（人教版）七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)《第五章相交線與平行線》專題與相交線有關(guān)的計(jì)算解答題題型一直接利用相交線的性質(zhì)求角度題型一直接利用相交線的性質(zhì)求角度【例題1】（2022秋?夏邑縣期末）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠AOD＝2∠BOD．（1）求∠DOE的度數(shù)；（2）求∠BOF的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)鄰補(bǔ)角的和等于180°求出∠BOD的度數(shù)，然后根據(jù)角平分線的定義解答；（2）先求出∠COE的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求出∠EOF，然后根據(jù)角的和差關(guān)系即可得解．【解答】解：（1）∵∠AOD＝2∠BOD，∠AOD+∠BOD＝180°，∴∠BOD=1∵OE平分∠BOD，∴∠DOE＝∠BOE=12∠BOD（2）∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝180°﹣30°＝150°，∵OF平分∠COE，∴∠EOF=12∠COE∴∠BOF＝∠EOF+∠BOE＝75°﹣30°＝45°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)頂角相等的性質(zhì)，角平分線的定義，比較簡(jiǎn)單，準(zhǔn)確識(shí)圖并熟記性質(zhì)與概念是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023秋?慶陽(yáng)期末）如圖，已知直線AB和CD相交于點(diǎn)O，∠COE＝89°，OF平分∠AOE，∠COF＝31°，求∠BOD的度數(shù)．【分析】先求出∠EOF，然后根據(jù)角平分線的定義求出∠AOE，再求出∠AOC的度數(shù)，然后根據(jù)對(duì)頂角相等解答即可．【解答】解：∵∠COE＝89°，∠COF＝31°，∴∠EOF＝89°﹣31°＝58°，∵OF平分∠AOE，∴∠AOE＝2∠EOF＝116°，∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣116°＝64°，∴∠BOD＝180°﹣∠COE﹣∠BOE＝180°﹣89°﹣64°＝27°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的定義，對(duì)頂角相等的性質(zhì)，角的計(jì)算，是基礎(chǔ)題，準(zhǔn)確識(shí)圖，理清圖中各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2022秋?天河區(qū)校級(jí)期末）如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)O，OE是∠BOC的平分線，如果∠BOC：∠DOF：∠AOC＝1：2：4．求∠BOE和∠DOF的度數(shù)．【分析】設(shè)∠BOC＝x°，則∠DOF＝2x°，∠AOC＝4x°，由鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，求出x的值，再根據(jù)角平分線，計(jì)算出∠COE的度數(shù)，計(jì)算即可．【解答】解：設(shè)∠BOC＝x°，則∠DOF＝2x°，∠AOC＝4x°，由題意得：x+4x＝180，解得：x＝36，∴∠BOC＝36°，∠DOF＝72°，∠AOC＝144°，∵OE是∠BOC的平分線，∴∠BOE＝∠COE=12∠BOC【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了補(bǔ)角、垂直、以及角的計(jì)算，關(guān)鍵是理清圖中角之間的和差關(guān)系．【變式1-3】（2022秋?亭湖區(qū)期末）如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)O，∠AOE＝90°．（1）如果∠AOC＝25°，求∠COE的度數(shù)；（2）如果∠COE＝2∠BOD，求∠BOC的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)角的計(jì)算與對(duì)頂角即可求解；（2）根據(jù)已知條件可得∠COE＝2∠AOC，從而可求得∠AOC＝30°，根據(jù)鄰補(bǔ)角即可求∠BOC的度數(shù)．【解答】解：（1）∵∠AOE＝90°，∠AOC＝25°，∴∠COE＝∠AOE﹣∠AOC＝90°﹣25°＝65°；（2）∵∠BOD＝∠AOC，∠COE＝2∠BOD，∴∠COE＝2∠AOC．又∵∠AOE＝90°，∴∠AOE＝∠AOC+∠COE＝3∠AOC＝90°，∴∠AOC＝30°，∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝180°﹣30°＝150°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)頂角，鄰補(bǔ)角，解答的關(guān)鍵是熟記對(duì)頂角與鄰補(bǔ)角的定義的掌握與應(yīng)用．【變式1-4】（2023秋?興慶區(qū)期末）已知直線AB和CD相交于O點(diǎn)，∠COE＝90°，OF平分∠AOE，∠BOD＝34°．（1）求∠AOC的度數(shù)；（2）求∠COF的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)對(duì)頂角相等可得答案；（2）根據(jù)角平分線以及圖形中角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：（1）∵∠AOC與∠BOD是對(duì)頂角，∠BOD＝34°，∴∠AOC＝∠BOD＝34°；（2）∵∠COE＝90°，∠AOC＝∠BOD＝34°，∴∠AOE＝90°+34°＝124°，∵OF平分∠AOE，∴∠AOF＝∠EOF=12∠∴∠COF＝∠AOF﹣∠AOC＝62°﹣34°＝28°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角，角平分線，掌握對(duì)頂角相等，角平分線的定義是正確解答的前提．【變式1-5】（2022秋?定邊縣期末）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOC，∠COF＝90°，（1）若∠BOD：∠BOE＝1：2，求∠BOD的度數(shù)；（2）若∠BOE＝70°，求∠AOF的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)OE平分∠BOC，可得∠COE＝∠BOE，再結(jié)合∠BOD：∠BOE＝1：2可得∠BOD：∠BOE：∠EOC＝1：2：2，最后利用平角的定義即可求解；（2）由∠BOE＝70°可求得∠BOD＝40°，根據(jù)對(duì)頂角的定義可得∠AOC＝40°，然后根據(jù)∠COF＝90°，即可求得結(jié)果．【解答】解：（1）∵OE平分∠BOC，∴∠COE＝∠BOE，∵∠BOD：∠BOE＝1：2，∴∠BOD：∠BOE：∠EOC＝1：2：2，∵∠BOD+∠BOE+∠EOC＝180°，∴∠BOD=180°×1（2）∵OE平分∠BOC，∠BOE＝70°，∴∠BOC＝2∠BOE＝140°，∴∠BOD＝180°﹣140°＝40°，∴∠AOC＝∠BOD＝40°，∵∠COF＝90°，∴∠AOF＝∠COF﹣∠AOC＝90°﹣40°＝50°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)、平角的定義、對(duì)頂角的定義及角的和差計(jì)算，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式1-6】（2023秋?長(zhǎng)安區(qū)期末）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OA是∠COE的平分線．（1）若∠DOE＝92°，求∠BOD的度數(shù)；（2）若∠COE：∠DOE＝7：8，求∠BOD的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義，平角的定義以及對(duì)頂角相等進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)圖形中角的大小比例關(guān)系，平角的定義求出∠COE＝84°，再根據(jù)對(duì)頂角相等和角平分線的定義即可求出答案．【解答】解：（1）∵OA是∠COE的平分線，∴∠AOE＝∠AOC，∵∠AOC+∠AOE+∠DOE＝180°，∠DOE＝92°，∴∠AOC=180°?92°∴∠BOD＝∠AOC＝44°；（2）∵∠COE：∠DOE＝7：8，∠COE+∠DOE＝180°，∴∠COE＝180°×77+8=84°，∠DOE∴∠BOD＝∠AOC=12∠【點(diǎn)評(píng)】本題考查角平分線，對(duì)頂角以及平角，掌握角平分線的定義，對(duì)頂角相等以及平角的定義是正確解答的關(guān)鍵．【變式1-7】（2023秋?海安市期末）如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)O，射線OE在∠AOD的內(nèi)部，∠AOC＝70°?12∠（1）如圖1，當(dāng)∠AOE＝40°時(shí)，請(qǐng)寫出與∠BOD互余的角，并說明理由；（2）如圖2，若OF平分∠BOE，求∠DOF的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義以及圖形中角的和差關(guān)系可求出∠BOD＝50°，再根據(jù)互為余角的定義即可得出答案；（2）根據(jù)角平分線的定義、互為補(bǔ)角的定義以及圖形中角的和差關(guān)系可得到∠AOE+2∠DOF+140°﹣∠AOE＝180°，進(jìn)而求出∠DOF的度數(shù)．【解答】解：（1）∵∠AOC＝70°?12∠AOE，∠∴∠AOC＝70°?1∴∠BOD＝∠AOC＝50°，∴∠BOD+∠AOE＝50°+40°＝90°，即∠AOE與∠BOD互為余角；（2）∵OF平分∠BOE，∴∠BOF＝∠EOF=12∠∵∠AOE+2∠BOF＝180°，∴∠AOE+2∠DOF+2∠BOD＝180°，∵∠AOC＝70°?12∠AOE＝∠∴∠AOE+2∠DOF+140°﹣∠AOE＝180°，即∠DOF＝20°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查角平分線，互為余角、互為補(bǔ)角以及對(duì)頂角，掌握角平分線，互為余角、互為補(bǔ)角的定義以及對(duì)頂角相等是正確解答的關(guān)鍵．【變式1-8】（2023秋?城廂區(qū)校級(jí)期末）如圖，直線MD、CN相交于點(diǎn)O，OA是∠MOC內(nèi)的一條射線，OB是∠NOD內(nèi)的一條射線，∠MON＝70°．（1）若∠BOD=12∠COD，求∠（2）若∠AOD＝2∠BOD，∠BOC＝3∠AOC，求∠BON的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)對(duì)頂角的定義可得∠COD的度數(shù)，再根據(jù)∠BOD=12∠COD可得∠（2）設(shè)∠AOC＝x°，則∠BOC＝3x°，利用角的和差運(yùn)算即可解得x，進(jìn)而可得∠BON的度數(shù)．【解答】解：（1）∵∠MON＝70°，∴∠COD＝∠MON＝70°，∵∠BOD=12∠∴∠BOD=1∴∠BON＝180°﹣∠MON﹣∠BOD＝180°﹣70°﹣35°＝75°；（2）設(shè)∠AOC＝x°，則∠BOC＝3x°，∵∠COD＝∠MON＝70°，∴∠BOD＝∠BOC﹣∠COD＝3x°﹣70°，∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝x°+70°，∵∠AOD＝2∠BOD，∴x+70＝2（3x﹣70），解得x＝42，∴∠BOD＝3x°﹣70°＝3×42°﹣70°＝56°，∴∠BON＝180°﹣∠MON﹣∠DOB＝180°﹣70°﹣56°＝54°．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了角的計(jì)算，關(guān)鍵是掌握鄰補(bǔ)角互補(bǔ)．題型二利用垂線的性質(zhì)求角度題型二利用垂線的性質(zhì)求角度【例題2】（2023秋??？谄谀┤鐖D，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠AOC，EO⊥FO于點(diǎn)O．（1）若∠AOE＝36°，求∠AOD和∠COF的度數(shù)；（2）若∠AOE＝α（0°＜α＜90°），直接寫出∠DOF的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義求出∠COE、∠AOC的度數(shù)，根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)即可求出∠AOD的度數(shù)，再根據(jù)∠COF＝∠EOF﹣∠COE求解即可；（2）根據(jù)角平分線的定義求出∠COE的度數(shù)，再根據(jù)EO⊥FO求出∠COF的度數(shù)，根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)即可求出∠DOF的度數(shù)．【解答】解：（1）∵OE平分∠AOC，∠AOE＝36°，∴∠COE＝∠AOE＝36°，∴∠AOC＝2∠AOE＝72°，∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝180°﹣72°＝108°，∵EO⊥FO，∴∠EOF＝90°，∴∠COF＝∠EOF﹣∠COE＝90°﹣36°＝54°；（2）∵OE平分∠AOC，∠AOE＝α，∴∠COE＝∠AOE＝α，∵EO⊥FO，∴∠EOF＝90°，∴∠COF＝∠EOF﹣∠COE＝90°﹣α；∴∠DOF＝180°﹣∠COF＝180°﹣（90°﹣α）＝90°+α．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂線，鄰補(bǔ)角，角平分線，熟練掌握垂直的定義，鄰補(bǔ)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2022春?惠州期末）如圖所示，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，射線OE、OF在∠AOD內(nèi)，且OD平分∠BOE，OF⊥CD，已知∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度數(shù)．【分析】由∠AOC：∠AOD＝1：5結(jié)合鄰補(bǔ)角互補(bǔ)、對(duì)頂角相等，可求出∠BOD的度數(shù)，根據(jù)OD平分∠BOE，可求出∠EOD，根據(jù)垂直的定義求出∠DOF＝90°，則∠EOF可求．【解答】解：∵∠AOC：∠AOD＝1：5，∠AOC＝∠BOD，∴∠BOD：∠AOD＝1：5．∵∠AOD+∠BOD＝180°，∴∠BOD＝30°，∵OD平分∠BOE，∴∠BOD＝∠EOD＝30°，∵OF⊥CD，∴∠DOF＝90°，∴∠EOF＝60°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角，熟記概念并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵，鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角成對(duì)出現(xiàn)，在相交直線中，一個(gè)角的鄰補(bǔ)角有兩個(gè)．鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角都是相對(duì)與兩個(gè)角而言，是指的兩個(gè)角的一種位置關(guān)系．它們都是在兩直線相交的前提下形成的．【變式2-2】（2023秋?福州期末）如圖，點(diǎn)B、O、C三點(diǎn)在同一直線上，∠DOE＝90°，（1）若AO⊥BC，∠AOE＝65°，求∠COE的度數(shù)；（2）若∠BOD：∠COE＝2：1，求∠COD的度數(shù)．【分析】（1）由垂直的定義可得∠AOC＝90°，再根據(jù)角度的和差可得出結(jié)論；（2）由∠DOE＝90°，可得∠BOD+∠COE＝90°，再結(jié)合比例關(guān)系，代入可得∠COE的度數(shù)，再根據(jù)角度的和差可得出結(jié)論．【解答】解：（1）∵AO⊥BC，∴∠AOC＝90°，∵∠AOE＝65°，∴∠COE＝90°﹣∠AOE＝25°；（2）∵∠BOD+∠DOE+∠COE＝90°，∠DOE＝90°，∴∠BOD+∠COE＝90°，∵∠BOD：∠COE＝2：1，∴∠BOD＝2∠COE，∴2∠COE+∠COE＝90°，∴∠COE＝30°，∴∠COD＝∠COE+∠DOE＝120°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了余角和補(bǔ)角，熟練掌握余角和補(bǔ)角的定義是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2023秋?蒼南縣期末）如圖，直線AB與直線CD交于點(diǎn)O，射線OE在∠AOD內(nèi)部，OF是∠EOB的平分線，且∠FOD＝20°．（1）若EO⊥OD，求∠AOC的度數(shù)．（2）若∠EOD＝2∠BOD，求∠AOD的度數(shù)．【分析】（1）先求∠EOF，再求∠BOD即可求出答案；（2）設(shè)∠BOD＝x°，根據(jù)題意列出方程式，再根據(jù)補(bǔ)角的定義即可解決問題，【解答】解：（1）∵EO⊥OD，∴∠EOD＝90°，∵∠FOD＝20°，∴∠EOF＝∠EOD﹣∠FOD＝70°，∵OF是∠EOB的平分線，∴∠BOF＝∠EOF＝70°，∴∠BOD＝∠BOF﹣∠FOD＝50°，∴∠AOC＝∠BOD＝50°．（2）設(shè)∠BOD＝x°，則∠EOD＝2x°，∵∠FOD＝20°，∴∠EOF＝∠EOD﹣∠FOD＝（2x﹣20）°，∠BOF＝∠DOF+∠BOD＝（x+20）°，∵OF是∠EOB的平分線，∴∠BOF＝∠EOF，∴2x﹣20＝x+20，∴x＝40，∴∠BOD＝40°，∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝140°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了垂線、角平分線的定義以及角的計(jì)算，解決本題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)建立等量關(guān)系式．【變式2-4】（2023春?鐵西區(qū)期中）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOD，∠AOC：∠BOC＝2；3．（1）求∠DOE的度數(shù)；（2）若OF⊥OE，求證OF平分∠AOD．【分析】（1）依據(jù)∠AOC：∠BOC＝2：3，∠AOC+∠BOC＝180°，設(shè)∠AOC＝2x°，∠BOC＝3x°，列方程求得∠BOD＝∠AOC＝2x，再根據(jù)角平分線的定義即可得出結(jié)論；（2）依據(jù)OF⊥OE，可得∠EOF＝90°，進(jìn)而得到∠AOF＝90°﹣∠BOE＝54°，再根據(jù)∠DOF進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：（1）∵∠AOC：∠BOC＝2，3，∴設(shè)∠AOC＝2x°，則∠BOC＝3x°即2x+3x＝180°∴x＝36°，∴∠AOC＝2x＝72°，∠BOC＝3x＝108°，∴∠BOD＝∠AOC＝72°，∵OE平分∠BOD，∴∠DOE=1（2）∵OF⊥OE，∠DOE＝36°，∠DOF＝90°﹣∠DOE＝54°，∠AOD＝∠BOC＝108°，∠AOF＝∠AOD﹣∠DOF＝54°，∴∠AOF＝∠DOF．∴OF平分∠AOD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是鄰補(bǔ)角的性質(zhì)、對(duì)頂角的性質(zhì)和角平分線的定義，掌握鄰補(bǔ)角互補(bǔ)、對(duì)頂角相等和垂直的定義是解題的關(guān)鍵．【變式2-5】（2022春?道外區(qū)期末）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠AOC．（1）若∠DOE＝130°，求∠BOC的度數(shù)；（2）過點(diǎn)O作OF⊥OE，請(qǐng)直接寫出和∠BOF互補(bǔ)的角．【分析】（1）根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義先求出∠EOC，然后求出求出∠AOC，再根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求出∠BOC即可；（2）因?yàn)镺F⊥OE，所以∠FOC+∠EOC＝90°，則∠BOF+∠AOF＝90°，而∠AOF＝∠EOC，所以∠BOF＝∠FOC，根據(jù)補(bǔ)角的定義寫出∠BOF的補(bǔ)角即可．【解答】解：（1）∵∠DOE＝130°，∴∠EOC＝50°，∵OE平分∠AOC，∴∠AOC＝2∠EOC＝2×50°＝100°，∴∠BOC＝180°﹣100°＝80°；（2）∵OF⊥OE，∴∠FOC+∠EOC＝90°，∴∠BOF+∠AOF＝90°，∵∠AOF＝∠EOC，∴∠BOF＝∠FOC，∴與∠BOF互補(bǔ)的角是∠AOF和∠DOF．【點(diǎn)評(píng)】本題考查角平分線的定義，對(duì)頂角，鄰補(bǔ)角，理解鄰補(bǔ)角、補(bǔ)角余角以及角平分線的定義是正確解答的前提．【變式2-6】（2021秋?玄武區(qū)期末）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE⊥CD，垂足為O，OM平分∠BOE，∠AOC＝50°．（1）求∠DOM的度數(shù)；（2）在∠AOM的內(nèi)部畫射線ON，使得∠MON＝45°，那么ON是∠AOD的平分線嗎？請(qǐng)說明理由．【分析】（1）根據(jù)∠AOC與∠BOD是對(duì)頂角，∠BOE＝∠BOD+∠DOE，OM平分∠BOE，解答即可；（2）根據(jù)角平分線的定義求出∠AOD的度數(shù)即可．【解答】解：（1）∵∠AOC與∠BOD是對(duì)頂角，∴∠BOD＝∠AOC＝50°，∵OE⊥CD，∴∠DOE＝90°，∴∠BOE＝∠BOD+∠DOE＝90°+50°＝140°，∵OM平分∠BOE，OM平分∠BOE，∴∠BOM=1∴∠DOM＝∠BOM﹣∠BOD＝70°﹣50°＝20°；（2）ON平分∠AOD，∵∠DOM＝20°，∠MON＝45°，∴∠DON＝∠DOM+∠MON＝45°+20°＝65°，∵∠AOC＝50°，∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝180°﹣50°＝130°，∴∠DON=12∠∴ON平分∠AOD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角的概念和性質(zhì)、角平分線的定義，掌握對(duì)頂角相等、鄰補(bǔ)角之和等于180°是解題的關(guān)鍵．【變式2-7】（2022春?蚌埠期末）已知，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．（1）如圖1，若OA⊥OB，∠BOC＝60°，求∠MON的度數(shù)；（2）如圖2，若∠AOB＝80°，∠MON：∠AOC＝2：7，求∠AON的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)角平分線的意義，得到∠COM=12∠AOC，∠CON=1（2）先求出∠MON，再根據(jù)∠MON：∠AOC＝2：7，求出∠AOC，再根據(jù)角平分線的意義得出∠AOM，進(jìn)而求出答案．【解答】解：（1）∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC，∠BOC＝60°，∴∠AOC＝90°+60°＝150°，∵OM平分∠AOC，∴∠COM=12∠∵ON平分∠BOC，∴∠CON=12∠BOC∴∠MON＝∠COM﹣∠CON＝75°﹣30°＝45°；（2）∵∠COM=12∠AOC，∠CON=1∴∠MON=12（∠AOC﹣∠BOC）=1∵∠MON：∠AOC＝2：7，∴∠AOC＝140°，∵OM平分∠AOC，∴∠AOM=12∠∴∠AON＝∠AOM+∠MON＝70°+40°＝110°【點(diǎn)評(píng)】考查角平分線的意義，理清圖形中各個(gè)角之間的關(guān)系是正確解答的關(guān)鍵．【變式2-8】（2023秋?昌平區(qū)期末）如圖，點(diǎn)O在直線AB上，∠BOC＝40°，射線OD在∠BOC內(nèi)部．（1）如圖1，當(dāng)∠BOD＝∠COD時(shí)，用量角器畫出射線OD，則∠AOD度數(shù)為°；（2）如圖2，當(dāng)∠BOD＝α?xí)r，OE⊥OD，垂足為點(diǎn)O，求∠AOE度數(shù)（用含α的式子表示）．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義求出∠BOD＝20°，用量角器畫出射線OD即可，再計(jì)算∠AOD度數(shù)即可；（2）根據(jù)垂直的定義得∠DOE＝90°，再利用角的和與差即可得∠AOE度數(shù)．【解答】解：（1）如圖1，∵∠BOC＝40°，∠BOD＝∠COD，∴∠BOD=12∠∴∠AOD＝180°﹣20°＝160°；故答案為：160；（2）如圖2，當(dāng)OE在AB上方時(shí)，∵OE⊥OD，∴∠DOE＝90°，∵∠BOD＝α?xí)r，∴∠AOE＝180°﹣90°﹣α＝90°﹣α如圖3，當(dāng)OE在AB下方時(shí)，∵OE⊥OD，∴∠DOE＝90°，∵∠BOD＝α?xí)r，∴∠AOE＝180°﹣（90°﹣α）＝90°+α．綜上所述：∠AOE＝90°+α或90°﹣α．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查垂線、角平分線的定義和角的計(jì)算，熟練掌握垂直的定義和角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．題型三通過計(jì)算說明兩角的數(shù)量關(guān)系題型三通過計(jì)算說明兩角的數(shù)量關(guān)系【例題3】（2022春?渭城區(qū)期中）將下面的解答過程補(bǔ)充完整：已知：如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠AOF，∠COE＝90°．試說明：∠FOB＝2∠AOC．解：因?yàn)镺E平分∠AOF，所以∠AOE＝∠EOF．（）因?yàn)椤螩OE＝90°，所以∠AOC+∠AOE＝90°．因?yàn)橹本€AB，CD相交于點(diǎn)O，所以∠EOD＝180°﹣∠COE＝90°，所以∠EOF+∠FOD＝90°．所以∠AOC＝（）．因?yàn)橹本€AB，CD相交于點(diǎn)O，所以（），所以∠FOB＝∠FOD+∠BOD＝2∠AOC．【分析】根據(jù)角平分線的定義、對(duì)頂角相等、角平分線的定義解答即可．【解答】解：因?yàn)镺E平分∠AOF，所以∠AOE＝∠EOF．（角平分線的定義）因?yàn)椤螩OE＝90°，所以∠AOC+∠AOE＝90°．因?yàn)橹本€AB，CD相交于點(diǎn)O，所以∠EOD＝180°﹣∠COE＝90°，所以∠EOF+∠FOD＝90°．所以∠AOC＝∠FOD（等角的余角相等）．因?yàn)橹本€AB，CD相交于點(diǎn)O，所以∠AOC＝∠BOD（對(duì)頂角相等），所以∠FOB＝∠FOD+∠BOD＝2∠AOC．【變式3-1】已知：如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，EO⊥CD，垂足為O，OF平分∠BOD，對(duì)∠EOF=12∠【分析】根據(jù)對(duì)頂角的性質(zhì)得到∠AOC＝∠BOD，由角平分線的定義得到∠BOF=12∠BOD，等量代換得到∠BOF=12∠AOC，由垂直的定義得到∠COE＝90°，等量代換得到∠【解答】解：∵∠AOC＝∠BOD（對(duì)頂角相等），∠BOF=12∠∴∠BOF=12∠∵∠AOC＝180°﹣∠BOC（平角的定義），∴∠BOF＝90°?12∠∵EO⊥CD（已知），∴∠COE＝90°（垂直的定義）∵∠BOE+∠COE＝∠BOC（兩角和的定義），∴∠BOE＝∠BOC﹣∠COE．∴∠BOE＝∠BOC﹣90°（等量代換）∵∠EOF＝∠BOE+∠BOF（兩角和的定義）∴∠EOF＝（∠BOC﹣90°）+（90°?12∠∴∠EOF=12∠【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角、垂線以及角平分線的定義；弄清各個(gè)角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2022秋?蓮都區(qū)期末）如圖，直線AE與CD相交于點(diǎn)B，BF⊥AE．（1）若∠DBE＝60°，求∠FBD的度數(shù)；（2）猜想∠CBE與∠DBF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）由BF⊥AE得∠EBF＝90°，即可計(jì)算；（2）由∠CBE＝∠ABD，∠ABF＝90°，即可解決問題．【解答】（1）解：∵BF⊥AE，∴∠EBF＝∠ABF＝90°，∵∠FBD＝∠EBF﹣∠DBE，∴∠FBD＝90°﹣60°＝30°；（2）∠CBE﹣∠DBF＝90°．證明：∵∠ABD﹣∠FBD＝∠ABF，∴∠ABD﹣∠FBD＝90°，∵∠CBE＝∠ABD，∴∠CBE﹣∠DBF＝90°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查角度的計(jì)算，關(guān)鍵是掌握垂直的定義，對(duì)頂角相等．【變式3-3】如圖，直線AB與CD相交于O．OF是∠BOD的平分線，OE⊥OF．（1）若∠BOE比∠DOF大38°，求∠DOF和∠AOC的度數(shù)；（2）試問∠COE與∠BOE之間有怎樣的大小關(guān)系？請(qǐng)說明理由．（3）∠BOE的余角是，∠BOE的補(bǔ)角是．【分析】（1）設(shè)∠BOF＝α，根據(jù)角平分線的定義得出∠DOF＝∠BOF＝α，得出方程38°+α+α＝90°，求出方程的解即可；（2）求出∠COE＝180°﹣∠DOE＝90°﹣∠DOF，根據(jù)垂直求出∠BOE＝90°﹣∠BOF，即可得出答案；（3）根據(jù)余角和補(bǔ)角定義求出即可．【解答】解：（1）設(shè)∠BOF＝α，∵OF是∠BOD的平分線，∴∠DOF＝∠BOF＝α，∵∠BOE比∠DOF大38°，∴∠BOE＝38°+∠DOF＝38°+α，∵OE⊥OF，∴∠EOF＝90°，∴38°+α+α＝90°，解得：α＝26°，∴∠DOF＝26°，∠AOC＝∠BOD＝∠DOF+∠BOF＝26°+26°＝52°；（2）∠COE＝∠BOE，理由是：∵∠COE＝180°﹣∠DOE＝180°﹣（90°+∠DOF）＝90°﹣∠DOF，∵OF是∠BOD的平分線，∴∠DOF＝∠BOF，∴∠COE＝90°﹣∠BOF，∵OE⊥OF，∴∠EOF＝90°，∴∠BOE＝90°﹣∠BOF，∴∠COE＝∠BOE；（3）∠BOE的余角是∠BOF和∠DOF，∠BOE的補(bǔ)角是∠AOE和∠DOE，故答案為：∠BOF和∠DOF，∠AOE和∠DOE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了余角、補(bǔ)角，對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角，角平分線定義等知識(shí)點(diǎn)，能正確運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．【變式3-4】直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOD，OF⊥CD，垂足為O．（1）若∠EOF＝54°，求∠AOC的度數(shù)；（2）①在∠AOD的內(nèi)部作射線OG⊥OE；②試探索∠AOG與∠EOF之間有怎樣的關(guān)系？并說明理由．【分析】（1）依據(jù)OF⊥CD，∠EOF＝54°，可得∠DOE＝90°﹣54°＝36°，再根據(jù)OE平分∠BOD，即可得出∠BOD＝2∠DOE＝72°，依據(jù)對(duì)頂角相等得到∠AOC＝72°；（2）依據(jù)OE平分∠BOD，可得∠BOE＝∠DOE，再根據(jù)OF⊥CD，OG⊥OE，即可得到∠EOF+∠DOE＝90°，∠AOG+∠BOE＝90°，依據(jù)等角的余角相等，可得∠EOF＝∠AOG．【解答】解：（1）∵OF⊥CD，∠EOF＝54°，∴∠DOE＝90°﹣54°＝36°，又∵OE平分∠BOD，∴∠BOD＝2∠DOE＝72°，∴∠AOC＝72°；（2）①如圖所示：②∠AOG＝∠EOF；理由：∵OE平分∠BOD，∴∠BOE＝∠DOE，∵OF⊥CD，OG⊥OE，∴∠EOF+∠DOE＝90°，∠AOG+∠BOE＝90°，∴∠EOF＝∠AOG．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了垂線，角平分線的定義以及余角的綜合運(yùn)用，當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，解決問題的關(guān)鍵是掌握：等角的余角相等．【變式3-5】如圖，直線EF，CD相交于點(diǎn)O，OA⊥OB，且OC平分∠AOF，（1）若∠AOE＝40°，求∠BOD的度數(shù)；（2）若∠AOE＝α，求∠BOD的度數(shù)；（用含α的代數(shù)式表示）（3）從（1）（2）的結(jié)果中能看出∠AOE和∠BOD有何關(guān)系？【分析】（1）、（2）根據(jù)平角的定義求得∠AOF，又有角平分線的定義求得∠FOC；然后根據(jù)對(duì)頂角相等求得∠EOD＝∠FOC；∠BOE＝∠AOB﹣∠AOE，∠BOD＝∠EOD﹣∠BOE；（3）由（1）、（2）的結(jié)果找出它們之間的倍數(shù)關(guān)系．【解答】解：（1）∵∠AOE+∠AOF＝180°（互為補(bǔ)角），∠AOE＝40°，∴∠AOF＝140°；又∵OC平分∠AOF，∴∠FOC=12∠∴∠EOD＝∠FOC＝70°（對(duì)頂角相等）；而∠BOE＝∠AOB﹣∠AOE＝50°，∴∠BOD＝∠EOD﹣∠BOE＝20°；（2）∵∠AOE+∠AOF＝180°（互為補(bǔ)角），∠AOE＝α，∴∠AOF＝180°﹣α；又∵OC平分∠AOF，∴∠FOC=12∠AOF＝90°?∴∠EOD＝∠FOC＝90°?12而∠BOE＝∠AOB﹣∠AOE＝90°﹣α，∴∠BOD＝∠EOD﹣∠BOE=12（3）從（1）（2）的結(jié)果中能看出∠AOE＝2∠BOD．【點(diǎn)評(píng)】本題利用垂直的定義，對(duì)頂角和互補(bǔ)的性質(zhì)計(jì)算，要注意領(lǐng)會(huì)由垂直得直角這一要點(diǎn)．【變式3-6】（2022春?香坊區(qū)期末）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，∠BOM＝∠DON＝90°．（1）如圖1，若∠COM＝35°，求∠BON的度數(shù)；（2）如圖1，請(qǐng)直接寫出圖中所有互余的角；（3）如圖2，若射線OE在∠MOB的內(nèi)部，且12∠MON﹣∠BOE＝45°，請(qǐng)比較∠MOE與∠DOE【分析】（1）先求出∠AOC，根據(jù)對(duì)頂角相等求出∠BOD，已知∠DON＝90°，可求得∠BON的度數(shù)；（2）根據(jù)互余的定義判斷即可，互余的兩個(gè)角和為90度；（3）可設(shè)∠MOC＝x，則∠AON＝x，∠AOC＝∠BOD＝90°﹣x，根據(jù)已知可得∠BOE=12x，進(jìn)而得出∠MOE和∠【解答】解：（1）∵BOM＝90°，∴∠AOM＝90°，∵∠COM＝35°，∴∠AOC＝55°，∴∠BOD＝55°，∵∠DON＝90°，∴∠BON＝∠BOD+∠DON＝55°+90°＝145°；（2）∵∠AOC+∠COM＝90°，∴∠AOC與∠COM互余，∵∠AOC+∠AON＝90°，∴∠AOC與∠AON互余，∵∠BOD＝∠AOC，∴∠BOD與∠COM互余，∠BOD與∠AON互余；（3）∠MOE＝∠DOE，∵∠BOM＝∠DON＝90°，∴∠MOC＝∠AON，設(shè)∠MOC＝x，則∠AON＝x，∠AOC＝∠BOD＝90°﹣x，∵12∠MON﹣∠BOE∴12（90°+x）﹣∠BOE∴∠BOE=12∴∠MOE＝90°?12∠DOE＝∠BOE+∠BOE＝90°﹣x+12x＝90°?∴∠MOE＝∠DOE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角，解題的關(guān)鍵是根據(jù)概念會(huì)判斷并靈活運(yùn)用，鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角成對(duì)出現(xiàn)，在相交直線中，一個(gè)角的鄰補(bǔ)角有兩個(gè)．鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角都是相對(duì)與兩個(gè)角而言，是指的兩個(gè)角的一種位置關(guān)系．它們都是在兩直線相交的前提下形成的．【變式3-7】（2023秋?南崗區(qū)期中）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OE⊥CD．（1）如圖1，求證：∠BOE﹣∠AOC＝90°；（2）如圖2，將射線OB沿著直線CD翻折得到射線OF，即∠BOD＝∠FOD，求證：OE平分∠AOF；（3）如圖3，在（2）的條件下，過點(diǎn)O作OG⊥AB，當(dāng)∠FOG：∠AOE＝2：3時(shí)，求∠COG的度數(shù)．【分析】（1）由垂直的定義及角度的和差計(jì)算可得；（2）證明OE平分∠AOF，即證明∠AOE＝∠EOF，通過題目中角度的和差運(yùn)算可得；（3）設(shè)出∠FOG的度數(shù)，表示出∠AOE的度數(shù)，找到等量關(guān)系，列出等式，求出未知數(shù)的值，即可．【解答】解：（1）如圖，∵AB，CD相交于點(diǎn)O，∴∠AOC＝∠BOD，∵OE⊥OD，∴∠DOE＝90°，∴∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD＝90°，∴∠BOE﹣∠AOC＝90°．（2）如圖，∵OE⊥OD，∴∠DOE＝90°，∴∠EOF+∠FOD＝90°，∴2∠EOF+2∠FOD＝180°，∵∠BOD＝∠FOD，∴∠FOB＝2∠FOD，∴2∠EOF＝180°﹣∠FOB＝∠AOF，∴∠AOE＝∠EOF，∴OE平分∠AOF．（3）如圖，∵∠FOG：∠AOE＝2：3，∴設(shè)∠FOG＝2α，則∠AOE＝3α，∴∠EOG＝3α﹣2α＝α，∵∠EOG+∠GOD＝90°，∠GOD+∠BOD＝90°，∴∠EOG＝∠BOD＝α，∴∠FOD＝∠BOD＝α，∵A，O，B三點(diǎn)在一條直線上，∴3α+α+2α+α+α＝180°，解得α＝22.5°，∴∠COG＝112.5°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查垂直的定義，角平分線的定義，角度的和差等內(nèi)容，解題關(guān)鍵是找到圖中角度之間的關(guān)系，列出等式．題型四通過計(jì)算說明兩直線垂直題型四通過計(jì)算說明兩直線垂直【例題4】（2022春?南昌期中）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OD平分∠BOE，OF平分∠AOE．（1）判斷OF與OD的位置關(guān)系，并證明；（2）若∠AOC＝30°，求∠EOF的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得到∠EOF=12∠AOE，∠EOD=1（2）根據(jù)對(duì)頂角相等、余角的概念計(jì)算即可．【解答】解：（1）OF⊥OD，理由如下：∵OD平分∠BOE，OF平分∠AOE，∴∠EOF=12∠AOE，∠EOD=1∵∠AOE+∠BOE＝180°，∴∠EOF+∠EOD＝90°，∴OF⊥OD；（2）∵∠AOC＝30°，∴∠BOD＝∠AOC＝30°，∴∠EOD＝∠BOD＝30°，∴∠EOF＝90°﹣∠EOD＝60°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是對(duì)頂角、角平分線的定義、鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，掌握角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2022秋?拱墅區(qū)期末）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OM⊥AB．（1）若∠1＝∠2，證明：ON⊥CD；（2）若∠1=13∠BOC，求∠【分析】（1）利用垂直的定義得出∠2+∠AOC＝90°，進(jìn)而得出答案；（2）根據(jù)題意得出∠1的度數(shù)，即可得出∠BOD的度數(shù)．【解答】證明：（1）∵OM⊥AB，∴∠AOM＝∠BOM＝90°，∴∠1+∠AOC＝90°，∵∠1＝∠2，∴∠2+∠AOC＝90°，即∠CON＝90°，∴ON⊥CD；（2）∵∠1=13∠∴∠BOM＝2∠1＝90°，解得：∠1＝45°，∴∠BOD＝90°﹣45°＝45°【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了垂直的定義以及鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角等知識(shí)，正確把握垂直的定義是解題關(guān)鍵．【變式4-2】（2023秋?玄武區(qū)校級(jí)期末）如圖，直線AB和直線CD交于點(diǎn)E，EF、EG分別平分∠AEC和∠BEC．（1）求證：EF⊥EG；（2）若∠AEF＝66°，求∠BEG的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)條件可求出∠AOC和∠BOC的和，再根據(jù)角平分線的意義求出∠EFG的度數(shù)；（2）根據(jù)∠AEF＝66°，求得∠AEC的度數(shù)，利用平角的定義算出∠BEC的度數(shù)，根據(jù)角平分線的定義即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：∵∠AEC+∠BEC＝180°，∵EF、EG分別平分∠AEC和∠BEC，∴∠FEC+∠CEG=12（∠AEC+∠BEC）∴EF⊥EG；（2）解：∵∠AEF＝66°，EF平分∠AEC，∵∠AEC＝2∠AEF＝2×66°＝132°，∴∠BEC＝180°﹣∠AEC＝180°﹣132°＝48°，∵EG平分∠BEC，∴∠BEG=1【點(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角、角平分線的性質(zhì)，正確的識(shí)圖和推理是解決問題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2022春?墨玉縣期末）如圖，直線AB．CD相交于點(diǎn)O．∠AOC＝28°．OE平分∠AOD，OF平分∠BOD．（1）求∠BOF的度數(shù)：（2）判斷射線OE與OF之間的位置關(guān)系．并說明理由．【分析】（1）根據(jù)對(duì)頂角相等和角平分線即可求出答案；（2）求出求出∠EOF的度數(shù)，根據(jù)垂直定義求出即可．【解答】解：（1）∵∠BOD＝∠AOC，∠AOC＝28°，∴∠BOD＝28°，∵OF平分∠BOD，∴∠BOF=1（2）垂直，理由如下：∵∠AOC＝28°，∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝180°﹣28°＝152°，∵OE平分∠AOD，OF平分∠BOD，∴∠EOD=12∠AOD∠DOF=12∠BOD∴∠EOF＝∠EOD+∠DOF＝76°+14°＝90°，∴OE⊥OF．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了對(duì)頂角及鄰補(bǔ)角的定義，熟記對(duì)頂角及鄰補(bǔ)角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式4-4】（2023春?邯鄲期中）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，MO⊥AB，垂足為O．（1）若∠1＝∠2，求∠AOD的度數(shù)；（2）已知N是直線AB下方的一點(diǎn)，且NO⊥CD，在圖中畫出NO．若∠BOC＝2∠2，求∠BON的度數(shù)．【分析】（1）由MO⊥AB得到∠BOM＝∠AOM＝90°．由∠1＝∠2，得到∠1=∠2=12∠AOM=45°（2）由∠BOC+∠2＝180°，∠BOC＝2∠2得到∠2＝60°，則∠BOD＝∠2＝60°．由NO⊥CD得到∠NOD＝90°，即可得到答案．【解答】解：（1）∵M(jìn)O⊥AB，∴∠BOM＝∠AOM＝90°．∵∠1＝∠2，∴∠1=∠2=1∴∠AOD＝180°﹣∠2＝135°；（2）如圖，∵∠BOC+∠2＝180°，∠BOC＝2∠2，∴3∠2＝180°，∴∠2＝60°，∴∠BOD＝∠2＝60°．∵NO⊥CD，∴∠NOD＝90°，∴∠BON＝∠BOD+∠NOD＝60°+90°＝150°．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了垂直的定義、對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式4-5】（2022春?阿瓦提縣期末）如圖①，直線AB，CD相交于點(diǎn)O．（1）若∠AOC+∠BOD＝120°，求∠AOD的度數(shù)．（2）分別作∠AOD、∠BOD的平分線OE，OF，如圖②，請(qǐng)判斷OE與OF之間的位置關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）由對(duì)頂角的性質(zhì)得到AOC＝∠BOD，而∠AOC+∠BOD＝120°，求出∠AOC＝60°，由鄰補(bǔ)角的性質(zhì)得到∠AOD＝180°﹣∠AOC＝120°；（2）由角平分線定義得到∠DOE+∠DOF=12（∠AOD+∠BOD），因此∠EOF=12∠AOB=1【解答】解：（1）∵∠AOC+∠BOD＝120°，∠AOC＝∠BOD，∴∠AOC＝60°，∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝120°；（2）OE⊥OF，理由如下：∵∠AOD、∠BOD的平分線分別是OE，OF，∴∠DOE=12∠AOD，∠DOF=1∴∠DOE+∠DOF=12（∠AOD+∠∴∠EOF=12∠AOB∴OE⊥OF．【點(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)頂角，鄰補(bǔ)角，角平分線定義，垂線，關(guān)鍵是由對(duì)頂角的性質(zhì)求出∠AOC＝60°，由角平分線定義得到∠EOF=12∠AOB【變式4-6】（2023春?大足區(qū)期末）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OE⊥AB．（1）若∠BOF＝∠DOE，求證：OF⊥CD；（2）在（1）的條件下，若∠BOC﹣∠AOF＝∠AOC，求∠COE的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)OE⊥AB，得∠BOE＝90°，即∠DOE+∠BOD＝90°，再根據(jù)∠BOF＝∠DOE，所以∠BOF+∠BOD＝90°，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)∠BOC﹣∠AOF＝∠AOC，∠BOC＝180°﹣∠AOC，∠AOF＝90°+∠AOC，得180°﹣∠AOC﹣90°﹣∠AOC＝∠AOC，所以∠AOC＝30°，即可求出答案．【解答】（1）證明：∵OE⊥AB，∴∠BOE＝∠AOE＝90°，∴∠DOE+∠BOD＝90°，∵∠BOF＝∠DOE，∴∠BOF+∠BOD＝90°，∴∠DOF＝90°，∴OF⊥CD；（2）解：∵∠BOC﹣∠AOF＝∠AOC，又∵∠BOC＝180°﹣∠AOC，∠AOF＝90°+∠AOC，∴180°﹣∠AOC﹣90°﹣∠AOC＝∠AOC，∴∠AOC＝30°，∵∠COE＝30°+90°＝120°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂線，對(duì)頂角與鄰補(bǔ)角，熟練掌握垂線的性質(zhì)及角的計(jì)算的方法進(jìn)行計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．【變式4-7】（2022春?沂水縣期中）直線AB，CD相交于點(diǎn)O．OE，OF，OG分別是∠AOC，∠BOD，∠AOD的平分線．（1）畫出這個(gè)圖形．（2）射線OE，OF在同一條直線上嗎？為什么？（3）OE與OG有什么位置關(guān)系？說明理由．【分析】（1）畫出這個(gè)圖形即可；（2）根據(jù)角平分線定義即可判斷射線OE，OF在同一條直線上；（3）由OG平分∠AOD，得∠AOG＝∠DOG，再由∠AOE＝∠DOF，∠AOE+∠DOF+∠AOD＝180°，得∠AOE+∠AOG＝90°，進(jìn)而即可判斷OE與OG的位置關(guān)系．【解答】解：（1）如圖所示，（2）射線OE、射線OF在同一條直線上．理由如下：∵直線AB、CD相交于點(diǎn)O，∴∠AOC＝∠BOD，∠AOC+∠AOD＝180°，∵OE、OF分別是∠AOC、∠BOD的平分線，∴∠AOE=12∠AOC，∠DOF=1∴∠AOE＝∠DOF，∴∠AOE+∠DOF＝∠AOC，∴∠AOE+∠DOF+∠AOD＝180°，∴射線OE、射線OF在同一條直線上；（3）OE⊥OG．理由如下：∵OG平分∠AOD，∴∠AOG＝∠DOG，∵∠AOE＝∠DOF，∠AOE+∠DOF+∠AOD＝180°，∴∠AOE+∠AOG＝90°，∴OG⊥OE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣基本作圖、直線、射線、線段、角平分線的定義、對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)語(yǔ)句準(zhǔn)確畫圖．【變式4-8】（2023春?新華區(qū)校級(jí)期中）如圖，直線EF，CD相交于點(diǎn)O，OC平分∠AOF，∠AOE＝2∠BOD．（1）∠COF的對(duì)頂角是，∠BOD的鄰補(bǔ)角是；（2）若∠AOE＝40°，求∠DOE的度數(shù)；（3）猜想OA與OB之間的位置關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）由對(duì)頂角，鄰補(bǔ)角的定義，即可得到答案；（2）由鄰補(bǔ)角的性質(zhì)求出∠AOF的度數(shù)，由角平分線定義求出∠FOC的度數(shù)，由對(duì)頂角的性質(zhì)即可求出∠DOE度數(shù)；（3）設(shè)∠BOD＝α，∠BOE＝β，由角平分線定義，對(duì)頂角的性質(zhì)，平角定義推出2α+β＝90°，得到∠AOE+∠BOE＝90°，即可證明OA⊥OB．【解答】解：（1）∠COF的對(duì)頂角是∠DOE，∠BOD的鄰補(bǔ)角是∠BOC，故答案為：∠DOE，∠BOC；（2）∵∠AOF+∠AOE＝180°，∠AOE＝40°，∴∠AOF＝140°，∵OC平分∠AOF，∴∠FOC=12∠∴∠DOE＝∠FOC＝70°；（3）OA⊥OB，理由如下：設(shè)∠BOD＝α，∠BOE＝β，∴∠AOE＝2∠BOD＝2α，∠FOC＝∠DOE＝α+β，∵OC平分∠AOF，∴∠AOC＝∠FOC＝α+β，∵∠AOC+∠AOE+∠DOE＝180°，∴α+β+2α+α+β＝180°，∴2α+β＝90°，∴∠AOE+∠BOE＝90°，∴OA⊥OB．【點(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)頂角，鄰補(bǔ)角，角平分線定義，垂直的定義，關(guān)鍵是由角平分線定義，對(duì)頂角的性質(zhì)，平角定義推出∠AOE+∠BOE＝90°．題型五與相交線有關(guān)的角度計(jì)算綜合題題型五與相交線有關(guān)的角度計(jì)算綜合題【例題5】如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)E，射線EG在∠AEC內(nèi)（如圖1）．（1）若∠BEC的補(bǔ)角是它的余角的3倍，則∠BEC＝度；（2）在（1）的條件下，若∠CEG比∠AEG小25度，求∠AEG的大??；（3）若射線EF平分∠AED，∠FEG＝100°（如圖2），則∠AEG﹣∠CEG＝度．【分析】（1）設(shè)∠BEC的度數(shù)為x，根據(jù)∠BEC的補(bǔ)角是它的余角的3倍列方程為：180﹣x＝3（90﹣x），解方程可得；（2）設(shè)∠AEG＝x°，則∠CEG＝x﹣25，根據(jù)已知列方程為：x+（x﹣25）＝135，解方程可得；（3）根據(jù)角平分線的定義得：∠AEF＝∠DEF，根據(jù)∠FEG＝100°，得∠AEG＝100°﹣∠AEF，根據(jù)平角的定義可得∠CEG＝180°﹣100°﹣∠DEF，最后可得結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)∠BEC的度數(shù)為x，則180﹣x＝3（90﹣x），x＝45°，∴∠BEC＝45°，故答案為：45；（2）∵∠BEC＝45°，∴∠AEC＝135°，設(shè)∠AEG＝x°，則∠CEG＝x﹣25，由∠AEC＝135°，得x+（x﹣25）＝135，解得x＝80°，∴∠AEG＝80°；（3）∵射線EF平分∠AED，∴∠AEF＝∠DEF，∵∠FEG＝100°，∴∠AEG+∠AEF＝100°，∵∠CEG＝180°﹣100°﹣∠DEF＝80°﹣∠DEF，∴∠AEG﹣∠CEG＝100°﹣∠AEF﹣（80°﹣∠DEF）＝20°，故答案為：20．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角，角平分線的定義，此類題目熟記概念并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2022秋?渠縣期末）若直線AB和直線ED相交于點(diǎn)O，OC為∠BOE內(nèi)部的射線，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．（1）若∠BOD＝58°，求∠AOF和∠EOF的度數(shù)？（2）若∠BOD是任意角α（0°＜α＜90°），求∠EOF的度數(shù)？（3）請(qǐng)猜想，∠EOF度數(shù)會(huì)改變嗎？若改變，請(qǐng)說明理由；若不改變，則∠EOF度數(shù)是多少？【分析】（1）由對(duì)頂角的性質(zhì)，得到∠AOE＝58°，再由角平分線的定義即可求解；（2）由角平分線的定義，對(duì)頂角的性質(zhì)得到，∠COE＝α，∠COF＝90°﹣α，從而求出∠EOF的度數(shù)；（3）由角平分線的定義推出∠EOF=12∠【解答】解：（1）∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，∴∠COE=12∠AOC，∠COF=1∴∠COE+∠COF=12（∠AOC+∠∴∠EOF=12∠AOB∵∠AOE＝∠BOD＝58°，∴∠AOF＝∠AOF+∠EOF＝58°+90°＝148°，（2）∵OE平分∠AOC，∴∠AOC＝2∠AOE，∵∠AOE＝∠BOD＝α，∴∠AOC＝2α，∴∠BOC＝180°﹣2α，∵OF平分∠BOC，∴∠COF=12∠BOC＝90°﹣∴∠EOF＝∠EOC+∠COF＝α+90°﹣α＝90°；（3）∠EOF的度數(shù)不變，∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，∴∠COE=12∠AOC，∠COF=1∴∠COE+∠COF=12（∠AOC+∠∴∠EOF=12∠AOB【點(diǎn)評(píng)】本題考查角的計(jì)算，關(guān)鍵是掌握角平分線的定義．【變式5-2】（2022秋?漢川市期末）如圖，已知直線AB與直線CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOD．（1）如圖1，若∠BOC＝130°，求∠COE的度數(shù)；（2）如圖2，射線OF在∠AOD內(nèi)部．①若∠EOF＝90°，試說明OF是∠AOD的平分線；②若OF平分∠AOE，∠AOF=53∠DOF，求∠【分析】（1）根據(jù)平角的定義，角平分線的定義以及角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可；（2）①根據(jù)平角、直角的定義以及角平分線的定義進(jìn)行計(jì)算即可；②根據(jù)圖形中各個(gè)角之間的和差關(guān)系以及平角的定義進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：（1）∵∠BOC＝130°，∴∠BOD＝180°﹣130°＝50°，∵OE平分∠BOD．∴∠BOE=12∠∴∠COE＝∠BOC+∠BOE＝130°+25°＝155°；（2）①∵OE平分∠BOD．∴∠BOE＝∠DOE=12∠∵∠EOF＝90°，∴∠DOE+∠DOF＝90°，即∠DOF＝90°﹣∠DOE，又∵∠AOF+∠EOF+∠BOE＝180°，∴∠AOF＝180°﹣90°﹣∠BOE＝90°﹣∠BOE，∴∠AOF＝∠DOF，即OF平分∠AOD；②由于∠AOF=53∠DOF，因此可設(shè)∠DOF＝3x，則∠AOF＝5∵OF平分∠AOE，∴∠EOF＝∠AOF＝5x，∠AOE＝10x，∴∠DOE＝∠EOF﹣∠DOF＝5x﹣3x＝2x，∵OE平分∠BOD，∴∠BOE＝∠DOE＝∠AOF＝2x，∠BOD＝4x，∵∠BOE+∠AOE＝180°，∴2x+10x＝180°，解得x＝15°，∴∠BOD＝4x＝60°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查角平分線，平角、直角的定義，理解平角、直角的定義以及角平分線的定義是正確解答的關(guān)鍵．【變式5-3】（2023秋?漢陽(yáng)區(qū)期末）直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠AOD．（1）如圖1，若∠BOD＝50°，則直接寫出∠AOE的大??；（2）如圖1，若OF平分∠BOC，試說明E，O，F(xiàn)三點(diǎn)在同一直線上；（3）如圖2，若OG平分∠BOD，∠GOF∠EOF=45，則求出（∠【分析】（1）根據(jù)鄰補(bǔ)角和角平分線來解答；（2）根據(jù)角平分線證明出∠EOD＝∠COF，再根據(jù)CD是一條直線便能得出結(jié)論；（3）根據(jù)∠GOF+∠EOF的度數(shù)和及度數(shù)比，求出∠GOF的度數(shù)，再根據(jù)鄰補(bǔ)角和角平分線得出∠BOG+∠COF的度數(shù)．【解答】解：（1）∠AOD＝180°﹣∠BOD＝180°﹣50°＝130°，∵OE平分∠AOD，∴∠AOE＝130°÷2＝65°，故答案為：65°．（2）∵直線AB，CD相交于點(diǎn)O，∴∠AOD＝∠BOC．∵OE平分∠AOD，∴∠EOD=12∵OF平分∠BOC，∴∠COF=12∴∠EOD＝∠COF，∴E，O，F(xiàn)三點(diǎn)在同一直線上．（3）∵OE平分∠AOD，OG平分∠BOD，∴∠EOG＝180°÷2＝90°．∴∠GOF+∠EOF＝360°﹣90°＝270°，又∵∠GOF∠EOF∴∠GOF＝270°÷（5+4）×4＝120°，∴∠DOG+∠COF＝180°﹣120°＝60°．又∵∠DOG＝∠BOG，∴∠BOG+∠COF＝60°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角和角平分線的定義，解題的關(guān)鍵根據(jù)對(duì)頂角相等、兩個(gè)鄰補(bǔ)角的和是180度和角平分線平分角的度數(shù)相等來解答．【變式5-4】（2023秋?上城區(qū)期末）直線AB，CD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OE⊥CD．（1）如圖（1），若∠BOD＝27°44'，求∠AOE的度數(shù)．（2）如圖（2），作射線OF使∠EOF＝∠AOE，則OD是∠BOF的平分線．請(qǐng)說明理由．（3）在圖（1）上作OG⊥AB，寫出∠COG與∠AOE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）根據(jù)垂直的定義進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)垂直的定義，對(duì)頂角相等以及等角的余角相等可得答案；（3）根據(jù)垂直的定義，平角的定義以及對(duì)頂角相等、同角的余角相等進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：（1）∵OE⊥CD．∴∠COE＝90°，即∠AOC+∠AOE＝90°，∵∠BOD＝27°44'＝∠AOC，∴∠AOE＝90°﹣27°44′＝62°16′；（2）∵OE⊥CD．∴∠COE＝∠DOE＝90°，即∠AOC+∠AOE＝∠DOF+∠EOF＝90°，∵∠EOF＝∠AOE，∴∠AOC＝∠DOF，又∵∠AOC＝∠BOD，∴∠BOD＝∠DOF，即OD是∠BOF的平分線；（3）如圖，∠COG+∠AOE＝180°，理由如下：∵OG⊥AB，∴∠AOG＝∠BOG＝90°，即∠AOE+∠EOG＝90°＝∠DOG+∠BOD，∵OE⊥CD．∴∠COE＝90°，即∠AOC+∠AOE＝90°，∵∠AOC＝∠BOD，∴∠AOE＝∠DOG，∵∠COG+∠DOG＝180°，∴∠COG+∠AOE＝180°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂線，角平分線，度分秒的計(jì)算以及對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角、同角的余角相等，掌握垂直的定義，角平分線的定義，度分秒的計(jì)算以及對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角、同角的余角相等是正確解答的關(guān)鍵．【變式5-5】（2022春?麒麟?yún)^(qū)期末）直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OF⊥CD于點(diǎn)O，作射線OE，且OC在∠AOE的內(nèi)部．（1）①當(dāng)OE、OF在如圖1所示位置時(shí)，若∠BOD＝20°，∠BOE＝130°，求∠EOF的度數(shù)；②當(dāng)OE、OF在如圖2所示位置時(shí)，若OF平分∠BOE，證明OC平分∠AOE．（2）若∠AOF＝2∠COE，請(qǐng)直接寫出∠BOE與∠AOC之間的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）①先利用角度的和差關(guān)系求得∠COE，再根據(jù)∠EOF＝90°﹣∠COE，可得∠EOF的度數(shù)；②先根據(jù)角平分線定義∠EOF＝∠FOB，再結(jié)合余角定義可得結(jié)論；（2）需要分類討論，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)在直線AB的同側(cè)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)在直線AB的異側(cè)；再分別表示∠AOC、∠BOE，再消去α即可．【解答】（1）①解：∵OF⊥CD于點(diǎn)O，∴∠DOF＝90°，∵∠BOD＝20°，∴∠BOF＝90°﹣20°＝70°，∵∠BOE＝130°，∴∠EOF＝∠BOE﹣∠BOF＝130°﹣70°＝60°；∴∠EOF的度數(shù)為60°；②證明：∵OF平分∠BOE，∴∠EOF＝∠FOB=12∠∵OF⊥CD，∴∠COF＝90°，∴∠COE+∠EOF＝∠AOC+∠BOF＝90°，∴∠COE＝∠AOC，即OC平分∠AOE；（2）解：3∠AOC+2∠BOE＝270°或∠AOC+2∠BOE＝270°，理由如下：當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)在直線AB的同側(cè)時(shí)，如圖，記∠COE＝α，則∠AOF＝2∠COE＝2α，∵OF⊥CD，∴∠COF＝90°，∴∠EOF＝90°﹣α，∠AOC＝∠AOF﹣∠COF＝2α﹣90°①，∴∠BOE＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝180°﹣（2α﹣90°）﹣α＝270°﹣3α②，①×3+②×2得，3∠AOC+2∠BOE＝270°；當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)F在直線AB的異側(cè)時(shí)，如圖，記∠COE＝α，則∠AOF＝2∠COE＝2α，∵OF⊥CD，∴∠COF＝90°，∴∠AOC＝∠COF﹣∠AOF＝90°﹣2α①，∴∠BOE＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝180°﹣（90°﹣2α）﹣α＝90°+α②，①+2×②得，∠AOC+2∠BOE＝270°．綜上可知，3∠AOC+2∠BOE＝270°或∠AOC+2∠BOE＝270°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)頂角，角平分線定義，角的有關(guān)定義的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的計(jì)算能力，并注意數(shù)形結(jié)合．【變式5-6】（2022秋?鄞州區(qū)期末）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOC．【基礎(chǔ)嘗試】（1）如圖1，若∠AOC＝40°，求∠DOE的度數(shù)；【畫圖探究】（2）作射線OF⊥OC，設(shè)∠AOC＝x°，請(qǐng)你利用圖2畫出圖形，探究∠AOC與∠EOF之間的關(guān)系，結(jié)果用含x的代數(shù)式表示∠EOF．【拓展運(yùn)用】（3）在第（2）題中，∠EOF可能和∠DOE互補(bǔ)嗎？請(qǐng)你作出判斷并說明理由．【分析】（1）由補(bǔ)角的定義可求解∠BOC的度數(shù)，結(jié)合角平分線的定義可求∠COE的度數(shù)，再利用平角的定義可求解；（2）可分兩種情況：當(dāng)OF在∠BOC內(nèi)部時(shí)，當(dāng)OF在∠AOD內(nèi)部時(shí)，利用平角的定義及角平分線的定義分別求解即可；（3）在AB⊥CD，且OF與OB重合的時(shí)候，∠EOF可以和∠DOE互補(bǔ)．【解答】解：（1）∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝40°，∴∠BOC＝180°﹣40°＝140°，∵OE平分∠BOC，∴∠COE=12∠∵∠DOE+∠COE＝180°，∴∠DOE＝180°﹣70°＝110°；（2）∠EOF