2024甘肅中考數(shù)學(xué)二輪專題訓(xùn)練題型六與特殊四邊形有關(guān)的證明與計(jì)算(非動(dòng)態(tài))1.如圖，在四邊形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，點(diǎn)E在BC上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足為F.(1)求證：四邊形AECD是平行四邊形；(2)若AE平分∠BAC，BE＝5，cosB＝eq\f(4,5)，求BF和AD的長．第1題圖2.(北師九上P17例4改編)如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是邊BC上的高，以點(diǎn)B為圓心，以任意長為半徑畫弧分別交AB，BC于點(diǎn)M，N，以點(diǎn)A為圓心，以BM長為半徑畫弧交BA的延長線于點(diǎn)P，以點(diǎn)P為圓心，以MN長為半徑畫弧交前弧于點(diǎn)Q，作射線AQ，過點(diǎn)C作CE∥AD交AQ于點(diǎn)E.(1)求證：四邊形ADCE是矩形；(2)若AB＝7，AE＝3，求AD的長．第2題圖3.如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，BE∥AC，AE∥BD.(1)求證：四邊形AOBE是菱形；(2)若∠AOB＝60°，AC＝4，求菱形AOBE的面積．第3題圖4.如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，∠BAD的平分線AF交CD于點(diǎn)E，交BC的延長線于點(diǎn)F.(1)求證：BF＝CD；(2)連接BE，若BE⊥AF，∠BFA＝60°，BE＝2eq\r(3)，求平行四邊形ABCD的周長．第4題圖5.如圖，在菱形ABCD中，E，F(xiàn)是對角線AC上的兩點(diǎn)，且AE＝CF.(1)求證：△ABE≌△CDF；(2)證明：四邊形BEDF是菱形．第5題圖6.如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝3，點(diǎn)E為線段AB的三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)A)，點(diǎn)F為線段CD的三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)C)，且CE⊥AB，將△BCE沿CE對折，BC邊與AD邊交于點(diǎn)G，且DC＝DG.(1)證明：四邊形AECF為矩形；(2)求四邊形AECG的面積．第6題圖7.如圖所示，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在線段CD上，點(diǎn)F在線段AB的延長線上，連接EF交線段BC于點(diǎn)G，連接BD，若DE＝BF＝2.(1)求證：四邊形BFED是平行四邊形；(2)若tan∠ABD＝eq\f(2,3)，求線段BG的長度．第7題圖8.如圖，ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E是CD的中點(diǎn)，OG⊥AD于點(diǎn)G，點(diǎn)F在AD上，且EF∥OG，連接OE.(1)求證：四邊形EFGO是矩形；(2)若AB＝6，AG＝OG＝2，求BC的長．第8題圖9.四邊形ABCD為矩形，E是AB延長線上的一點(diǎn)．(1)若AC＝EC，如圖①，求證：四邊形BECD為平行四邊形；(2)若AB＝AD，點(diǎn)F是AB上的點(diǎn)，AF＝BE，EG⊥AC于點(diǎn)G，如圖②，求證：△DGF是等腰直角三角形．第9題圖10.如圖，在ABCD中，點(diǎn)P是對角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM∥DC，且PM＝DC，連接BM，CM，BP，PD.(1)求證：△ADP≌△BCM；(2)若PA＝eq\f(1,2)PC，設(shè)△ABP的面積為S，四邊形BPCM的面積為T，求eq\f(S,T)的值．第10題圖11.如圖，已知四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)E為對角線AC上的一點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)E作EF⊥DE，交BC于點(diǎn)F，以DE，EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG.(1)求證：矩形DEFG是正方形；(2)判斷CE，CG與AB之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．第11題圖12.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D為BC邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)B作BF⊥AB交AD的延長線于點(diǎn)F，CE平分∠ACB交AD于點(diǎn)E，連接BE、CF.(1)判斷四邊形CEBF的形狀，并證明；(2)若AD＝3，求BF的長．第12題圖參考答案1.(1)證明：∵∠ACB＝∠CAD＝90°，∴AD∥EC.∵AE∥DC，∴四邊形AECD是平行四邊形；(2)解：∵EF⊥AB，BE＝5，cosB＝eq\f(4,5)，∴在Rt△BEF中，BF＝BE·cosB＝5×eq\f(4,5)＝4，∴EF＝eq\r(BE2－BF2)＝eq\r(52－42)＝3.∵AE平分∠BAC，∠ACB＝90°，EF⊥AB，∴CE＝EF＝3.由(1)得四邊形AECD是平行四邊形，∴AD＝CE＝3.2.(1)證明：由尺規(guī)作圖可得，∠PAE＝∠MBN，∴AE∥BC，即AE∥DC，∵CE∥AD，∴四邊形ADCE是平行四邊形．∵AD是△ABC的邊BC上的高，∴AD⊥BC.∴四邊形ADCE是矩形；(2)解：∵四邊形ADCE是矩形，∴CD＝AE＝3.∵AC＝AB＝7，∴AD＝eq\r(AC2－CD2)＝2eq\r(10).3.(1)證明：∵BE∥AC，AE∥BD，∴四邊形AOBE是平行四邊形，∵四邊形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OA＝OC＝eq\f(1,2)AC，OB＝OD＝eq\f(1,2)BD，∴OA＝OB，∴四邊形AOBE是菱形；(2)解：如解圖，過點(diǎn)B作BF⊥OA于點(diǎn)F，∵四邊形ABCD是矩形，AC＝4，∴AC＝BD＝4，OA＝OC＝eq\f(1,2)AC，OB＝OD＝eq\f(1,2)BD，∴OA＝OB＝2，∵∠AOB＝60°，∴BF＝OB·sin∠AOB＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，∴菱形AOBE的面積是OA·BF＝2×eq\r(3)＝2eq\r(3).第3題解圖4.(1)證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB＝CD，AD∥BC，∴∠FAD＝∠AFB.又∵AF平分∠BAD，∴∠FAD＝∠FAB.∴∠AFB＝∠FAB.∴AB＝BF.∴BF＝CD；(2)解：由(1)知，AB＝BF，∵∠BFA＝60°，∴△ABF為等邊三角形，∴AF＝BF＝AB，∠ABF＝60°，∵BE⊥AF，∴點(diǎn)E是AF的中點(diǎn)．在Rt△BEF中，∠BFA＝60°，BE＝2eq\r(3)，∴EF＝2，BF＝4，∴AB＝BF＝4.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠DCF＝∠ABC＝60°＝∠F，∴△ECF是等邊三角形，∴CE＝EF＝CF＝2，∴BC＝4－2＝2，∴平行四邊形ABCD的周長為2×(2＋4)＝12.5.證明：(1)∵四邊形ABCD為菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF，又∵AE＝CF，∴△ABE≌△CDF；(2)如解圖，連接BD交AC于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，又∵AE＝CF，∴EO＝FO，∴四邊形BEDF是平行四邊形，又∵BD⊥EF，∴四邊形BEDF是菱形．第5題解圖6.(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵點(diǎn)E為線段AB的三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)A)，點(diǎn)F為線段CD的三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)C)，∴AE＝eq\f(1,3)AB，CF＝eq\f(1,3)CD，∴AE＝CF，∴四邊形AECF為平行四邊形，∵CE⊥AB，∴四邊形AECF為矩形；(2)解：∵AB＝3，點(diǎn)E為線段AB的三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)A)，∴AE＝1，BE＝2，∵將△BCE沿CE對折，BC邊與AD邊交于點(diǎn)G，∴BB′＝2BE＝4，AB′＝1，∠B＝∠AB′G，∵DC＝DG，∴∠DGC＝∠DCG，∵AB∥CD，∴∠AB′G＝∠DCG，∠B′AG＝∠D＝∠B＝∠AB′G，∴∠B′AG＝∠AB′G＝∠B′GA，∴△B′AG是等邊三角形，△B′BC是等邊三角形，如解圖，過點(diǎn)B′作B′H⊥AG于點(diǎn)H，∴B′H＝eq\f(\r(3),2)AB′＝eq\f(\r(3),2)，CE＝eq\f(\r(3),2)BC＝2eq\r(3)，∴S四邊形AECG＝S△CEB′－S△GAB′＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×2－eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)×1＝eq\f(7\r(3),4).第6題解圖7.(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴CD∥AB，即DE∥BF，又∵DE＝BF，∴四邊形BFED是平行四邊形；(2)解：由(1)知四邊形BFED是平行四邊形，∴BD∥EF，∴∠F＝∠ABD，∴tanF＝tan∠ABD＝eq\f(2,3)，∴eq\f(BG,BF)＝eq\f(2,3)，又∵BF＝2，∴BG＝eq\f(4,3)，∴線段BG的長度為eq\f(4,3).8.(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是AC的中點(diǎn)．∵E是CD的中點(diǎn)，∴OE∥AD，又∵EF∥OG，∴四邊形EFGO是平行四邊形．∵OG⊥AD，∴∠OGF＝90°，∴四邊形EFGO是矩形；(2)解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD＝AB＝6，AD＝BC，O是對角線AC、BD的中點(diǎn)．∵E是CD的中點(diǎn)，∴DE＝eq\f(1,2)CD＝3.由(1)知，四邊形EFGO是矩形，∴∠EFD＝∠EFG＝90°，EF＝OG＝2.在Rt△DEF中，F(xiàn)D＝eq\r(DE2－EF2)＝eq\r(32－22)＝eq\r(5).∵四邊形EFGO是矩形，∴GF＝EO.∵E是CD的中點(diǎn)，O是AC的中點(diǎn)，∴AD＝2EO＝2GF.∴AG＋GF＋FD＝2GF.∴2＋GF＋eq\r(5)＝2GF.解得GF＝2＋eq\r(5)，∴BC＝AD＝2GF＝2×(2＋eq\r(5))＝4＋2eq\r(5).9.證明：(1)∵四邊形ABCD是矩形，∴AB綊CD，CB⊥AE，又∵AC＝EC，∴AB＝BE，∴BE綊CD.∴四邊形BECD為平行四邊形；(2)∵AB＝AD，∴矩形ABCD是正方形，∵EG⊥AC，∴∠E＝∠GAE＝45°＝∠DAC，∴GE＝GA，又∵AF＝BE，∴AB＝FE，∴FE＝AD，在△EGF和△AGD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(GE＝GA,∠E＝∠DAC,EF＝AD))，∴△EGF≌△AGD(SAS)，∴GF＝GD，∠DGA＝∠FGE，∴∠DGF＝∠DGA＋∠AGF＝∠EGF＋∠AGF＝∠AGE＝90°，∴△DGF是等腰直角三角形．10.(1)證明：∵PM∥DC，且PM＝DC，∴四邊形CDPM是平行四邊形，∴PD＝MC，∵AB∥DC，且AB＝DC，PM∥DC，且PM＝DC，∴AB∥PM，且AB＝PM，∴四邊形ABMP是平行四邊形，∴AP＝BM，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，在△ADP和△BCM中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝BC,AP＝BM,PD＝MC))，∴△ADP≌△BCM(SSS)；(2)解：由(1)可得S△ADP＝S△BCM，∴S四邊形BMCP＝S△BCM＋S△BCP＝S△ADP＋S△BCP＝eq\f(1,2)S?ABCD，又∵PA＝eq\f(1,2)PC，∴S△ABP＝eq\f(1,3)S△ABC＝eq\f(1,6)S?ABCD，∴eq\f(S,T)＝eq\f(\f(1,6),\f(1,2))＝eq\f(1,3).11.(1)證明：如解圖，過點(diǎn)E作EM⊥BC于點(diǎn)M，作EN⊥CD于點(diǎn)N，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC，∴四邊形EMCN為正方形，∴EM＝EN，∵四邊形DEFG是矩形，∴∠DEN＋∠NEF＝∠MEF＋∠NEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，在△DEN和△FEM中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DNE＝∠FME,EN＝EM,∠DEN＝∠FEM))，∴△DEN≌△FEM(ASA)，∴ED＝EF，∴矩形DEFG為正方形；第11題解圖(2)解：CE＋CG＝eq\r(2)AB.證明：∵矩形DEFG為正方形，∴DE＝DG，∠EDC＋∠CDG＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADE＋∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝CD,∠ADE＝∠GDC,DE＝DG))，∴△ADE≌△CDG(SAS)，∴AE＝CG，在Rt△ABC中，AC＝AE＋CE＝eq\r(2)AB，∴CE＋CG＝eq\r(2)AB.12.解：(1)四邊形CEBF是平行四邊形．證明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC.∴∠ABC＝45°，∵BF⊥AB，∴∠ABF＝90°，∴∠CBF＝45°，∵CE平分∠ACB，∴∠DCE＝∠CBF＝45°，∵D為BC邊的中點(diǎn)，∴CD＝DB，在△CDE和△BDF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DCE＝∠DBF,CD＝BD,∠CDE＝∠BDF))，∴△CDE≌△BDF(ASA)，∴DE＝DF，又∵CD＝BD，∴四邊形CEBF是平行四邊形；(2)∵D為BC的中點(diǎn)，AC＝BC，∴AC＝2CD，又∵∠ACB＝90°，在Rt△ACD中，AC2＋CD2＝AD2，