三角函數(shù)

（時(shí)間：120分鐘滿分：150分）

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

只有一項(xiàng)是符合題目要求的）

4Ji

1.在0到2n范圍內(nèi)，與角一一丁終邊相同的角是（）

4JI4人4n

解析：選C與角一一「終邊相同的角是24n+，kQZ,令k=3可得與角一--

OTO

2五

終邊相同的角是二廠，故選C.

2.sin600°+tan240°的值等于（）

-異事

解析：選Bsin600°=sin（360°+240°）=sin240°

=sin（180°+60°）=—sin60°

tan240°=tan（180°+60°）=tan60°二小,

因此sin600°+tan2400=當(dāng)

3.設(shè)函數(shù)f（x）=sin（2x―晟），x￡R,則/1（入）是（）

A.最小正周期為n的奇函數(shù)

B.最小正周期為n的偶函數(shù)

JI

C.最小正周期為了的奇函數(shù)

JI

D.最小正周期為萬的偶函數(shù)

9j[

解析：選Bf（x）的最小正周期為T=￡-=n.

-2x=-cos2.x,

/.f{x)=-cos2x.

又F(—x)=-cos(-2x)=-cos2x=f{x),

???F(x)是最小正周期為n的偶函數(shù).

4.與函數(shù)尸tan(2x+S的圖象不相交的一條直線是()

五五

A.x=-B.y=~

JI71

c.kgD.y=y

解析：選C令+-■(*￡Z),得才=等十20&Z).

A乙Zo

JI

令A(yù)=0,得X=~8'

o=1,則sin|a+：）—乎cos（「一。）的值為（

5.若。金兀，且sin)

B-亞

5

2y[2

D.

￥5

4ae仔，q

解析：選BVsin?=-)

3，sin(a+?亞(

cosa=--3-cos(Ji—a、)

o

*sina+cosa+gsa

2

=^^sina+小coso

普

JI

6.將函數(shù)尸sin（2x+。）的圖象沿x軸向左平移個(gè)單位長度后，得到一個(gè)偶函數(shù)的

1Or

圖象，則0的一個(gè)可能取值為（）

A3打n

A?丁B-T

ji

C.0D.

4

n

解析：選B將函數(shù)尸sin（2x+切的圖象沿x軸向左平移三個(gè)單位長度后，得到函數(shù)

O

（n\jin

y=sinl2%+。+小的圖象，因?yàn)樵摵瘮?shù)是偶函數(shù)，所以0+了=5+4人，kH,即。=

JIJI

-+An,kHL,當(dāng)4=0時(shí)，</>=-

7.設(shè)偶函數(shù)f（x）=Hcos（3彳+&>0,3>0,0W?！炊┑牟糠謭D象如圖所示，AKMN

為等腰直角三角形，/熱卬=90°,則的值為（）

3

二

氏

AC.4

1多

-

2D.

解析：選B由題圖可知|腑=1,所以7=2,力=1,因此3=*=冗，所以f（x）=1

cos（n%+0）.又因?yàn)?'（x）為偶函數(shù)，所以0=An,A￡Z.因?yàn)镺WO〈叮，所以6=0,

所以f（x）=；cosn%,因此/（；卜;，故選B.

8.已知函數(shù)f（x）=sin（cox+。）（0；〈5，3>0）的圖象在y軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)

為代，1）在原點(diǎn)右側(cè)與x軸的第一個(gè)交點(diǎn)為（號(hào)，0）,則/（年）的值為（）

A.1B.

八1#

C."D.

解析：選C由題意，得/=胃~一卷"，所以7=71，所以3=2,則f{x）=sin（2x+6）,

412b

將點(diǎn)/信,1）的坐標(biāo)代入，（x）=sin（2x+0）,得sin（2x￡+0）=1,所以0=1~+24冗

（4WZ）.又|山吟，所以。=看，即F（x）=sin（2x+S（x￡R）,所以/仔）=51{2><1"+卷）

5n1

=sin-^-=5，選C.

二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，

有多個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對的得5分，選對但不全的得3分，有選錯(cuò)的得0

分）

9.下列結(jié)論正確的是（）

A.一*是第三象限角

B.若圓心角為一?的扇形的弧長為“，則該扇形的面積為厚

O/

3

C.若角a的終邊上有一點(diǎn)尸（一3,4）,則cosa=—~

□

D.若角a為銳角，則角2a為鈍角

解析：選BC選項(xiàng)A中，一W=—2”+等是第二象限角，A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B中，設(shè)半

66

徑為r,則已?r=JT=r=3=5=|xyX3'=號(hào)，B正確；選項(xiàng)C中，y1（-3）2+42=5,

3

cosa=-C正確；選項(xiàng)D中，a=30°是銳角，但2。=60°不是鈍角，D錯(cuò)誤.故

□

選B、C.

10.已知函數(shù)代x）=|/cos（x+0）+1］（力>0,的部分圖象如圖所示，則（）

3—(—1)

解析：選BC由題圖知：［=一十^=2.

又/*(())=12cos0+1=2,

13

所以COS0=1或cos0=-5(舍)，

因?yàn)镮即一由圖象知0>0,

所以0=?,故選B、C.

11.已知函數(shù)函x）=c°s,則有（）

sinZx

A.函數(shù)Ax）的圖象關(guān)于直線了=W?對稱

B.函數(shù)/Xx）的圖象關(guān)于點(diǎn)（方，0）對稱

C.函數(shù)/Xx）是奇函數(shù)

D.函數(shù)F(x)的最小正周期為工

cos2x—1—2sin2x(，〃冗

解析：選BCD因?yàn)锳x)tan(AeZ)

sin2x2sinxcosx

所以函數(shù)/'(x)是周期為"的奇函數(shù)，圖象關(guān)于點(diǎn)仔，0)對稱，故選B、C、D.

12.已知函數(shù)f(x)=sinA-COSx—cos',下列命題正確的是()

A.f(x)的最小正周期為2n

B.f(x)在區(qū)間(0,引上為增函數(shù)

C.直線X=等是函數(shù)f(x)圖象的一條對稱軸

O

D.函數(shù)/'(x)的圖象可由函數(shù)f(x)=gsin2x的圖象向右平移《個(gè)單位長度得到

/O

解析：選BCf(x)=gsin2x-'"(；、"=*sin(2x--顯然A錯(cuò)；x￡(0,g)

n，31、.，五Ji

時(shí)，2x---e一■7,0,函數(shù)f(x)為增函數(shù)，故B正確；令2x-丁=丁+4「，kGZ,得

QLR幾A/9

“+一廠，kwz,顯然x=q-是函數(shù)f(x)圖象的一條對稱軸，故C正確；/a)=V，sin

oZoZ

2x的圖象向右平移/個(gè)單位得到/=乎*sii12卜一百)]=乎5打(2萬--J的圖象，故D錯(cuò).

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中橫線上)

13.已知角a的終邊過點(diǎn)°(5.a),且tan0=一3，則sin°+cos。=一

&77LLa"c

解析：*.tana/.a=-12.

55

：.r=附十(一⑵2=13.

..125

..sina=——,cosa=-.

10Xo

..7

??sina-f-cosa=——

1o

ER7

答案：-m

14.工藝扇面是中國書畫一種常見的表現(xiàn)形式.高一某班學(xué)生想用

布料制作一面如圖所示的扇面參加元旦晚會(huì).已知此扇面的圓心角為

60°,外圓半徑為60cm,內(nèi)圓半徑為30cm,則制作這樣一面扇面需

要的布料面積為_______cm2.

解析：由扇形的面積公式，可得制作這樣一面扇面需要的布料為Jxgx60><60—+子

X30X30=450ncm2.

答案：450n

15.設(shè)函數(shù)F(x)=2cos%+/sin2x+a(a為實(shí)數(shù))在區(qū)間0,—工的最小值為一4,

那么a的值等于_______.

解析：F(x)=2cos'+/sin2x+a=l+cos2x+/sin2x+a=2sin(2x+_^_)+a+

1.

rJI-|元「：117兀一

當(dāng)0,丁時(shí)，2x+-^-￡~r，,

N」b|_bb

??.f(x)min=2X(—m+a+1=—4.

5=—4.

答案：一4

16.已知函數(shù)f(x)=2sin(GX+。)(3>0,。|〈方)的部分圖象如圖所示，則3=

,函數(shù)F(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為________.

T(nAJT2n

解析：由題中圖象知■一—'則7=11，即—=n，即0=2,

f{x)=2sin(2x+6),

由五點(diǎn)法得2x1-/)+0=°，即。=個(gè)，貝I人才)=2sin(2x+g),

JIJIJI

令A(yù)24五——^2^r+—+—,4￡Z,

5nn

得一--<x<k式+—,k—L,

-5兀JI

即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為一元+4兀，適+?n，kHL.

~5nJI

答案：2一m+An，正，舊

四、解答題(本大題共6小題，共70分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演

算步驟）

,JI4

17.（本小題湖分10分）已知0<sina=-

乙0

⑴求tan。的值；

sin（t+JI）—2cosl-+a

解:⑴因?yàn)?<。吟,sin

所以cosa=-,故tana=-

53

sin（。+Ji）—2cos-+a

（2）-----------------------

—sin（一〃）+cos（JI+a）

—sis〃+2sis〃

sina—cosa

sinatana

=--------------=----------4

sina—cosatana—\

3

18.（本小題滿分12分）已知sin且。為第二象限角.

O

（1）求sin2a的值；

十）的值.

（2）求tana+,

3

解：（1）因?yàn)閟in且。為第二象限角,

0

.________4

所以cosQ=-^/l—sin2o

故sin2a=2sinacos。=2義看義（一"=一

小，/-sina3

⑵由（1）知tana=------

cosa4

tanQ+tan-■

4

故tan

1—tanatan_1+T

44

19.（本小題滿分12分）將自行車支起來，使后輪能平穩(wěn)地勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，觀察后輪氣針的

運(yùn)動(dòng)規(guī)律，若將后輪放入如圖所示的坐標(biāo)系中，輪胎以角速度3rad/s做圓周運(yùn)動(dòng)，R是

氣針的初始位置，氣針（看作一個(gè)點(diǎn)門到原點(diǎn)。的距離為r.

(1)求氣針尸的縱坐標(biāo)y關(guān)于時(shí)間/的函數(shù)解析式，并求出產(chǎn)的運(yùn)動(dòng)周期;

11

⑵當(dāng)0=W，r=3=1時(shí)，作出其圖象.

6

解：(1)過〃作x軸的垂線，設(shè)垂足為M則1種就是正弦值.

/.2冗

.\y=rsin(cot+6),因止匕T=----.

JI

⑵當(dāng)小=飛，三”=1時(shí),

其圖象可由y=sint的圖象向左平移微個(gè)單位長度得到，如圖所示.

0

20.(本小題滿分12分)某同學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣不好，把老師寫的表達(dá)式忘了，只記得給0,

JI

3>0,0〈0〈了.記不清楚是F(x)=4sin(3x+0)還是f(x)=4cos(3x+0).翻出草稿本

發(fā)現(xiàn)在用五點(diǎn)作圖法列表作圖時(shí)曾算出過一些數(shù)據(jù)(如下表)

JT

3才+(1)0Ji2n

JIJIji5-

X

12T~6~

f(x)300

(1)請你幫助該同學(xué)補(bǔ)充表格中的數(shù)據(jù)，寫出該函數(shù)的解析式，并求出該函數(shù)的單調(diào)遞

增區(qū)間；

15nn(人、

⑵設(shè)/'(a)=n，其中而＜。＜丁，求，。+才］

37

解：(1)填表：第一列：0；第三列：-Ji,—H,-3,

由表可知：4=3,7=n=3=2,

2x(---0=0=

f(x)=3sin^2^+—j.

nnJI,、5nn

V——+2An^2x+—^—+2kJi(AGZ),WxW而(%￡Z)

乙J/1.乙XLJ

5JI

.?.單調(diào)遞增區(qū)間為一五m+An,正+/”(AGZ).

,nJIJIJI4n

(2)<a<—,<2a+?〈不-，

［乙乙乙oo

*；.cos(2a12

又：2a+3=

sin|I?

則=3sin(2。+無)=—3sin2a

=-3sin(2?+f~JT

JIJI

-3sin(2a+-Jcosf-cosl20+于sing

3

15+36m

26~

21.(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)=2sin(2GL^)+勿的圖象關(guān)于直線x=n對稱,

其中0<^<~

(1)求F(x)的最小正周期；

~3h一

(2)若函數(shù)尸f(x)的圖象過點(diǎn)(冗，0),求f(x)在［0,〒［上的值域.

解：(1)函數(shù)久公=2sin(2。入一高十加的圖象關(guān)于直線x=n對稱，

則2°XIT—,AGZ,解得0=4+J,ACZ,

0ZZ6

又0<嗎則當(dāng)"=0時(shí),“=；,

(2nA2n

即F(x)=2sin《x-7-+z?,/"(x)的最小正周期為T=—=Z"；

\oby2

3

⑵函數(shù)尸f(x)的圖象過點(diǎn)(兀，0),