第三節(jié)圓的方程第九章課標(biāo)解讀1.了解確定圓的幾何要素,在平面直角坐標(biāo)系中,探索并掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.2.能根據(jù)圓的方程解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題.強基礎(chǔ)增分策略知識梳理1.圓的定義及方程定義平面上到

的距離等于

的點的集合(軌跡)叫做圓

標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)

確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的三個要素:圓心的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)及半徑圓心:

半徑:

一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)

圓的一般方程形式上的特點:(1)x2項和y2項的系數(shù)相等且為1;(2)沒有xy項圓心:(-)半徑:

定點

定長

(a,b)r微思考寫出圓x2+y2+Dx+Ey+F=0和兩坐標(biāo)軸都相切的條件.2.點與圓的位置關(guān)系已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),點M(x0,y0),(1)(x0-a)2+(y0-b)2

r2?點M在圓上;

(2)(x0-a)2+(y0-b)2

r2?點M在圓外;

(3)(x0-a)2+(y0-b)2

r2?點M在圓內(nèi).

=><常用結(jié)論1.確定圓的方程時,常用到的圓的三個性質(zhì)(1)圓心在過切點且與切線垂直的直線上;(2)圓心在任一弦的中垂線上;(3)兩圓內(nèi)切或外切時,切點與兩圓圓心共線.2.以A(x1,y1),B(x2,y2)為直徑端點的圓的方程為(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.對點演練1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)已知圓的方程為x2+y2-2y=0,過點A(1,2)作該圓的切線只有一條.(

)(2)方程(x+a)2+(y+b)2=t2(t∈R)表示圓心為(a,b),半徑為t的圓.(

)×××√2.設(shè)甲:實數(shù)a<3;乙:方程x2+y2-x+3y+a=0是圓,則甲是乙的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案

B解析若方程x2+y2-x+3y+a=0表示圓,3.半徑為3,圓心的縱、橫坐標(biāo)相等且與兩條坐標(biāo)軸都相切的圓的方程為

.

答案

(x-3)2+(y-3)2=9或(x+3)2+(y+3)2=9

解析

由題意可設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,a),則圓的方程為(x-a)2+(y-a)2=9,且|a|=r=3,得a=±3.故所求圓的方程為(x-3)2+(y-3)2=9或(x+3)2+(y+3)2=9.增素能精準(zhǔn)突破考點一求圓的方程典例突破例1.(1)以直線ax-y-3-a=0(a∈R)過的定點為圓心,2為半徑的圓的方程是(

)A.x2+y2-2x+6y+6=0 B.x2+y2+2x-6y+6=0C.x2+y2+6x-2y+6=0 D.x2+y2-6x+2y+6=0(2)已知圓C與x軸的正半軸相切于點A,圓心在直線y=2x上.若點A在直線x-y-4=0的左上方且到該直線的距離等于,則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(

)A.(x-2)2+(y+4)2=4 B.(x+2)2+(y+4)2=16C.(x-2)2+(y-4)2=4 D.(x-2)2+(y-4)2=16答案

(1)A

(2)D解析

(1)因為直線方程為ax-y-3-a=0(a∈R),即a(x-1)-y-3=0(a∈R),所以直線過定點(1,-3),所以圓的方程為(x-1)2+(y+3)2=4,即x2+y2-2x+6y+6=0.故選A.(2)因為圓C的圓心在直線y=2x上,所以可設(shè)C(a,2a).因為圓C與x軸正半軸相切于點A,所以a>0,且圓C的半徑r=2a,A(a,0).所以A(2,0)或A(6,0).因為A在直線x-y-4=0的左上方,所以A(2,0),所以C(2,4),r=4,所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y-4)2=16.故選D.方法總結(jié)求圓的方程的兩種方法

對點訓(xùn)練1(1)設(shè)點M在直線2x+y-1=0上,點(3,0)和(0,1)均在☉M上,則☉M的方程為

.

(2)過四點(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三點的一個圓的方程為

.

即圓心M的坐標(biāo)為(1,-1).設(shè)☉M的半徑為r,則r2=(3-1)2+12=5.故所求☉M的方程為(x-1)2+(y+1)2=5.(方法2)設(shè)圓心M(a,1-2a),☉M的半徑為r,則r2=(a-3)2+(1-2a)2=(a-0)2+(1-2a-1)2,整理可得-10a+10=0,即a=1.則圓心M(1,-1),故所求☉M的方程為(x-1)2+(y+1)2=5.(2)(方法1)若圓過點(0,0),(4,0),(-1,1),則設(shè)圓心為(a1,b1),半徑為r1,(方法2)設(shè)點A(0,0),B(4,0),C(-1,1),D(4,2),圓過其中三點共有四種情況.若圓過A,B,C三點,則線段AB的垂直平分線方程為x=2,線段AC的垂直平考點二與圓有關(guān)的軌跡問題典例突破例2.已知直角三角形ABC的斜邊為AB,且點A(-1,0),B(3,0).(1)求直角頂點C的軌跡方程;(2)求直角邊BC的中點M的軌跡方程.方法總結(jié)求與圓有關(guān)的軌跡問題的常用方法

對點訓(xùn)練2(1)若動點P到點A(8,0)的距離是到點B(2,0)的距離的2倍,則動點P的軌跡方程為(

)A.x2+y2=32 B.x2+y2=16C.(x-1)2+y2=16 D.x2+(y-1)2=16(2)已知圓C:(x-1)2+(y-1)2=9,過點A(2,3)作圓C的任意弦,則這些弦的中點P的軌跡方程為

.

考點三與圓有關(guān)的最值問題(多考向探究)考向1.借助目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求最值典例突破例3.(1)(2023安徽安慶模擬)已知點A(-4,1)在直線l:(2m+1)x-(m-1)y-m-5=0(m∈R)上的射影為點B,則點B到點P(3,-1)距離的最大值為(

)(2)(2023全國乙,文11)已知x,y滿足x2+y2-4x-2y-4=0,則x-y的最大值是(

)答案

(1)C

(2)C

解析

(1)將直線l的方程整理得(2x-y-1)m+(x+y-5)=0,直線l恒過點C(2,3).由點A(-4,1)在直線l:(2m+1)x-(m-1)y-m-5=0(m∈R)上的射影為點B,知AB⊥BC,則點B在以線段AC為直徑的圓上,該圓的圓心坐標(biāo)為D(-1,2),(2)(方法1)由x2+y2-4x-2y-4=0,得(x-2)2+(y-1)2=9,該方程表示圓心為(2,1),半徑為3的圓.設(shè)x-y=u,則x-y-u=0,且由題意知直線x-y-u=0與圓(x-2)2+(y-1)2=9有公共點,方法總結(jié)與圓有關(guān)的最值問題的三種幾何轉(zhuǎn)化法

答案

D

對點訓(xùn)練3(2023北京順義一模)已知點A,B在圓O:x2+y2=16上,且|AB|=4,P為圓O上任意一點,則

的最小值為(

)A.0 B.-12 C.-18 D.-24考向2.利用對稱性求最值典例突破例4.已知圓C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圓C2:(x-3)2+(y-4)2=9,點M,點N分別是圓C1,圓C2上的動點,點P為x軸上的動點,則|PM|+|PN|的最小值為(

)答案

A

解析

由題可知圓心C1(2,3),圓心C2(3,4).因為點P是x軸上任意一點,所以|PM|的最小值為|PC1|-1,同理,|PN|的最小值為|PC2|-3,所以|PM|+|PN|的最小值為|PC1|+|PC2|-4.作C1關(guān)于x軸的對稱點C'1(2,-3)(圖略),名師點析形如|PA|+|PQ|形式的與圓有關(guān)的折線段問題(其中P,Q均為動點),要立足兩點:(1)減少動點的個數(shù);(2)“曲化直”,即將折線段轉(zhuǎn)化為同一直線上的兩線段之和,一般要通過對稱性解決.對點訓(xùn)練4已知圓O:x2+y2=1,A(3,3),點P在直線l:x-y=2上運動,則|PA|+|PO|的最小值為

.

解析

點A與點O在直線l:x-y=2的同側(cè),設(shè)點O關(guān)于直線l:x-y=2的對稱點為O'(x',y').∵kOO'=-1,OO'所在直線方程為y=-x.考向3.建立函數(shù)關(guān)系求最值典例突破例5.設(shè)點P(x,y)是圓x2+(y-3)2=1上的動點