推廣一元函數(shù)微分學多元函數(shù)微分學注意:

善于類比,區(qū)別異同多元函數(shù)微分法及其應用第八章第一節(jié)一、平面點集n維空間二、n元函數(shù)三、多元函數(shù)的極限四、多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的極限與連續(xù)

第八章

一、平面點集n維空間1.平面點集點集稱為點P0的鄰域.坐標平面上具有某種性質(zhì)P的點的集合，說明：若不需要強調(diào)鄰域半徑

,也可寫成點P0

的去心鄰域記為在平面上,稱為平面點集，記作(1)鄰域設有點集

E

及一點

P:

若存在點P

的某鄰域U(P)

E,

若存在點P的某鄰域U(P)∩E=,

若點

P

的任一鄰域U(P)中既有屬于

E的點，也有則稱P為E

的內(nèi)點,例如；則稱P為E

的外點，例如

;則稱P為E

的邊界點，例如

.不屬于E的點,顯然,E

的內(nèi)點必屬于E,

E

的外點必不屬于E,E的邊界點可能屬于E,也可能不屬于E.(2)內(nèi)點、外點、邊界點12(3)聚點若對任意給定的正數(shù)

,點P

的去心鄰域內(nèi)總有E

中的點,則稱P

是E

的聚點.聚點可以屬于E,也可以不屬于E.聚點可以為E

的內(nèi)點或E的邊界點注1o內(nèi)點一定是聚點；2o邊界點可能是聚點,也可能不是聚點；但的點屬于E,的點不屬于E.則點集中的點都是E的內(nèi)點；點集中的點都是E的聚點，E例如:設點集xyoD(4)開區(qū)域及閉區(qū)域

若點集

E

的點都是內(nèi)點，則稱E

為開集；

若點集

E

E,則稱E

為閉集；

若點集E中任意兩點

開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域.E的折線相連,

連通的開集稱為開區(qū)域

,簡稱區(qū)域;

E

的邊界點的全體稱為

E

的邊界,記作

E;如，是閉集、連通集、閉區(qū)域.都可用一完全屬于則稱E

是連通集

;是開集、連通集、是區(qū)域；例如，在平面上開區(qū)域閉區(qū)域

整個平面

點集是開集，是最大的開域,也是最大的閉域；但非區(qū)域.o

對點集E,若存在正數(shù)

K,使對一切點P

E,P與原點O的距離

OP

K,則稱

E

為有界點集；

否則，稱為無界點集

.2.n維空間n元有序數(shù)組的全體所構(gòu)成的中的每一個元素稱為該點或該n維集合,記作即一個點或一個n維向量,當所有坐標稱該點為中的坐標原點,記作0.

或n維零向量,向量的第k

個坐標.稱為中的以及實數(shù)λ，規(guī)定稱引入了上述線性運算的集合的距離記作規(guī)定為與零元0的距離為并稱為向量x的模.顯然,二、n元函數(shù)中點

a

的

鄰域為1.n元函數(shù)引例:

圓柱體的體積

定量理想氣體的壓強

三角形面積的海倫公式定義8.1

設非空點集映射稱為定義在

D

上的n

元函數(shù),記作點集D

稱為函數(shù)的定義域;數(shù)集稱為函數(shù)的值域

.特別地,當n=2時,有二元函數(shù)當n=3時,有三元函數(shù)二元函數(shù)的定義域一般地,

二元函數(shù)的圖形為空間曲面

.z=f(x,y),(x,y)

D是平面點集.例如,二元函數(shù)定義域為圓域圖形為中心在原點的上半球面.又如,三元函數(shù)的定義域是三維空間的點集.的定義域為圖形為空間中的超曲面.單位閉球如,三元函數(shù)質(zhì)量為m0

對位于Ω內(nèi)質(zhì)量為m的質(zhì)點M的引力為引例的質(zhì)點設非空點集映射稱為定義在

D

上的一個n

元向量值函數(shù),記作當m=1

時,就是定義8.1中的n

元函數(shù),當n=1時,就是第七章講的一元向量值函數(shù).定義8.2向量值函數(shù)的幾何或物理意義舉例平面曲線的方程或平面質(zhì)點隨時間運動的軌跡.空間曲線的方程或空間質(zhì)點隨時間運動的軌跡.平面向量場或平面到平面的坐標變換.曲面的方程或一族空間曲線(當固定x或y).三、多元函數(shù)的極限1.定義8.3

設二

元函數(shù)則稱A

為函數(shù)P0(x0,y0)

是D的聚點,若存在常數(shù)A,對于一切記作總有使得

>0,

>0,注

3o

關(guān)于二元函數(shù)的極限概念，可相應地推廣到n元函數(shù)u=f(P),P

D

Rn上去;

1o

在二元函數(shù)極限定義中，P

P0

是指在

平面上位于D內(nèi)以任意方式趨于P0

；P0yxO2o

二元函數(shù)的極限又稱為二重極限;Oxx0對比：一元函數(shù)極限4o

二元函數(shù)的極限運算法則與一元函數(shù)類似．2.求二重極限的常用方法(1)利用定義求證:證例1當時，原結(jié)論成立．?例2用變量代換

化二重極限為一元函數(shù)的極限.解xyO求極限解其中例3(3)利用夾逼準則，重要極限利用極坐標變換，將二重極限化成時的極限解例4P0趨向于),(000yxP，若與k有關(guān)，則可斷言:二重極限3.確定極限不存在的方法：

令),(yxP沿直線(1)xyO找兩條特殊路徑L1，L2，若(2)P0yxOL1L2例5證明下列極限不存在：(1)證(1)xyOy=xxyoy=x(2)分析

xyO證其值隨k的不同而變化，分析xyO證取其值隨k的不同而變化，故該極限不存在．例6分析xyOy=-x證取問：下列推導是否正確？

答：不正確.錯誤原因：事實上，此值與θ有關(guān)，原極限不存在.四、多元函數(shù)的連續(xù)性定義8.4定義在D

上,如果函數(shù)在D

上各點處都連續(xù),如果則稱的間斷點

.則稱函數(shù)連續(xù).連續(xù).記作定義8.5定義在D

上,如果為函數(shù)函數(shù)不連續(xù).設二

元函數(shù)則稱此函數(shù)在

D

上設函數(shù)例如,函數(shù)在(0,0)點極限不存在(例5(2)),

又如,

函數(shù)上間斷.故(0,0)為其間斷點.在圓周結(jié)論:

一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).例7

證明在全平面連續(xù).證為初等函數(shù),故連續(xù).又故函數(shù)在全平面連續(xù).由夾逼準則得性質(zhì)1

(有界性與最大最小值定理)且能取得它在

D

上的最大值M及最小值m;閉區(qū)域上的多元連續(xù)函數(shù)有與一元函數(shù)類似的性質(zhì):在有界閉區(qū)域D

上連續(xù)的多元函數(shù)必定在D上有界,性質(zhì)2

(介值定理)在有界閉區(qū)域D

上連續(xù)的多元函數(shù)必取得介于它在D

上的最大值和最小值之間的一切值.求函數(shù)的連續(xù)域.解例8初等函數(shù)的連續(xù)域就是其定義域.例9解內(nèi)容小結(jié)1.平面點集

鄰域:

區(qū)域連通的開集

2.多元函數(shù)概念n

元函數(shù)常用二元函數(shù)(圖形一般為空間曲面)三元函數(shù)有3.多元函數(shù)的極限(1)定義.(2)求二重極限的常用方法1)利用定義

2)用變量代換化二重極限為一元函數(shù)的極限.3)利用夾逼準則，重要極限4)利用極坐標變換，將二重極限化成時的極限(3)確定極限不存在的兩種常用方法.4.多元函數(shù)的連續(xù)性1)函數(shù)2)閉區(qū)域上的多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì):有界性定理;最值定理;介值定理3)一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)連續(xù)思考題解的函數(shù)f(x,y)，n次齊次函數(shù)

)稱為(1)定義域(2)定義域解解定義域4.設求解(方法1)

令設求(方法1)令即備用題解例2-1例2