專(zhuān)題09巧用隱圓妙解壓軸典例分析典例分析：實(shí)例講解:(包含以上多種模型)已知在正方形ABCD中，∠MAN=45°，連接BD與AM，AN分別交于E、F兩點(diǎn)。從圖中找出3組四點(diǎn)共圓及一組5點(diǎn)共圓。詳解:由題意可得：∠BDF=∠FHE=45°?點(diǎn)A,M,F,D四點(diǎn)共圓。?∠AMF=90°∠HFM=45°同理，可得點(diǎn)A,B,E,N四點(diǎn)共圓?！螦NE=90°,∠NEH=45°∠NEH=∠HFM?點(diǎn)M,E,F,N四點(diǎn)共圓?！螰ME=∠ECF=∠FME=90°?點(diǎn)N,F,C,E,M五點(diǎn)共圓。圖如右:實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練一．隱圓之定點(diǎn)定長(zhǎng)1．如圖，正方形ABCD，邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)P和點(diǎn)Q在正方形的邊上運(yùn)動(dòng)，且PQ＝4，若點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿B→C→D→A的路線向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)A停止運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B→C→D的路線向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)D停止運(yùn)動(dòng)．它們同時(shí)出發(fā)，且運(yùn)動(dòng)速度相同，則在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中PQ的中點(diǎn)O所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為3π．試題分析：畫(huà)出點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)的軌跡，如圖虛線部分，利用PQ的中點(diǎn)O所經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)等于半徑為2的圓周長(zhǎng)的34答案詳解：解：畫(huà)出點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)的軌跡，如圖虛線部分，則點(diǎn)P從B到A的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，PQ的中點(diǎn)O所經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)等于2π×2×所以答案是：3π．2．已知：如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是AD、CD的中點(diǎn)．（1）線段AF與BE有何關(guān)系．說(shuō)明理由；（2）延長(zhǎng)AF、BC交于點(diǎn)H，則B、D、G、H這四個(gè)點(diǎn)是否在同一個(gè)圓上．說(shuō)明理由．試題分析：（1）證明△ABE≌△DAF，證據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，以及直角三角形的兩銳角互余即可證明AF相等且互相垂直；（2）證明△ADF≌△HCF，依據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可證得B，C，D，H四點(diǎn)到C的距離相等，即可證得四點(diǎn)共圓．答案詳解：解：（1）AF＝BE且AF⊥BE．證明：∵E、F分別是AD、CD的中點(diǎn)，∴AE=12AD，DF∴AE＝DF又∵∠BAD＝∠D＝90°，AB＝AD∴△ABE≌△DAF∴AF＝BE，∠AEB＝∠AFD∵在直角△ADF中，∠DAF+∠AFD＝90°∴∠DAF+∠AEB＝90°∴∠AGE＝90°∴AF⊥BE（2）連接CG．∵DF＝CF，∠D＝∠FCH＝90°，∠AFD＝∠HFC∴△ADF≌△HCF∴BC＝AD＝CH＝CD，在直角△BGH中，BC＝CH，∴GC=1∴CB＝CG＝CD＝CH，∴B，G，D，H在以C為圓心、BC長(zhǎng)為半徑的圓上．二．隱圓之定弦定角3．在△ABC中，AB＝4，∠C＝45°，則2AC+BC的最大值為410．試題分析：過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D，則△BCD為等腰直角三角形，設(shè)BD＝CD＝a，延長(zhǎng)AC至點(diǎn)F，使得CF＝a，則可求出tan∠AFB，作△ABF的外接圓⊙O，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，則AE=12AB＝2，∠AOE＝∠AFB，則可利用tan∠AOE求出OE、OA，最后利用三角形三邊關(guān)系即可求出2AC+BC的最大值為2（OA+答案詳解：解：過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D，∵∠C＝45°，∴△BCD為等腰直角三角形，∴BD＝CD，設(shè)BD＝CD＝a，延長(zhǎng)AC至點(diǎn)F，使得CF＝a，∵tan∠AFB=a作△ABF的外接圓⊙O，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，則AE=12AB＝2，∠AOE＝∠∴tan∠AOE=1∴OE＝4，OA=2∴2AC+BC=2（AC+22BC）=2（AC+CF）=∴2AC+BC的最大值為2×4所以答案是：4104．如圖，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝33，點(diǎn)E在AB上，AEEB=12，在矩形內(nèi)找一點(diǎn)P，使得∠BPE＝A．27-2 B．213-4 C．4 D試題分析：如圖，在BE的上方，作△OEB，使得OE＝OB，∠EOB＝120°，連接OD，過(guò)點(diǎn)O作OQ⊥BE于Q，OJ⊥AD于J．證明點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以O(shè)為圓心，OE為半徑的⊙O，推出當(dāng)點(diǎn)P落在線段OD上時(shí)，DP的值最小，想辦法求出OD，OP，可得結(jié)論．答案詳解：解：如圖，在BE的上方，作△OEB，使得OE＝OB，∠EOB＝120°，連接OD，過(guò)點(diǎn)O作OQ⊥BE于Q，OJ⊥AD于J．∵∠BPE=12∠∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以O(shè)為圓心，OE為半徑的⊙O，∴當(dāng)點(diǎn)P落在線段OD上時(shí)，DP的值最小，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∵AB＝33，AE：EB＝1：2，∴BE＝23，∵OE＝OB，∠EOB＝120°，OQ⊥EB，∴EQ＝BQ=3，∠EOQ＝∠BOQ＝60∴OQ＝1，OE＝2，∵OJ⊥AD，OQ⊥AB，∴∠A＝∠AJO＝∠AQO＝90°，∴四邊形AQOJ是矩形，∴AJ＝OQ＝1，JO＝AQ＝23，∵AD＝5，∴DJ＝AD﹣AJ＝4，∴OD=JD2∴PD的最小值＝OD﹣OP＝27-2所以選：A．5．問(wèn)題提出（1）如圖①，已知△ABC為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則△ABC的面積為3；問(wèn)題探究（2）如圖②，在△ABC中，已知∠BAC＝120°，BC＝63，求△ABC的最大面積；問(wèn)題解決（3）如圖③，某校學(xué)生禮堂的平面示意為矩形ABCD，其寬AB＝20米，長(zhǎng)BC＝24米，為了能夠監(jiān)控到禮堂內(nèi)部情況，現(xiàn)需要在禮堂最尾端墻面CD上安裝一臺(tái)攝像頭M進(jìn)行觀測(cè)，并且要求能觀測(cè)到禮堂前端墻面AB區(qū)域，同時(shí)為了觀測(cè)效果達(dá)到最佳，還需要從點(diǎn)M出發(fā)的觀測(cè)角∠AMB＝45°，請(qǐng)你通過(guò)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行分析，在墻面CD區(qū)域上是否存在點(diǎn)M滿足要求？若存在，求出MC的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．試題分析：（1）作AD⊥BC于D，由勾股定理求出AD的長(zhǎng)，即可求出面積；（2）作△ABC的外接圓⊙O，可知點(diǎn)A在BC上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)A'O⊥BC時(shí)，△ABC的面積最大，求出A'H的長(zhǎng)，從而得出答案；（3）以AB為邊，在矩形ABCD的內(nèi)部作一個(gè)等腰直角三角形AOB，且∠AOB＝90°，過(guò)O作HG⊥AB于H，交CD于G，利用等腰直角三角形的性質(zhì)求出OA，OG的長(zhǎng)，則以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓與CD相交，從而⊙O上存在點(diǎn)M，滿足∠AMB＝45°，此時(shí)滿足條件的有兩個(gè)點(diǎn)M，過(guò)M1作M1F⊥AB于F，作EO⊥M1F于E，連接OF，利用勾股定理求出OE的長(zhǎng)，從而解決問(wèn)題．答案詳解：解：（1）作AD⊥BC于D，∵△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，∴BD＝1，∴AD=A∴△ABC的面積為12×2所以答案是：3；（2）作△ABC的外接圓⊙O，∵∠BAC＝120°，BC＝63，∴點(diǎn)A在BC上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)A'O⊥BC時(shí)，△ABC的面積最大，∴∠BOA'＝60°，BH＝CH＝33，∴OH＝3，OB＝6，∴A'H＝OA'﹣OH＝6﹣3＝3，∴△ABC的最大面積為12×63×3＝（3）存在，以AB為邊，在矩形ABCD的內(nèi)部作一個(gè)等腰直角三角形AOB，且∠AOB＝90°，過(guò)O作HG⊥AB于H，交CD于G，∵AB＝20米，∴AH＝OH＝10米，OA＝102米，∵BC＝24米，∴OG＝14米，∵102＞14∴以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓與CD相交，∴⊙O上存在點(diǎn)M，滿足∠AMB＝45°，此時(shí)滿足條件的有兩個(gè)點(diǎn)M，過(guò)M1作M1F⊥AB于F，作EO⊥M1F于E，連接OF，∴EF＝OH＝10米，OM1＝102米，∴EM1＝14米，∴OE=OM∴CM1＝BF＝8米，同理CM2＝BH+OE＝10+2＝12（米），∴MC的長(zhǎng)度為8米或12米．三．隱圓之直角動(dòng)點(diǎn)6．如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝5，P是矩形內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAB＝∠PBC，則線段CP的最小值是41-4試題分析：首先證明點(diǎn)P在以AB為直徑的⊙O上，連接OC與⊙O交于點(diǎn)P，此時(shí)PC最小，利用勾股定理求出OC即可解決問(wèn)題．答案詳解：解：∵∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠PBC＝90°，∵∠PAB＝∠PBC，∴∠BAP+∠ABP＝90°，∴∠APB＝90°，∴OP＝OA＝OB（直角三角形斜邊中線等于斜邊一半），∴點(diǎn)P在以AB為直徑的⊙O上，連接OC交⊙O于點(diǎn)P，此時(shí)PC最小，∵在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝5，在RT△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝5，OB＝4，∴OC=B∴PC＝OC﹣OP=41-∴PC最小值為41-4所以答案是：41-47．如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6，D為BC邊上的中點(diǎn)，P為直線BC上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAD＝∠PDB，則線段CP長(zhǎng)的最大值為37+3試題分析：首先證明點(diǎn)P在以AD為直徑的⊙O上，連接OC，延長(zhǎng)CO交⊙O于點(diǎn)P，此時(shí)PC最大，利用勾股定理求出OC即可解決問(wèn)題．答案詳解：解：∵等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6，D為BC邊上的中點(diǎn)，∴∠ADB＝90°，∴∠ADP+∠PDB＝90°，∵∠PAD＝∠PDB∴∠DAP+∠ADP＝90°，∴∠APD＝90°，∴點(diǎn)P在以AD為直徑的⊙O上，連接OC，延長(zhǎng)CO交⊙O于點(diǎn)P，此時(shí)PC最大，在Rt△CDO中，∵∠ODC＝90°，DC=12BC＝3，OD=1∴OC=O∴PC＝OC+OP=3∴CP長(zhǎng)的最大值為37所以答案是378．如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，點(diǎn)P在矩形的內(nèi)部，連接PA，PB，PC，若∠PBC＝∠PAB，則PC的最小值是（）A．6 B．73-3 C．213-4 D．4試題分析：首先證明∠PAB+∠PBA＝90°，得∠APB＝90°，則點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)圓心為O，連接OC交⊙O于P，此時(shí)PC最小，利用勾股定理求出OC的長(zhǎng)即可．答案詳解：解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠PBC＝90°，∵∠PBC＝∠PAB，∴∠PAB+∠PBA＝90°，∴∠APB＝90°，∴點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)圓心為O，連接OC交⊙O于P，此時(shí)PC最小，∵OC=OB2∴PC的最小值為213-4所以選：C．四．隱圓之對(duì)角互補(bǔ)。9．如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中點(diǎn)，連接DE，則線段DE長(zhǎng)度的最小值為3-1試題分析：先判斷出A、B、C、D四點(diǎn)共圓，且圓心為BD中點(diǎn)，再連接AO、CO，取AO中點(diǎn)F，連接EF，DF，利用圓周角定理及等邊三角形的判定可得到△OAD為等邊三角形，進(jìn)而得到半徑長(zhǎng)、DF、EF，最后利用三角形三邊關(guān)系即可求出DE最小值．答案詳解：解：∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓，且BD為直徑，取BD中點(diǎn)O，則圓心為點(diǎn)O，連接AO、CO，取AO中點(diǎn)F，連接EF，DF，∵∠ACD＝30°，∴∠AOD＝60°，∵OA＝OD，∴△OAD為等邊三角形，∴OA＝OD＝OC＝AD＝2，∴∠AFD＝90°，則DF=3∵EF是△AOC的中位線，∴EF=12OC＝在△DEF中，DF﹣EF≤DE，∴當(dāng)D、E、F三點(diǎn)共線時(shí)，DE取到最小，最小值為3-1∴DE的最小值為3-110．如圖，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，△DBC的面積為8，則BC長(zhǎng)為4．試題分析：如圖，作DH⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于H，取CD的中點(diǎn)O，連接OA，OB．由對(duì)角互補(bǔ)可證明A，C，H，D四點(diǎn)共圓，利用全等三角形的性質(zhì)證明BC＝DH，即可解決問(wèn)題．答案詳解：解：如圖，作DH⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于H，取CD的中點(diǎn)O，連接OA，OB．∵DH⊥BH，∴∠DHC＝90°，∴四邊形DACH對(duì)角互補(bǔ)，∴A，C，H，D四點(diǎn)共圓，∵∠DAC＝90°，CO＝OD，∴OA＝OD＝OC＝OH，∴A，C，H，D四點(diǎn)在以O(shè)為圓心的圓上，∵AC＝AD，∴∠CHA＝∠AHD＝45°，（沒(méi)有學(xué)習(xí)四點(diǎn)共圓，可以這樣證明：過(guò)點(diǎn)A作AM⊥DH于M，過(guò)點(diǎn)A作AN⊥BH于N，證明△AMD≌△ANC，推出AM＝AN，推出AH平分∠MHN即可）∵∠ABC＝45°，∴∠BAH＝90°，∴BA＝AH，∵∠BAH＝∠CAD＝90°，∴∠BAC＝∠HAD，∵AC＝AD，AB＝AH，∴△BAC≌△HAD（SAS），∴BC＝DH，∴S△BCD=12×BC×DH=12∴BC＝4或﹣4（舍棄），所以答案是4．11．問(wèn)題提出：（1）如圖①，半圓O的直徑AB＝10，點(diǎn)P是半圓O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則△PAB的面積最大值是25．問(wèn)題探究：（2）如圖②，在邊長(zhǎng)為10的正方形ABCD中，點(diǎn)G是BC邊的中點(diǎn)，E、F分別是AD和CD邊上的點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)骄坎⑶蟪鏊倪呅蜝EFG的周長(zhǎng)的最小值．問(wèn)題解決：（3）如圖③，四邊形ABCD中，AB＝AD＝6，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，四邊形ABCD的周長(zhǎng)是否存在最大值，若存在，請(qǐng)求出最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．試題分析：（1）如圖1，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至半圓O的中點(diǎn)時(shí)，底邊AB上的高最大，即P'O＝r＝5，求出此時(shí)△P'AB的面積即可；（2）如圖2，作點(diǎn)G關(guān)于CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G′，作點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，連接B′G′，B'E，F(xiàn)G'，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短即可解決問(wèn)題；（3）如圖3，連接AC、BD，在AC上取一點(diǎn)，使得DM＝DC．首先證明AC＝CD+CB，再證明當(dāng)AC為△ABC的外接圓的直徑時(shí)，四邊形ABCD的周長(zhǎng)最大．答案詳解：解：（1）如圖1，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至半圓O的中點(diǎn)時(shí)，底邊AB上的高最大，即P'O＝r＝5，此時(shí)△PAB的面積最大值，∴S△P'AB=12×10×5所以答案是：25；（2）如圖2，作點(diǎn)G關(guān)于CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G′，作點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，連接B′G′，B'E，F(xiàn)G'，∵EB＝EB′，F(xiàn)G＝FG′，∴BE+EF+FG+BG＝B′E+EF+FG′+BG，∵EB′+EF+FG′≥B′G′，∴四邊形BEFG的周長(zhǎng)的最小值＝BG+B′G′，∵BG=12BC＝5，BB′＝20，BG′＝∴B′G′=BG'∴四邊形BEFG的周長(zhǎng)的最小值為30．（3）如圖3，連接AC、BD，在AC上取一點(diǎn)，使得DM＝DC．∵∠DAB＝60°，∠DCB＝120°，∴∠DAB+∠DCB＝180°，∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓，∵AD＝AB，∠DAB＝60°，∴△ADB是等邊三角形，∴∠ABD＝∠ADB＝60°，∴∠ACD＝∠ADB＝60°∵DM＝DC，∴△DMC是等邊三角形，∴∠ADB＝∠MDC＝60°，CM＝DC，∴∠ADM＝∠BDC，∵AD＝BD，∴△ADM≌△BDC（SAS），∴AM＝BC，∴AC＝AM+MC＝BC+CD，∵四邊形ABCD的周長(zhǎng)＝AD+AB+CD+BC＝AD+AB+AC，∵AD＝AB＝6，∴當(dāng)AC最大時(shí)，四邊形ABCD的周長(zhǎng)最大，∴當(dāng)AC為△ABC的外接圓的直徑時(shí)，四邊形ABCD的周長(zhǎng)最大，∵6AC∴AC的最大值＝43，∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)最大值為12+43．五．隱圓綜合12．閱讀下列材料，回答問(wèn)題．材料：求圓外一定點(diǎn)到圓上距離最小值是安徽省中考數(shù)學(xué)較為常見(jiàn)的一種題型，此類(lèi)題型試題有時(shí)出題者將圓隱藏，故又稱(chēng)為“隱圓問(wèn)題”．解決這類(lèi)問(wèn)題，關(guān)鍵是要找到動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，即該動(dòng)點(diǎn)是繞哪一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，且能保持旋轉(zhuǎn)半徑不變．從而找到動(dòng)點(diǎn)所在的隱藏圓，進(jìn)而轉(zhuǎn)換成圓外一點(diǎn)到圓心的距離減半徑，求得最小值．解決問(wèn)題：（1）如圖①，圓O的半徑為1，圓外一點(diǎn)A到圓心的距離為3，圓上一動(dòng)點(diǎn)B，當(dāng)A、O、B滿足條件點(diǎn)B在線段AO上時(shí)，AB有最小值為2．（2）如圖②，等腰△ABC兩腰長(zhǎng)為5，底邊長(zhǎng)為6，以A為圓心，2為半徑作圓，圓上動(dòng)點(diǎn)P到BC的距離最小值為2．（3）如圖③，OA⊥OB，P、Q分別是射線OA、OB上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，C是線段PQ的中點(diǎn)，且PQ＝4，則在線段PQ滑動(dòng)的過(guò)程中，求點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)形成的路徑長(zhǎng)，并說(shuō)明理由．（4）如圖④，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，點(diǎn)E是AB中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC上一點(diǎn)，把△BEF沿著EF翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)B'處，求DB'的最小值，并說(shuō)明理由．（5）如圖⑤，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以邊AB中點(diǎn)O為圓心，作半圓與AC相切，點(diǎn)P，Q分別是邊BC和半圓上的動(dòng)點(diǎn)，連接PQ，求PQ長(zhǎng)的最小值，并說(shuō)明理由．試題分析：（1）如圖①，連接OA，OB，OA，由三角形的三邊關(guān)系可得AB≤AO﹣BO，則當(dāng)點(diǎn)B在線段AO上時(shí)，AB有最小值＝3﹣1＝2；（2）如圖②中，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于H，交⊙A于