湖南省岳陽(yáng)市2024屆高三下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)（二）數(shù)學(xué)試

題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.拋物線f=8y的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）

A.（4,0）B.（0,4）C.（2,0）D.（0,2）

2.已知集合Af={%|尤2-3尤一440},N={x|y=ln（x-2）},則AfcN=（）

A.（2,4）B.（2,4]C.（-1,4]D.[-1,4]

3.已知{風(fēng)}為等差數(shù)列，弓+/+生=15,4+4+4=33,則佝=（）

A.6B.12C.17D.24

4.函數(shù)/（x）=6+12x-無(wú)3的極小值點(diǎn)為（）

A.（4,—10）B.（—2,—10）C.4D.—2

5.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.若隨機(jī)變量小、:滿足—且。仁）=3,則。（〃）=12

B.樣本數(shù)據(jù)50,53,55,59,62,68,70,73,77,80的第45百分位數(shù)為62

C.若事件A、3相互獨(dú)立，則P（A|3）=P（A）

D.若A、B兩組成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)分別為。=0.95、-0.98,則A組數(shù)據(jù)的

相關(guān)性更強(qiáng)

A.coso+sino=一

3

B.cosa+sina=——

3

8

C.sm2a9-

D.sin26z=—

9

7.設(shè)Q=log23,Z?=log35,c=log58,則()

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>a>b

8.已知點(diǎn)是圓f+V=16上的兩點(diǎn)，若ZAO8=',則

,—2|+民+%—4的最大值為（）

A.16B.12C.8D.4

二、多選題

9.設(shè)a,4是關(guān)于x的方程2必+px+q=O的兩根，其中乙4€口.若。=2>3@為虛

數(shù)單位），則（）

A.6=2i+3B.p+q=38C.a+（3=-6D.|a|+|/?|=2A/13

10.已知函數(shù)/（x）的定義域?yàn)镽,對(duì)任意x,yeR都有

2（亨］.寧］=〃”+/3,且/⑴=一1,則下列說(shuō)法正確的是（）

A./（-1）=1B./［尤+；）為奇函數(shù)

C./（x）-/（2-x）=OD./（1）+/（2）+/（3）+-+/（2025）=-1

11.如圖，已知正方體ABC。-A與￡A的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)/為8C的中點(diǎn)，點(diǎn)P為正方形

4月G2內(nèi)（包含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，貝U（）

A.滿足"P//平面4BZ）的點(diǎn)尸的軌跡為線段

B.若MP=2插,則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)度為三

TTTT

C.直線A3與直線MP所成角的范圍為

o2_

D.滿足"P_L3的點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)度為好

2

三、填空題

12.岳陽(yáng)樓地處岳陽(yáng)古城西門城墻之上，下瞰洞庭，前望君山.因范仲淹的《岳陽(yáng)樓記》

著稱于世，自古有“洞庭天下水，岳陽(yáng)天下樓”之美譽(yù).小明為了測(cè)量岳陽(yáng)樓的高度A3,

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

他首先在C處，測(cè)得樓頂A的仰角為60。，然后沿8c方向行走22.5米至。處，又測(cè)得

樓頂A的仰角為30。，則樓高A3為米.

13.若曲線/(x,y)=0上兩個(gè)不同點(diǎn)處的切線重合，則稱這條切線為曲線/(%y)=0的

“自公切線”，則下列方程對(duì)應(yīng)的曲線中存在“自公切線”的序號(hào)

為.

2222

Q)y=x-2|x|;@y=3sinx+4co&x;?3J;-xy+1-0;@x+_y-x-|x|-l=0.

22

14.已知橢圓C:*+/=l(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為不F2,其中忻用=2c,過(guò)耳

的直線,與橢圓C交于48兩點(diǎn)，若入月-鉆=402,則該橢圓離心率的取值范圍是

四、解答題

15.如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面A3CD是矩形，側(cè)棱PD，底面ABCD,

PD=DC=2AD=2,E是PC的中點(diǎn)，作EF工PB交PB于點(diǎn)F.

⑴求證：平面。EP；

(2)求二面角8-1組-尸的正弦值.

16.用1,2,3,4,5,6這六個(gè)數(shù)組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，則

(1)在數(shù)字1,3相鄰的條件下，求數(shù)字2,4,6也相鄰的概率；

(2)對(duì)于這個(gè)六位數(shù)，記夾在三個(gè)偶數(shù)之間的奇數(shù)的總個(gè)數(shù)為X,求X的分布列與期望.

17.已知函數(shù)〃x)=(xT)e"-<xv2,aeR.

⑴當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；

⑵若方程〃力+。=0有三個(gè)不同的實(shí)根，求。的取值范圍.

18.已知A(-2,0),B(2,0),設(shè)動(dòng)點(diǎn)Q滿足直線AQ,8Q的斜率之積為4,記動(dòng)點(diǎn)。的軌

跡為曲線￡.

⑴求曲線E的方程；

⑵點(diǎn)尸為直線％=-1上的動(dòng)點(diǎn)，直線與曲線E交于點(diǎn)C(不同于點(diǎn)A),直線PB與

曲線E交于點(diǎn)。(不同于點(diǎn)B).證明：直線8過(guò)定點(diǎn).

19.已知數(shù)列1,L2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,其中第一項(xiàng)是2°，

接下來(lái)的兩項(xiàng)是2°，2、再接下來(lái)的三項(xiàng)是2°，2b2,依此類推.設(shè)該數(shù)列的前九項(xiàng)

和為S“，規(guī)定：若加?eN*,使得S,“=2P(peN),則稱加為該數(shù)列的“佳幕數(shù)”.

(1)將該數(shù)列的“佳幕數(shù)”從小到大排列，直接寫出前4個(gè)“佳事數(shù)”；

⑵試判斷50是否為“佳基數(shù)”，并說(shuō)明理由；

(3)(i)求滿足冽＞1000的最小的“佳暮數(shù)”加;

(ii)證明：該數(shù)列的“佳哥數(shù)”有無(wú)數(shù)個(gè).

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

參考答案:

1.D

【解析】拋物線交點(diǎn)坐標(biāo)為（。,今），算出「即可.

【詳解】由V=8y=2px,得。=4,故拋物線V=8y的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0,2）.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義及方程，求拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，一定要注意將方程標(biāo)準(zhǔn)化,

本題是一道基礎(chǔ)題.

2.B

【分析】解二次不等式與求對(duì)數(shù)型函數(shù)定義域化簡(jiǎn)集合再利用集合的交集運(yùn)算即可

得解.

【詳解】因?yàn)镸={X|X2-3X-4V0}={X|-1VX<4},

N={x|y=ln（x—2）}={x|x>2},

所以McN={x|2<x44}=（2,4].

故選：B.

3.C

【分析】設(shè)等差數(shù)列{4}的公差為d,根據(jù)題意，結(jié)合等差數(shù)列的基本量的運(yùn)算，求得d=2

和。3=5,結(jié)合%=生+64,即可求解.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列{%}的公差為d,

因?yàn)?+%+。5=15,。4+。6+。8=33,

可得9d=（。4+。6+6）_（4+4+%）=33-15=18,解得d=2,

又由％+。3+。5=15,可得4+。3+。5=3。3=15,解得〃3=5,

所以。9=%+6d=5+6x2=17.

故選：C.

4.D

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)性，從而求出極值點(diǎn).

【詳解】函數(shù)〃尤）=6+12》一V的定義域?yàn)镽,且尸（力=12-3爐=3（2-力（2+力，

答案第1頁(yè)，共17頁(yè)

所以當(dāng)一2<x<2時(shí)/々x)>0,當(dāng)x<—2或尤>2時(shí)/'(x)<0,

所以f(x)在(-2,2)上單調(diào)遞增，在(F,-2),(2,+向上單調(diào)遞減,

所以/(x)在x=-2處取得極小值，在x=2處取得極大值,

即極小值點(diǎn)為-2,極大值點(diǎn)為2.

故選：D

5.D

【分析】根據(jù)方差的性質(zhì)判斷A,根據(jù)百分位數(shù)計(jì)算規(guī)則判斷B,根據(jù)相互獨(dú)立事件及條件

概率概率公式判斷C,根據(jù)相關(guān)系數(shù)的概念判斷D.

【詳解】對(duì)于A：因?yàn)椤?2>1且￡>?=3,所以￡>(〃)=。(2舁1)=22x0(/=12,故A

正確；

對(duì)于B：因?yàn)?0x45%=4.5,所以第45百分位數(shù)為從小到大排列的第5個(gè)數(shù)，即為62,故

B正確；

對(duì)于C：若事件A、B相互獨(dú)立，則尸(M)=P(A)P(3),

所以尸(A|8)=勺"==1(A),故C正確；

P叫尸⑷

對(duì)于D：若A、3兩組成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)分別為以=。95、^=-0.98,

因?yàn)橥?gt;以|，所以3組數(shù)據(jù)的相關(guān)性更強(qiáng)，故D錯(cuò)誤.

故選：D

6.C

［分析】分類討論并利用誘導(dǎo)公式對(duì)si“T+“+cosC=；進(jìn)行化簡(jiǎn)，再利用同角三

角函數(shù)關(guān)系式、倍角公式的逆用求得sin2a.

【詳解】設(shè)ZeZ

①“=4左時(shí)，sin(T+cir]+cos(￡-(z]=sin(2E+c)+cos(2E-c)=sina+cose=；,

②〃=4左+1時(shí)，

.(rm)(rm…兀)兀\1

sin——+a+cos----a=sin2kn+—+a+cos2E+——a=cosa+sma=-,

UJUJI2JI2J3

③〃=4左+2時(shí)，

答案第2頁(yè)，共17頁(yè)

1

sin(2左兀+兀+a)+cos(2左兀+兀一a)=—sina-cosa=—

3

止匕時(shí)cosa+sina=——

④〃=4左+3時(shí)，

.(mi\(rm\.(^3)3\1

UJUJI2JI2J3

止匕時(shí)cosa+sina=——

綜合①②③④，可以排除A、B,

(sina+cosaj=sin2a+cos2a+2sinacosa=sin2a+cos2a+sin2a=1+sin2a=g

Q

所以sin2a=-,,

故選：C.

7.A

333

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)得出。>b<=,c<=,然后利用作差法比較b與。的大小關(guān)

222

系即可.

33

【詳解】因?yàn)??>23,所以log?3?>log?23,即210g23>3,所以logzB>^,即

33

因?yàn)?2<33,所以1(^52<log333,即210g35<3,所以logsSv],即><5；

33

因?yàn)??<53,所以logs82<logs53,即210g58<3,所以logsSv^，即

又因?yàn)槿艘籧=log35-log58=-^―-log58=]-I。：3.log,8,

log53log53

_B2^1og53-log58<log53+log58=log524<log525=2,

所以logs3?logs8v1,所以b-c>0,所以b〉c；

綜上所述，a>b>c.

故選：A.

8.B

【分析】題目轉(zhuǎn)化為A、5至!J直線％+y—2=0的距離之和，變換得到|AC|+|BD|=2|跖利

用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化求解即可.

【詳解】因?yàn)?占，%）、BU2,%）在圓X2+V=16上，ZAOB=p

答案第3頁(yè)，共17頁(yè)

因?yàn)閨。4|=|。切=4,貝|AC?是等腰直角三角形，

|%+%-2|+|%2+%-2|表示人、5到直線%+丁-2=。的距離之和的6倍,

2

原點(diǎn)。到直線x+y-2=0的距離為d=u=7I,如圖所示：

ACYCD,BDVCD,E是AB的中點(diǎn)，作EF1CD于歹，

且\AC\+\BD\=2\EF\,\OE\=^\AB\=242,

\EF\<\OE\+d=342,當(dāng)且僅當(dāng)。，及廠三點(diǎn)共線，且瓦尸在0的兩側(cè)時(shí)等號(hào)成立,

又IEF|=；(|80+1AC|),故忸口+|AC|的最大值為6母

|%+%-21+1%+%-21的最大值為2夜x3A/2=12.

【分析】根據(jù)虛根成對(duì)原理可得￡=-2i-3,再由韋達(dá)定理求出〃、q,最后計(jì)算模即可.

【詳解】因?yàn)?。，夕是關(guān)于元的方程2爐+p%+q=。的兩根，其中乙且a=2i—3,

所以尸二—2i—3,

所以a+￡=(2i-3)+(-2i-3)=-6=-f,所以p=12,

a,^=(2i-3)-(-2i-3)=13=^,所以《=26,

則。+4=38,故A錯(cuò)誤，B正確，C正確；

同+期=J(-3)2+2?+^(-3)2+(-2)2=2而,故D正確.

故選：BCD

10.BCD

【分析】根據(jù)題意運(yùn)用賦值代入法計(jì)算，結(jié)合函數(shù)的奇偶性、周期性逐一驗(yàn)證選項(xiàng)可得答案.

答案第4頁(yè)，共17頁(yè)

【詳解】令x=y=l,則2/(l)/(O)=/(l)+/(l)=2/(l),所以/(0)=1,

令x=-Ly=l,則2/(O)/(-l)=/(-l)+/(l)=2/(-l),==故A錯(cuò)誤;

要證+為奇函數(shù)，只需證，x+￡|+/[-.=0,即/⑺+/(1-x)=0,

令x=l,y=O,則=+/⑼=0,?6]=0,

令y=l-x,則=+一無(wú))=0，所以成立，故B正確；

令。=T,則2/(O)/(X)=〃X)+/(T)=2/(X),.?"(X)=〃T),所以/(x)為偶函數(shù)，

由B可知，=所以"1一x)=-〃x)=-/(-x),則有

/(2-x)=-/(l-x)=/(x),故C正確；

由C可知〃2r)=〃x),又/(無(wú))為偶函數(shù)，所以"2-尤)=/(—),則/(元)周期為2,

=/(2)=/(0)=1,所以〃1)+/(2)+/(3)+…+”2025)=1012x0-1=-!,故D

正確.

故選：BCD

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：(1)若/(尤)為奇函數(shù)，則滿足/(x)=-〃r),若〃x)為偶函數(shù)，則

滿足/(x)=〃r);(2)若〃元)為周期函數(shù)，且周期為T,則滿足/(x+T)=/(x)；(3)

若〃x)關(guān)于點(diǎn)(。,0)對(duì)稱，且關(guān)于直線x=b對(duì)稱，則〃尤)為周期函數(shù)，周期為4,-墳

11.AD

【分析】利用正方體的特值構(gòu)造面面平行可判定A,利用圓的定義與弧長(zhǎng)公式可判定B,設(shè)

尸坐標(biāo)，利用正切函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算判定C,利用線面垂直及勾股定理可判定D.

【詳解】對(duì)于A,如圖所示，取棱朗，4耳，42。2/^的中點(diǎn)分別為石,￡6,a,/,

連接ERFG、GH、HI、IM、ME,

根據(jù)正方體的特征易知EMHA.D//GH,EFII\B//HI,GF//BD11MI,

則瓦尸,共面，且BD//平面EFGmM,B&//平面EFGHIM,

又BD,網(wǎng)u平面BD\且相交于8,故平面B￡>A〃平面EFGHIM,

所以滿足MP〃平面4B。的點(diǎn)尸的軌跡為線段FG,

答案第5頁(yè)，共17頁(yè)

故A正確；

對(duì)于B,設(shè)M到上底面的投影為N,易知MN=2,而MP=2啦，所以NP=2,

即尸在以N為圓心，半徑為2的圓上，

7TQir

且P在正方形4與G2內(nèi)，如圖所示，即JK上，易知NJNK=三,所以JK的長(zhǎng)度為寸，

故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,

如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，取AD的中點(diǎn)。，連接作PLJLMQ,

設(shè)尸(演％2片,產(chǎn)［0,2］),則L(l,y,0),M(1,2,0),

易知直線AB與直線MP所成角為"MQ,

7T

顯然當(dāng)P為4G的中點(diǎn)時(shí)，止匕時(shí)NPMQ=,,y=2,

、［//-)n_LIPL\X-1)+4

當(dāng)y、2時(shí),tan/PMQuyJ-L=——L——‘

\LM\2-y

答案第6頁(yè)，共17頁(yè)

易知&_嚀+422,2-ye(0,2],

TT

若/PM。最小，則需x=l,y=0,止匕時(shí)/PMQ=巴，故C錯(cuò)誤；

4

對(duì)于D,取CS=：DC,RG=；DG，

可知RN//SM,RN=SM,即RN、M、S共面，

在底面正方形中易知?=《=?,NA8M=NSCM,貝!|SCM~MBA^>ZAMS=90,

CM2AB

結(jié)合正方體的性質(zhì)可知MZV_L底面ABC。，AM口底面ABCD,

所以

而MNcSM=M,MN、SMa平面RNMS,

所以平面用VMS,故尸在線段歡上運(yùn)動(dòng)，

p45一

,4

【分析】在Rt/XABC中，用表示BC,在RtA4B￡＞中，用表示根據(jù)8的長(zhǎng),

可求解AB.

【詳解】RtAABC中，^LACB=60,----=tan60=V3,BC=,

BC3

RtAABD中，ZADB=30,—=tan30=—,BD=73AB,

BD3

因?yàn)镃D=22.5米，所以BD-BC=CAB-^^=^^AB=225,

33

解得：48=至叵

4

故答案為：竺叵

4

13.①②④

答案第7頁(yè)，共17頁(yè)

【分析】①在X=—1和X=1處的切線者B是y=-1,故有“自公切線”;②此函數(shù)為周期函數(shù)，過(guò)

圖象的最高點(diǎn)的切線都重合或過(guò)圖象的最低點(diǎn)的切線都重合，故有“自公切線”；將③化簡(jiǎn)為

y=3x+-,求出y'=3y,設(shè)切點(diǎn)分別為443%+」),B(x2,3x2+-),通過(guò)

XX2玉工2

3xH-------(3XH—)

心2121石9%，解方程即可判定；④畫出圖形即可判斷.

k=3--r=3一一-=-----------------

xxx2-x2

(x—1)—1,x>0

【詳解】①>=/-2國(guó)='7，在％=—1和x=i處的切線都是y=-i,故①有“自

(尤+1)--l,x<0

公切線”；

②y=3sinx+4cosx=5sin(x+/),其中cose=g,sin^=-1,

此函數(shù)為周期函數(shù)，過(guò)圖象的最高點(diǎn)的切線都重合或過(guò)圖象的最低點(diǎn)的切線都重合，

故此函數(shù)有“自公切線”，即②有“自公切線”；

③一孫+1=0,即y=3x+!(xw0),貝Uy'=3-±,

XX

假設(shè)有“自公切線”，設(shè)切點(diǎn)分別為443占+,),B(x2,3x2+—),且X產(chǎn)馬，

X]x2

所以切線的斜率k=3-5=3-*，解得：％=-%，

13xH----(—3%.----)

則8(一玉,一3玉---),故心a1王玉，

否k=3—-=------------------

與石一(一七)

化簡(jiǎn)得：3^1+-=3^--,無(wú)解，所以③沒(méi)有“自公切線”.

(4)d+,2_%一|%|_1=0,

當(dāng)XNO,則(x-l)2+y2=2,當(dāng)％vO,則％2+y2=],

表示的圖形如下，由于兩圓相交，有公切線，所以④有“自公切線”.

答案第8頁(yè)，共17頁(yè)

【分析】先設(shè)出點(diǎn)A,借助向量數(shù)量積求得A的軌跡，再利用橢圓的幾何性質(zhì)列出不等式求

出即得.

【詳解】設(shè)點(diǎn)而耳（―G。）,工（G。），貝！J=（—c—%,—%）,=（?！?—%）,

由=4。2,得（一c—%,一%）.（0-和-%）=小一（?+y；=402,即工;+y；=5c>,

因此點(diǎn)A在以（0,0）為圓心，半徑為丘的圓上，而A點(diǎn)在橢圓上，則圓/+y2=5,與橢圓

r2V2

鼻+2=1有公共點(diǎn)，

ab

由橢圓的幾何性質(zhì)知,^b2<5c2<a2,亦即/工5c2,

整理得5c2Wa246c2,即所以橢圓離心率ee［骼，

故答案為：［骼,9］

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的三種方法：

①定義法：通過(guò)已知條件列出方程組，求得。得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率e；

②齊次式法：由己知條件得出關(guān)于的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的一元二次方程

求解；

③特殊值法：通過(guò)取特殊值或特殊位置，求出離心率.

15.（1）證明見(jiàn)解析

⑵遇

9

【分析】（1）由線面垂直的判定定理證明即可；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩平面的法向量，求夾角的余弦值即可.

【詳解】（1）證明：因?yàn)榈酌鍭BC。，BCu平面A8CO

所以PDL3C,

因?yàn)樗倪呅蜛BC。是矩形，所以CD_L8C,

又因?yàn)镻。、CDu平面PCD,PDcCD=D,

所以平面尸CD,又Z）Eu平面尸CD,

所以3CLOE,

又因?yàn)镻D=DC=2,E是尸C的中點(diǎn)，所以。后，2。,5（^門尸。=。,3（?,?。<=平面26（?,

所以平面P3C,

答案第9頁(yè)，共17頁(yè)

又PBu平面P3C,所以/)E_LP3,

由已知得EF_LPB,且DEcEF=E,DE,EFu平面DEF,

所以PB_L平面DEF.

(2)以。為原點(diǎn)，以D4,DC,。尸所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)

系，

則0（0,0,0）,5（1,2,0）,￡（0,1,1）,尸（0,0,2）,

由⑴知PB_L平面DEF,所以尸3=(1,2,-2)為平面DEF的一個(gè)法向量,

又=DB=(1,2,0),設(shè)"=(x,y,z)為平面SDE的一個(gè)法向量,

n-DE=0I］：。取〃=(2T1)，

則由＜得

n-DB=0

n-PB—2A/6

貝?。輈os<n,PB>=

同網(wǎng)3瓜9，

設(shè)二面角3-止-尸的大小為0,

貝（Isin。=Jl-gsn,PB

所以二面角3-DE-尸的正弦值為述.

9

16.⑴』

10

3

⑵分布列見(jiàn)解析，-

【分析】(1)分別求出數(shù)字1,3相鄰時(shí)的六位數(shù)個(gè)數(shù)以及數(shù)字1,3相鄰，數(shù)字2,4,6

也相鄰的六位數(shù)的個(gè)數(shù)，根據(jù)條件概率的計(jì)算公式，即可求得答案；

答案第10頁(yè)，共17頁(yè)

（2）確定X的所有可能取值，求出每個(gè)值相應(yīng)的概率，即可得分布列，繼而求得數(shù)學(xué)期望.

【詳解】（1）設(shè)4="數(shù)字1,3相鄰”，設(shè)3="數(shù)字2,4,6相鄰”，

則數(shù)字1,3相鄰時(shí)的六位數(shù)有A；A；=240個(gè),

數(shù)字1,3相鄰，數(shù)字2,4,6也相鄰的六位數(shù)的個(gè)數(shù)為A；A；A；=72,

(,、n(AB\723

則/(5A)=-乂=——二—?

L1n1(A)24010,

（2）X的所有可能取值為0,1,2,3,

因?yàn)?個(gè)偶數(shù)中間共有2個(gè)空隙.由題意知“X=0”表示3個(gè)偶數(shù)相鄰,

4J.

貝”(x=0)=驢

A5

A3plplA3

3V3233

“X=l”表示3個(gè)偶數(shù)中間只插入了1個(gè)奇數(shù)，貝|P（X=1）=

Io,

“X=2”表示3個(gè)偶數(shù)中間共插入了2個(gè)奇數(shù)，可分為兩種情形：0+2和1+1類型,

A；C；A；A；+A；C；A；A；_216_3

貝”(X=2)=

72010

“X=3”表示3個(gè)偶數(shù)中間共插入了3個(gè)奇數(shù)，可分為兩種情形：0+3和1+2類型,

A：C；A；+A；C；C；A；_1

則P（X=3）=

5，

所以X的分布列為

3c3。13

--F2X--F3X—=—

101052

17.（l）〃x）單調(diào)遞增區(qū)間為（-雙。）和（L"）,單調(diào)遞減區(qū)間為（0,1）

LI

【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式即可求出單調(diào)區(qū)間;

(2)由〃x)+a=(x-l)[ex-a(x+l)],可得x=l為/(x)+a=0的一個(gè)根,

答案第11頁(yè)，共17頁(yè)

所以eX-a(x+l)=O有兩個(gè)不同于1的實(shí)根，令g(x)=e'-a(x+l),利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單

調(diào)性，從而得到當(dāng)。>0時(shí)g(lna)<0且g(l)w。，即可求出參數(shù)的取值范圍.

【詳解】(1)當(dāng)。=:時(shí)，函數(shù)〃無(wú))=(尤-1)1-|尤2,

貝!Jf'(x)=xe-'—ex=x(e*-e),令/''(尤)=0得x=0或x=1

當(dāng)龍?Y,0)或xe(l,+oo)時(shí)，>0,當(dāng)尤e(O,l)時(shí)，f'(x)<0,

所以在(-8,0)上單調(diào)遞增，在(1,+⑹上單調(diào)遞增，在(。,1)上單調(diào)遞減，

即當(dāng)時(shí)，/(尤)單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,。)和。,收)，單調(diào)遞減區(qū)間為(。,1).

(2)〃x)+4=(x-l)[eX-q(x+l)],所以x=l為〃x)+a=0的一個(gè)根，

故e'-a(x+l)=0有兩個(gè)不同于1的實(shí)根，

令g(x)=e￡-a(x+l),貝I]g[x)=e*-a,

①當(dāng)aW0時(shí)，g'(x)〉0,故g(x)在R上單調(diào)遞增，不符合題意；

②當(dāng)a>0時(shí)，令g'(x)=0,得尤=lna,

當(dāng)x>lna時(shí)，g'(x)>0,故g(x)在區(qū)間(Ina,+e)上單調(diào)遞增，

當(dāng)x<lna時(shí)，g'(x)<0,故g(x)在區(qū)間(-00,Ina)上單調(diào)遞減，

并且當(dāng)-8時(shí)，g(x)f+oo；當(dāng)尤—+8時(shí)，§(%)->+00;

所以若要滿足題意，只需g(lna)<0且g(l)HO,

因?yàn)間(lna)=e11M-a(lna+l)=—alna<0,所以a>l,

又g(l)=e-2aH0,所以aw：，

所以實(shí)數(shù)°的取值范圍為闖嗚，+j

22

18.⑴土—2L=1(XW±2)

41617

(2)證明見(jiàn)解析

答案第12頁(yè)，共17頁(yè)

【分析】（1）設(shè)點(diǎn)。（％y）,由題意直接列方程=4（"±2）,化簡(jiǎn)即可求解.

x+2x—2

2（巾+4）76%\

（2）（方法一）設(shè)C&，M）,。（々,為），聯(lián)立方程求得C-

寸-4飛-4/

、

D求得直線。的方程，進(jìn)而求得結(jié)果；（方法二）設(shè)

-36片-36,

%.%y。_%

P㈠,%）,C&,%。（孫為），由尸,AC及2瓦。三點(diǎn)共線得

—1+2玉+2'—1—2x?—2

及。（％2，為）均在曲線E上，化簡(jiǎn)整理可得2%匕+5（玉+龍2）+8=0,設(shè)

,2

:y=履+m與曲線￡：工-E=1（XR±2）聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可得m=43進(jìn)而求得結(jié)果;

'CD,

416

（方法三）設(shè)P（T,%）,。（吃，%），

易知直線co不垂直于y軸，所以設(shè)直線8的方程為由P,A,C及三點(diǎn)共

線，及C（&%）,0（%,%）在曲線E上，化簡(jiǎn)可得，f=T,進(jìn)而求得結(jié)果.

【詳解】(1)設(shè)。(％y),則"°=T，kBQ=-^-

%+2x—2

yy22

％k=4整理得土-匕=l(xw

由AQ人BQ

x+2x—2416'

（2）證明：（方法一）設(shè)尸（-1,%）,C（&%）,。（孫％）,

則，PC：＞=-^7(X+2)即=c：y=%(x+2)

—1+，

y=y0(x+2)

聯(lián)立L與曲線E的方程＜

得(蛆-4*+4%2尤+4(%2+4=0且％2_4/o

答案第13頁(yè)，共17頁(yè)

"國(guó)+36）—48%、

同理，可解得。其中為2-36RO

y；-36y；-36.

當(dāng)一

時(shí),即y：=12時(shí),

?。阂?y；-36

2+4

止匕時(shí)一一二—4,所以此時(shí)直線8的方程為x=T;

2

當(dāng)一牛一時(shí),

￡一4Jo-36

直線8的方程為

-48%16yo

2（+4）_8yo24

16%此一364-4蘇國(guó)+

X+x+

y+24

y0~2國(guó)+3%2國(guó)+4）yo一4"2火一4

一4

-8%

整理得＞=（尤+4）,所以直線8過(guò)定點(diǎn)（T,0）

姬-12

（方法二）設(shè)尸（一1,%）＜（%,%）,￡＞（々,%），

%_M%_%

則由P,A,C及P,B,D三點(diǎn)共線得

-1+2玉+2'-1-2X2-2

（LT

將上面兩式相除，再平方可得：9=￥①

（占+2）%

因?yàn)镃（%,yJ,￡＞（%,%）均在曲線E上,

故滿足靖=4（占2一4）；為2=4仁一4

……4（工；一4）（x-2）（%2-2）

將②代入①可得9=——

（玉+2）4伍-4）（玉?+2）（二%+2）

整理可得2番%+5（%,+9）+8=0③

當(dāng)直線。的斜率存在時(shí)，設(shè)G：y=履+機(jī)

,2

將直線8的方程代入曲線E：!

16

（左2_4）+2kmc+機(jī)2+16=0且左2_4W0

—2kmm2+16

由韋達(dá)定理得玉+兀2=記K

答案第14頁(yè)，共17頁(yè)

將上式代入③式可得M-5初2+4及2=0解得“2=人(舍去)或加=4人,

故直線C。的方程為y=fcc+4k=Mx+4)