原點(diǎn)是BC的中點(diǎn)，NABC=30°,BC=4,

：.(?C=ABC=2,AC=BCXsin30°=2,

2

,：ZHAC+ZACO=90°,NA8C+/ACO=90°,

.?.NHAC=NABC=30°,

，C，=ACXsin30°=1,AH=ACXcos30°=愿，

：.OH=OC-CH=2-1=1,

AA(1,M),

?雙曲線y=K經(jīng)過點(diǎn)A,

X

.?.收=苧

即k=M；

(2)設(shè)直線AC的解析式為丫=丘+4

VA(1,如),C(2,0),

.f0=2k+b

，，

'lV3=k+b

解得|k=%,

b=2V3

...直線AC的解析式為y=-心+2代,

?.?直線AC與雙曲線y=-3應(yīng)在第四象限交于點(diǎn)

__X

y=-V3x+2V3

?”3^3，

y二------

X

解得卜=3或卜7

Iv=-v3Iy=3V3

在第四象限，

:.D（3,-如）,

S^ABD—S^ABC+S^BCD——BC*AH+—BC*（-加）=/x4XV3，x4X?=4我.

9.(2020?恩施州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=or-3“(a/0)與x軸、y軸分別

相交于A、8兩點(diǎn)，與雙曲線丫=區(qū)(x>0)的一個(gè)交點(diǎn)為C,且BC=1/C.

x2

(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo);

(2)當(dāng)&AOC=3時(shí)，求a和/的值.

【解答】解：(1)由題意得：令y=ax-3a(aWO)中y=0,

即ax-3a=0,解得x=3,

.?.點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,0),

故答案為(3,0).

(2)過C點(diǎn)作y軸的垂線交y軸于M點(diǎn)，作x軸的垂線交x軸于N點(diǎn)，如下圖所示:

顯然，CMIION,

：.ZBCM=ZBAO,且NABO=NCBO,

ABCM^ABAO,

.BC_CM；即.1_CM；

"BA"AO'''亙下’

，CM=1,

又SAAOC比A?CN=3

即：yX3XCN=3-

：.CN=2,

.??C點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,2),

故反比例函數(shù)的々=1X2=2,

再將點(diǎn)C(1,2)代入一次函數(shù)y=ox-3a(ar0)中，

即2=“-3"，解得a=-1,

.,.當(dāng)SzxAOC=3時(shí)，a--\,k=2.

四.二次函數(shù)綜合題(共3小題)

10.(2022?恩施州)在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線)，=-，+c與y軸交于點(diǎn)

P(0,4).

(1)直接寫出拋物線的解析式.

(2)如圖，將拋物線了=-7+c向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，記平移后的拋物線頂點(diǎn)為。，

平移后的拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)8的右側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C.判斷以

B、aQ三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是否為直角三角形，并說明理由.

(3)直線BC與拋物線y=-/+c交于M、N兩點(diǎn)(點(diǎn)N在點(diǎn)M的右側(cè))，請(qǐng)?zhí)骄吭趚

軸上是否存在點(diǎn)T,使得以從N、7三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與AABC相似，若存在，請(qǐng)求

出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

(4)若將拋物線y=-7+c進(jìn)行適當(dāng)?shù)钠揭?，?dāng)平移后的拋物線與直線BC最多只有一

個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)直接寫出拋物線y=-7+c平移的最短距離并求出此時(shí)拋物線的頂點(diǎn)坐

標(biāo).

【解答】解：(1)?.?拋物線y=-7+c與y軸交于點(diǎn)P(0,4),

，c=4,

.?.拋物線的解析式為＞=-/+4；

(2)aBCQ是直角三角形.理由如下：

將拋物線)，=-f+4向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得新拋物線y=-(x+1)2+4,

二平移后的拋物線頂點(diǎn)為0(-1,4),

令x=0,得y=-1+4=3,

：.C(0,3),

令y=O得-(x+1)2+4=0,

解得：Xl=l,X2=-3,

：.B(-3,0),A(1,0),

如圖1,連接3Q,CQ,PQ,

VP(0,4),0(-1,4),

???PQJ_y軸，PQ=1,

VCP=4-3=1,

:?PQ=CP,NCPQ=90°,

：./\CPQ是等腰直角三角形，

，NPCQ=45°,

'：0B=0C=3,NBOC=90°,

/\BOC是等腰直角三角形，

：.ZBCO=45°,

，NBCQ=180°-45°-45°=90°,

...△BCQ是直角三角形.

(3)在x軸上存在點(diǎn)T,使得以氏N、T三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與aABC相似.

「△ABC是銳角三角形，ZABC=45°,

...以B、N、T三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，必須NNBT=N4BC=45°,

即點(diǎn)T在y軸的右側(cè)，

設(shè)T(x,0),且x>0,貝ijBT=x+3,

?：B(-3,0),A(1,0),C(0,3),

/ABC=45°,AB=4,BC=3&,

設(shè)直線BC的解析式為y=fcv+6,

則13k+b=0,

lb=3

解得：0=1,

lb=3

直線BC的解析式為y=x+3,

：.M(0M),N(-1/,5/),

2222

...Byv=_5jV5_x^2=§近

22

①當(dāng)△NBTs^cBA時(shí)，則

BNBC

解得：

3

：.T(1+2代,o)；

3

②當(dāng)△NBTS/XABC時(shí)，則亞=屁，

BNBA

-x+3一啦

^SV^-H/IO

~2~

解得：尸3+3遙,

4

:.T(一3號(hào)運(yùn),0)；

4_

綜上所述，點(diǎn)T的坐標(biāo)T(1+K芯,0)或(3+3函,0).

34

(4)拋物線y=-7+4的頂點(diǎn)為P(0,4),

?.?直線BC的解析式為y=x+3,

???直線4B與y軸的夾角為45°,當(dāng)拋物線沿著垂直直線A8的方向平移到只有1個(gè)公共

點(diǎn)時(shí)，平移距離最小，此時(shí)向右和向下平移距離相等，

設(shè)平移后的拋物線的頂點(diǎn)為P'(f,4-f),

則平移后的拋物線為y=-(x-z)2+4-Z,

由-(x-力2+4-z=x+3,

整理得：/+(1-2?)x+P+L1=0,

???平移后的拋物線與直線BC最多只有一個(gè)公共點(diǎn)，

；.△=(1-2/)2-4(?+?-1)=0,

解得：f=5,

8

平移后的拋物線的頂點(diǎn)為p'(5，紅)，平移的最短距離為百返

11.(2021?恩施州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABC。為正方形，點(diǎn)A,B在x軸

上，拋物線y=/+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B,D(-4,5)兩點(diǎn)，且與直線OC交于另一點(diǎn)￡

(1)求拋物線的解析式；

(2)F為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，。為平面直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)0,F,E,

B為頂點(diǎn)的四邊形是以BE為邊的菱形.若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明

理由；

(3)P為y軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線對(duì)稱軸的垂線，垂足為連接ME,BP,探究

EM+MP+PB是否存在最小值.若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最小值及點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，

請(qǐng)說明理由.

貝1]。8=48-4。=5-4=1,故點(diǎn)8的坐標(biāo)為(1,0),

則(l+b+c=0,解得,b=2,

[16-4b+c=5Ic=-3

故拋物線的表達(dá)式為y=f+2x-3；

(2)存在，理由:

?.?點(diǎn)。、E關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，故點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2,5),

由拋物線的表達(dá)式知，其對(duì)稱軸為直線彳=-1,故設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(-1,〃?),

由點(diǎn)8、E的坐標(biāo)得，BE2=(2-1)2+(5-0)2=26,

設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(s,力，

?.?以點(diǎn)Q,F,E,3為頂點(diǎn)的四邊形是以BE為邊的菱形，

故點(diǎn)B向右平移1個(gè)單位向上平移5個(gè)單位得到點(diǎn)E,則Q(F)向右平移1個(gè)單位向上

平移5個(gè)單位得到點(diǎn)F(Q),且BE=EF(BE=EQ),

fs+l=~lfs-l=-l

則.t+5=m或,t-5=m,

,26=(2+l)2+(m-5)226=(s-2)2+(t-5)2

，m=5±V17s=0

解得，s=-2或，t=5±

t=±V17m=±V22

故點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(-1.5+V17)或(-1,5-717)或(-1,V22)或(-1,-V22)；

(3)存在，理由：

由題意拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)B'(-1,0),將點(diǎn)B'向左平移1個(gè)單位得到點(diǎn)B"

連接交函數(shù)的對(duì)稱軸于點(diǎn)過點(diǎn)M作MP_Ly軸，則點(diǎn)P、M為所求點(diǎn)，此時(shí)

EM+MP+PB為最小，

理由：B"=PM=\,且8'B"〃PM,故四邊形B"B'PM為平行四邊形，則B"

M=B'P=BP,

貝ijEM+MP+PB=EM+1+MB"=B"E+\為最小，

由點(diǎn)8"、E的坐標(biāo)得，直線B"E的表達(dá)式為丫=2(x+2),

4

當(dāng)工=-1時(shí)，y=—(x+2)=區(qū)，故點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-1,—),

-444

22=

則EM+MP+PB的最小值B"￡+1=1(_2-2)+(0-5)VH+1.

12.(2020?恩施州)如圖1,拋物線產(chǎn)-耳+fec+c經(jīng)過點(diǎn)C(6,0),頂點(diǎn)為B,對(duì)稱軸x

=2與x軸相交于點(diǎn)A,￡)為線段BC的中點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式；

(2)P為線段8c上任意一點(diǎn)，M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接MP,以點(diǎn)M為中心，將aMPC

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,記點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E,點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F.當(dāng)直線EF與拋物線y=-

A.^+bx+c只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

4

(3)AMPC在(2)的旋轉(zhuǎn)變換下，若PC=M(如圖2).

①求證：EA=ED.

②當(dāng)點(diǎn)E在(1)所求的拋物線上時(shí)，求線段CM的長(zhǎng).

【解答】解：(1):點(diǎn)C(6,0)在拋物線上，

0=4X36+6b+c,

4

得到6b+c=9,

又；對(duì)稱軸為x=2,

解得b=1,

**?c=3,

二次函數(shù)的解析式為y=[x2+x+3：

(2)當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)C的左側(cè)時(shí)，如圖2-1中:

：拋物線的解析式為y='x2+x+3，對(duì)稱軸為x=2,C(6,0)

點(diǎn)A(2,0),頂點(diǎn)B(2,4),

：.AB=AC=4,

.?.△ABC是等腰直角三角形，

二/1=45°；

?.?將△MPC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△MEF,

：.FM=CM,Z2=Z1=45°,

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m,0),

點(diǎn)FCm,6-in),

又；N2=45°,

直線EF與x軸的夾角為45°,

設(shè)直線EF的解析式為y=x+d,

把點(diǎn)F(〃2,6-m)代入得：6-m=m+b,解得：d=6-2m,

直線EF的解析式為y=x+6-2m,

?.?直線EF與拋物線y=fx2+x+3只有一個(gè)交點(diǎn)，

y=x+6-2m

??19,

y=—x+x+3

整理得:#+3加。，

:.A=b2-4ac=0,解得m=—,

2

點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3,0).

2

當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)C的右側(cè)時(shí)，如下圖:

由圖可知，直線EP與x軸的夾角仍是45°,因此直線EF與拋物線y=-x2+x+3不可

能只有一個(gè)交點(diǎn).

綜上，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3,0）.

2

（3）①當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)C的左側(cè)時(shí)，如下圖，過點(diǎn)P作PGLx軸于點(diǎn)G,過點(diǎn)E作EHLx

：.PG=GC=\,

.?.點(diǎn)G(5,0),

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（加，0）,

???將△MPC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△MER

：?EM=PM,

?：NHEM+NEMH=NGMP+NEMH=9U°,

NHEM=NGMP,

，ZEHM=ZMGP

在△E//M和aMGr中，，ZHEM=ZGMP?

EM=MP

：.4EHM學(xué)/\MGP(A4S),

：.EH=MG=5-m,HM=PG=1,

:.點(diǎn)H(w-1,0),

.,.點(diǎn)E的坐標(biāo)為(〃?-1,5-m)；

,■EA=V(m-1-2)^+(5-m-0)=v2m^-16m+34，

又：￡＞為線段BC的中點(diǎn)，B(2,4),C(6,0),

點(diǎn)D(4,2),

??ED—Q(m-1-4)?+(5-m-2)?~*v2m^-16m+34'

：.EA=ED.

同理，點(diǎn)E的坐標(biāo)仍為（機(jī)-1,5-m）,因此E4=ED

②當(dāng)點(diǎn)E在（1）所求的拋物線y=-x2+x+3上時(shí)，

把E-1,5-機(jī)）代入，整理得：血2-10加+]3=0,

解得：m=5+273^/?=5-273.

ACM=2V3-1或CM=1+2V3.

五.菱形的判定（共1小題）

13.（2020?恩施州）如圖，AE//BF,8。平分/ABC交AE于點(diǎn)￡>,點(diǎn)C在B尸上且BC=

AB,連接CD求證：四邊形A8CQ是菱形.

DE

【解答】證明：：AE〃BF,

NADB=NDBC,

；BO平分/ABC,

：.ZDBC=ZABD,

：.NADB=NABD,

：.AB=AD,

又；AB=BC,

：.AD=BC,

,JAE//BF,S|JAD//BC,

...四邊形ABC。為平行四邊形，

5L'：AB=AD,

...四邊形ABC。為菱形.

六.矩形的性質(zhì)（共1小題）

14.（2021?恩施州）如圖，矩形ABC。的對(duì)角線4C,8。交于點(diǎn)O,且。E〃AC,AE//BD,

連接OE.求證：OELAD.

【解答】證明：???四邊形ABCO為矩形,

：.OA=OD.

'：DE//AC,AE//BD,

四邊形4OOE為平行四邊形.

'：OA=OD,

平行四邊形AODE為菱形.

，OELAD.

七.正方形的性質(zhì)（共1小題）

15.（2022?恩施州）如圖，已知四邊形A8CD是正方形，G為線段AD上任意一點(diǎn)，CE_L

BG于點(diǎn)、E,。尸_LCE于點(diǎn)尸.求證：DF=BE+EF.

【解答】證明：；四邊形A8CO是正方形，

：.BC=CD,NBCD=90°,

"：CELBG,DFLCE,

:.NBEC=NDFC=90°,

ZBCE+ZCBE=90°=NBCE+ZDCF,

：./CBE=/DCF,

在△CBE和△￡>(7尸中，

rZEBC=ZFCD

<ZBEC=ZCFD>

BC=CD

/.△CBE^ADCF(MS),

：.CF=BE,CE=DF,

'：CE=EF+CF,

：.DF=BE+EF.

八.切線的性質(zhì)(共1小題)

16.(2022?恩施州)如圖，P為OO外一點(diǎn)，PA.PB為。。的切線，切點(diǎn)分別為A、B,直

線PO交。。于點(diǎn)。、E,交AB于點(diǎn)C.

(1)求證：AADE^ZPAE.

(2)若/A￡>E=30°,求證：AE=PE.

(3)若PE=4,8=6,求CE的長(zhǎng).

A

???用為。。的切線，

C.AOLPA,

：.ZOAE+ZPAE=9G0.

???￡>￡是。0的直徑，

：.ZDAE=90°,

AZADE+ZAED=90°.

t：OA=OE,

：.ZOAE=NAED,

：.ZADE=ZRAE；

(2)證明：由(1)知：ZADE=ZPAE=30°,

*：ZDAE=90°,

AZAED=90°-ZAD￡=60°.

*/ZAED=ZRAE+ZAPE,

：.ZAPE=ZPAE=30°,

：.AE=PE；

(3)解：設(shè)CE=x,則。E=C￡>+CE=6+x,

：.OA=OE=^-

2

：.OC=OE-CE=^Z2L,

2

0P=0E+PE=1^2L.

2

'：PA,P8為OO的切線，

：.PA=PB,P。平分NAPB,

J.POLAB.

,：PA為。。的切線，

：.AO-LPA,

/.△OAC^AOBA,

??*OA=.O.P..,

OCOA

6+x14+x

,~2~/~2~

*,6-x6+x，

~2~~2~

即：AlOx-24=0.

解得：x=2或-12（不合題意，舍去），

：.CE=2.

九.切線的判定與性質(zhì)（共1小題）

17.（2021?恩施州）如圖,在RtZkAOB中，NAOB=90°,。0與AB相交于點(diǎn)C,與AO

相交于點(diǎn)E,連接CE,己知N4OC=2/ACE.

（1）求證：AB為。。的切線；

（2）若4。=20,50=15,求CE的長(zhǎng).

【解答】（1）證明：；OC=OE,

：.ZOCE=ZOEC,

；/AOC=2/ACE,

AZOCA=ZOCE+ZACE=1(ZOCE+ZOEC+ZAOC)=J^x1R0°=90°,

22

OCA.AB,

為。。的切線；

(2)解：作EH_LAC于"，

'：AO=20,BO=15,

?*-AB=VOA2+OB2=V202+152=25,

..11

?包A?OBJAB,OC，

即920X15-1x25X00

：.OC=12,

：.AE=OA-OE=20-12=8,

:EHLAC,OCLAC,

：.EH//OC,

：./\AEH^/\AOC,

.AE=EH>

,,而oc'

即旦=理,

2012

5

,**BC=VOB2-OC2=V152-122=9,

：.AC=AB-BC=25-9=16,

VA/7=VAE2-EH2=J82-

Vbb

：.CH=AC-AH=\6-絲=組

55

H

E

C

[O/B

一十.圓的綜合題（共1小題）

18.（2020?恩施州）如圖1,AB是。。的直徑，直線AM與相切于點(diǎn)A,直線BN與。。

相切于點(diǎn)B,點(diǎn)C（異于點(diǎn)A）在AM上，點(diǎn)。在。。上，且C￡>=CA,延長(zhǎng)CZ）與BN

相交于點(diǎn)E,連接AO并延長(zhǎng)交BN于點(diǎn)E

（1）求證：CE是。。的切線；

（2）求證：BE=EF；

（3）如圖2,連接E。并延長(zhǎng)與。。分別相交于點(diǎn)G、H,連接8機(jī)若AB=6,4c=4,

求tan/B4E.

【解答】解：（D如圖1中，連接0。

:CD=CA,

：.ZCAD=ZCDA,

'：OA=OD

：.ZOAD^ZODA,

直線AM與。。相切于點(diǎn)4,

AACAO=ZCAD+ZOAD=90a,

二ZODC=ZCDA+ZODA=90°,

；.CE是（DO的切線.

(2)如圖1中，連接

?：OD=OB,

；?/ODB=/OBD,

???CE是OO的切線，8尸是OO的切線,

：.ZOBE=ZODE=90°,

：?/EDB=NEBD,

：.ED=EB,

???4M_LAB,BNLAB,

:./CAD=/BFD,

,/ZCAD=ZCDA=ZEDF,

:?/BFD=/EDF,

：?EF=ED,

：.BE=EF.

(3)如圖2中，過E點(diǎn)作ELJ_AM于L則四邊形ABEL是矩形,

圖2

設(shè)BE=x,則CL=4-x,CE=4+x,

(4+x)2=(4-