第四章圖形的相似4探索三角形相似的條件（第四課時）數(shù)學(xué)九年級上冊BS版課前預(yù)習(xí)典例講練目錄CONTENTS數(shù)學(xué)九年級上冊BS版01課前預(yù)習(xí)1.一般地，點

C

把線段

AB

分成兩條線段

AC

和

BC

（如圖），如

果

，那么稱線段

AB

被點

C

黃金分割，點

C

叫做線

段

AB

的黃金分割點，

AC

與

AB

的比叫做黃金比，這個比值

為

，約為0.618.注意：一條線段有兩個黃金分割點.

數(shù)學(xué)九年級上冊BS版02典例講練

（1）已知點

P

是線段

AB

的黃金分割點，且

AP

＞

PB

，則有

（

B

）A.

AB2＝

AP

·

PB

B.

AP2＝

AB

·

PB

C.

PB2＝

AP

·

AB

D.

AB

＝（

＋1）

AP

B【思路導(dǎo)航】根據(jù)黃金分割和黃金比的定義逐項判斷即可.

【點撥】在黃金分割線段中，較長線段的平方等于較短線段與

原線段的乘積，一定要分清長線段和短線段.

【思路導(dǎo)航】由黃金分割的定義及黃金比求出

AB

，再由

CD

＝

AD

＋

BC

－

AB

進(jìn)行計算即可.

【點撥】把一條線段黃金分割后，原線段、較長線段、較短線

段中只要知道其中一條線段的長，就可以求出另外兩條線段的

長，其計算過程就是多次運用黃金比.

1.下列說法正確的是（

B

）A.每條線段有且僅有一個黃金分割點B.黃金分割點分一條線段為兩條線段，其中較長的線段約是這

條線段的0.618C.若點

C

把線段

AB

黃金分割，則

AC2＝

AB

·

BC

D.以上說法都不對B2.已知點

C

是線段

AB

的黃金分割點，若

AC

＞

BC

，

BC

＝2，則

AC

＝

?.

第一步：作一個正方形

ABCD

；第二步：分別取

AD

，

BC

的中點

M

，

N

，連接

MN

；第三步：以點

N

為圓心，

ND

長為半徑畫弧，交

BC

的延長線于

點

E

；第四步：過點

E

作

EF

⊥

AD

，交

AD

的延長線于點

F

.

請你根據(jù)以上作法，證明矩形

DCEF

為黃金矩形.【思路導(dǎo)航】把正方形的邊長設(shè)為2

a

，然后利用作圖和勾股

定理可以把

CE

的長計算出來，最后判斷其比值是否為黃金

比即可.

【點撥】解答本題的關(guān)鍵是掌握正方形的性質(zhì)和黃金比的定義.

求線段比例問題中，常先設(shè)出基本線段的長（如設(shè)

BC

＝

CD

＝2

a

），再用其表示其他線段.

圖1圖2

圖1圖2

圖1圖2

如圖，以定線段

AB

為邊作正方形

ABCD

，取

AB

的中點

P

，連接

PD

，在

BA

的延長線上取點

F

，使

PF

＝

PD

，以

AF

為邊作正方

形

AMEF

，點

M

在線段

AD

上（

AM

＞

MD

）.（1）求證：點

M

是線段

AD

的黃金分割點.（2）作

PN

⊥

PD

交

BC

于點

N

，連接

ND

.

△

PDN

與△

BPN

是否相似？若相似，證明你的結(jié)論；若不相似，請說明理由.

（2）解：△

PDN

∽△

BPN

.

證明如下：∵四邊形

ABCD

是正方形，∴∠

DAP

＝∠

PBN

＝90°.∴∠

ADP

＋∠

APD

＝90°.∵

PN

⊥

PD

，∴∠

DPN

＝90°.∴∠

APD

＋∠

BPN

＝90°.∴∠

ADP

＝∠

BPN

.

∴△

DAP

∽△

PBN

.

∵點

P

是

AB

的中點，∴

AP

＝

PB

.

又∵∠

DPN

＝∠

PBN

＝90°，∴△

PDN

∽△

BPN

.

如圖，用邊長為

a

的正方形紙片進(jìn)行如下操作：對折正方形

ABDE

得折痕

MN

，連接

EN

，把邊

AE

折到線段

EN

上，即使點

A

的對應(yīng)點

H

落在