鹽城市、南京市2023—2024學(xué)年度第一學(xué)期期末調(diào)研測試

高三數(shù)學(xué)2024.01

注意事項(xiàng)：

1.本試卷考試時(shí)間為120分鐘，試卷滿分150分，考試形式閉卷.

2.本試卷中所有試題必須作答在答題卡上規(guī)定的位置，否則不給分.

3.答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在試卷及答題卡上.

第I卷(選擇題共60分)

一'單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的)

1.(2+收(2-囪=

A.5B.-1C.1D.7

2.已知集合/={0,1,2},5={x[y=lg(-x2+2x),則4C3=

A.{0,1,2}B.{1}C.{0}D.(0,2)

3.已知x>0,y>0,則x+yN2是個(gè)21的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

4.下列函數(shù)中是偶函數(shù)的是

-x

A.y=ex~\-e~xB.y=^—Q~XC.y=-----------D.j?=(ex+e-x)(ex—e-x)

e-x

5.從4位男同學(xué)、5位女同學(xué)中選出3位同學(xué)，男女生都要有的選法有

A.140種B.44種C.70種D.252種

6.已知反比例函數(shù)>=44W0)的圖象是雙曲線，其兩條漸近線為x軸和/軸，兩條漸近線的夾角為匹，將雙

x2

曲線繞其中心旋轉(zhuǎn)可使其漸近線變?yōu)橹本€y=±x,由此可求得其離心率為也.已知函數(shù)>=烏+1的圖

3x

象也是雙曲線，其兩條漸近線為直線和y軸，則該雙曲線的離心率是

A.3B.2mC.D.然

33

7.已知直線/與橢圓;+個(gè)=1在第二象限交于4,3兩點(diǎn)，/與x軸，了軸分別交于"，N兩點(diǎn)，若=

\BN\,貝心的傾斜角是

高三數(shù)學(xué)試卷第1頁(共6頁)

8.平面向量a,b,c滿足同=步|=。?Z>=2,|a+b+d=l,則（a+c）?（6+c）的最小值是

A.—3B.3—2A/5C.4—2#D.—2\（3

二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）

9.《中華人民共和國國民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展第十四個(gè)五年規(guī)劃和2035年遠(yuǎn)景目標(biāo)綱要》中明確提出要?jiǎng)?chuàng)新實(shí)

施文化惠民工程，提升基層綜合性文化服務(wù)中心功能，廣泛開展群眾性文化活動(dòng).某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為了考核甲、

乙兩村的文化惠民工程，在兩村的村民中進(jìn)行滿意度測評(píng)，滿分100分，規(guī)定：得分不低于80分的為

“高度滿意”，得分低于60分的為“不滿意”.經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)甲村的評(píng)分x和乙村的評(píng)分y都近似服從

正態(tài)分布，其中X-M70，<712），Y~Ng（722）,0<<71<<72,貝I

A.x對(duì)應(yīng)的正態(tài)曲線比y對(duì)應(yīng)的正態(tài)曲線更扁平

B.甲村的平均分低于乙村的平均分

C.甲村的高度滿意率與不滿意率相等

D.乙村的高度滿意率比不滿意率大

10.已知｛a”｝是等比數(shù)列，S”是其前一項(xiàng)和，滿足°3=2ai+a2,則下列說法中正確的有

A.若｛斯｝是正項(xiàng)數(shù)列，則｛a〃｝是單調(diào)遞增數(shù)列

B.Sn,S2?-Sn,S3“一S2”一定是等比數(shù)列

C.若存在M>0,使％對(duì)“GN*都成立，貝打|斯|｝是等差數(shù)列

D.若存在M>0,使對(duì)“GN*都成立，貝是等差數(shù)列

11.設(shè)N,P為函數(shù)/）=/sin（ox+?）圖象上三點(diǎn)，其中/>0,（o>0,|^|<|,已知N是函數(shù)人x）的

圖象與x軸相鄰的兩個(gè)交點(diǎn)，尸是圖象在M,N之間的最高點(diǎn)，若加2+2疝?赤=o，△ACVP的面積

是3,M點(diǎn)的坐標(biāo)是（一50）,則

A.A=\f2

Bc.co=兀-

2

"一兀

C.（p一一

4

D.函數(shù)兀0在N間的圖象上存在點(diǎn)。，使得麗?胸<0

12.在四棱錐尸一A8CD中，PD_L平面/BQ）,ADLCD,AD=CD=2,四棱錐尸一的外接球?yàn)榍騉,

則

A.ABLBCB.VP-ABCD>2VP-ACD

C.VP-ABCD=2VO-ABCDD.點(diǎn)。不可能在平面P3C內(nèi)

高三數(shù)學(xué)試卷第2頁（共6頁）

第n卷（非選擇題共90分）

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

13.滿足Kxy）=/Tx）+/iv）的函數(shù)/Tx）可以為/U）=▲.（寫出一個(gè)即可）

15.拋物線有一條重要性質(zhì)：從焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)過拋物線上一點(diǎn)反射后，反射光線平行于拋物線的對(duì)稱

軸.已知點(diǎn)廠為拋物線C：V=20x8>l）的焦點(diǎn)，從點(diǎn)尸出發(fā)的光線經(jīng)拋物線上一點(diǎn)反射后，反射光線

經(jīng)過點(diǎn)（10,1）,若入射光線和反射光線所在直線都與圓E：（x一旦）2+產(chǎn)=1相切，則p的值是

2

16.若數(shù)列｛4"｝滿足。1=。2=1,a?+an+i+an+2=n（tiGN*）,則a1oo=▲.

四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟，請(qǐng)把答案寫在答題紙

的指定區(qū)域內(nèi)）

17.（本小題滿分10分）

設(shè)數(shù)列｛。“｝的前力項(xiàng)和為S”，a?+Sn=l.

（1）求數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式；

（2）數(shù)列出,｝滿足a?^?=cosy,求｛歷,｝的前50項(xiàng)和Ao.

18.（本小題滿分12分）

在平行六面體中，底面/BCD為正方形，4B=AAi=2,=匹,側(cè)面CD￡>iCi_L

3

底面/BCD

（1）求證：平面48cl,平面CD。。；

（2）求直線ABi和平面A\BC\所成角的正弦值.

B

高三數(shù)學(xué)試卷第3頁（共6頁）

(第18題圖)

19.(本小題滿分12分)

在△A3C中，角/,B,。所對(duì)的邊分別是a,b,c,且ctanB=(2a—c)tanC.

(1)求角8的大小；

(2)若點(diǎn)。在邊NC上，BD平分NABC,6=23，求2。長的最大值.

20.(本小題滿分12分)

春節(jié)臨近，為了吸引顧客，我市某大型商超策劃了抽獎(jiǎng)活動(dòng)，計(jì)劃如下：有/、8、C三個(gè)抽獎(jiǎng)項(xiàng)目，

它們之間相互不影響，每個(gè)項(xiàng)目每位顧客至多參加一次，項(xiàng)目/中獎(jiǎng)的概率是L項(xiàng)目3和C中獎(jiǎng)的概率都

4

是馬

5

⑴若規(guī)定每位參加活動(dòng)的顧客需要依次參加N、8、C三個(gè)項(xiàng)目，如果/、3、C三個(gè)項(xiàng)目全部中獎(jiǎng)，顧客將

獲得100元獎(jiǎng)券；如果僅有兩個(gè)項(xiàng)目中獎(jiǎng)，他將獲得50元獎(jiǎng)券；否則就沒有獎(jiǎng)券.求每位顧客獲得獎(jiǎng)券

金額的期望；

(2)若規(guī)定每位顧客等可能地參加三個(gè)項(xiàng)目中的一個(gè)項(xiàng)目.已知某顧客中獎(jiǎng)了，求他參加的是/項(xiàng)目的概率.

高三數(shù)學(xué)試卷第4頁(共6頁)

21.(本小題滿分12分)

已知函數(shù)兀O=--(mER).

(1)當(dāng)加=1時(shí)，求函數(shù)外)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若函數(shù)於)的圖象與x軸相切，求證：l+ln2V冽V2+ln6.

22.(本小題滿分12分)

已知雙曲線C：三=1(40,Q0)的兩個(gè)焦點(diǎn)是尸1,F2,頂點(diǎn)/(0,—2),點(diǎn)河是雙曲線C上一個(gè)

出b1

動(dòng)點(diǎn)，且|MV一岫2］的最小值是8貼.

⑴求雙曲線。的方程；

⑵設(shè)點(diǎn)P是y軸上異于C的頂點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)。的一個(gè)定點(diǎn)，直線/過點(diǎn)尸且平行于X軸，直線加過點(diǎn)尸且

與雙曲線C交于3,。兩點(diǎn)，直線48,分別與直線/交于G,H兩點(diǎn).若。，A,G,X四點(diǎn)共圓，求

點(diǎn)尸的坐標(biāo).

高三數(shù)學(xué)試卷第5頁(共6頁)

鹽城市、南京市2023.2024學(xué)年度第一學(xué)期期末調(diào)研淵J試

高三數(shù)學(xué)2024.01

注意事項(xiàng)：

1.本試卷考試時(shí)間為120分鐘，試卷滿分150分，考試形式閉卷.

2.本試卷中所有試題必須作答在答題卡上規(guī)定的位置，否則不給分.

3.答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在試卷及答題卡上.

第I卷(選擇題共60分)

一'單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的)

1.(2+6i)(2-也i)=

A.5B.-1C.1D.7

【答案】D

【解析】(2+小i)(2—小i)=2?—(6i)2=4+3=7,故選D.

2.已知集合4={0,1,2],B={x|y=lg(-9+〃)},則408=

A.{0.1.2}B.{1}C.{0}D.(0.2)

【答案】B

【解析】一了2+您>0,X(X-2)<0,0<X<2,8=(0,2),AD8={1},故選B.

3.已知x>0,y>0,則x+y22是Jty'l的

A,充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】B

【解析】當(dāng)x=；,)，=|時(shí)，x+y=2,Aty=1,故不是充分條件，若則x+y》25^22,

故是必要條件，綜上可知x+y22是021的必要不充分條件，故選B.

4.下列函數(shù)中是偶函數(shù)的是

6rx+

cx=x-x

A.B.y=d-eTC.yex^e-xD.y=(e+ee-)

【答案】A

【解析】只有A為偶函數(shù)，其余均為奇函數(shù)，故選A.

5.從4位男同學(xué)、5位女同學(xué)中選出3位同學(xué)，男女生都要有的選法有

A.140種B.44種C.70種D.252種

【答案】C

【解析】N=C2-C：-C?=7O,故選C.

數(shù)學(xué)試題第I頁(共10頁)

6.已知反比例函數(shù)y=§(kW0)的圖象是雙曲線，其兩條漸近線為x軸和y軸，兩條漸近線的

兀

2一將雙曲線繞其中心旋轉(zhuǎn)可使其漸近線變?yōu)橹本€v=±x,由此可求得其離心率為

也已知函數(shù)丫=冬+§的圖象也是雙曲線，其兩條漸近線為直線y=^x和y軸，則該

雙曲線的離心率為

A.5B.2小C.D.

【答案】C

兀

【解析】在第一象限內(nèi)，函數(shù)丫=率+:的圖象位于>=室上方,一

71

3一6

qi+tan2?=^故選C.

7.已知直線/與橢圓方+號(hào)=1在第二象限交于A,8兩點(diǎn)，/與x軸，y軸分別交于M,N

兩點(diǎn)，若|4W|=|BN|,貝h的傾斜角是

n卜兀一兀一5兀

A.&B.§C,4D-12

【答案】A

【解析】設(shè)/:尸fcc+b(k>0,b>0),1'(號(hào)+與1+爭x+^y^=O,

一1=-&左=申，從而。=》故選

xi+x2=~~3、上淡十71,3金右十：1kSoA.

8.平面向量a,b,c滿足|a|=IM=。仍=2,|a+b+c|=l,則(a+c>(b+c)的最小值是

A.-3B.3-25/3C.4-2>/3D.一2小

【答案】B

【解析】設(shè)a+b+c=A，則(a+c>(b+c)=Q?—a)(/?——(a+b)/+<r>=3—(a+b)/,

而a+b|=\/(a+b)2=y|aP+訪仔+方力二2，^故(a+c>(A+c)23—|a+A\fl\=3—2\[3,

故選B.

二'多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分)

9.《中華人民共和國國民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展第十四個(gè)五年規(guī)劃和2035年遠(yuǎn)景目標(biāo)綱要》中明

確提出要?jiǎng)?chuàng)新實(shí)施文化惠民工程，提升基層綜合性文化服務(wù)中心功能，廣泛開展群眾性

文化活動(dòng).某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為了考核甲、乙兩村的文化惠民工程，在兩村的村民中進(jìn)行滿意度測

評(píng)，滿分100分，規(guī)定：得分不低于80分的為“高度滿意”，得分低于60分的為“不

數(shù)學(xué)試題第2頁(共10頁)

滿意”.經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)甲村的評(píng)分x和乙村的評(píng)分y都近似服從正態(tài)分布，其中x~M70,

62）,Y~N（15,CT22）.0<6<6,貝I]

A.x對(duì)應(yīng)的正態(tài)曲線比y對(duì)應(yīng)的正態(tài)曲線更扁平

B.甲村的平均分低于乙村的平均分

C.甲村的高度滿意率與不滿意率相等

D.乙村的高度滿意率比不滿意率大

【答案】BCD

【解析】曲線扁平，說明曲線較為分散，方差較大，A錯(cuò)誤；B顯然正確；由對(duì)稱性知C、D

正確，故選BCD.

10.已知｛%）是等比數(shù)列，S”是其前〃項(xiàng)和，滿足田=方1+公，則下列說法中正確的有

A.若但“｝是正項(xiàng)數(shù)列，則｛%｝是單調(diào)遞增數(shù)列

B.S“,Su-Sn，^"-S*一定是等比數(shù)列

C.若存在M>0,使|冊|《“對(duì)"CN,都成立，則｛|%1｝是等差數(shù)列

D.若存在M>0,使|%|WM對(duì)nGN?都成立，則｛S”｝是等差數(shù)列

【答案】AC

【解析】/=q+2,g=-l或g=2,若｛%｝是正項(xiàng)數(shù)列，則川>0,g=2,A正確；當(dāng)9=一

1且〃為偶數(shù)時(shí)，S”S2n-Sn,S3“-52n均為0,B錯(cuò)誤：若存在M>0,使laJWM對(duì)“GN*

都成立，則9=-1,此時(shí)|小|=5|為常數(shù)，C正確；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，S“=0,當(dāng)”為奇數(shù)時(shí)，

S“=ai#0,D錯(cuò)誤，故選AC.

11.設(shè)M,N,尸為函數(shù)危）=4sin（cox+e）圖象上三點(diǎn)，其中4>0,<u>0,\（p\<x,已知”,

N是函數(shù)本）的圖象與x軸相鄰的兩個(gè)交點(diǎn)，尸是圖象在M,N之間的最高點(diǎn)，若

MP2+2MNNP=O,ZXMN尸的面積是小，M點(diǎn)的坐標(biāo)是（一；，0）,貝U

A.A=y[iB.<0=^

C.<p=lD.函數(shù)%）在M,N間的圖象上存在點(diǎn)Q,使得詼?麗<0

【答案】BCD

【解析】A/P:+2AW-/VP=[（^）2+A2]—（2）2=A2—^=0,而SAMN尸=彳=小,

故4=小，7=4=今M-2'A錯(cuò)誤、B正確；一另+p=Jbt,p=fat+*ACZ）,

而/專故租號(hào)C正確；顯然，MN間的圖像有?部分位于以為直徑的圓內(nèi)，當(dāng)。

數(shù)學(xué)試題第3頁（共10頁）

位于以MN為直徑的圓內(nèi)時(shí)，QMQN<0,D正確，故選BCD.

12.在四棱錐P-ABCD中，尸。_1_平面ABC￡>,AD1CD,AD=CD=2,四棱錐P-ASCD的

外接球?yàn)榍?,則

A.AB1BC

B.Vp-ABCD>2Vp-ACD

C.Vp-ABCD=2VoABCD

D.點(diǎn)。不可能在平面尸8c內(nèi)

【答案】AC

【解析】四棱錐P-A8C。的外接球?yàn)镻,4,C,。為頂點(diǎn)的球，而A,B,C,。四點(diǎn)共面，

故這四點(diǎn)必須共圓，從而4B_LBC,A正確：顯然%當(dāng)且僅當(dāng)四邊形ABCC

為正方形時(shí)，取“="，B錯(cuò)誤；顯然0到平面AB8距離為P到平面A88距離的一半，

故匕BCC=2%”6,C正確；當(dāng)四邊形ABC。為正方形時(shí)，O為P8中點(diǎn)，D錯(cuò)誤，故選

AC.

第II卷（非選擇題共90分）

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

13.滿足兀叨=加）+用）的函數(shù)/）可以為/）=一^_.（寫出一個(gè)即可）

【答案】ln|x|

【解析】對(duì)數(shù)函數(shù)均滿足要求，考慮到定義域需要加絕對(duì)值.

14.t睚—-彳=▲.

tan8

【答案】-2

［解析］tan；----^=（6_|）_；^7［=（媚—|）一（啦+1）=_2.

15.拋物線有一條重要性質(zhì)：從焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)過拋物線上一點(diǎn)反射后，反射光線平行

于拋物線的對(duì)稱軸.已知點(diǎn)尸為拋物線C：V=2pxS>l）的焦點(diǎn)，從點(diǎn)F出發(fā)的光線經(jīng)

拋物線上一點(diǎn)反射后，反射光線經(jīng)過點(diǎn)（10,1）,若入射光線和反射光線所在直線都與圓E；

（%-y）2+^=1相切，則p的值是▲.

【答案以3

數(shù)學(xué)試題第4頁（共10頁）

【解析】當(dāng))，=1時(shí)，尸/故入射光線經(jīng)過召0)和碌1)，左=；言=者，故入射光

5一2

線的方程為y=y^(x—5,化簡得2px+s2—i)y—p2=o,

律-p2|課-p2|Up

〃=漏年產(chǎn)于=亍不一=1'崖一0=〃+1，而P>L故6P2—llp+3=0,

3

-

(2p-3)(3p-l)=0,

2-

2

16.若數(shù)列｛Q”｝滿足。1=。2=1,an4-aB+i+aB+2=n(neN*),則aioo=▲.

【答案】3268

【解析”：：：?；：￡：:1；〃+])2,作差得。，"3-。"=2"+1,故小00=內(nèi)+(2*1+1)+(2*4

+1)+…+(2X97+1)=2X(1+4+…+97)+34=3268.

四、解答題(本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟，

請(qǐng)把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi))

17.(本小題滿分10分)

設(shè)數(shù)列｛癡｝的前〃項(xiàng)和為S”，/+工=1.

(1)求數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式；

(2)數(shù)列｛瓦｝滿足斯耳=co器，求｛仇｝的前50項(xiàng)和Tso.

解：(1)由Q”+S”=l,得*I+S”T=15N2),

兩式相減得：%—a"-i+a"=0(〃22),即(〃22),

當(dāng)〃=1時(shí)，2sl=1,得ai=2^0?

所以匹=；(心2),故｛而是首項(xiàng)為公比為1的等比數(shù)列.

從而小=6".

(2)由(1)得Z>?=2,,cos-y.

所以7；=-22+24-26+28-----250

—411—(-4)25]*41+4”).

1-(—4)

18.(本小題滿分12分)

數(shù)學(xué)試題第5頁(共10頁)

jr

在平行六面體ABC。-481cl￡>i中，底面48C￡>為正方形，AB=AAi=2,

%_______C,

側(cè)面CDOiGJ_底面ABCD./

(1)求證：平面4BCJ_平面CODG；KX/^T~^//

(2)求直線AB,和平面48cl所成角的正弦值.

AS

(第18題圖)

(1)證明：因?yàn)榈酌?BCD為矩形，所以BC_LCC,

乂側(cè)面CDDiGl?底面A8CD,側(cè)面CDDiCin底面ABCD=CD,

且8Cu平面ABCD,所以BC_L平面CDD\C\,

又因?yàn)锽Cu平面AiBC,所以平面AiBCJ"平面CDDiG.

(2)解：因?yàn)?8=AAi=2,NAiA8=W，連接CDi，則速。)因?yàn)檎秊閿?shù)

取CD中點(diǎn)。，則QiOJ_CD,

由BC_L平面CDQG及QOu平面CDDG得D^OIBC,步分*,

又CDC\BC=C,所以。iOJ■底面4BCQ,

過點(diǎn)O作。“〃8c交48于M,A~%

以。為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系O—Jtyz,(第18題圖)

則A(2,-1,0),4(2,0,?8(2,1.0),BQ2,回Ci(0,2,小),

所tU^=(O,1,一小)，菽i=(-2,2,0),ABi=(0,3.6).

設(shè)平面4BG的法向量”=(x，y，z),

所以卜母=廠八=°'令z=l,則看產(chǎn)小，

〔小4iG=-2x+2y=0.

可得平面48G的法向量”=(小，小，1).

\AJi-n\4由25

所以，cosVABi，”>|=

\A^\\n—/73+3+「7

故直線ABi和平面4BQ所成角的正弦值為乎.

19.(本小題滿分12分)

在八48(7中，角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,且ctanB=(2a-c)tanC.

(1)求角B的大??；

(2)若點(diǎn)。在邊4c上，BD平分/ABC,%=2小，求BD長的最大值.

解：(1)因?yàn)閏tan8=(2a—c)tanC,

數(shù)學(xué)試題第6頁(共10頁)

sinCsinB(2sinA-sinC)sniC

由正弦定理得

cosBcosC

由sinC>0得sinBcosC=2sinAcos^-sinCcosB,

所以sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB?即sin(B+O=2siMcosB.

因?yàn)?+C+A=;t,所以sinA=2sinAcos8.又sinA>0,所以cos5=；.

因?yàn)?<8〈n,所以8=?

(2)由SAA&O+S△皿=SAX8C，得%8X80XsiT+；8CXBOXsi《=gABXBCXsi冷

c小ABXBC

所X8D=AB+BC?

在A4BC中，由余弦定理得A*+BC^-ABXBCulZ,

(AB+BC)2~\2(AB+BC)2

所以ABX"=

34

從而A8+8CW4小，當(dāng)且僅當(dāng)A8=BC取等號(hào).

。8+8。2-12

幣X3

則BD=------=$(AB+31

AB+BCBC)-AS立產(chǎn)

當(dāng)且僅當(dāng)AB=8C=2小取等號(hào)，

則BD氏的最大值為3.

20.（本小題滿分12分）

春節(jié)臨近，為了吸引顧客，我市某大型商超策劃了抽獎(jiǎng)活動(dòng)，計(jì)劃如下：有A、3、C三

個(gè)抽獎(jiǎng)項(xiàng)目，它們之間相互不影響，每個(gè)項(xiàng)目每位顧客至多參加一次，項(xiàng)目A中獎(jiǎng)的概

率是本項(xiàng)目B和C中獎(jiǎng)的概率都是看

（1）若規(guī)定每位參加活動(dòng)的顧客需要依次參加A、B、C三個(gè)項(xiàng)目，如果A、8、C三個(gè)項(xiàng)

目全部中獎(jiǎng)，顧客將獲得100元獎(jiǎng)券；如果僅有兩個(gè)項(xiàng)目中獎(jiǎng)，他將獲得50元獎(jiǎng)券；

否則就沒有獎(jiǎng)券.求每位顧客獲得獎(jiǎng)券金額的期望：

（2）若規(guī)定每位顧客等可能地參加三個(gè)項(xiàng)目中的一個(gè)項(xiàng)目.已知某顧客中獎(jiǎng)了，求他參加

的是A項(xiàng)目的概率.

解：（I）設(shè)一位顧客獲得X元獎(jiǎng)券，%=100,50,0,

22

-X-1

55=25'

|xC；x|x|+|

25

P(X=0)=L=—導(dǎo)E18

數(shù)學(xué)試題第7頁（共10頁）

所以每位顧客獲得獎(jiǎng)券金額的期望是E(X)=100X^+50X^+0=165)

(2)設(shè)“該顧客中獎(jiǎng)”為事件M,參加項(xiàng)目4,B,C分別記為事件Ni，",N3,

31112127

則尸(M)=E|P(M)P(MJV<)=3X4^3X5+3X5=20,

尸(MM)P(M)P(M|M)345

所以P(M|M)=

7-21'

20

即已知某顧客中獎(jiǎng)了，則他參加的是4項(xiàng)目的概率是去.

21.(本小題滿分12分)

已知函數(shù)犬x)=e*F—寫，mGR.

(1)當(dāng)m=l時(shí)，求函數(shù)式x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)兀0的圖象與x軸相切，求證：1+ln2VmV2+ln6.

所以八1)=0，又ynfeLi+hu-1在(0，+8)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x￡(0,1)時(shí)，八無)<0；當(dāng)x￡(l,+8)時(shí)，八工)>0,

所以/U)在(0,1)上單調(diào)遞減，凡r)在(I,+8)上單調(diào)遞增.

(2/(x)=e*f設(shè)函數(shù)式x)的圖象與x軸相切丁點(diǎn)P(.w，0),

伉M)=。，

|71(.vo)==O,

所以lnr()---2=。，設(shè)Mr)=lnx—?jiǎng)t/?(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增且圖象不間斷,

即十1Xi1

又Ml)V0,〃(2)>0,所以刈￡(1,2),

又因?yàn)?DA0---TT=0,所以三-=向+1,則e"'='^-po=必(xo+l)eR

XQ-T1inx()inxo

所以機(jī)=ln(x()+l)+xo+lnxoE(l+In2,2+ln6).

22.(本小題滿分12分)

已知雙曲線C：方T=l(a>0,b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)是尸I,Fl，頂點(diǎn)A(0,-2),點(diǎn)“是

雙曲線C上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且竹一M心|的最小值是8小.

數(shù)學(xué)試題第8頁(共10頁)

(1)求雙曲線C的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)尸是y軸上異TC的頂點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)0的一個(gè)定點(diǎn)，直線I過點(diǎn)P且平行于x軸，

直線m過點(diǎn)P且與雙曲線C交于B,D兩點(diǎn)、,直線AB,AD分別與直線/交于G,H

兩點(diǎn).若。，A,G,，四點(diǎn)共圓，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

解：(1)(法一)已知雙曲線方程是方一條=1(a>0,b>0),

由頂