2022年河北省秦皇島市成考專升本數(shù)學

(理)自考真題(含答案)

學校:班級:姓名:考號:

一、單選題(30題)

1.若函數(shù)f(x)=ax2+2ax(a>；0),則下列式子正確的是

A.f(-2)>f(1)

B.f(-2)<f(1)

C.f(-2)=f(1)

D.不能確定f(-2)和f⑴的大小

2.集合｛0,1,2,3,4,5｝不含元素1、4的所有子集的個數(shù)是()

A.A.13B.14C.15D.16

C：《+亡=1

3.已知三角形的兩個頂點是橢圓，25I"的兩個焦點，第三個

頂點在C上，則該三角形的周長為()。

A.10B.20C.16D.26

若圓/+/二c與電線x+y=1相切，則c=

(A)-(B)I(C)2(D)4

4.

5.

(8)Mx)-e\Wl]lnr/(l)/(2)-/(n)]

(B)n!(C)|(T>)

6.在等比數(shù)列｛an｝中，若a4a5=6,則a2a3a6a7=0

A.12B.36C.24D.72

7.5個人站成一排照相，甲乙兩個恰好站在兩邊的概率是（）

A.l/10B.l/20C.l/60D.1/120

8.

A.1?1；上.4：

B.

C.-

D.

用0.1,2.3這四個數(shù)字,組成的沒有重復數(shù)字的四位數(shù)共有（）

（A）24個'（B）18個

9.（C）12個（D）10個

10.在一張紙上有5個白色的點，7個紅色的點，其中沒有3個點在同

一條直線上，由不同顏色的兩個點所連直線的條數(shù)為（）

A.A.M慎-再

B.

C.'

D.

11.已知兩條異面直線m；n,且m在平面a內(nèi)，n在平面0內(nèi)，設(shè)

甲：m//p,n//a；乙：平面a〃平面小則()

A.A.甲為乙的必要但非充分條件

B.甲為乙的充分但非必要條件

C.甲非乙的充分也非必要條件

D.甲為乙的充分必要條件

12.設(shè)函數(shù)f(x)=x2-l,則f(x+2)=()

A.A.x2+4x+5

B.x2+4x+3

C.x2+2x+5

D.x2+2x+3

13.

已知a,b為任意正實數(shù)，則下列等式中恒成立的是()

A.ab=ba

B.

D.4=時

14.若平面向量a=(3,x),B=(4,-3),且2_1_1),則x的值等于

()

A.A.lB.2C.3D.4

已知/FF7r則人工)一

15.()

li1+]

A.A.

B.

1—~，=‘-i

C.

1+1■?+1

D.

16.設(shè)a,b是兩條不同的直線，a,0是兩個不同的平面，以下四個命

題中正確的命題的個數(shù)是（）

①若a//a.a_L?,則a1R

②若alb,a1a,bI0,則aI區(qū)

③若aLS，aLS,則a//a或aUr.

④若a_Lb，a_La.6（ia■則b//a,

A.A.l個B.2個C.3個D.4個

3人坐在一排8個座位上，若每人的左右兩邊都有空座位，則坐法共有（）

（A）6種（B）12種

17.（C）18種（D）24種

18設(shè)sina8Sa=g?且彳'VorCm.mcosa—sina=

A.A.-13/2BJ3/2C.3/4D.-3/4

19()

A.A.3B.4C.5D.6

已知函數(shù)y=（*）z（-8<xv+8）,則該函數(shù)

（A）是奇函數(shù)，且在（-8,0）上單調(diào)增加

（B）是偶函數(shù)，且在（-8,0）上單.調(diào)減少

（C）是奇函數(shù)，且在（0,+8）上單調(diào)增加

20.1D）是偶函數(shù)，且在（0,+8）上單調(diào)減少

21.右圖是二次函數(shù)y=x2+bx+c的部分圖像，則（）。

A.b>0,c>0B.b>0,c<0C.b<0,c>0D.b<0,c<0

A.lB.l/2C.OD.oo

直線l過定點（1,3）,且與兩坐標軸正向所圉成的三角形面積等于6,則/的方程是

(A)3*-y=0(B)3z+y=6

23.(C)??3y=10(D)y=3-3*

24.若函數(shù)f(x)=x2+2(a—l)x+2在(-oo,4)上是減函數(shù)，則()

A.A.a=-3B.a>3C.a<-3D.a>-3

25.'"()

A.A.(1,+oo)B.(-oo,-1)C.(-l,O)U(1,+oo)D.(-oo,-1)U(1,

+00)

26.在AABC中，若AB=3,A=45°,C=30°,貝！JBC=()。

A.73B.2V3

C.372D.烏

27.已知|a|=2,|b|=l,a與b的夾角為兀/3,那么向量m=a-4b的模為

()

A.--

B.2"

C.6

D.12

28.不等式卜7的解集為()

A.{x|x>0或x<-1}B.{x|-1<x<0}C.{x|x>-1}D.{x|x<0}

設(shè)函數(shù)=1?log/,則{2)=()

(A)l(B)-1

(C)2

9Q⑴號

30.下列函數(shù)中，在」為減函數(shù)的是0

A.y=ln(3x+1)B.y=x+1C.y=5sinxD.y=4-2x

二、填空題（20題）

31.

已知/(工)=。"Q>O.aWl).Uf(log-10)=J?則a=_______________.

32.一個圓柱的底面半徑和高都與一個球的直徑相等，則該圓柱與該球

的體積的比為

33.直線3x+4y-12=0與z軸、y軸分別交于A,B兩點，O為坐標原

點，則△OAB的周長為

34.將二次函數(shù)y=l/3(x-2)2-4的圖像先向上平移三個單位，再向左平移

五個單位，所得圖像對應(yīng)的二次函數(shù)解析式為.

35.過圓x2+Y2=25上一點M(-3,4)作該圓的切線，則此切線方程為

36.已知14三+/<2，合一zy+J值域為

37.1g(tan43°tan45°tan47°)=.

38化簡而+QP+MN-MP=.

39.

40.I

已知雙曲線4-g=l的離心率為2,咐它的兩條斯近線所夾的彼角為

“b

41.

42.設(shè)正三角形的一個頂點在原點，且關(guān)于x軸對稱，另外兩個頂點在拋

物線v-'上，則此三角形的邊長為.

43.從一批某種型號的電子元件中隨機抽取樣本進行使用壽命測試，測得

數(shù)據(jù)如下（單位：h）:

245256247255249260

則該樣本的標準差s=（保留小數(shù)點后一位）.

44.函數(shù)f（x）=cos2x+cos2x的最大值為

過圓/+/=25上一點及（-3,4）作該圓的切線，則此切線方程為.

-

46.1g（tan43°tan45°tan470）=.

47

48.方程

從工2+八丫2+口工+￡?+尸=0（人/0）滿足條件（方）十（2A）A0

它的圖像是

等比數(shù)列｛a力中，若以2=8,公比為則的=

49.4----------?

—?

50n.

三、簡答題（10題）

51.（本小題滿分13分）

從地面上A點處測山頂?shù)难鼋菫閍,沿A至山底直線前行a米到B點

處，又測得山頂?shù)难鼋菫锽，求山高.

52.

（本小題滿分12分）

已知橢WI的離心率為與，且該橢例與雙曲好d=1焦點相同?求橢圓的標準

和準線方程.

53.

（本小題滿分13分）

如圖，已知橢圓G：三+，'=1與雙曲線G：號-丁=1(?>!).

aa

(I)設(shè).±分別是G.G的離心率,證明e,e3<1;

⑵設(shè)4A是G長軸的兩個端點/(頡,九)(1*。1>。)在J上，直線P4與C1的

另一個交點為Q,直線產(chǎn)名與G的另一個交點為&.證明QR平行于產(chǎn)軸.

(23)(本小題滿分12分)

設(shè)函數(shù)/?)=/-2^+3.

(I)求曲線-2/+3在點(2,11)處的切線方程;

(H)求函數(shù)〃口的單調(diào)區(qū)間.

55.(本小題滿分12分)

分別求曲線y=-3x2+2x+4上滿足下列條件的點

⑴過這些點的切線與x軸平行；

⑵過這些點的切線與直線y=x平行.

56.

(24)(本小題滿分12分)

在中,4=45。,8=60。,=2,求△ABC的面積.(精確到0.01)

57.(本小題滿分13分)

三角形兩邊之和為10,其夾角的余弦是方程2x2-3x-2=o的根，求這個

三角形周長的最小值.

58.

(本小題滿分12分)

在(a%+l)7的展開式中,%3的系數(shù)是％2的系數(shù)與Z4的系數(shù)的等差中項，

若實數(shù)a>l,求a的值.

59.

(本小題滿分12分)

已知等比數(shù)列｛an｝的各項都是正數(shù)，?1=2,前3項和為14.

(1)求｛an｝的通項公式；

(2)設(shè)bn=log2an,求數(shù)列｛bn｝的前20項的和.

60.

(本小題滿分12分)

已知等差數(shù)列Ia1中,%=9,a,=0,

(I)求數(shù)列l(wèi)a」的通項公式?

(2)當n為何值時.數(shù)列！的前n頁和S*取得最大優(yōu),并求出該最大值.

四、解答題(10題)

61.設(shè)A,B為二次函數(shù)y=-3x2-2x+a的圖象與x軸的兩個不同的交

點，點P為拋物線的頂點，當^PAB為等腰直角三角形時，求a的值.

62.

已知△ABC中，A=30°,AC=BC=1.求

(I)AB；

(IDAABC的面積.

63.(24)(本小■春分12分)

如圖,已知HBQG：4-?與雙曲線G：51-/=1(。＞1).

a0

(I)設(shè)6分別*C,￡的離心率,證明＜1；

(U)設(shè)人H姑％長軸的兩個端點,(Ix。I＞。)在G上，口統(tǒng)與G的另

一個交點為Q,直線尸4與C,的另一個交點為凡證明QR舉行于，軸

64.已知函數(shù)f(x)=2x3-12x+l,求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值.

65.

已知等比數(shù)列｛uj的各項都是正數(shù)必=2.前3項和為14.

(I)求《呢》的通項公式；

CII)設(shè)/，」:1。&/.求數(shù)列也)的前20項和.

66.從橢圓上x2+2y2=2的右焦點引-條傾斜45。的直線，以這條直線與橢

圓的兩個交點P、Q及橢圓中心0為頂點，組成△OPQ.

(I)求△OPQ的周長；

(11)求4(^(3的面積.

67.甲2010年初向銀行貸款10萬元，年利率5%(按復利計算(即本

年利息計入次年的本金生息))，若這筆貸款分10次等額歸還，從

2011年初歸還x萬元，設(shè)2011年、2012年...2020年的欠款分別為

4必、…如'試求出?,必,推測勾。并由此算出*的近似

值(精確到元)

68.設(shè)函數(shù)f(x)是一次函數(shù)，f⑻=15,且f(2),f(5),f(14)成等比數(shù)列.

(I)求f(x);

(H)求f(l)+f(2)+…+f(50).

已知△X8C中，=30°,BC=\,AB=y/3AC.

(I)求48:

6911，求八/8。的面積.

70.已知aABC三個頂點的坐標分別為A(2,1),B(L0),C(3,0)

求：

(I)ZB的正弦值；

(II)AABC的面積

五、單選題(2題)

(x>o)

71.已知\-rf，則f(x)=

A.

1+，/?￡￡

B.r

c.

I十，

n

72.下列法函數(shù)中，為科近敗的顯

醺蹣躥

六、單選題（1題）

73.不等式濘M0的解集是

A.A.卜K。<4}

B.H江…}

C』」*WG或，叫

D.kl*<5或1M4

參考答案

l.B

解法1由a>0,二次函數(shù)的圖像開口向上，對稱軸為工=工=-1，所以

解法2,f(-2)=4a-4a=0,f(l)=a+2a=3a>0,所以f(-2)<f(l).

【解題指要】本題考查一元二次函數(shù)的知識.在研究二次函數(shù)的過程

中，要充分利用二次函數(shù)的圖像輔助研究.

2.D

3.C

該小題主要考查的知識點為橢圓的性質(zhì).

林圓的兩個焦點的距離為2c=

2Va--bz=6.又因為第三個項點在C上，則該

點與兩個焦點間的距離的和為2a=2X5=10.則

［考試指導］三角形的周長為10+6=16.

4.A

5.D

6.Ba2a3a6a7=a2a7*a3a6=(a4a5尸=36.

7.A

8.A

9.B

10.C

ll.D

兩條異面直線m,n,且m在平面a內(nèi)，n在平面0內(nèi)，因為m/4,

n//a<-->平面a〃平面小則甲為乙的充分必要條件.(答案為D)

12.B

13.D

14.D

15.D

16.C

只有①不正確.（答案為C）

17.D

18.A

1?

(-含ino〉'=1-2sirtoxxMW1-2Xw丁.

由孑<0<卡?可知cosYsiM,所以COSQ—sg=—%(答案為A)

19.C

(j)_,-4,2lg(^3+75+>/3-75)-lg<(3+店+v/T-VS),=lglO=l,

4+1-5.?**C)

20.D

21.A

該小題主要考查的知識點為二次函數(shù)圖像.【考試指導】由圖像可

知，當x=0時：y=c>0,也就是圖像與y軸的交點；圖像的對稱軸1=-

b/2<0,貝!|b>0.

22.B

本題考查函數(shù)的極限及求解方法.在解題過程中，如果直接代入發(fā)現(xiàn)極

限值不存在，則需要對原函數(shù)的表達式進行變形，然后再代入求極限

值（極限存在的情況）.【解析】叫號二回Q-工％1S=四±=+,

23.B

24.C

25.C

1_1/一1

由工>一得.z---->0.----->0解得T或一T（答案為C）

x?rr?>11V<0.

26.C

該小題主要考查的知識點為三角形的正弦定理.【考試指導】

由正弦定理可得：弊=旦,即

csinCsin4r

3BC

I=方=比=3反

2T

27.B

B【U析】冊-8ab-16〃?

又aJ=0|*=4.^="b'-1.

O6=2X1XCOS^--1.

則m4-4-8X14-16-12.

WJIO-4M'=12,M=a-4kl-2V3.

28.A

L|1I】4I1

X?—>—X+->—或Jt+一〈——

222222,即x>0或xV-L故絕對值不等式的解集

為{x|x>0或xV-1}.

29.B

30.D

A、B選項在其定義域上為增函數(shù)，選項C在/上為增函數(shù)，只有

D選項在實數(shù)域上為減函數(shù).

31.

IA*A1A1

由/(logJO)=a噫一】二小8.?aa.Z得a=20.(答案為20)

32.

33.

34.y=l/3(x+3)2-l由：y=l/3(x-2)2-4圖像向上平移3個單位得：：y=l/3(x-

2)2-1的圖像再向左平移5個單位，得y=l/3(x-2+5)2-l的圖像.

35.

36.

傘工=cos<r?y=sina.

則/y+y2=1—cosasina

.sin2a

川一『

當sin2a=1時.】一絲在=},

r-?r_y+y:取到最小值J.

同理：/+J42.

令.r=>/2cosJ9.5'=y2sin^.

則J*?■工）+>2=2—2co淮i叩=2-sin20.

當sin2/?=—1時.萬一+y］取到最大

值3.

37.0Ig（tan43°tan450tan470）=Ig（tan430tan450cot430）=Igtan45°=Igl=0.

38.

39.

「八次（、為飛S:侑形.八上萬.我所成的也為6。'.余弦值為:?.（答案為

40.

41.

60。解析:由雙曲線性質(zhì)，得離心率e=上=2nJ=4c上"=在則所求悅角為】80"-

?aoc

Z&rutiinn=60°.

42.12

ft4（4.?>為正三*影的一個饃晨.旦注X"上才,8'"1?

/J?I

則x?=mco?30*?m.-m?in30*=y?".

可JLA淖m.號》&“3-m上,從扁母'7cx號>"E⑵

2L

43.s=5.4（使用科學計算器計算）.（答案為5.4）

44.

3i-4v+25=0

-

46.1g(tan43°tan450tan470)=lg(tan430tan450cot430)=lgtan45°=lgl=0

47.

48.

【答案】點（-梟-同

Ar：+A/++Ey+尸=0.①

將①的左邊配方.得

G+3)'+(y+行

（初’+（附二宗

.ME'(圻-￡=。.

一我

方程①只有實敷解

尸一白

即它的圖像是以（一左一同為3g心M=0

的圄.

所以表示一個點（一景_給.也稱為點1s

49.

1/8

【解析】該小題主要考查的知識點為等比數(shù)列.

。5=azqS2=8X）=1

【考試指導】8?

50.

X>-2,且XW-l

51.解

設(shè)山高CD=x則RtA4Z)C中,AD=xco<a,

Rt△BDC中.BD=xcoi^,

禽為Xi?=AD-BD.所以a=xcota-xcotB所以x=--------

cota-cotfl

答:山嬴為

cola-coip

52.

由已知可得橢醐焦點為"（-6,0）JX6.0）.……3分

設(shè)橢強的標準方程為3+營=1（a>6>0）,則

J=+5,

營怎解得｛12：”…6分

,a3

所以橢圓的標準方程為惹+&I.……9分

桶OS的準線方程為工=*……12分

53.證明：（1）由已知得

又0>1.可得0<（工）'<1.所以

a

將①兩邊平方.化前得

(Xj,+a)Jyf=(X|+a)2yo.④

由②(3)分別得y：=上(￡-°J),y：=1(。'~*i).

aa

代人④整理得

同理可得與=￡

*。

所以凡=4'0,所以3?平行于，軸?

(23)解：(I)/(4)=4/_4%

54.八2)=24,

所求切線方程為y-11=24（x-2）,BP24x-y-37=0.6分

（口）令/（*）=0,解得

4]=-19x2=0,%3=1.

當X變化時/（H）J（x）的變化情況如下表：

X-1(-1,0)0(0,1)1(1,+8)

7(*)-0?0-0

2Z32Z

人工）的單調(diào)增區(qū)間為（-1,0）,（1,+8）,單調(diào)減區(qū)間為（-8,-1）,（0,

1）.……12分

55.

（1）設(shè)所求點為（工。.%）.

,'=-6父+2，=-6x?+2

由于二軸所在直線的斜率為,則-&2=0.f

06+3

因此To=-3?（y）1-?-2?y+4=y.

又點（3.號）不在x軸上.故為所求.

（2）設(shè)所求為點

由（1）.川=-6%+2.

由于y=N的斜率為1,則-6與+2=1M。="

因此為=-3?白+2?/+4

又點（高為不在直線y=x上?故為所求.

(24)解：由正弦定理可知

BCAB

而7=石/則Mll

一品

2x"*

x48xsin4502

8c=—=――-:2回1).

sm75°R/

-4~

SA4SC=^-xBCxABxsinB

=yx2(^-l)X2x?

=3-K

56.T27.

57.

設(shè)三角形：邊分別為a,6.c且。+6=10,則B=10-a.

方程4-3x-2=0可化為(2x+l)(x-2)=0,所以、產(chǎn)-y.*i=2.

因為a、b的夾角為。，且IcosdlW1,所以cos<?=-y.

由余弦定理，得

c3=J+(10-a)，-2a(10-a)x(-y)

=2a'+100-20a+10a-aJ=aJ-10a+100

=(a-5)2+75.

因為(a-5),M0,

所以當a-5=0,即a=5H"的值最小,其值為衣=5笈

又因為a+〃=10,所以c取得最小值,a+b+。也取得最小值.

因此所求為10+5A

由于(ax+I)'=(1+ax)’.

可見.晨開式中的系數(shù)分別為C；a‘，C》,.Ga：

由巳知,2C；aS=C；a'+C；a’.

”7x6x57x67x6x52<1.八.c

乂。>1,則2x,?a=)?-?<J5a-10a+3=0.

.n入4t

58.

59.

(1)設(shè)等比數(shù)列'a.i的公比為g,則2+2g+2『=14.

即g'+g-6=0,

所以gi=2,%=-3(舍去).

通項公式為a.=2*.

(2)6.slogja.=log}2*=n,

設(shè)%=%+&+…+%

=I+2+,,,+20

=-^-x2Ox(2O+l)=210.

60.

(I)設(shè)等比數(shù)列l(wèi)a.l的公差為d,由已知%+%=0,得2.+9d=0.

又已知％=9,所以d=-2.

得數(shù)列Ia.I的通項公式為a.=9-2(i?-l).EPa.=Il-2n.

(2)蚣！||a.|的前n項和S.=/(9+ll-2/j)=-n5+10n=-(n-5)J+25.

則當n=5時.S.取得最大值為25.

61

設(shè)兩個交點橫坐場分別為工，,占,則4,4為二次方程-3d-2x+a

=0的兩個根，由根與系數(shù)的關(guān)系.得j+zL—|?出?z嚴一拳

從而得IABI=|xi-x?I=y/(x\4-Xj),—4xx*=-1-，T干3a.

1l)3

P為拋物線or點屋保為《T?a+f.PC垂直于，軸,|PCI=la+孑I.

由APAB為等"直角三角形可知IABI-2IPCI.

即■—■〃+3a=21a+得a=?；騛=—T.

Jso

因為拋物線與X軸有兩個交點，則

△=4+l2aX),解得a＞一彳.故a=0.

62.

(I)由已知得C=120°

AB=+BC=2AC?BC?cosC

=714-1-2cosl20a

(II)設(shè)CD為AB邊上的高，那么

CD=AC?sin30°=1/2

AABC的面積為

T，AB-CD=-1-X73X—

4224,

63.

（24）本小購灣分12分.

證明:（I）由已知如

一?守?隼工罕.Ji.小，……3分

又a>l,可得0<（工）?<1.所以ie,<l.……5分

0

（D）設(shè)Q5,力）?以與?力）由題設(shè).

同理可將X,-W.

所以！工町,0.所以QA平行于y輸……12分

64.

/<x）=67-12,令/（x）=0,

可得=V2-fXi——-Ji,

當HV-原'或工時,/'（工）>0；

當一&.V工<我時，f'（工）<0；

故/（X）的單調(diào)增區(qū)間是（一8,一展］,（6,+8）,

單調(diào)減區(qū)間是（一方■，企■1.

當X=一&時，函數(shù)取得極大值/（-V2）=872+1；

當了=廓時，函數(shù)取得極小值/（V2）=-8724-1.

65.

CI）設(shè)等比數(shù)列的公比為”,由M波可得2T2g+2,-14,即</4g-6=Q.

所以S=2,%=-3（舍去）.該數(shù)列的通項公式為j=2-

（II）因為4-lo&a.川。&2"-"，

設(shè)T?="+比,…+%=1+2+…42。-9X20X（20+1）=210.

66.

■■方程叟電為9■+千?1（的網(wǎng)》?

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