數(shù)列的概念及表示

考點(diǎn)數(shù)列的概念及表示

1.（2013課標(biāo)I理,12,5分）設(shè)△AnBnCn的三邊長分別為an,bn,Cn,/XAnBnCn的面積為Sn,"1,2,3,….若

bi>ci,bi+ci=2ai,an+i=an,bn+i=@要2^+尸々學(xué)嘰，貝！1（）

A.｛Sn｝為遞減數(shù)列

B.｛S"為遞增數(shù)列

C.｛S2A1｝為遞增數(shù)列,｛S2n｝為遞減數(shù)列

D.｛SMI｝為遞減數(shù)列,｛S2n｝為遞增數(shù)列

答案B由bn+尸嗎0,Cn+尸生#得

bn+1+Cn+l=an+](bn+Cn),(*)

bn+l-Cn+l=-2(bn-Cn),

由an+kan得an二ai,代入(*)得bn+1+cn+i=ai+1(bn+cn),

??bn+i+Cn+i-2ai=2(bn+Cn-2ai),

Vbi+ci-2ai=2ai-2ai=0,.,.bn+Cn=2ai>|BnCn|詢,所以點(diǎn)An在以Bn、Cn為焦點(diǎn)且長軸長為2al的橢圓上（如圖）.

由bl>Cl得bl-Cl>0,所以bn+l-Cn+l|=2（bn-Cn）即bn-Cn|=（bl-Cl）?⑤，所以當(dāng)n增大時(shí)|bn-Cn|變小，即點(diǎn)An向點(diǎn)A

處移動(dòng)，即邊BnCn上的高增大，又|BnCn|=an=ai不變，所以｛Sn｝為遞增數(shù)列.

2.(2016浙江，理13,文13,6分)設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為S”若S2=4,an+i=2Sn+l,nGN*,則

ai=,Ss=.

答案1；121

解析解法一「.,a11+1=2511+1,，22=251+1,即52y1=221+1,又：52=4,，4出1=221+1,解得ai=l.又an+i=Sn+i-Sn,

.,.Sn+l-Sn=2Sn+l,BPSn+l=3Sn+l,由S2=4,可求出S3=13,S4=40,S5=121.

解法二:由an+i=2Sn+l,得a2=2Si+l,BPS2-ai=2ai+l,XS?=4,，4-ai=2ai+l,解得ai=l.又

an+l=Sn+l-Sn,ASn+l-Sn=2Sn+1,BPSn“=3Sn+l,貝!JSn+l+1=3(S”+'，又Sl+1=|,.,.3n+)是首項(xiàng)為|,公比為3的

等比數(shù)列，

12Qn_1

/?Sn+2=2X3"I，即Sn=-2-，*,?S5=-2~=121.

評(píng)析本題考查了數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn與an的關(guān)系，利用an+產(chǎn)Sn+1-Sn得出Sn+l=3Sn+l是解題的關(guān)鍵.

3.(2015課標(biāo)H理,16,5分)設(shè)Sn是數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，且ai=-l,an+l=SnSn+l,則Sn=.

答案3

解析*m=5什14,.飛什1&=5什0,又由ai=-l,知Sn#。,；。-——是等差數(shù)列,且公差為-L而

^n+10九J

1111

■?-="=-1,?,?-F---1+(n-l)x(-l)=-n,S=--.

J]J九n"

4.(2014課標(biāo)II文』6,5分)數(shù)列⑶｝滿足an+i=丁丁趣=2,則a尸

an

林崇-

口木2

11

解析由an+1=1_7■，得an=1------,

L-anan+l

...11

?as—2,??a7=l-1=2，

a6=1I1lI,a5=1l-1-=2c,---,

a7a6

???｛an｝是以3為周期的數(shù)列，

.__1

??3i—a.7—12'

71

5.(2013課標(biāo)IS.14,5分)若數(shù)列｛a"的前n項(xiàng)和Sn=(an+東則⑶｝的通項(xiàng)公式是a?=.

答案(-2)"-1

n-1

解析由Sn=|an+：得當(dāng)n》2時(shí),SnT=|an-i+/，，當(dāng)n》2時(shí),an=-2a?i,又n=lH^t,Si=ai=|ai+^,ai=1,an=(-2).

6.(2022北京,15,5分)已知數(shù)列｛a?｝的各項(xiàng)均為正數(shù),其前n項(xiàng)和S,滿足a“S=9("=l,2,…).給出下列四個(gè)

結(jié)論：

①｛為｝的第2項(xiàng)小于3;

②｛?。秊榈缺葦?shù)列；

③｛a”｝為遞減數(shù)列；

④｛飆｝中存在小于擊的項(xiàng).

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

答案①③④

解析當(dāng)n=l時(shí),ai-ai=9,由ai>0,得ai=3,

當(dāng)n=2時(shí),。2$二。2(。2+3)=9,即度+3a2-9=0,

解得〃2=-售￡又?2>0,所以42=3弓3,所以。2<3,故①正確.

dn+l-Cln=—----白=又知各項(xiàng)均為正數(shù),所以Sn+l>Sn,所以S?-Sn+l<0,即-?！?lt;0.所以〃〃+1<斯,所以

^n+l^n+l'^n

數(shù)列l(wèi)a?｝為遞減數(shù)歹!J,故③正確.

由Sn-Cln=9得Sn=—,當(dāng)論2時(shí),an=SnSn-l=------兩邊同乘4〃得底=9嗎L,若｛〃〃｝為等比數(shù)列,設(shè)公比為

ananan-lan-l

q,則上=4（定2）為常數(shù),則嗎也為常數(shù)，由③知｛斯｝是遞減數(shù)列,所以｛斯｝不為等比數(shù)列,故②錯(cuò)誤.

an-l

假設(shè)｛??｝中所有項(xiàng)均大于或等于擊,即。侖擊,取?>90000,則S“=ai+a2+…磊x90000=900,

a,rSn>^x900=9,與已知a?-Sn=9相矛盾，所以④正確.

故正確結(jié)論的序號(hào)為①③④.

7.（2016課標(biāo)III理17,12分）已知數(shù)列⑶｝的前n項(xiàng)和Sn=l+Mn,其中杼0.

（1）證明｛a0｝是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；

（2）若S5二岸求1

解析（1）由題意得ai=Si=l+Xai,

1

故九Wl,ai=含向W0.（2分）

由Sn—1+Xan,Sn+1—1+Xan+1得an+1—Xan+1-Xan,BPan+iQ-l）=入na.由aiWO,入WO得anWO,所以

因此⑶｝是首項(xiàng)為七，公比為￡的等比數(shù)列，于是an=占（含）代分）

（2）由⑴得Sn=l-（含）”

由S5號(hào)得M含）號(hào)，即（含）喘.

解得%=-1.（12分）

思路分析（1）先由題設(shè)利用a?+i=s?+l-s?得到an+1與a?的關(guān)系式,要證數(shù)列是等比數(shù)列，關(guān)鍵是看am與之

比是否為一常數(shù)，其中說明a?^0是非常重要的.（2）利用第⑴問的結(jié)論解方程求出X.

8.（2014大綱全國文,17,10分）數(shù)列｛a“滿足ai=l,a2=2,an+2=2an+i-an+2.

⑴設(shè)bn=an+1-an,證明｛bn｝是等差數(shù)列；

（2）求｛an｝的通項(xiàng)公式.

解析⑴證明:由an+2=2an+i-an+2得，

an+2-an+i=an+i-an+2，即bn+i=bn+2.

又bi=a2-ai=l,

所以｛bn｝是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列.（5分）

（2）由⑴得bn=l+2（n-l）,即an+i-an=2n-l.（8分）

于是￡（以+1-以）=￡（2/c-l）,

fc=ifc=i

2

所以an+i-ai=n2,即an+i=n+ai.

2

又ai=l,所以⑸｝的通項(xiàng)公式為an=n-2n+2.（10分）

評(píng)析本題著重考查等差數(shù)列的定義、前n項(xiàng)和公式及“累加法”求數(shù)列的通項(xiàng)等基礎(chǔ)知識(shí),同時(shí)考查運(yùn)算

變形的能力.

9.（2014課標(biāo)I理.17,12分）已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,ai=l,a#O,anan+總ST其中X為常數(shù),

⑴證明:an+2-an=入；

⑵是否存在兒使得｛an｝為等差數(shù)列?并說明理由.

解析(l)lJE明:由題設(shè)anan+l=ASn-l知@11+1@11+2=九511+1-1.兩式相//^彳導(dǎo)也11+1311+2也11)=入@11+1.

由于an+iWO,用i以an+2-an=入.

⑵存在.由ai=l,aia2=M-l,可得@2=入-1,由6知23=入+1.令2a2=ai+a3,解得入=4.

故an