新課標(biāo)高中一輪總復(fù)習(xí)第六單元不等式及不等式選講第43講含參數(shù)的不等式的問題掌握利用分類討論思想解有關(guān)分段函數(shù)型不等式、含參討論型不等式的方法.1.若log2a2<0，則a的取值范圍是()DA.(,+∞)B.(1,+∞)C.(,1)D.(0,)由log2a2<0=log2a1可知0<2a<1,即0<a<,故選D.2.已知方程-x=ax+1有一負(fù)根，則實數(shù)a的取值范圍是()AA.a>-1B.a=1C.a≥1D.a≤1因為-x=ax+1,所以(a+1)x=-1,顯然a≠－1，所以x=,又因為方程有一負(fù)根,所以<0,所以a>-1.3.若對x∈(-∞,-1］,不等式(m2-m)2x-()x<1恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是()AA.(-2,3)B.(-3,3)C.(-2,2)D.(-3,4)由已知得m2-m<.設(shè)t=()x,由于x∈(-∞,-1］，則t≥2.于是,有=t2+t=(t+)2-≥６,便得m2-m<6,解得-2<m<3.4.若關(guān)于x的不等式(k2-2k+)x<(k2-2k+)1-x的解集是(,+∞),則實數(shù)k的取值范圍是

.(1-,1+)關(guān)于x的不等式(k2-2k+)x<(k2-2k+)1-x的解集是(,+∞),即x>,而x>時，x>1-x,所以0<k2-2k+<1,所以1-<k<1+.解含參數(shù)的不等式時，一般都需要對參數(shù)進(jìn)行分類討論，但對分類標(biāo)準(zhǔn)的把握是一個難點又是一個重點，當(dāng)參數(shù)在不等式的某些特殊的位置時，其分類標(biāo)準(zhǔn)有一定規(guī)律，如：(1)一元不等式的一次項系數(shù)含有關(guān)于參數(shù)a的代數(shù)式f(a)時，需對①

.進(jìn)行討論;f(a)>0,f(a)=0,f(a)<0(2)一元二次不等式的二次項系數(shù)含有關(guān)于參數(shù)a的代數(shù)式f(a)時，需對②

.進(jìn)行討論,而當(dāng)f(a)≠0，又需對判別式Δ,分③

來討論，在寫出不等式的解集時有時需要通過比較④

來分類，最后確定出分類標(biāo)準(zhǔn)；(3)若對數(shù)或指數(shù)的底數(shù)中含有參數(shù)a,需對a分⑤

來討論.f(a)=0與f(a)≠0Δ>0,Δ=0,Δ<0二次函數(shù)對應(yīng)方程的根a>1或0<a<1題型一含參數(shù)的一元二次不等式的求解例1解關(guān)于x的不等式(m+1)x2-4x+1≤0（m∈R）.當(dāng)m+1=0時，它是一個關(guān)于x的一元一次不等式；當(dāng)m+1≠0時，還需對m+1>0及m+1<0來分類討論，并結(jié)合判別式及圖象的開口方向進(jìn)行分類討論：(1)當(dāng)m<-1時,Δ=4(3-m)>0，圖象開口向下,與x軸有兩個不同交點,不等式的解集取兩邊；(2)當(dāng)-1<m<3時，Δ=4(3-m)>0，圖象開口向上，與x軸有兩個不同交點，不等式的解集取中間；(3)當(dāng)m=3時，Δ＝4（3-m）=0，圖象開口向上，與x軸只有一個公共點，不等式的解為方程4x2-4x+1=0的根;(4)當(dāng)m>3時,Δ=4(3-m)<0,圖象開口向上,圖象全部在x軸的上方,不等式的解集為.當(dāng)m=-1時,原不等式的解集為{x|x≥};當(dāng)m≠-1時,(m+1)x2-4x+1=0的判別式Δ=4(3-m),則當(dāng)m<-1時,原不等式的解集為{x|x≥或x≤};當(dāng)-1<m<3時，原不等式的解集為{x|≤x≤};當(dāng)m=3時，原不等式的解集為{x|x=};當(dāng)m>3時，原不等式的解集為.(1)解含參數(shù)的一元二次不等式可先分解因式再討論求解，若不易分解，也可對判別式分類討論.(2)利用函數(shù)圖象必須明確：①圖象開口方向；②判別式確定解的存在范圍；③兩根大小.(3)二次項的取值（如取零、取正值、取負(fù)值）對不等式實際解的影響.題型二解含參數(shù)的指數(shù)不等式和對數(shù)不等式例2(1)解關(guān)于x的不等式ax2<a2x+3；(2)解關(guān)于x的不等式loga(x2+1)<loga(x+1).(1)當(dāng)0<a<1時，原不等式等價于x2>2x+3，即x2-2x-3>0，解集為(-∞,-1)∪(3,+∞).當(dāng)a>1時，原不等式等價于x2<2x+3，即x2-2x-3<0，解集為(-1,3).x2-1>0

x+1>0

x2-1<x+1，解得1<x<2，解集為(1,2).

x2-1>0

x+1>0

x2-1>x+1，解得x>2，解集為(2,+∞).(2)a>1時，原不等式等價于當(dāng)0<a<1時,原不等式等價于若對數(shù)或指數(shù)的底數(shù)中含有參數(shù)a,需對a分a>1和0<a<1兩種情況進(jìn)行討論,解對數(shù)不等式時，應(yīng)注意同解變形.題型三恒成立問題與參變量允許范圍例3已知函數(shù)f(x)=在區(qū)間［-1,1］上是增函數(shù).（1）求實數(shù)a的取值范圍A；（2）設(shè)x1、x2是關(guān)于x的方程f(x)=的兩個相異實根，若對任意a∈A及t∈［-1,1］，不等式mx2+tm+1≥|x1-x2|恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.(1)f′(x)=，因為f(x)在區(qū)間［-1,1］上是增函數(shù)，所以當(dāng)x∈［-1,1］時，f′(x)≥0恒成立,所以4+2ax-2x2≥0，即x2-ax-2≤0恒成立.設(shè)φ(x)=x2-ax-2，x∈[-1,1]，

φ(1)=-a-1≤0

φ(-1)=a-1≤0.

所以A=［-1,1］.只需，所以-1≤a≤1.(2)由f(x)=,得=，即x2-ax-2=0.由題設(shè)x1、x2是方程x2-ax-2=0的兩根，x1+x2=ax1x2=-2,從而|x1-x2|==.因為a∈[-1,1],所以≤3,即|x1-x2|max=3.所以對任意a∈A及t∈［-1,1］不等式成立,只需m2+tm-2≥0恒成立.所以設(shè)g(t)=m2+tm-2=mt+(m2-2).t∈[-1，1].

g(1)=m2+m-2≥0g(-1)=m2-m-2≥0故m的取值范圍是(-∞,-2]∪[2,+∞).只需,解得m≥2或m≤-2.在給定區(qū)間內(nèi)不等式有解，與在該區(qū)間上不等式恒成立是不同的兩類問題，不能混淆.一般的，兩者都可以采用數(shù)形結(jié)合，用解不等式（組）來解，但有時會很繁雜，本題用分離變量的思想方法來解，簡單明了，也更容易區(qū)別兩類問題的不同，即：x∈[a,b]時，m<f(x)有解，只需m<f(x)max；x∈[a,b]時，m>f(x)恒成立，只需m>f(x)max.

x2-x-2>02x2+(5+2k)x+5k<0的解集中所含整數(shù)只有-2,求k的取值范圍.若不等式組由x2-x-2>0解得x<-1或x>2.由2x2+(5+2k)x+5k<0,得(2x+5)(x+k)<0(*)因為-2是原不等式組的解，則k<2，故（*）-<x<-k，

x<-1x>2-<x<k-<x<-k.又k<2，則-k>-2.而原不等式的解集中只含整數(shù)-2，所以-k≤3，即k≥-3，故k的取值范圍是[-3,2).所以原不等式組或當(dāng)一個不等式中含有字母參數(shù)，則稱這一不等式為含參數(shù)的不等式，那么此時的參數(shù)可以從以下兩個方面來影響不等式的求解:首先是對不等式的類型(即是哪一種不等式)的影響，其次是字母對這個不等式的解的大小的影響.我們必須通過分類討論才可解決上述兩個問題，同時還要注意是參數(shù)的選取確定了不等式的解，而不是不等式的解來區(qū)分參數(shù)的討論.在含參數(shù)的不等式中求參數(shù)的取值范圍，是高考命題的一個趨勢.用函數(shù)觀點，結(jié)合系數(shù)分類法，降元化歸為二次區(qū)間上恒成立問題，或選擇主元，構(gòu)造函數(shù)，形助數(shù)構(gòu)建不等式，這些都是多參數(shù)問題求解的思維方法.學(xué)例1

(2009·山東卷)在R上定義運(yùn)算⊙:a⊙b=ab+2a+b,則滿足x⊙(x-2)<0的實數(shù)x的取值范圍為()BA.(0,2)B.(-2,1)C.(-∞,-2)∪(1,+∞)D.(-1,2)依題設(shè)，x⊙(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2)=x2+x-2=(x+2)(x-1)<0.解得-2<x<1，故選B.(2009·全國卷Ⅱ)設(shè)函數(shù)f(x)=x3-(1+a)x2+4ax+24a,其中常數(shù)a>1.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若當(dāng)x≥0時,f(x)>0恒成立,求a的取值范圍.學(xué)例1

(1)f′(x)=x2-2(1+a)x+4