期中考測(cè)試（提升）

一、單選題（每題只有一個(gè)選項(xiàng)為正確答案，每題5分，8題共40分）

1.（2021?福建福州）下面是關(guān)于復(fù)數(shù)z=4（i為虛數(shù)單位）的命題，其中真命題為（）

1-1

A.|z|=2B.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在直線y=x上

C.Z的共輾復(fù)數(shù)為-ITD.z的虛部為T

【答案】C

［解析］2=3=7^"；="詈=-l+i,所以|Z|="（T）2+F=JLA錯(cuò)；

對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為（-LD不在直線）上，B錯(cuò)；共規(guī)復(fù)數(shù)為T—i,C正確；虛部為1,D錯(cuò).故選：C.

2.（2021?上海?高一課時(shí)練習(xí)）在邊長為1的等邊AABC中，BC=a,CA=b,AB=c,則a4+R.c+c?。等

于（）

33

A.—B.0C.-D.3

22

【答案】A

【解析】由題意，a*=^C^="CBC4=-|Ci||C4|cos600=--

2

加工=^5?荏=一元?通=一|亞||行|cos60°=一,

2

"?￡=通.說=-麗衣=-|麗|?辰|儂60。=」

2

一一3

:.a-b+b-c+c-a=——

2

故選：A

3.（2021?廣東?（弗山市南海區(qū)九江中學(xué)）若向量所垂直于向量。和5,向量萬=瓶+〃（4,且2〃=0）,

則（）

A.tnllnB.mkn

C.所不平行于萬，慶也不垂直于"D.以上都有可能

【答案】B

【解析】解：向量沅垂直于向量。和5,則兩S=。，m*b=0,

乂向量力=4萬+〃5,所以歷?/?=詡?（/"+〃方）=4方或+〃用石=0,所以/_L萬.故選：B.

4.（2021?北京?東直門中學(xué)）在A/WC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,。若c=2,sinA=2sinC,

cos8=!，則AABC的面積S=（）

4

A.而B.2后C.1D.—

4

【答案】A

【解析】■：c=2,:.sinA=2sinC,由正弦定理可得a=2c=4,

,/cosB=—,sinB=\!\-cos2B=,「.△ABC的面積S='acsin8=,x4x2x^^=.故選：A.

44224

—.1—.

5.（2021?貴州?凱里一中）如圖所示，在等腰梯形A3CD中，AD//BC,E為線段43的中點(diǎn)，DF=-FC,

4

A.-12B.-10C.-8D.-6

在等腰梯形ABC。中，分別過點(diǎn)A,。作AM,OV垂直于8C于點(diǎn)M,N,

則M/V=AD=2,BM=CN=1,

因?yàn)閆ABC=60S所以A8=CO=2,

—1—

因?yàn)镋為線段AB的中點(diǎn)，DF=-FC

4t

所以而.醞=（配+g而）?（g麗_方）=；麗,而—沅2+_|麗.麗也.而

124

=-x2x4xcos60-492+—x2x2xcos60——x2x4xcosl20

255

cI,416ic

=2—16H----1----=—10,

55

故選：B.

6.（2021?山西懷仁）在AA8C中，角4B,。所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c,且a'邊上的高為立a,則角

6

4的取值范圍為（）

n兀兀2兀

A.嗚B.C.D.

6,3吟7'7

【答案】C

【解析】邊上的高為*a，

\ABC2612

由面積公式得：SAABC=；bcsinA,

...編=—/?csinA,故/=2GbesinA

122

由余弦定理得：a2=h2+c2-2hccosA

26besinA=b2+c2-2bccosA

由sin4+cosA="

2bc

由輔助角公式得：退sinA+cos4=2sin

其中。2+C2N?C,當(dāng)且僅當(dāng)8=c時(shí)，等號(hào)成立

/.sin|A+—|>—

I6j2

7t7t5乃_27r

+.解得：Ac0，--

oLooJ[_J_

,:AG(O,^)

.??q0年

故選：c

7.（2021?全國）歐拉公式是指以歐拉命名的諸多公式，有拓?fù)鋵W(xué)中的歐拉多面體公式、初等數(shù)論中的歐

拉數(shù)論公式等其中最著名的是復(fù)變函數(shù)中的歐拉幅角公式一一把復(fù)數(shù)、指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)聯(lián)系起來

(屋=cosO+isin凡自然對(duì)數(shù)的底數(shù)ea2.71828,虛數(shù)單位i).若復(fù)數(shù)z滿足％=2/-i?⑼，則[的虛部為

()

A.(夜-巾B.72-1

C.-(V5-l)iD.1—1/2

【答案】D

【解析】；e'"=cos?+isinO，Ae^'=cos—+isin—=^-+^-1.

4422

又：i2M=i，.?.復(fù)數(shù)2=血+（血一小，.?.2=應(yīng)-（0-1卜，

則1的虛部為1-夜.

故選：D.

8.（2021?河南?溫縣第一高級(jí)中學(xué)）在AABC中，角AB,C的對(duì)邊分別為a,",c,已知

2萬2

b=4,A=——,ctanC=—asinB,則AA3C的面積為（）

33

A.8&B,473C.6D.2上

【答案】B

【解析】

)TTTT

如圖，過C作CDLBA,交B4的延長線于。，因?yàn)镃4=b=4,/CAB=。-則NCAD=〃-/CA8=§,

AD=CAcos-=2,CD=CA-sin-=2y/3,tanB=—=^-

33BDc+2

71人同2G

tan---tan65/3-tanB—c+2_6c

所以tanZACB=tan(--B)=——2-------

~l+AanB,1q工2耳—c+8

14-tan—tanB

3+Xc+2

2794J3

又因?yàn)閏tanC=—asinB=—BC-sinB=—CD=———

3333

所以。畫=延，即3c2—4c—32=0,解得：c=4或c=Y(舍)

c+833

所以SAliC=—ftcsinA=—x4x4x^-=4^.

△ABC222

故選：B.

二、多選題（每題至少有2個(gè)選項(xiàng)為正確答案，每題5分，4題共20分）

9.（2021?河北?藁城新冀明中學(xué)）設(shè)z（l-i）=2+i,則下列敘述中正確的是（）

A.z的虛部為-=3B.13

222

C.Iz\=^~D.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限

2

【答案】BC

A「人2+i(2+i)(l+i)l+3i13.

[解析】由z(l—l)=2+],得2=--7=----------=----=—+—1,

v71-i(l-i)(l+i)222

3

則：z的虛部為即選項(xiàng)A錯(cuò)誤;

13

z=---i,即選項(xiàng)B正確;

22

即選項(xiàng)C正確;

復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)《令位于第一象限’即選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：BC.

10.（2021?江蘇?海安高級(jí)中學(xué)）設(shè)4，Z2是復(fù)數(shù)，則下列說法中正確的是（）

|斗訃㈤

A.z,-z2=Z|-z2B.2|=|

C.若Z]z?e/?,則Z]=z]D.^|zj-z^=Of則4=馬

【答案】ABD

【解析】設(shè)4=a+歷,z2=c+di,

z,-z2,z,-z2=a-bi-(c-di)=(a-c)-(b-d)i,A正確.

IzjZ，1=|ac-bd+(aJ+Z?c)i|=J(ac-bd)。+(ad+"c)2=^a2+b2^c2+</2)，

Iz/HkJa?+萬.，<?+/=](>+從)卜2+1),B正確.

z,=i,z2=-4i,Z.Z,=4,z,*z2,C錯(cuò)誤.

12]-z2|=0,|(a-c)+(￡>-i/)i|=^(a-c\+{b-dy=O>a=c,b-d,4=z2,Z]=z2,D正確.

故選：ABD

11.(2021?浙江?寧波市北侖中學(xué)高一期中)已知。是AABC內(nèi)一點(diǎn)，且麗+而+反=6,點(diǎn)、M在"BC

內(nèi)(不含邊界)，若加=4而+〃/，則，+2,的值可能為()

【答案】ABC

【解析】因?yàn)?。是AABC內(nèi)-點(diǎn)，且礪+而+反=6

所以。為AABC的重心

M在AOBC內(nèi)（不含邊界），且當(dāng)"與。重合時(shí)，幾+2〃最小，此時(shí)

AM=AAB+/JAC=^X+=+

所以2=；,〃=g,即4+2〃=1

當(dāng)必與「重合時(shí)，幾+2〃最大，此時(shí)

AM=AC

所以4=0,〃=1,即;1+2必=2

因?yàn)镸在AOBC內(nèi)且不含邊界

所以取開區(qū)間，即九+2〃41,2）,

結(jié)合選項(xiàng)可知ABC符合，D不符合

故選：ABC

12.（2021?遼寧?同澤高中）銳角的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,C.若a~k2bcesC,貝U（）

A.（=2BB.6的取值范圍是信

C.后2cD.］的取值范圍是（1,@

【答案】AB

【解析】Etla-b=2bcosC,可得sinA—sin8=2sin8cosC,

即sin（B+Q-2sinBcosC=sinB,

即有sinCeosB-cosCsinfi=sin（C-^）=sinB,

因?yàn)槿切蜛BC為銳角三角形，

所以C—8=4,即C=2B,故A正確，。錯(cuò)誤；

由0<8<5，0<2B<—,且A=;r—8—。=7一38￡（0,耳），ft?^—<B<—,故8止確；

而好吟=若=238€（0,石），故。錯(cuò)誤.故選：A8.

bsinBsinB

三、填空題（每題5分，4題共20分）

13.（2021?全國?高一課時(shí)練習(xí)）給出下列命題：①任意兩個(gè)復(fù)數(shù)都不能比較大小；②若z=a+0i（a,6eR）,

則當(dāng)且僅當(dāng)“=0且6=0時(shí)，z=0；③若Z1,z2eC,且z；+z；=0,則4=z?=0；④若x+yi=l+i(x,yeC),

則x=，=i.其中，是假命題.（填序號(hào)）

【答案】①③④

（解析謝①,當(dāng)兩復(fù)數(shù)均為實(shí)數(shù)時(shí),可比較大小,故①錯(cuò);②顯然正確;對(duì)③，若馬=i,z?=1,則滿足z：+z；=0,

但4*馬，故C錯(cuò)；對(duì)④，若x=i,y=-i,則x+yi=l+i,但x?,故④錯(cuò).

故答案為：①③④

14.（2021?全國?高一課時(shí)練習(xí)）在正三角形力回中，下列各等式成立的是.（填序號(hào)）

①|(zhì)祠+函=匹+可；

②網(wǎng)+詞=|麗+明；

@|AB+AC|=|C4+CB|；

@|Afi+BC+AC|=|CB+&4+C4|.

【答案】②③④

【解析】因?yàn)锳ABC是正三角形，所以設(shè)AA8C的邊長為2,

對(duì)于①，因?yàn)榫W(wǎng)+網(wǎng)=4,|肥+西=|麗|=2,

所以網(wǎng)+阿卜回+可，故①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，因?yàn)閲?詞=卜麗-覺|=卜伊+西卜河+園，

所以向+詞=|麗+明，故②正確；

對(duì)于③，I通+覺|=J（而+*）2=>/而2+2通./cosABAC+而2=^4+2x2x2x|+4=2>/3,

|G5+CS|=7（C4+C§）2=yl^T^A^SconACB+C^=J4+2x2x2x1+4=2百，

所以|通+*|=|雄+麗I，故③正確；

對(duì)于④，|AB+BC+AC|=|AC+AC|=2|AC|,|CB+BA+CA|=|C4+CA|=2|CA|

X|AC|=|C4|,所以J而+配+才。=|函+麗+9],故④正確.

故答案為：②③④.

15.（2021?廣西?崇左高中）在4〃3。中，a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊，已知c=2,若

sin2A+sin28-sinAsin5=sin?C,則sinA+sin8的取值范圍是.

【答案】佟，石

【解析】因?yàn)閟in2A+sin2B-sinAsinB=sin2C,

所以。2+b2-c2=ab，

a2+1}1-c2

則cosC=

2ab-2

因?yàn)镃￡（0,萬）,

所以c=g,

.A

所以sinA+sin3=sinA+sin

=-sinA+—cosA=sinA+—

22I6

因?yàn)锳w

TT

所以A+二e

o

所以sinA+sinB的取值范圍是李,6

故答案為:

16.（2021?安徽?安慶一中高一期中）已知向量心5,c,滿足同=1,忖=2,同=3,OW"1,若51=0,

貝IJ歸_4_0_/l)W的最小值為-

【答案】5叵-1##

13

),>―>T—>—>—>

［解析］設(shè)〃=彳6+(1-小，則a-Ab-iX-^c=a-n

—>—>—>—>

所以a-n<a-n,

n=Aft+(l-2)c=—咽+(l-2)2c+22(l-2)h-c=422+9(l-2)2=1322-182+9(0<2<l),

由二次函數(shù)性質(zhì)可得，誓*9,即:嚕433

所以,一司可向一同上1一嚕］=鋁3-1，

所以a-Ab-(l-A)c=a-n的最小值為等7

故答案為:誣-1

13

四、解答題(17題10分，其余每題12分，共70分)

17.(2021?廣東?仲元中學(xué)高一期中)已知0為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量西、西分別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)Z-z2,且

32—

=-^—+(10-tz2)i,z、=----+(2a-5)i(aeR),若z+z2是實(shí)數(shù).

。+5\-a

(1)求實(shí)數(shù)a的值;

⑵求以。4、ONz為鄰邊的平行四邊形的面積.

【答案】⑴。=3⑵工

O

3_Q_on

【解析】⑴由Z[=---+(10—6Z")i,得Z[=-----(10-a2)i,JJJ!]Zj+z=+----H(a--1。)+(2。-5亦的虛部

a+5a+52a+5\-a

為0,/+2。-15=0.解得：。=—5或〃=3.又,.?4+5W0,.\a=3.

⑵由⑴可知4=]+i,z2=-l+i,西=4，1),西=(-1,1).

oK

5

——----5所以cos甌吟==高，所以sing喝=焉,

所以以O(shè)Z,、OZ2為鄰邊的平行四邊形的面積S=|國聞.sin(兩電)=《

18.(2021?湖南?長郡中學(xué))如圖，在AABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為。、b、c.已知匕=3,c=6,

sin2C=sinB,且AO為BC邊上的中線，AE為Zfi4c的角平分線.

(1)求cosC及線段BC的長:

⑵求“IDE的面積.

【答案】(l)cosC=L，BC=6(2)^^

48

【解析】(1),/sin2C=sinB,/.2sinCeosC=sinB,/.2cCOsC=Z??COSC=—,

4

在中，由余弦定理得cosC=a，36,解得4=6(負(fù)值舍去)，即8C=6.

2ab6a4

(2)VcosC=-,Ce(O,m,，sinC=—^，

44

.??9而

??SjBc=2'CBsinC=———

.「AE平分NBA。，==2,所以SMe=卜業(yè),

???A。為BC邊的中線，.?.S”二；S"s-

.$e_lo_19而_3行

-X

..3AADE~*\ADC_、SEC_~2^tABCT-A—~—o_*

0040

19.(2021?寧夏?吳忠中學(xué))如圖，在四邊形48(力中，△氏力是等腰直角三角形，NBCD=90°,NAD斤90°,

sinZABD=—,B22,然與必交于點(diǎn)反

5

(1)求sinZACD；

(2)求△/應(yīng)'的面積.

【答案】(1)回⑵3

104

【解析】(1)因?yàn)椤骰覟槭堑妊苯侨切危?BC290：81)=2,

所以/6H9=N6Z4?=45°,BC=CD=BDsin45°=72

在△［初中，NADB=9Q°,sinZABD=—,所以cosNA8￡)=也

55

因此AB=6,則止1.在△4曲中，乙也俏135°

由余弦定理得AC2=AD2+CD2-2ADCDcosZ.ADC=1+2-272cos135。=5因此AC=6

ADAC,即——'——=&所以sinN4C￡>=?

法一：由正弦定理得

sinZACDsinZADCsinZ.ACDsin135010

法二：AHLBC,所以AB=AC=V^,BH=CH=—,

2

所以sinZACD=sin(90°-NACB)=cosZACB=—=叵

AC10

(2)法一：在△47?中，由正弦定理可得sin/C4O=@，

5

則cosNCA。=,所以tanNC4￡)=1,所以=A￡)-tanNCA￡)=,

522

13

所以△力龍的面積為S“M=S.AM-SR,E=5(AZ)><8O-AOXOE)=Z

法二：由(1)知sinNACQ=典，設(shè).Dkx,

10

xCE

在△皈中，由正弦定理得:

sinZACD-sin45°

所以=所以A￡=逐(1-x),

在打△/〃中，有5(1—無產(chǎn)=1+V,即2f—5x+2=0,解得產(chǎn)2或x=；,

11313

由于產(chǎn)始盼2,故》=—.所以BE=2—-=一則S.%=-BEX4O=-

22224

20.(2021?上海交大附中)我校在一條水泥路邊安裝路燈，其中燈桿的設(shè)計(jì)如圖所示，AB為底面，CD、CE

2n

為路燈的燈桿，CD_LAB,且NOCE=；;r，在E處安裝路燈，且路燈的照明張角為/MEN==，已知C￡)=5

33

米，CE=3米.

(1)當(dāng)M與。重合時(shí)，求路燈在路面的照明寬度MN；

(2)求此路燈在路面上的照明寬度MN的最小值.

【答案】(l)MN=2^m(2)上叵m

113

【解析】解：當(dāng)點(diǎn)M、。重合時(shí),

由余弦定理可得ME=JcM2+CE2-2CM-CEcos與=7(m),

所以，cos/C腔蟠衛(wèi)=土

2cMME14

jr13

因?yàn)镹CME+NEMN=一，所以sinZEMN=cosNCME=—,

214

因?yàn)閏osNEMN>0,則cos/EMN=J1一sii?/EMN=迪

14

2乃

所以sin/ENM=sinNEMNI=sin—cosNEMN-cos—sinNEMN=—,

)3314

MNEM

在AEMN中,由正弦定理

sin/MENsinZEW

可得MN=EMsin/MEN=竺?

(m).

sinZEW11

2萬7113,、

（2）易知點(diǎn)E到地面的距離為〃=5+3sin=》(m).

由三角形的面積公式可得S△乩v=；

MNx-=-EMENsin-f

223

所以，^^~MN=EM,EN,

3

由余弦定理可知MN2=EM2+EN2-2EM-ENcos->EM-EN,

3

當(dāng)且僅當(dāng)初/二￡7V時(shí)，等號(hào)成立,

所以，,解得MNN上叵,

33

所以，照明寬度MN的最小值為電Im.

3

7171571

21.（2021?湖南師大附中）在AABC中，A=-,B&9,AA8C的外接圓半徑R=2.

6~2~6

(1)若sinB=,求sinC及邊長A8；

27"

⑵求麗?前的取值范圍.

【答案】（1）魯，率（2）[-2,0）

【解析】（1）因?yàn)閟inB=邁，且Be7i57r

2,~6

7

所以cosB=-Vl-sin2B=一,

7

jr

又sinC=sin(4+B)=sinAcosB+cosAsinB,且A=—

6

所以sinC=；x

T---------X---------------------

72714

AR

由正弦定理可知「；=2R

sinC

所以AB=2/?sinC=4x^L2y

147

⑵

解：???|明=2RxsinA=2,由正弦定理可得|麗|=4sin]?8)

BA-BC=1BAI-IBCIcosB=8sin(3一31cos3=8cosB-cosB+—sinB