2024年高考數學終極押題密卷3（全國乙卷文科）一．選擇題（共12小題）1．已知集合A＝{x|x2﹣2＜0}，且a∈A，則a可以為（）A．﹣2 B．﹣1 C． D．2．在復平面內，復數對應的點的坐標是（3，﹣1），則z＝（）A．1+3i B．3+i C．﹣3+i D．﹣1﹣3i3．下列函數中是增函數的為（）A．f（x）＝﹣x B．f（x）＝（）x C．f（x）＝x2 D．f（x）＝4．養(yǎng)過蜂的人都知道，蜂后產的卵若能受精則孵化為雌蜂，若不能受精則孵化為雄蜂，即雄蜂是有母無父，雌蜂是有父有母的，因此一只雄蜂的第n代祖先數目如圖所示：若用Fn表示一只雄蜂第n代祖先的個數，給出下列結論，其中正確的是（）A．F8+F10＞F11 B．F9+F10＜F8+F11 C．F9+F11＜2F10 D．4F6+F10＞F115．已知球O的一個截面的面積為2π，球心O到該截面的距離比球的半徑小1，則球O的表面積為（）A．8π B．9π C．12π D．16π6．執(zhí)行如圖所示的程序，輸出S的值為（）A．﹣228 B．﹣100 C．﹣64 D．﹣367．在△ABC中，，b＝2c，，則S△ABC＝（）A． B．4 C． D．8．已知等差數列{an}的前30項中奇數項的和為A，偶數項的和為B，且B﹣A＝45，2A＝B+615，則an＝（）A．3n﹣2 B．3n﹣1 C．3n+1 D．3n+29．過雙曲線的右焦點F作一條漸近線的垂線，垂足為A．若∠AFO＝2∠AOF（O為坐標原點），則該雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．或210．正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面邊長是4，側棱長是6，M，N分別為BB1，CC1的中點，若點P是三棱柱內（含棱柱的表面）的動點，MP∥平面AB1N，則動點P的軌跡面積為（）A． B．5 C． D．11．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，（a+c）（sinA﹣sinC）+bsinB＝asinB，b+2a＝4，，則線段CD長度的最小值為（）A．2 B． C．3 D．12．已知函數f（x）的定義域為R，f（2x﹣2）為偶函數，f（x﹣3）+f（﹣x+1）＝0，當x∈[﹣2，﹣1]時，（a＞0且a≠1），且f（﹣2）＝4．則＝（）A．28 B．32 C．36 D．40二．填空題（共4小題）13．已知函數，則f（f（﹣3））＝．14．在△ABC中，點D是BC的中點，點E在AD上，且，，則λx﹣y＝．15．過直線x+y﹣4＝0上的任意一點M作圓C：x2+y2＝4的兩條切線，切點分別為A，B，則點N（cosθ，sinθ）（0≤θ＜2π）到直線AB距離的最大值為．16．已知f（x）是定義在（0，+∞）上的可導函數，若xf'（x）﹣f（x）＝，f（1）＝﹣，且x≥1時，f（xex）≤f（x+lnx﹣a）恒成立，則a的取值范圍是．三．解答題（共7小題）17．已知數列{an}的前n項和為Sn，當n≥2時，Sn（Sn﹣an+1）＝Sn﹣1．（1）證明：數列是等差數列；（2）若，數列的前n項和為Tn，若恒成立，求正整數m的最大值．18．2022年，隨著最低工資標準提高，商品價格上漲，每個家庭的日常消費也隨著提高，某社會機構隨機調查了200個家庭的日常消費金額并進行了統(tǒng)計整理，得到數據如表：消費金額（千元）[2，3）[3，4）[4，5）[5，6）[6，7）[7，8]人數406040302010（1）求這200個家庭消費金額的平均數及方差s2（同一區(qū)間的花費用區(qū)間的中點值替代）；（2）通過進一步調查發(fā)現(xiàn)這200個家庭中收入不低于5千的有100個家庭，這些家庭成員到商場購物時駐留時間互不相同，通過調查得到如表聯(lián)表：駐留時間少于1小時駐留時間不少于1小時低于5千7030不低于5千4060能否有99.9%的把握認為家庭成員在商場駐留的時間與家庭收入有關？附：，n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.0500.0100.001k03.8416.63510.82819．如圖，四邊形ACC1A1與四邊形BCC1B1是全等的矩形，，若P是AA1的中點．（1）求證：平面PB1C1⊥平面PB1C；（2）如果AC＝1，求三棱錐B1﹣A1C1P與多面體ABCPB1的體積比值．20．已知拋物線y2＝2px（x＞0）的焦點F到準線的距離與雙曲線的離心率相等．（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）若點P（t，﹣2）在拋物線上，過P作拋物線的兩弦PM與PN，若兩弦所在直線的斜率之積為﹣4，求證：直線MN過定點．21．已知函數f（x）＝xlnx﹣x﹣ax2，a∈R．（Ⅰ）當a＝時，證明：f（x）≤0；（Ⅱ）若函數H（x）＝f（x）﹣（x﹣1）ex+ax2+x在（0，+∞）上單調遞減，求a的取值范圍．22．在平面直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線C1的極坐標方程為．（1）求直線C1的一個參數方程；（2）在極坐標系中，方程ρ＝3﹣3sinθ表示曲線C2，若直線C1與曲線C2相交于M，O，N三點，求線段MN的長．23．已知函數f（x）＝|2x﹣2|+|x+1|．（1）求f（x）≥5的解集；（2）設f（x）的最小值為m，若正數a，b，c滿足a+b+c＝m，求ab+ac+bc的最大值．

2024年菁優(yōu)高考數學終極押題密卷3（全國乙卷文科）參考答案與試題解析一．選擇題（共12小題）1．已知集合A＝{x|x2﹣2＜0}，且a∈A，則a可以為（）A．﹣2 B．﹣1 C． D．【考點】元素與集合關系的判斷．【專題】轉化思想；綜合法；集合；數學運算．【答案】B【分析】根據不等式的解法求出集合A，然后求出a的范圍，再對各個選項逐個判斷即可求解．【解答】解：由題意可得集合A＝{x|﹣＜x＜}，因為a∈A，所以﹣＜a＜，故選項B正確，ACD錯誤．故選：B．【點評】本題考查了元素與集合的關系，屬于基礎題．2．在復平面內，復數對應的點的坐標是（3，﹣1），則z＝（）A．1+3i B．3+i C．﹣3+i D．﹣1﹣3i【考點】復數的代數表示法及其幾何意義；復數的運算．【專題】轉化思想；轉化法；數系的擴充和復數；數學運算．【答案】A【分析】根據復數的幾何意義得到，結合復數的運算法則，即可求解．【解答】解：由題意，復平面內，復數對應的點的坐標是（3，﹣1），可得，所以z＝（3﹣i）?i＝1+3i．故選：A．【點評】本題主要考查復數的四則運算，以及復數的幾何意義，屬于基礎題．3．下列函數中是增函數的為（）A．f（x）＝﹣x B．f（x）＝（）x C．f（x）＝x2 D．f（x）＝【考點】函數單調性的性質與判斷．【專題】函數思想；定義法；函數的性質及應用；邏輯推理．【答案】D【分析】結合基本初等函數在定義域上的單調性分別檢驗各選項即可判斷．【解答】解：由一次函數性質可知f（x）＝﹣x在R上是減函數，不符合題意；由指數函數性質可知f（x）＝（）x在R上是減函數，不符合題意；由二次函數的性質可知f（x）＝x2在R上不單調，不符合題意；根據冪函數性質可知f（x）＝在R上單調遞增，符合題意．故選：D．【點評】本題主要考查基本初等函數的單調性的判斷，屬于基礎題．4．養(yǎng)過蜂的人都知道，蜂后產的卵若能受精則孵化為雌蜂，若不能受精則孵化為雄蜂，即雄蜂是有母無父，雌蜂是有父有母的，因此一只雄蜂的第n代祖先數目如圖所示：若用Fn表示一只雄蜂第n代祖先的個數，給出下列結論，其中正確的是（）A．F8+F10＞F11 B．F9+F10＜F8+F11 C．F9+F11＜2F10 D．4F6+F10＞F11【考點】歸納推理．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；推理和證明；邏輯推理．【答案】B【分析】由題意得F1＝F2＝1，當n≥3時，F(xiàn)n＝Fn﹣1+Fn﹣2，從而利用此性質，結合作差法對選項一一進行判斷，得到答案．【解答】解：由題意得F1＝F2＝1，當n≥3時，F(xiàn)n＝Fn﹣1+Fn﹣2，A選項，F(xiàn)11＝F10+F9＞F10+F8，A錯誤；B選項，F(xiàn)9+F10＝F11＜F8+F11，B正確；C選項，F(xiàn)9+F11﹣2F10＝2F9+F10﹣2F10＝2F9﹣F10＝2F9﹣F9﹣F8＝F9﹣F8＞0，故F9+F11＞2F10，C錯誤；D選項，F(xiàn)11﹣F10﹣4F6＝F9﹣4F6＝F8+F7﹣4F6＝3F6+2F5﹣4F6＝2F5﹣F6＝2F5﹣F5﹣F4＝F5﹣F4＞0，故4F6+F10＜F11，D錯誤．故選：B．【點評】本題考查歸納推理，考查推理論證能力，屬中檔題．5．已知球O的一個截面的面積為2π，球心O到該截面的距離比球的半徑小1，則球O的表面積為（）A．8π B．9π C．12π D．16π【考點】球的體積和表面積．【專題】對應思想；綜合法；立體幾何；數學運算．【答案】B【分析】設截面圓的半徑為r，球的半徑為R，依題意得到且（R﹣1）2+r2＝R2，即可求出R，從而求出球的表面積．【解答】解：依題意設截面圓的半徑為r，球的半徑為R，∵截面的面積為2π，∴πr2＝2π，得，又（R﹣1）2+r2＝R2，即，解得，∴球O的表面積．故選：B．【點評】本題考查球的表面積的求法，考查運算求解能力，是基礎題．6．執(zhí)行如圖所示的程序，輸出S的值為（）A．﹣228 B．﹣100 C．﹣64 D．﹣36【考點】程序框圖．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；算法和程序框圖；數學運算．【答案】B【分析】根據程序框圖循環(huán)計算即可求得結果．【解答】解：執(zhí)行程序框圖：S＝20，x＝4；S＝12，x＝8；S＝﹣4，x＝16；S＝﹣36，x＝32；S＝﹣100，x＝64＞40；輸出S，循環(huán)結束，故輸出S的值為﹣100．故選：B．【點評】本題考查了程序框圖的語言問題，屬基礎題．7．在△ABC中，，b＝2c，，則S△ABC＝（）A． B．4 C． D．【考點】正弦定理．【專題】轉化思想；轉化法；解三角形；數學運算．【答案】C【分析】利用余弦定理得到c＝2，b＝4，利用同角三角函數基本公式得到，然后利用面積公式求面積即可．【解答】解：，b＝2c，，所以，解得c＝2，b＝4，因為A∈（0，π），所以，．故選：C．【點評】本題主要考查余弦定理，屬于基礎題．8．已知等差數列{an}的前30項中奇數項的和為A，偶數項的和為B，且B﹣A＝45，2A＝B+615，則an＝（）A．3n﹣2 B．3n﹣1 C．3n+1 D．3n+2【考點】等差數列的前n項和．【專題】計算題；方程思想；轉化思想；綜合法；等差數列與等比數列；數學運算．【答案】B【分析】根據題意，設等差數列{an}的公差為d，由等差數列的性質分析可得d＝3，A＝＝15a15＝660，變形可得a15＝44，由此計算可得答案．【解答】解：根據題意，設等差數列{an}的公差為d，若等差數列{an}的前30項中奇數項的和為A，偶數項的和為B，且B﹣A＝45，即15d＝45，則有d＝3；又由2A＝B+615，變形可得A＝B﹣A+615＝45+615＝660，則有A＝＝15a15＝660，解可得a15＝44，則an＝a15+（n﹣15）d＝3n﹣1．故選：B．【點評】本題考查等差數列的性質以及應用，涉及等差數列的求和，屬于基礎題．9．過雙曲線的右焦點F作一條漸近線的垂線，垂足為A．若∠AFO＝2∠AOF（O為坐標原點），則該雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．或2【考點】雙曲線的性質．【專題】轉化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；數學運算．【答案】B【分析】根據題意可得∠AOF＝30°，從而，再由求解．【解答】解：在Rt△AFO中，因為∠AFO＝2∠AOF，所以∠AOF＝30°，則，所以，故選：B．【點評】本題考查雙曲線的幾何性質，化歸轉化思想，方程思想，屬基礎題．10．正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面邊長是4，側棱長是6，M，N分別為BB1，CC1的中點，若點P是三棱柱內（含棱柱的表面）的動點，MP∥平面AB1N，則動點P的軌跡面積為（）A． B．5 C． D．【考點】棱柱的結構特征；軌跡方程．【專題】數形結合；綜合法；立體幾何；邏輯推理；數學運算．【答案】C【分析】取AB的中點Q，證明平面MQC∥平面AB1N得動點P的軌跡為△MQC及其內部（挖去點M）．然后計算△MQC的面積即可．【解答】解：取AB的中點Q，連接MQ，CQ，MC，由M，N，Q分別為BB1，CC1，AB的中點可得，MC∥B1N，MC?平面AB1N，所以B1N?平面AB1N，所以MC∥平面AB1N，同理MQ∥AB1得，MQ∥平面AB1N，又MC∩MQ＝M，MC，MQ?平面MNQ，則平面MQC∥平面AB1N，所以動點P的軌跡為△MQC及其內部（挖去點M），在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC為等邊三角形，Q為AB的中點，則CQ⊥AB，平面ABC⊥平面ABB1A1，平面ABC∩平面ABB1A1＝AB，則CQ⊥平面ABB1A1，QM?平面ABB1A1，所以CQ⊥QM，因為AB＝4，所以，因為側棱長是6，所以，所以，則△MQC的面積，故動點P的軌跡面積為．故選：C．【點評】本題考查空間點的軌跡問題，考查邏輯推理能力與運算求解能力，空間點的軌跡幾種常見情形：（1）平面內到空間定點的距離等于定長，可結合球面得軌跡；（2）與定點的連線與某平面平行，利用平行平面得點的軌跡；（3）與定點的連線與某直線垂直，利用垂直平面得點的軌跡；（4）與空間定點連線與某直線成等角，可結合圓錐側面得軌跡．11．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，（a+c）（sinA﹣sinC）+bsinB＝asinB，b+2a＝4，，則線段CD長度的最小值為（）A．2 B． C．3 D．【考點】正弦定理；余弦定理．【專題】整體思想；綜合法；解三角形；數學運算．【答案】D【分析】先通過正弦定理得到a2+b2﹣c2＝ab，再通過余弦定理得到，對向量式整理得，通過平方，將向量關系轉化為數量關系即，利用基本不等式即可求解．【解答】解：由（a+c）（sinA﹣sinC）+bsinB＝asinB及正弦定理，得（a+c）（a﹣c）+b2＝ab，即a2+b2﹣c2＝ab，由余弦定理得，，∵C∈（0，π），∴．由，，兩邊平方，得即＝＝＝，當且僅當，即時取等號，即，∴線段CD長度的最小值為．故選：D．【點評】本題主要考查了正弦定理，余弦定理向量數量積的性質在求解三角形中的應用，屬于中檔題．12．已知函數f（x）的定義域為R，f（2x﹣2）為偶函數，f（x﹣3）+f（﹣x+1）＝0，當x∈[﹣2，﹣1]時，（a＞0且a≠1），且f（﹣2）＝4．則＝（）A．28 B．32 C．36 D．40【考點】函數奇偶性的性質與判斷；抽象函數及其應用．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；函數的性質及應用；數學運算．【答案】C【分析】本題主要考查函數的奇偶性、周期性和對稱性，根據奇偶性、周期性和對稱性即可求值．【解答】解：因為f（2x﹣2）是偶函數，所以f（﹣2x﹣2）＝f（2x﹣2），所以f（﹣x﹣2）＝f（x﹣2），所以f（x）＝f（﹣x﹣4），所以函數f（x）關于直線x＝﹣2對稱，又因為f（x﹣3）+f（﹣x+1）＝0，所以﹣f（x﹣3）＝f（﹣x+1），所以f（x）＝﹣f（﹣x﹣2），所以f（x）關于點（﹣1，0）中心對稱，所以函數f（x）的周期為4，因為當x∈[﹣2，﹣1]時，（a＞0且a≠1），且f（﹣2）＝4，所以，解得a＝2或a＝﹣4（舍）．所以當x∈[﹣2，﹣1]時，，所以f（﹣2）＝4，f（﹣1）＝0，f（﹣3）＝f（﹣1）＝0，f（0）＝﹣f（﹣2）＝﹣4，f（1）＝f（1﹣4）＝f（﹣3）＝0，f（2）＝f（﹣2）＝4，f（3）＝f（﹣1）＝0，f（4）＝f（0）＝﹣4，所以|f（1）|+|f（2）|+|f（3）|+|f（4）|＝8，所以，故選：C．【點評】本題主要考查函數的奇偶性與周期性，考查轉化思想與運算求解能力，屬于中檔題．二．填空題（共4小題）13．已知函數，則f（f（﹣3））＝．【考點】分段函數的應用；函數的值．【專題】計算題；方程思想；轉化思想；綜合法；函數的性質及應用；數學運算．【答案】．【分析】根據題意，由函數的解析式求出f（﹣3）的值，進而計算可得答案．【解答】解：根據題意，因為，所以，則．故答案為：．【點評】本題考查函數值的計算，涉及分段函數的解析式，屬于基礎題．14．在△ABC中，點D是BC的中點，點E在AD上，且，，則λx﹣y＝．【考點】平面向量的基本定理．【專題】轉化思想；綜合法；平面向量及應用；數學運算．【答案】．【分析】由平面向量共線定理的推論求出λ，再根據平面向量基本定理求出x、y，即可得解．【解答】解：因為點D是BC的中點，所以，，因為E，A，D三點共線，所以，解得，即，所以，又，所以，，所以．故答案為：．【點評】本題考查平面向量的線性運算和平面向量基本定理，屬于中檔題．15．過直線x+y﹣4＝0上的任意一點M作圓C：x2+y2＝4的兩條切線，切點分別為A，B，則點N（cosθ，sinθ）（0≤θ＜2π）到直線AB距離的最大值為．【考點】直線與圓的位置關系；圓的切線方程．【專題】方程思想；轉化法；直線與圓；數學運算．【答案】．【分析】設M（m，n）為直線x+y﹣4＝0上的一點，求出以CM為直徑的圓的方程，聯(lián)立可得AB所在直線方程，寫出N到AB距離的最大值，再由三角函數求最值得答案．【解答】解：設M（m，n）為直線x+y﹣4＝0上的一點，則m+n﹣4＝0，過點M作圓C：x2+y2＝4的切線，切點分別為A，B，則有CA⊥MA，CB⊥MB，則點A，B在以CM為直徑的圓上，以CM為直徑的圓的圓心為（），半徑為r＝|CM|＝，則其方程為，變形可得x2+y2﹣mx﹣ny＝0，聯(lián)立，可得mx+ny﹣4＝0，又m+n﹣4＝0，∴mx+（4﹣m）y﹣4＝0，變形可得m（x﹣y）+4y﹣4＝0，可知直線AB過定點（1，1），∴點N（cosθ，sinθ）（0≤θ＜2π）到直線AB距離的最大值為：＝＝．即點N（cosθ，sinθ）（0≤θ＜2π）到直線AB距離的最大值為．故答案為：．【點評】本題考查直線與圓、圓與圓位置關系的應用，考查化歸與轉化思想，考查運算求解能力，是中檔題．16．已知f（x）是定義在（0，+∞）上的可導函數，若xf'（x）﹣f（x）＝，f（1）＝﹣，且x≥1時，f（xex）≤f（x+lnx﹣a）恒成立，則a的取值范圍是[1﹣e，1）．【考點】利用導數研究函數的單調性；函數恒成立問題．【專題】轉化思想；轉化法；導數的概念及應用；邏輯推理；數學運算．【答案】[1﹣e，1）．【分析】根據題意構造函數g（x）＝f'（x）＝+e﹣x，則g'（x）＝（）'﹣e﹣x＝，可得f（x）在（0，+∞）上單調遞減，題意轉化為xex≥x+lnx﹣a＞0，設y＝x+lnx﹣a，顯然y＝x+lnx﹣a在定義域內單調遞增，當x≥1時，x+lnx﹣a＞0，只需1﹣a＞0，解得a＜1，即xex≥ln（xex）﹣a，構造函數h（t）＝t﹣lnt+a，t∈[e，+∞），求出h（t）的最小值，即可得出答案．【解答】解：∵xf'（x）﹣f（x）＝，∴＝（xex）﹣1，又f（x）＝x?，則f'（x）＝+x?（）'＝+＝+e﹣x，令g（x）＝f'（x）＝+e﹣x，則g'（x）＝（）'﹣e﹣x＝，由g'（x）＞0得0＜x＜1，由g'（x）＜0得x＞1，∴g（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，∴當x＝1時，g（x）取得極大值也是最大值，g（1）＝f（1）+＝0，即f'（x）≤0，∴f（x）在（0，+∞）上單調遞減，又x≥1時，f（xex）≤f（x+lnx﹣a）恒成立，則xex≥x+lnx﹣a＞0，設y＝x+lnx﹣a，顯然y＝x+lnx﹣a在定義域內單調遞增，∴當x≥1時，x+lnx﹣a＞0，只需1﹣a＞0，解得a＜1，即xex≥ln（xex）﹣a，∴xex﹣ln（xex）+a≥0，令xex＝t，x≥1，則t≥e，轉化為t≥e時，t﹣lnt+a≥0，令h（t）＝t﹣lnt+a，t∈[e，+∞），則h'（t）＝1﹣，由h'（t）＞0得t＞e，即h（t）[e，+∞）上單調遞增，∴h（t）≥h（e）＝e﹣1+a≥0，解得a≥1﹣e，綜上所述，a的取值范圍是[1﹣e，1）．故答案為：[1﹣e，1）．【點評】本題考查利用導數研究函數的單調性和函數恒成立問題，考查轉化思想，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．三．解答題（共7小題）17．已知數列{an}的前n項和為Sn，當n≥2時，Sn（Sn﹣an+1）＝Sn﹣1．（1）證明：數列是等差數列；（2）若，數列的前n項和為Tn，若恒成立，求正整數m的最大值．【考點】數列的求和；數列遞推式；等差數列的性質．【專題】轉化思想；轉化法；等差數列與等比數列；數學運算．【答案】（1）證明見解析；（2）2．【分析】（1）n≥2時，用an＝Sn﹣Sn﹣1代入化簡，用等差數列的定義即可證明；（2）用錯位相減法求出Tn，不等式可化為恒成立，再用基本不等式求得的最大值，從而可得m的最大值．【解答】證明：（1）由題意知，當n≥2時，Sn（Sn﹣an+1）＝Sn﹣1，所以Sn[（Sn﹣（Sn﹣Sn﹣1））+1]＝Sn﹣1，整理得：SnSn﹣1＝Sn﹣1﹣Sn，即，所以數列是以1為公差的等差數列；（2）解：由，由（1）知是以2為首項、1為公差的等差數列，所以，所以，所以，①所以，②①﹣②得，所以，所以．因為，所以，由于，當且僅當n＝4時等號成立，故正整數m的最大值為8．【點評】本題主要考查數列的求和，考查轉化能力，屬于中檔題．18．2022年，隨著最低工資標準提高，商品價格上漲，每個家庭的日常消費也隨著提高，某社會機構隨機調查了200個家庭的日常消費金額并進行了統(tǒng)計整理，得到數據如表：消費金額（千元）[2，3）[3，4）[4，5）[5，6）[6，7）[7，8]人數406040302010（1）求這200個家庭消費金額的平均數及方差s2（同一區(qū)間的花費用區(qū)間的中點值替代）；（2）通過進一步調查發(fā)現(xiàn)這200個家庭中收入不低于5千的有100個家庭，這些家庭成員到商場購物時駐留時間互不相同，通過調查得到如表聯(lián)表：駐留時間少于1小時駐留時間不少于1小時低于5千7030不低于5千4060能否有99.9%的把握認為家庭成員在商場駐留的時間與家庭收入有關？附：，n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.0500.0100.001k03.8416.63510.828【考點】獨立性檢驗．【專題】轉化思想；轉化法；概率與統(tǒng)計；數學運算．【答案】（1）平均數4.3，方差2.06；（2）有99.9%的把握認為家庭成員在商場的駐留時間與家庭收入有關．【分析】（1）根據平均數和方差的公式求解即可；（2）用公式計算出K2的值，再根據臨界值分析判斷即可．【解答】解：（1）由題意得，+．（2）根據列聯(lián)表可知：a＝70，b＝30，c＝40，d＝60，a+b＝c+d＝100，a+c＝110，b+d＝90，n＝a+b+c+d＝200，則，所以有99.9%的把握認為家庭成員在商場的駐留時間與家庭收入有關．【點評】本題主要考查獨立性檢驗，考查轉化能力，屬于中檔題．19．如圖，四邊形ACC1A1與四邊形BCC1B1是全等的矩形，，若P是AA1的中點．（1）求證：平面PB1C1⊥平面PB1C；（2）如果AC＝1，求三棱錐B1﹣A1C1P與多面體ABCPB1的體積比值．【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；平面與平面垂直．【專題】轉化思想；綜合法；空間位置關系與距離；立體幾何；邏輯推理；數學運算．【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）通過證明CP⊥平面PB1C1，即可證明平面PB1C1⊥平面PB1C；（2）分別求出三棱錐B1﹣A1C1P與多面體ABCPB1的體積，即可得出三棱錐B1﹣A1C1P與多面體ABCPB1的體積比值．【解答】（1）證明：因為，所以AC⊥BC，又因為CC1⊥BC，且CC1∩AC＝C，AC?面ACC1A1，CC1?面ACC1A1，所以BC⊥平面ACC1A1，又CP?平面ACC1A1，所以BC⊥CP．，即，所以AC＝AP，所以，同理，所以，即PC1⊥CP．又由于BC∥B1C1，所以B1C1⊥CP，因為PC1∩B1C1＝C1，PC1?平面PB1C1，B1C1?平面PB1C1，所以CP⊥平面PB1C1，因為CP?平面PB1C，所以平面PB1C1⊥平面PB1C．（2）解：由題意及（1）得，幾何體ABC﹣A1B1C1為直三棱柱，，因為，，所以，而，所以．【點評】本題主要考查面面垂直的證明，棱柱體積的求法，考查運算求解能力，屬于中檔題．20．已知拋物線y2＝2px（x＞0）的焦點F到準線的距離與雙曲線的離心率相等．（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）若點P（t，﹣2）在拋物線上，過P作拋物線的兩弦PM與PN，若兩弦所在直線的斜率之積為﹣4，求證：直線MN過定點．【考點】直線與圓錐曲線的綜合．【專題】方程思想；轉化法；圓錐曲線的定義、性質與方程；數學運算．【答案】（Ⅰ）y2＝4x．（Ⅱ）直線MN恒過定點（2，2）．【分析】（Ⅰ）根據題意可得雙曲線的離心率e＝＝2，則p＝2，即可得出答案．（Ⅱ）設直線PM的斜率為k，直線PN的斜率為，則直線PM的方程為y+2＝k（x﹣t），聯(lián)立拋物線的方程，解得M點坐標，同理可得N點坐標，寫出直線MN的方程，化簡，即可得出答案．【解答】解：（Ⅰ）因為x2﹣＝1，所以a2＝1，b2＝3，所以c2＝a2+b2＝4，所以c＝2，所以雙曲線的離心率e＝＝2，因為拋物線y2＝2px（x＞0）的焦點F到準線的距離與雙曲線的離心率相等，所以p＝2，所以拋物線的方程為y2＝4x．（Ⅱ）設直線PM的斜率為k，直線PN的斜率為，直線PM的方程為y+2＝k（x﹣t），聯(lián)立，得ky2﹣4y﹣8﹣4kt＝0，所以yp+yM＝，所以yM＝﹣yP＝﹣（﹣2）＝+2，所以xM＝＝＝++1，所以M（++1，+2）用﹣代替k，得N（﹣k+1，﹣k+2），所以直線MN的方程為y﹣（+2）＝（x﹣﹣﹣1），所以y﹣（+2）＝（x﹣﹣﹣1），所以y＝x﹣﹣﹣++2，所以y＝x﹣，所以y＝x﹣+﹣，所以y＝（x﹣2）+，所以y＝（x﹣2）+2，所以直線MN恒過定點（2，2）．【點評】本題考查拋物線的方程，直線與拋物線的相交問題，解題中需要一定的計算能力，屬于中檔題．21．已知函數f（x）＝xlnx﹣x﹣ax2，a∈R．（Ⅰ）當a＝時，證明：f（x）≤0；（Ⅱ）若函數H（x）＝f（x）﹣（x﹣1）ex+ax2+x在（0，+∞）上單調遞減，求a的取值范圍．【考點】利用導數研究函數的最值；利用導數研究函數的單調性．【專題】函數思想；轉化法；導數的綜合應用；邏輯推理．【答案】（Ⅰ）證明詳情見解答．（Ⅱ）（﹣∞，1]．【分析】（Ⅰ）當a＝時，f（x）＝xlnx﹣x﹣，求導分析單調性，求出f（x）max≤0，即可得出答案．（Ⅱ）根據題意可得H′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，即a≤在（0，+∞）上恒成立，令p（x）＝，x∈（0，+∞），只需a≤p（x）min，即可得出答案．【解答】解：（Ⅰ）證明：當a＝時，f（x）＝xlnx﹣x﹣?x2＝xlnx﹣x﹣，f′（x）＝lnx+x?﹣1﹣＝lnx﹣，令g（x）＝lnx﹣，（x＞0），g′（x）＝﹣＝，所以在（0，）上，g′（x）＞0，g（x）單調遞增，在（，+∞）上，g′（x）＜0，g（x）單調遞減，所以g（x）max＝g（）＝ln﹣＝ln﹣1＝ln＞0，當x→0時，g（x）→﹣∞；x→+∞時，g（x）→﹣∞，所以在（0，）上存在x0，使得g（x0）＝0，在（，+∞）上存在x1，使得g（x1）＝0，即lnx1＝，①所以在（0，x0），（x1，+∞）上，g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）單調遞減，在（x0，x1）上，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）單調遞增，由x→0時，f（x）→0；x→+∞時，f（x）→﹣∞，由①方程lnx＝在（，+∞）上的根為函數h（x）＝lnx﹣在（，+∞）上的根，h′（x）＝﹣＝，x∈（，+∞），所以在（，+∞）上，h′（x）＜0，h（x）單調遞減，又h（e2）＝0，所以x1＝e2，所以f（x）極大值＝f（x1）＝x1lnx1﹣x1﹣x12＝e2lne2﹣e2﹣?（e2）2＝0，所以f（x）≤0．（Ⅱ）函數H（x）＝xlnx﹣x﹣ax2﹣（x﹣1）ex+ax2+x＝ax2+xlnx﹣（x﹣1）ex，若函數H（x）＝f（x）﹣（x﹣1）ex+ax2+x在（0，+∞）上單調遞減，則H′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，所以ax+lnx+1﹣xex≤0在（0，+∞）上恒成立，即a≤在（0，+∞）上恒成立，令p（x）＝，x∈（0，+∞），p′（x）＝＝＝，令q（x）＝x2ex+lnx，x∈（0，+∞），q′（x）＝2xex+x2ex+＞0，所以q（x）在（0，+∞）上單調遞增，當x→0時，g（x）→﹣∞；x→+∞時，g（x）→+∞，所以存在x0∈（0，+∞），使得q（x0）＝0，即x02e+lnx0＝0，①所以在（0，x0）上，q（x）＜0，p′（x）＜0，p（x）單調遞減，在（x0，+∞）上，q（x）＞0，p′（x）＞0，p（x）單調遞增，所以p（x）min＝p（x0）＝＝e﹣，由①得x02e＝﹣lnx0，所以x0e＝﹣lnx0＝（﹣lnx0）?e，令t（x）＝xex（x＞0），t′（x）＝（x+1）ex＞0，所以函數t（x）在（0，+∞）上單調遞增，所以x0＝﹣lnx0，即e＝，所以p（x）min＝﹣＝1，所以a≤1，所以a的取值范圍為（﹣∞，1]．【點評】本題考查導數的綜合應用，解題中需要理清思路，屬于中檔題．22．在平面直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線C1的極坐標方程為．（1）求直線C1的一個參數方程；（2）在極坐標系中，方程ρ＝3﹣3sinθ表示曲線C2，若直線C1與曲線C2相交于M，O，N三點，求線段MN的長．【考點】簡單曲線的極坐標方程；參數方程化成普通方程．【專題】轉化思想；轉化法；坐標系和參數方程；數學運算．【答案】（1）（t為參數）；（2）6．【分析】（1）根據題意得到曲線C1表示過原點，傾斜角為的直線，進而寫出一個參數方程；（2）由M，N均在直線C1和曲線C2上，得到，，即可求得MN的長．【解答】解：（1）由直線C1的極坐標方程為，可得曲線C1表示過原點，傾斜角為的直線，此時斜率為，可得曲線C1的一個參數方程為（t為參數）．（2）因為M，N均在直線C1和曲線C2上，所以，，，，故|MN|＝|ρM+ρN|＝6．【點評】本題主要考查簡單曲線的極坐標方程，屬于基礎題．23．已知函數f（x）＝|2x﹣2|+|x+1|．（1）求f（x）≥5的解集；（2）設f（x）的最小值為m，若正數a，b，c滿足a+b+c＝m，求ab+ac+bc的最大值．【考點】絕對值不等式的解法．【專題】分類討論；綜合法；不等式的解法及應用；數學運算．【答案】（1）（∪[2，+∞）；（2）．【分析】（1）通過當當x≤﹣1時，當﹣1＜x＜1時，當x≥1時，去掉絕對值符號，求解不等式即可；（2）求出函數的最小值m，然后轉化利用基本不等式，求解即可．【解答】解：（1）當x≤﹣1時，原不等式可化為：﹣（2x﹣2）﹣（x+1）≥5，即﹣3x+1≥5，解得：，∴；當﹣1＜x＜1時，原不等式可化為：﹣（2x﹣2）+（x+1）≥5，即﹣x+3≥5，解得：x≤﹣2，∴無解；當x≥1時，原不等式可化為：2x﹣2+x+1≥5，即3x﹣1≥5，解得：x≥2，∴x≥2，綜上可得，f（x）≥5的解集為（∪[2，+∞）；（2），當x≤﹣1時，f（x）∈[4，+∞）；當﹣1＜x＜1時，f（x）∈（2，4）；當x≥1時，f（x）∈[2，+∞）；∴f（x）的最小值m＝2，∴a+b+c＝2，則（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc＝+2ab+2ac+2bc+2ab+2ac+2bc＝ab+ac+bc+2ab+2ac+2bc＝3（ab+ac+bc），當且僅當時等號成立，即＝，∴ab+ac+bc的最大值為．【點評】本題考查絕對值不等式的求解及用基本不等式求最值等，屬于中檔題．

考點卡片1．元素與集合關系的判斷【知識點的認識】1、元素與集合的關系：一般地，我們把研究對象稱為元素，把一些元素組成的總體稱為集合，簡稱集．元素一般用小寫字母a，b，c表示，集合一般用大寫字母A，B，C表示，兩者之間的關系是屬于與不屬于關系，符號表示如：a∈A或a?A．2、集合中元素的特征：（1）確定性：作為一個集合中的元素，必須是確定的．即一個集合一旦確定，某一個元素屬于還是不屬于這集合是確定的．要么是該集合中的元素，要么不是，二者必居其一，這個特性通常被用來判斷涉及的總體是否能構成集合．（2）互異性：集合中的元素必須是互異的．對于一個給定的集合，他的任何兩個元素都是不同的．這個特性通常被用來判斷集合的表示是否正確，或用來求集合中的未知元素．（3）無序性：集合于其中元素的排列順序無關．這個特性通常被用來判斷兩個集合的關系．【命題方向】題型一：驗證元素是否是集合的元素典例1：已知集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}．求證：（1）3∈A；（2）偶數4k﹣2（k∈Z）不屬于A．分析：（1）根據集合中元素的特性，判斷3是否滿足即可；（2）用反證法，假設屬于A，再根據兩偶數的積為4的倍數；兩奇數的積仍為奇數得出矛盾，從而證明要證的結論．解答：解：（1）∵3＝22﹣12，3∈A；（2）設4k﹣2∈A，則存在m，n∈Z，使4k﹣2＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）成立，1、當m，n同奇或同偶時，m﹣n，m+n均為偶數，∴（m﹣n）（m+n）為4的倍數，與4k﹣2不是4的倍數矛盾．2、當m，n一奇，一偶時，m﹣n，m+n均為奇數，∴（m﹣n）（m+n）為奇數，與4k﹣2是偶數矛盾．綜上4k﹣2?A．點評：本題考查元素與集合關系的判斷．分類討論的思想．題型二：知元素是集合的元素，根據集合的屬性求出相關的參數．典例2：已知集合A＝{a+2，2a2+a}，若3∈A，求實數a的值．分析：通過3是集合A的元素，直接利用a+2與2a2+a＝3，求出a的值，驗證集合A中元素不重復即可．解答：解：因為3∈A，所以a+2＝3或2a2+a＝3…（2分）當a+2＝3時，a＝1，…（5分）此時A＝{3，3}，不合條件舍去，…（7分）當2a2+a＝3時，a＝1（舍去）或，…（10分）由，得，成立…（12分）故…（14分）點評：本題考查集合與元素之間的關系，考查集合中元素的特性，考查計算能力．【解題方法點撥】集合中元素的互異性常常容易忽略，求解問題時要特別注意．分類討論的思想方法常用于解決集合問題．2．函數單調性的性質與判斷【知識點的認識】一般地，設函數f（x）的定義域為I，如果對于定義域I內某個區(qū)間D上的任意兩個自變量x1，x2，當x1＜x2時，都有f（x1）＜f（x2），那么就說函數f（x）在區(qū)間D上是增函數；當x1＞x2時，都有f（x1）＜f（x2），那么就說函數f（x）在區(qū)間D上是減函數．若函數f（x）在區(qū)間D上是增函數或減函數，則稱函數f（x）在這一區(qū)間具有（嚴格的）單調性，區(qū)間D叫做y＝f（x）的單調區(qū)間．【解題方法點撥】證明函數的單調性用定義法的步驟：①取值；②作差；③變形；④確定符號；⑤下結論．利用函數的導數證明函數單調性的步驟：第一步：求函數的定義域．若題設中有對數函數一定先求定義域，若題設中有三次函數、指數函數可不考慮定義域．第二步：求函數f（x）的導數f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．第三步：利用f′（x）＝0的根和不可導點的x的值從小到大順次將定義域分成若干個小開區(qū)間，并列表．第四步：由f′（x）在小開區(qū)間內的正、負值判斷f（x）在小開區(qū)間內的單調性；求極值、最值．第五步：將不等式恒成立問題轉化為f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求參數的取值范圍．第六步：明確規(guī)范地表述結論【命題方向】從近三年的高考試題來看，函數單調性的判斷和應用以及函數的最值問題是高考的熱點，題型既有選擇題、填空題，又有解答題，難度中等偏高；客觀題主要考查函數的單調性、最值的靈活確定與簡單應用，主觀題在考查基本概念、重要方法的基礎上，又注重考查函數方程、等價轉化、數形結合、分類討論的思想方法．預測明年高考仍將以利用導數求函數的單調區(qū)間，研究單調性及利用單調性求最值或求參數的取值范圍為主要考點，重點考查轉化與化歸思想及邏輯推理能力．3．函數奇偶性的性質與判斷【知識點的認識】①如果函數f（x）的定義域關于原點對稱，且定義域內任意一個x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函數f（x）就叫做奇函數，其圖象特點是關于（0，0）對稱．②如果函數f（x）的定義域關于原點對稱，且定義域內任意一個x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函數f（x）就叫做偶函數，其圖象特點是關于y軸對稱．【解題方法點撥】①奇函數：如果函數定義域包括原點，那么運用f（0）＝0解相關的未知量；②奇函數：若定義域不包括原點，那么運用f（x）＝﹣f（﹣x）解相關參數；③偶函數：在定義域內一般是用f（x）＝f（﹣x）這個去求解；④對于奇函數，定義域關于原點對稱的部分其單調性一致，而偶函數的單調性相反．例題：函數y＝x|x|+px，x∈R是（）A．偶函數B．奇函數C．非奇非偶D．與p有關解：由題設知f（x）的定義域為R，關于原點對稱．因為f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），所以f（x）是奇函數．故選B．【命題方向】函數奇偶性的應用．本知識點是高考的高頻率考點，大家要熟悉就函數的性質，最好是結合其圖象一起分析，確保答題的正確率．4．抽象函數及其應用【知識點的認識】抽象函數是指沒有給出函數的具體解析式，只給出了一些體現(xiàn)函數特征的式子的一類函數．由于抽象函數表現(xiàn)形式的抽象性，使得這類問題成為函數內容的難點之一．【解題方法點撥】①盡可能把抽象函數與我們數學的具體模型聯(lián)系起來，如f（x+y）＝f（x）+f（y），它的原型就是y＝kx；②可通過賦特殊值法使問題得以解決例：f（xy）＝f（x）+f（y），求證f（1）＝f（﹣1）＝0令x＝y(tǒng)＝1，則f（1）＝2f（1）?f（1）＝0令x＝y(tǒng)＝﹣1，同理可推出f（﹣1）＝0③既然是函數，也可以運用相關的函數性質推斷它的單調性；【命題方向】抽象函數及其應用．抽象函數是一個重點，也是一個難點，解題的主要方法也就是我上面提到的這兩種．高考中一般以中檔題和小題為主，要引起重視．5．函數恒成立問題【知識點的認識】恒成立指函數在其定義域內滿足某一條件（如恒大于0等），此時，函數中的參數成為限制了這一可能性（就是說某個參數的存在使得在有些情況下無法滿足要求的條件），因此，適當的分離參數能簡化解題過程．例：要使函數f（x）＝ax^2+1恒大于0，就必須對a進行限制﹣﹣令a≥0，這是比較簡單的情況，而對于比較復雜的情況時，先分離參數的話做題較簡單【解題方法點撥】一般恒成立問題最后都轉化為求最值得問題，常用的方法是分離參變量和求導．例：f（x）＝x2+2x+3≥ax，（x＞0）求a的取值范圍．解：由題意可知：a≤恒成立即a≤x++2?a≤2+2【命題方向】恒成立求參數的取值范圍問題是近幾年高考中出現(xiàn)頻率相當高的一類型題，它比較全面的考查了導數的應用，突出了導數的工具性作用．6．函數的值【知識點的認識】函數不等同于方程，嚴格來說函數的值應該說成是函數的值域．函數的值域和定義域一樣，都是常考點，也是易得分的點．其概念為在某一個定義域內因變量的取值范圍．【解題方法點撥】求函數值域的方法比較多，常用的方法有一下幾種：①基本不等式法：如當x＞0時，求2x+的最小值，有2x+≥2＝8；②轉化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是數軸上的點到x＝5和x＝3的距離之和，易知最小值為2；③求導法：通過求導判斷函數的單調性進而求出極值，再結合端點的值最后進行比較例題：求f（x）＝lnx﹣x在（0，+∞）的值域解：f′（x）＝﹣1＝∴易知函數在（0，1]單調遞增，（1，+∞）單調遞減∴最大值為：ln1﹣1＝﹣1，無最小值；故值域為（﹣∞，﹣1）【命題方向】函數的值域如果是單獨考的話，主要是在選擇題填空題里面出現(xiàn)，這類題難度小，方法集中，希望同學們引起高度重視，而大題目前的趨勢主要還是以恒成立的問題為主．7．分段函數的應用【知識點的認識】分段函數顧名思義指的是一個函數在不同的定義域內的函數表達式不一樣，有些甚至不是連續(xù)的．這個在現(xiàn)實當中是很常見的，比如說水的階梯價，購物的時候買的商品的量不同，商品的單價也不同等等，這里面都涉及到分段函數．【解題方法點撥】正如前面多言，分段函數與我們的實際聯(lián)系比較緊密，那么在高考題中也時常會以應用題的形式出現(xiàn)．下面我們通過例題來分析一下分段函數的解法．例：市政府為招商引資，決定對外資企業(yè)第一年產品免稅．某外資廠該年A型產品出廠價為每件60元，年銷售量為11.8萬件．第二年，當地政府開始對該商品征收稅率為p%（0＜p＜100，即銷售100元要征收p元）的稅收，于是該產品的出廠價上升為每件元，預計年銷售量將減少p萬件．（Ⅰ）將第二年政府對該商品征收的稅收y（萬元）表示成p的函數，并指出這個函數的定義域；（Ⅱ）要使第二年該廠的稅收不少于16萬元，則稅率p%的范圍是多少？（Ⅲ）在第二年該廠的稅收不少于16萬元的前提下，要讓廠家獲得最大銷售金額，則p應為多少？解：（Ⅰ）依題意，第二年該商品年銷售量為（11.8﹣p）萬件，年銷售收入為（11.8﹣p）萬元，政府對該商品征收的稅收y＝（11.8﹣p）p%（萬元）故所求函數為y＝（11.8﹣p）p由11.8﹣p＞0及p＞0得定義域為0＜p＜11.8…（4分）（II）由y≥16得（11.8﹣p）p≥16化簡得p2﹣12p+20≤0，即（p﹣2）（p﹣10）≤0，解得2≤p≤10．故當稅率在[0.02，0.1]內時，稅收不少于16萬元．…（9分）（III）第二年，當稅收不少于16萬元時，廠家的銷售收入為g（p）＝（11.8﹣p）（2≤p≤10）∵在[2，10]是減函數∴g（p）max＝g（2）＝800（萬元）故當稅率為2%時，廠家銷售金額最大．這個典型的例題當中，我們發(fā)現(xiàn)分段函數首先還是要有函數的功底，要有一定的建模能力，這個與分不分段其實無關．我們重點看看分段函數要注意的地方．第一，要明確函數的定義域和其相對的函數表達式；第二注意求的是整個一大段的定義域內的值域還是分段函數某段內部的值；第三，注意累加的情況和僅僅某段函數的討論．【命題方向】修煉自己的內功，其實分不分段影響不大，審清題就可以了，另外，最好畫個圖來解答．8．等差數列的性質【知識點的認識】等差數列如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，這個數列就叫做等差數列．這個常數叫做等差數列的公差，公差常用字母d表示．等差數列的通項公式為：an＝a1+（n﹣1）d；前n項和公式為：Sn＝na1+n（n﹣1）或Sn＝（n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，則有2am＝ap+aq（p，q，m都為自然數）等差數列的性質（1）若公差d＞0，則為遞增等差數列；若公差d＜0，則為遞減等差數列；若公差d＝0，則為常數列；（2）有窮等差數列中，與首末兩端“等距離”的兩項和相等，并且等于首末兩項之和；（3）m，n∈N+，則am＝an+（m﹣n）d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，則as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是數列中的項，特別地，當s+t＝2p時，有as+at＝2ap；（5）若數列{an}，{bn}均是等差數列，則數列{man+kbn}仍為等差數列，其中m，k均為常數．（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍為等差數列，公差為﹣d．（7）從第二項開始起，每一項是與它相鄰兩項的等差中項，也是與它等距離的前后兩項的等差中項，即2an+1＝an+an+2，2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍為等差數列，公差為kd（首項不一定選a1）．【解題方法點撥】例：已知等差數列{an}中，a1＜a2＜a3＜…＜an且a3，a6為方程x2﹣10x+16＝0的兩個實根．（1）求此數列{an}的通項公式；（2）268是不是此數列中的項？若是，是第多少項？若不是，說明理由．解：（1）由已知條件得a3＝2，a6＝8．又∵{an}為等差數列，設首項為a1，公差為d，∴a1+2d＝2，a1+5d＝8，解得a1＝﹣2，d＝2．∴an＝﹣2+（n﹣1）×2＝2n﹣4（n∈N*）．∴數列{an}的通項公式為an＝2n﹣4．（2）令268＝2n﹣4（n∈N*），解得n＝136．∴268是此數列的第136項．這是一個很典型的等差數列題，第一問告訴你第幾項和第幾項是多少，然后套用等差數列的通項公式an＝a1+（n﹣1）d，求出首項和公差d，這樣等差數列就求出來了．第二問判斷某個數是不是等差數列的某一項，其實就是要你檢驗看符不符合通項公式，帶進去檢驗一下就是的．9．等差數列的前n項和【知識點的認識】等差數列是常見數列的一種，如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，這個數列就叫做等差數列，而這個常數叫做等差數列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式為Sn＝na1+n（n﹣1）d或者Sn＝【解題方法點撥】eg1：設等差數列的前n項和為Sn，若公差d＝1，S5＝15，則S10＝解：∵d＝1，S5＝15，∴5a1+d＝5a1+10＝15，即a1＝1，則S10＝10a1+d＝10+45＝55．故答案為：55點評：此題考查了等差數列的前n項和公式，解題的關鍵是根據題意求出首項a1的值，然后套用公式即可．eg2：等差數列{an}的前n項和Sn＝4n2﹣25n．求數列{|an|}的前n項的和Tn．解：∵等差數列{an}的前n項和Sn＝4n2﹣25n．∴an＝Sn﹣Sn﹣1＝（4n2﹣25n）﹣[4（n﹣1）2﹣25（n﹣1）]＝8n﹣29，該等差數列為﹣21，﹣13，﹣5，3，11，…前3項為負，其和為S3＝﹣39．∴n≤3時，Tn＝﹣Sn＝25n﹣4n2，n≥4，Tn＝Sn﹣2S3＝4n2﹣25n+78，∴．點評：本題考查等差數列的前n項的絕對值的和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意分類討論思想的合理運用．其實方法都是一樣的，要么求出首項和公差，要么求出首項和第n項的值．【命題方向】等差數列比較常見，單獨考察等差數列的題也比較簡單，一般單獨考察是以小題出現(xiàn)，大題一般要考察的話會結合等比數列的相關知識考察，特別是錯位相減法的運用．10．數列的求和【知識點的認識】就是求出這個數列所有項的和，一般來說要求的數列為等差數列、等比數列、等差等比數列等等，常用的方法包括：（1）公式法：①等差數列前n項和公式：Sn＝na1+n（n﹣1）d或Sn＝②等比數列前n項和公式：③幾個常用數列的求和公式：（2）錯位相減法：適用于求數列{an×bn}的前n項和，其中{an}{bn}分別是等差數列和等比數列．（3）裂項相消法：適用于求數列{}的前n項和，其中{an}為各項不為0的等差數列，即＝（）．（4）倒序相加法：推導等差數列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數列倒過來排列（反序），再把它與原數列相加，就可以得到n個（a1+an）．（5）分組求和法：有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數列，然后分別求和，再將其合并即可．【解題方法點撥】典例1：已知等差數列{an}滿足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n項和為Sn．（Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）令bn＝（n∈N*），求數列{bn}的前n項和Tn．分析：形如的求和，可使用裂項相消法如：＝＝．解：（Ⅰ）設等差數列{an}的公差為d，∵a3＝7，a5+a7＝26，∴，解得a1＝3，d＝2，∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；Sn＝＝n2+2n．（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，∴bn＝＝＝＝，∴Tn＝＝＝，即數列{bn}的前n項和Tn＝．點評：該題的第二問用的關鍵方法就是裂項求和法，這也是數列求和當中常用的方法，就像友情提示那樣，兩個等差數列相乘并作為分母的一般就可以用裂項求和．【命題方向】數列求和基本上是必考點，大家要學會上面所列的幾種最基本的方法，即便是放縮也要往這里面考．11．數列遞推式【知識點的認識】1、遞推公式定義：如果已知數列{an}的第1項（或前幾項），且任一項an與它的前一項an﹣1（或前幾項）間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數列的遞推公式．2、數列前n項和Sn與通項an的關系式：an＝．在數列{an}中，前n項和Sn與通項公式an的關系，是本講內容一個重點，要認真掌握．注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求數列的通項公式時，你注意到此等式成立的條件了嗎？（n≥2，當n＝1時，a1＝S1）；若a1適合由an的表達式，則an不必表達成分段形式，可化統(tǒng)一為一個式子．（2）一般地當已知條件中含有an與Sn的混合關系時，常需運用關系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先將已知條件轉化為只含an或Sn的關系式，然后再求解．【解題方法點撥】數列的通項的求法：（1）公式法：①等差數列通項公式；②等比數列通項公式．（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an＝．一般地當已知條件中含有an與Sn的混合關系時，常需運用關系式，先將已知條件轉化為只含或的關系式，然后再求解．（3）已知a1?a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，＝．（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．（5）已知＝f（n）求an，用累乘法：an＝（n≥2）．（6）已知遞推關系求an，有時也可以用構造法（構造等差、等比數列）．特別地有，①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b為常數）的遞推數列都可以用待定系數法轉化為公比為k的等比數列后，再求an．②形如an＝的遞推數列都可以用倒數法求通項．（7）求通項公式，也可以由數列的前幾項進行歸納猜想，再利用數學歸納法進行證明．12．利用導數研究函數的單調性【知識點的認識】1、導數和函數的單調性的關系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，則f（x）在（a，b）上是增函數，f′（x）＞0的解集與定義域的交集的對應區(qū)間為增區(qū)間；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，則f（x）在（a，b）上是減函數，f′（x）＜0的解集與定義域的交集的對應區(qū)間為減區(qū)間．2、利用導數求解多項式函數單調性的一般步驟：（1）確定f（x）的定義域；（2）計算導數f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根將f（x）的定義域分成若干個區(qū)間，列表考察這若干個區(qū)間內f′（x）的符號，進而確定f（x）的單調區(qū)間：f′（x）＞0，則f（x）在對應區(qū)間上是增函數，對應區(qū)間為增區(qū)間；f′（x）＜0，則f（x）在對應區(qū)間上是減函數，對應區(qū)間為減區(qū)間．【解題方法點撥】若在某區(qū)間上有有限個點使f′（x）＝0，在其余的點恒有f′（x）＞0，則f（x）仍為增函數（減函數的情形完全類似）．即在區(qū)間內f′（x）＞0是f（x）在此區(qū)間上為增函數的充分條件，而不是必要條件．【命題方向】題型一：導數和函數單調性的關系典例1：已知函數f（x）的定義域為R，f（﹣1）＝2，對任意x∈R，f′（x）＞2，則f（x）＞2x+4的解集為（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）解：f（x）＞2x+4，即f（x）﹣2x﹣4＞0，設g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，則g′（x）＝f′（x）﹣2，∵對任意x∈R，f′（x）＞2，∴對任意x∈R，g′（x）＞0，即函數g（x）單調遞增，∵f（﹣1）＝2，∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，則由g（x）＞g（﹣1）＝0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集為（﹣1，+∞），故選：B題型二：導數和函數單調性的綜合應用典例2：已知函數f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函數f（x）的單調區(qū)間；（Ⅱ）若函數y＝f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，對于任意的t∈[1，2]，函數在區(qū)間（t，3）上總不是單調函數，求m的取值范圍；（Ⅲ）求證：．解：（Ⅰ）（2分）當a＞0時，f（x）的單調增區(qū)間為（0，1]，減區(qū)間為[1，+∞）；當a＜0時，f（x）的單調增區(qū)間為[1，+∞），減區(qū)間為（0，1]；當a＝0時，f（x）不是單調函數（4分）（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3∴，∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）∵g（x）在區(qū)間（t，3）上總不是單調函數，且g′（0）＝﹣2∴由題意知：對于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，所以有：，∴（10分）（Ⅲ）令a＝﹣1此時f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上單調遞增，∴當x∈（1，+∞）時f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，∴l(xiāng)nx＜x﹣1對一切x∈（1，+∞）成立，（12分）∵n≥2，n∈N*，則有0＜lnn＜n﹣1，∴∴13．利用導數研究函數的最值【知識點的認識】1、函數的最大值和最小值觀察圖中一個定義在閉區(qū)間[a，b]上的函數f（x）的圖象．圖中f（x1）與f（x3）是極小值，f（x2）是極大值．函數f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．一般地，在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數f（x）在[a，b]上必有最大值與最小值．說明：（1）在開區(qū)間（a，b）內連續(xù)的函數f（x）不一定有最大值與最小值．如函數f（x）＝在（0，+∞）內連續(xù)，但沒有最大值與最小值；（2）函數的最值是比較整個定義域內的函數值得出的；函數的極值是比較極值點附近函數值得出的．（3）函數f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，是f（x）在閉區(qū)間[a，b]上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件．（4）函數在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個，而函數的極值可能不止一個，也可能沒有一個2、用導數求函數的最值步驟：由上面函數f（x）的圖象可以看出，只要把連續(xù)函數所有的極值與定義區(qū)間端點的函數值進行比較，就可以得出函數的最值了．設函數f（x）在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內可導，則求f（x）在[a，b]上的最大值與最小值的步驟如下：（1）求f（x）在（a，b）內的極值；（2）將f（x）的各極值與f（a）、f（b）比較得出函數f（x）在[a，b]上的最值．【解題方法點撥】在理解極值概念時要注意以下幾點：（1）按定義，極值點x0是區(qū)間[a，b]內部的點，不會是端點a，b（因為在端點不可導）．（2）極值是一個局部性概念，只要在一個小領域內成立即可．要注意極值必須在區(qū)間內的連續(xù)點取得．一個函數在定義域內可以有許多個極小值和極大值，在某一點的極小值也可能大于另一個點的極大值，也就是說極大值與極小值沒有必然的大小關系，即極大值不一定比極小值大，極小值不一定比極大值?。?）若f（x）在（a，b）內有極值，那么f（x）在（a，b）內絕不是單調函數，即在區(qū)間上單調的函數沒有極值．（4）若函數f（x）在[a，b]上有極值且連續(xù)，則它的極值點的分布是有規(guī)律的，相鄰兩個極大值點之間必有一個極小值點，同樣相鄰兩個極小值點之間必有一個極大值點，一般地，當函數f（x）在[a，b]上連續(xù)且有有限個極值點時，函數f（x）在[a，b]內的極大值點、極小值點是交替出現(xiàn)的，（5）可導函數的極值點必須是導數為0的點，但導數為0的點不一定是極值點，不可導的點也可能是極值點，也可能不是極值點．14．平面向量的基本定理【知識點的認識】1、平面向量基本定理內容：如果e1、e2是同一平面內兩個不共線的向量，那么對這一平面內任一，有且僅有一對實數λ1、λ2，使．2、基底：不共線的e1、e2叫做平面內表示所有向量的一組基底．3、說明：（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共線就行．（2）由定理可將任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．15．正弦定理【知識點的認識】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理內容＝2R（R是△ABC外接圓半徑）a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accosB，c2＝a2+b2﹣2abcosC變形形式①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②sinA＝，sinB＝，sinC＝；③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝，cosB＝，cosC＝解決三角形的問題①已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊；②已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和其他兩角①已知三邊，求各角；②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角在△ABC中，已知a，b和角A時，解的情況A為銳角A為鈍角或直角圖形關系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞b解的個數一解兩解一解一解由上表可知，當A為銳角時，a＜bsinA，無解．當A為鈍角或直角時，a≤b，無解．2、三角形常用面積公式1．S＝a?ha（ha表示邊a上的高）；2．S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．3．S＝r（a+b+c）（r為內切圓半徑）．【解題方法點撥】正余弦定理的應用1、解直角三角形的基本元素．2、判斷三角形的形狀．3、解決與面積有關的問題．4、利用正余弦定理解斜三角形，在實際應用中有著廣泛的應用，如測量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識（1）測距離問題：測量一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離問題，用正弦定理就可解決．解題關鍵在于明確：①測量從一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離問題，一般可轉化為已知三角形兩個角和一邊解三角形的問題，再運用正弦定理解決；②測量兩個不可到達的點之間的距離問題，首先把求不可到達的兩點之間的距離轉化為應用正弦定理求三角形的邊長問題，然后再把未知的邊長問題轉化為測量可到達的一點與不可到達的一點之間的距離問題．（2）測量高度問題：解題思路：①測量底部不可到達的建筑物的高度問題，由于底部不可到達，因此不能直接用解直角三角形的方法解決，但常用正弦定理計算出建筑物頂部或底部到一個可到達的點之間的距離，然后轉化為解直角三角形的問題．②對于頂部不可到達的建筑物高度的測量問題，我們可選擇另一建筑物作為研究的橋梁，然后找到可測建筑物的相關長度和仰、俯角等構成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．點撥：在測量高度時，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一鉛錘面內，視線與水平線的夾角．當視線在水平線之上時，成為仰角；當視線在水平線之下時，稱為俯角．16．余弦定理【知識點的認識】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理內容＝2R（R是△ABC外接圓半徑）a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accos_B，c2＝a2+b2﹣2abcos_C變形形式①a＝2RsinA，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；②sinA＝，sinB＝，sinC＝；③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝，cosB＝，cosC＝解決三角形的問題①已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊；②②已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和其他兩角①已知三邊，求各角；②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角【解題方法點撥】正余弦定理的應用1、解直角三角形的基本元素．2、判斷三角形的形狀．3、解決與面積有關的問題．4、利用正余弦定理解斜三角形，在實際應用中有著廣泛的應用，如測量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識（1）測距離問題：測量一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離問題，用正弦定理就可解決．解題關鍵在于明確：①測量從一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離問題，一般可轉化為已知三角形兩個角和一邊解三角形的問題，再運用正弦定理解決；②測量兩個不可到達的點之間的距離問題，首先把求不可到達的兩點之間的距離轉化為應用正弦定理求三角形的邊長問題，然后再把未知的邊長問題轉化為測量可到達的一點與不可到達的一點之間的距離問題．（2）測量高度問題：解題思路：①測量底部不可到達的建筑物的高度問題，由于底部不可到達，因此不能直接用解直角三角形的方法解決，但常用正弦定理計算出建筑物頂部或底部到一個可到達的點之間的距離，然后轉化為解直角三角形的問題．②對于頂部不可到達的建筑物高度的測量問題，我們可選擇另一建筑物作為研究的橋梁，然后找到可測建筑物的相關長度和仰、俯角等構成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．點撥：在測量高度時，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一鉛錘面內，視線與水平線的夾角．當視線在水平線之上時，成為仰角；當視線在水平線之下時，稱為俯角．17．復數的代數表示法及其幾何意義【知識點的認識】1、復數的代數表示法建立了直角坐標系來表示復數的平面叫做復平面．在復平面內，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸，x軸的單位是1，y軸的單位是i，實軸與虛軸的交點叫做原點，且原點（0，0），對應復數0．即復數z＝a+bi→復平面內的點z（a，b）→平面向量．2、除了復數與復平面內的點和向量的一一對應關系外，還要注意：（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示復數z對應的點到原點的距離為a；（2）|z﹣z0|表示復數z對應的點與復數z0對應的點之間的距離．3、復數中的解題策略：（1）證明復數是實數的策略：①z＝a+bi∈R?b＝0（a，b∈R）；②z∈R?＝z．（2）證明復數是純虛數的策略：①z＝a+bi為純虛數?a＝0，b≠0（a，b∈R）；②b≠0時，z﹣＝2bi為純虛數；③z是純虛數?z+＝0且z≠0．18．復數的運算【知識點的認識】復數的加、減、乘、除運算法則19．棱柱的結構特征【知識點的認識】1．棱柱：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱．棱柱用表示底面各頂點的字母來表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．2．認識棱柱底面：棱柱中兩個互相平行的面，叫做棱柱的底面．側面：棱柱中除兩個底面以外的其余各個面都叫做棱柱的側面．側棱：棱柱中兩個側面的公共邊叫做棱柱的側棱．頂點：棱柱的側面與底面的公共頂點．高：棱中兩個底面之間的距離．3．棱柱的結構特征根據棱柱的結構特征，可知棱柱有以下性質：（1）側面都是平行四邊形（2）兩底面是全等多邊形（3）平行于底面的截面和底面全等；對角面是平行四邊形（4）長方體一條對角線長的平方等于一個頂點上三條棱的長的平方和．4．棱柱的分類（1）根據底面形狀的不同，可把底面為三角形、四邊形、五邊形…的棱柱稱為三棱柱、四棱柱、五棱柱…．（2）根據側棱是否垂直底面，可把棱柱分為直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面為正多邊形，則稱其為正棱柱．5．棱柱的體積公式設棱柱的底面積為S，高為h，V棱柱＝S×h．20．棱柱、棱錐、棱臺的體積【知識點的認識】柱體、錐體、臺體的體積公式：V柱＝sh，V錐＝Sh．21．球的體積和表面積【知識點的認識】1．球體：在空間中，到定點的距離等于或小于定長的點的集合稱為球體，簡稱球．其中到定點距離等于定長的點的集合為球面．2．球體的體積公式設球體的半徑為R，V球體＝3．球體的表面積公式設球體的半徑為R，S球體＝4πR2．【命題方向】考查球體的體積和表面積公式的運用，常見結合其他空間幾何體進行考查，以增加試題難度，根據題目所給條件得出球體半徑是解題關鍵．22．平面與平面垂直【知識點的認識】平面與平面垂直的判定：判定定理：如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直．平面與平面垂直的性質：性質定理1：如果兩個平面垂直，則在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面．性質定理2：如果兩個平面垂直，那么經過第一個平面內的一點垂直于第二個平面的直線在第一個平面內．性質定理3：如果兩個相交平面都垂直于第三個平面，那么它們的交線垂直于第三個平面．性質定理4：三個兩兩垂直的平面的交線兩兩垂直．23．軌跡方程【知識點的認識】1．曲線的方程和方程的曲線在平面內建立直角坐標系以后，坐標平面內的動點都可以用有序實數對（x，y）表示，這就是動點的坐標．當點按某種規(guī)律運動形成曲線時