第三章隨機向量及其分布

教學目標及基本要求

(1)了解二維隨機變量概念及其聯(lián)合分布函數(shù)概念和性質(zhì)，了解二維離散

型和連續(xù)型隨機變量定義及其概率分布和性質(zhì)，了解二維均勻分布和正態(tài)分布。

(2)會用聯(lián)合概率分布計算有關(guān)事件的概率，會求邊緣分布。

(3)掌握隨機變量獨立性的概念，掌握運用隨機變量的獨立性進行概率計

算。

(4)會求兩個獨立隨機變量的簡單函數(shù)(如函數(shù)X+Y,max(X,Y),min(X,Y))

的分布。

二.教學內(nèi)容

二維隨機變量

二維隨機變量及其分布，離散型隨機變量及其分布律、連續(xù)型隨機變量及其

密度函數(shù)、它們的性質(zhì)、n維隨機變量

邊緣分布

邊緣分布律、邊緣密度函數(shù)

條件分布

相互獨立的隨機變量

兩個變量的獨立性，n個變量的獨立性

二維隨機變量的函數(shù)的分布

已知(x,Y)的分布率Rj或密度函數(shù)9(x，y),求z=/(x,y)的分布律或密度函

數(shù)9z(z)。特別如函數(shù)形式：Z=X±y,Z=max(X,y),Z=min(X,y)。

三.本章教學內(nèi)容的重點和難點

a)二維隨機變量的分布函數(shù)及性質(zhì)，與一維情形比較有哪些不同之處；

4CO

外(x)=f<p(x,y)dy

b)邊緣密度函數(shù)的計算公式：i的運用，特別是積分限的

確定和變量”的取值范圍的討論;

c)隨機變量獨立性的判定條件以及應用獨立性簡化計算，如由邊緣分布律

或密度函數(shù)可以確定聯(lián)合分布律或聯(lián)合密度函數(shù)；

°X+y?)=f(p(x,t-X)dx

推導z=x+y的密度函數(shù)的卷積公式：i,正確使

用卷積公式；

e)在X,Y獨立性的條件下，推導Z=max(X,y),Z=min(X,y)的密度函數(shù),

注意它們在可靠性方面的應用。

四.教學過程中應注意的問題

a)注意聯(lián)合分布函數(shù)能決定任意隨機變量X或Y的分布(邊緣分布)，反之

則不能確定(X,Y)的聯(lián)合分布，由正態(tài)分布可以說明；

b)在判斷兩個隨機變量是否獨立過程中，如果存在某點(X。，%),使得：

產(chǎn)(*=40，丫=%)#。(*=%)「(丫=%)或9(%,%)力外(%0)仍(％),則稱

變量X與Y不獨立；

c)一般計算概率使用如下公式：

P((X,Y)eG)=JJ(p{x,yydxdy

,注意二重積分運算知識點的復習。

d)二維均勻分布的密度函數(shù)的具體表達形式。

五.思考題和習題

思考題：1.由隨機變量x，y的邊緣分布能否決定它們的聯(lián)合分布？

2.條件分布是否可以由條件概率公式推導？

3.事件的獨立性與隨機變量的獨立性是否一致？

4.如何利用隨機變量之間的獨立性去簡化概率計算，試舉例說明。

§3.1二維隨機向量及其聯(lián)合分布函數(shù)

一、隨機向量的概念

定義3-1設隨機試驗的樣本空間為。=歷},對每一個口有確定的兩個實數(shù)

x(o),y(0)與之對應，則稱(X3),Y3))為二維隨機向量，簡記為(x,y)。

在定義3-1中要注意/和r是定義在同一個樣本空間c上的兩個隨機變量。

例如，有五件產(chǎn)品，其中兩件是次品(用外,々表示)，三件是正品(用乙，仇,&表示)。

從中依次不放回地任意取出兩件，此時隨機試驗的樣本空間為

廠卜4，。2),(。1,偽)，3，仇),(4也),(?；?,(生，仇)，3也)，31也)，(々也)，32也),

(a2,ai),(bl,ai),(b2,al),(b3,al),(.bl,a2),(<b2,a2),(b3,a2),(b2,bl),(b3,bl'),(b3,b2)

我們將。中的樣本點依次記為雙，牡，…，牡。。定義隨機變量x和y如下：

vfo,如果第一次取出的是正品

11,如果第一次取出的是次品

、,[0,如果第二次取出的是正品

11,如果第二次取出的是次品

在一次隨機試驗中，若出現(xiàn)了樣本點(4,4)(即04)，則X(04)=l,y(04)=O；若出現(xiàn)了

樣本點(&，4)(即可4)，則x(3”)=o,y(⑷4)=1等等。注意x和y都是定義在。上的,

對。中的每一個樣本點，x和y都有一個數(shù)與此樣本點對應。

現(xiàn)在約定：對于二維隨機向量(x,y),事件｛x=七,丫=%｝表示事件｛x=巷｝與

卜=力的交，其中｛X=巧｝和｛y=%｝均是樣本空間。的子集。同樣，事件｛X<x,Y<y｝

表示事件｛X<x｝與事件｛Y<y｝的交。

二、隨機向量的聯(lián)合分布函數(shù)

定義3-2設(X,y)是一個二維隨機向量，X,y是兩個任意實數(shù)，則稱二元函數(shù)

F(x,y)=P(X<x,Y<y),V(x,y)eR2

為(X,y)的聯(lián)合分布函數(shù)(jointdistributionfunction),

與一維的情形類似，掌握了聯(lián)合分布函數(shù)也就掌握了二維隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律。

聯(lián)合分布函數(shù)尸(x,y)具有下列五條基本性質(zhì)：

(1)0<F(x,y)<l,V(x,^)e/?2；

(2)f(x,y)對每個自變量都是單調(diào)非降的；

(3)對一切實數(shù)x和y,則有

F(-co,y)=F(x,-oo)=0,F(+oo,+oo)=1；

(4)R(x,y)對每個自變量都是右連續(xù)的，即

尸(x+0,y)=F(x,y),F(x,y+0)=F(x,y)；

(5)對一切實數(shù)為<%2,必<>2,有

/(々，當)一尸(司，必)一口(》2,X)+/(X，弘)20。

y

a,g)

(再,尸)；@,x)

?

_________________________?__________

。為xyX

圖3-1圖3-2

證明(1)-(4),類似一維隨機變量分布函數(shù)的四條基本性質(zhì)，下面我們只證(5),

由定義3-2知，產(chǎn)(x,y)=P(X是(才，K)落在區(qū)域。內(nèi)的概率，見圖3-1,

則

PC%.<X<x2,yt<Y<y2)

=P(X[<X<X2,Y<y2)-P(xt<X<X2,Y<y)

=尸(孫必)一尸(5，％)一尸(孫乂)+尸(與，乂)，

這是用F(x,y)來計算(X,y)落在矩形區(qū)域｛(x,y)|西<XWw，x<y<%｝概率的

公式，見圖3-2,再由概率的非負性，即知(5)成立。

任何一個聯(lián)合分布函數(shù)b(x,y)一定具有以上五條基本性質(zhì)；反之，任何具有以上五條

基本性質(zhì)的二元函數(shù)F(x,y)必可作為某一二維隨機向量(X,V)的聯(lián)合分布函數(shù)。

三、隨機向量的邊際分布函數(shù)

由于聯(lián)合分布函數(shù)w(x,y)全面描述了隨機向量(x,y)的統(tǒng)計規(guī)律，顯然由(x,y)的

聯(lián)合分布函數(shù)尸(x,y),我們可以得到隨機變量X和y各自的分布函數(shù)。即

G(x)=P(XWx)=P(XWX,Q)=P(X<X,y<+00)=F(x,+00),

其中F(X,+8)=limF(x,y).同樣4(y)=F(+oo,y),其中F(+oo,y)=limF(x,y)。

V'->KOX—>-H?

我們把G（x），4（y）分別稱為（X,Y）關(guān)于x,y的邊際分布函數(shù)（marginal

distributionfunction）或邊際分布函數(shù)。

我們經(jīng)常討論的隨機變量有兩種類型：離散型和連續(xù)型。

§3.2二維離散型隨機向量

一、二維離散型隨機向量的聯(lián)合概率分布

定義3-3若二維隨機向量（x,y）的所有可能取值是有限對或可列無限多對，則稱

（X,丫）為二維離散型隨機向量（2-dimensionaldiscreterandomvector）o

定義3-4設（X,Y）的所有可能取值為（如x）,i=l,???，丸…,/=1,…/，…，則稱

為二維離散型隨機向量（X,y）的聯(lián)合概率分布（jointprobabilitydistribution）,也常

用表格列出，見表3-1.

聯(lián)合概率分布完整地描述了離散型隨機向量的統(tǒng)計規(guī)律。

聯(lián)合概率分布具有下列兩條基本性質(zhì)：

（1）Ptj2O,7=1,…，7%,…，/=1,…，％，…；

⑵巨巨外=1。

1=1j=l

證明（1）顯然;

（2）由于>：>：{x=s,y—_y/}=，

/=!j=\

再由概率的可列可加性知，

=￡￡p（x3，y=x）

Z=1j=\

008

=EZPU=P（Q）=I,

1=1j=\

即巨5>〃=1。

i=l7=1

聯(lián)合概率分布一定具有以上二條基本性質(zhì)。反之，若一串

Pij（z=1,---,m,---,j=1,---,AZ,--）具有以上二個性質(zhì)，則

Ptj（Z=I,---,m,■■?,j—1,—,九,???）一定可作為某一二維離散型隨機向量的

聯(lián)合概率分布。

下面舉例說明如何求二維離散型隨機向量的聯(lián)合概率分布。

例3-1箱子里裝有a件正品和3件次品。每次從箱子中任取一件產(chǎn)品，共取兩次。設

隨機變量x和丫的定義如下：

V[0,如果第一次取出的是正品

V，如果第一次取出的是次品

[0,如果第二次取出的是正品

11,如果第二次取出的是次品

（1）第一次取出的產(chǎn)品仍放回去；

（2）第一次取出的產(chǎn)品不放回去。

在上述兩種情況下分別求出二維隨機向量（x,y）的聯(lián)合概率分布。

解⑴X：0,1,Y：0,1

p（x=o,y=o）=尸（X=o）p（y=qx=o）

a+ba+b(a+b)2

P(X=0,y=1)=P(X=0)P(Y=1|X=0)

ab_ab

a+ba+b(a+b)2

p(x=i,y=o)=p(x=i)p(y=qx=i)

ba_ba

a+ba+b(a+b)2

p(x=i,y=i)=p(x=I)P(Y=i|x=i)

bbb2

—?=y,

a+ba+b(〃+。)

即聯(lián)合概率分布為(見表3-2)

(2)X：0,1,Y：0,1

p(x=o,y=o)=p(x=O)P(Y=qx=())

aa-1_-1)

a+ba+b-\(a+b\a+b-l)

p(X=0,y=1)=P(X=0)P(K=1|X=0)

a_____b_ah

a+ba+b-\(a+h\a+b-\)

p(x=i,y=o)=尸(X=i)P(V=qx=i)

---b--?----a----=-------b-a-------

a+bQ-1(a+b\a+b-l)

p(x=i,y=i)=P(X=i)p(y=i|x=i)

bb-\_b(b-\)

a+ba+h-l(Q+Z?XQ+〃-1)’

即聯(lián)合概率分布為(見表3-3)

01

a[a-1)ab

0(a+匕)(Q+。-1)(〃+。)(〃+人-1)

bab(b-1)

1(a+/?)(〃+Z?-1)(〃+Z?)(Q+Z?-1)'

表3-3

例3-2擲兩枚骰子，第一枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)記為X,兩枚骰子最大點數(shù)記為丫，求

(x,y)的聯(lián)合概率分布。

解X所有可能取值為1,2,6,y所有可能取值為1,2,…，6。

當i>/時,

P(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=j\X=z)

=—x0=0,

6

當》=/時，

p(x=i,Y=j)=p(x=i)p(y=j\x=i)

1ii

———X-=,

6636

當i<j時，

P(X=i,Y=j)=P(X=i)巾=j\X=i)

其中W=l,2,…,6,

即(X,Y)的聯(lián)合概率分布為(見表3-4)

123456

X1

111111

363636363636

2021111

3636363636

3003111

36363636

4000411

363636

5000051

3636

6000006

36

表3-4

二、二維離散型隨機向量的邊際概率分布

由于（X,y）的聯(lián)合概率分布全面地描述了二維離散型隨機向量（X,7）的統(tǒng)計規(guī)律，因

此，當（x,y）的聯(lián)合概率分布已知時，我們就可以求出隨機變量x和y的概率分布。

具體地說，已知（X,Y）的聯(lián)合概率分布為

Pij=P（X=/y===

則X的概率分布為

p（X3）=p（{x=xjnc）

=p{x=xjn￡{y="

kjT7

=p寸{x=xjn{y=%}]]

=￡p（{x=xJnK=yJ）

j=l

=￡P(guān)（X-=yj

j=i

00

=EPu，i=l，…,m,…,

六1

同理可求得？的概率分布為

p（y=刀）=j=i，…，〃，…。

/=1

我們記

_8_8

Pi?=ZPij，〃?/=ZPij°

j=\i=\

所以，x的概率分布為=1,???,見…，y的概率分布為〃.八，=i,…,〃，…。

定義3-5我們將二維離散型隨機向量（X,y）中X（或丫）的概率分布稱為（X,y）關(guān)于

X（或y）的邊際概率分布（marginalprobabilitydistribution）或邊際概率分布。

我們也可以直接將兩個邊際概率分布寫在（X,Y）的聯(lián)合概率分布表中（見表3-5）：

X

%%…yn…Pi.

再PllP\2…Pxn…P\.

X

2p2lP22…Pin-Pl.

PM2

pm\Pn,nPm.

1

P-Jp.lP.2…P.?…

表3-5

例如，例3T中聯(lián)合概率分布的的兩個邊際概率分布分別為（見表3-6、表3-7）

(1)

X

01Pi.

a2aha

03+6)2(4+0)2a+b

bab2b

1(a+b)2(4+0)2a+b

1

p-iab

a+ba+b

表3-6

(2)

X01Pi.

a(a-1)aha

0(a+b)(a+b-1)(a+b)(a+a^b

bab{b-\)b

1(〃+b)(a+。-1)a+b

p-jah1

a+ba+b

表3-7

從上述表3-6和表3-7中我們還可以發(fā)現(xiàn)，（1）、（2）兩者有完全相同的邊際概率分布,

而聯(lián)合概率分布卻是不相同的。由此可知，由邊際概率分布并不能唯一地確定聯(lián)合概率分布。

事實上，（x,y）的聯(lián)合概率分布還包含有x與y之間的相互關(guān)系的信息，它是邊際概率分

布所不能提供的。因而對單個隨機變量X與y的研究并不能代替對二維隨機向量（x,y）整

體的研究。

*三、二維離散型隨機向量的條件概率分布

當同時考察兩個隨機變量時，常常需要考慮：已知一個隨機變量取得某值的情況下，另

一個隨機變量取值的條件概率。

考慮二維離散型隨機向量（x,y）,設它的聯(lián)合概率分布為

P(X=xi,Y=%)=%,i=l,2,…，相，…,/=1,2,…,〃，…,

它們的邊際概率分布分別為

8

P(X==…,/冬…，

./=!

尸（丫=匕）=工〃〃=p.j,/=1,2,

：=1

定義3-6若對固定的P（y=x）=p.j>0,則在己知丫=為的條件下，X取各可

能值的條件概率

P(X=xi\Y=yj)

稱為在y=y,的條件下X的條件概率分布(conditionalprobabilitydistribution)。

類似地，若對固定的i,2乂=七）=2.>0,則在已知乂=吃的條件下，丫取各可能

值的條件概率

,P（X=x.,y=y,.）Pa

"="X=玉）=....----------=—,/=1,2,…,〃，…，

P（X=xJPi.

稱為在X=X,.的條件下Y的條件概率分布。

注：對固定的）,條件概率分布P（X仍然是概率分布，滿足概率分布的

一切性質(zhì)。例如

00

(1)P(X=x,p=x)N0,i=l,2,…，相，…；(2)ZP(X=xJy=x)=l。

/=!

例3-3設二維隨機向量(X,y)的聯(lián)合概率分布為(見表3-8)

求(1)在y=2的條件下，x的條件概率分布;

(2)在x=i的條件下，丫的條件概率分布。

解⑴p.2=p(y=2)=\+:=4，

9618

P(x=i|y=2)=逛

%%85

P(X=2|y=2)=普

在y=2的條件下，x的條件概率分布為

p(x=z|y=2)=<5。

Il"=2

同樣，也可以分別求出在y=i和丫=3的條件下，x的條件概率分布。

"=i|x=i)=?=彩=：

九.87

1/1

p(y=3|x=l)=也=變=—o

九％87

在x=i的條件下，丫的條件概率分布為

p(y=)|x=i)=.”=2o

同樣，也可以求出在x=2的條件下，y的條件概率分布。

§3.3二維連續(xù)型隨機向量

一、二維連續(xù)型隨機向量的聯(lián)合密度函數(shù)

定義3-7設二維隨機向量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為尸(x,y),若存在非負可積二元函數(shù)

f(x,y)<x,y<+oo),使得對任意實數(shù)x,y,有

打乂力二匚工小仆㈤，

則稱(X,Y)為二維連續(xù)型隨機向量(2-dimensionalcontinuousrandomvector),y)

稱為二維連續(xù)型隨機向量(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)，或稱聯(lián)合密度函數(shù)(jointdensity

function)o

從定義知，二維連續(xù)型隨機向量的聯(lián)合密度函數(shù)具有以下性質(zhì)：

(1)非負性:/(x,y)>0,V(x,y)e/?2;

(2)正則性：ff/(x,y)dxdy=F(+oo,+oo)=1o

J-X>J-00

證明：(1)顯然；

⑵l=F(gz)=&F(x,y)=%J：J：/(sj)dsdr=J二匚

聯(lián)合密度函數(shù)一定具有以上兩條基本性質(zhì)；反之，具有以上兩條性質(zhì)的二元函數(shù)

/(X,y)必可作為某一二維連續(xù)型隨機向量的聯(lián)合密度函數(shù)。

若/(x,y)處處連續(xù)，則：

?F(x,y)

=f(x,y)

dxdy

由上可知：對于二維連續(xù)型隨機向量(X,Y)而言，當已知聯(lián)合分布函數(shù)尸(x,y)時，求

二階混合偏導數(shù)可得其聯(lián)合密度函數(shù)；反之，由定義3-7即可由聯(lián)合密度函數(shù)求得聯(lián)合分布

函數(shù)/(x,y)o

設二維連續(xù)型隨機向量(X,y)的聯(lián)合密度函數(shù)為/(%,y),且。為xOy平面上的任一

區(qū)域，則

P((X,y)eD)=JJ/(x,y)drdy。

D

特別地，對于矩形區(qū)域￡>=｛(x,y)|a有

P[a<X<b,c<Yy)dxdy.

上式的幾何意義表示為:尸｛(X,y)w。｝的值等于以區(qū)域。為底、以曲面/(x,y)為頂

面的曲頂柱體的體積.

例3-4設二維隨機向量(x,y)的聯(lián)合密度函數(shù)為

Ae~(2x+y\x>0,y>0

0其他

求：(1)常數(shù)A；(2)P｛-I<X<Li<r<i｝；(3)p｛x+y<i｝；(4)(x,y)的聯(lián)合

分布函數(shù)尸(x,y).

解⑴利用性質(zhì)]'匚/(x,y)dxd)，=l,可得

?-Ko

IoJo+%-2'dx

0

所以，A=2.

(2)P{-1<X1}=fJ：/(x,y)<irdy=￡J；2"(2x+>)dxdy

=0*")(卜力(1-

⑶P{X+y41}=JJ/(x,y)ckdy=￡J：'2e+*+，)(kdy=1-2/+*

x+y<>1

(4)當x〉0,y>0時，

小，)')=[J：/(s,f)由df=J；J；2e3)d5df

2v

=f2e~2xdsfe~rdt=e-)(l-^')

JoJo

當(x,y)任{(x,y)|x>O,y>0}時，F(xiàn)(x,y)=0,故

x>0,y>0

o,其他

例3-5設隨機向量(X,y)的聯(lián)合密度函數(shù)為

x2+cxy,0<x<l,0<y<2,

/(%y)=，

0,其他

求(1)常數(shù)c；(2)P(X+y>1)；(3)聯(lián)合分布函數(shù)尸(x,y)。

解：(1)利用聯(lián)合密度函數(shù)的基本性質(zhì)得:

J」夕/(X，了粒心=J：J；(X?+C孫)dxdy

2

=—+c=1

3

從而得c=」

3

(2)由于在區(qū)域{(x,“0<x<l,0<y<2}外，f(x,y)=0,所以，在區(qū)域

{(x,4x+y21}上積分等價于在區(qū)域D上的積分，其中

0={(x,y)|04x41,04y42,x+y21},如圖3—3所示區(qū)域；

圖3-3

(3)由于尸(x,y)=「「f(s,t)dsdt

J-00J—co

所以,

當xvO或y<0時，

產(chǎn)（覆y）=「「f（s,t）dsdt=o;

J-oOJ-00

當0?x<l,0Wy<2時，見圖3—4.

i322

口乂y）=匚匚/（$，，）dsd/=JJ；4+-st）dsdt=三+旨；

當0Wx<l,y?2時，見圖3—5.

F（x，y）=J：匚/G,f）dsdf=J；J；（S2+$）dsdf=|d+；尤2.

當xNl,0Wy<2時，見圖3—6.

v，1,I2

F（x,y）=J：「J（s,f）dsdr=￡￡'（52+-st）dsdt=>卷;

當x21,yN2時，見圖3—7.

F(x,y)=J：「/(s,f)dsd/=￡￡(52++)由由=1；

綜上所述,

0,尤<0或y<0

322

—H-2—^-,0<x<l,0<y<2

312

x22丁，、一

F(x,y)=<—+——,0<x<l,y>2

33

—+—,x>l,0<y<2

312

1,x>l,y>2

二、二維連續(xù)型隨機向量的邊際密度函數(shù)

如果二維連續(xù)型隨機向量(X,丫)的聯(lián)合密度函數(shù)為/(x,y),則

心(x)=P{X?x}=P{XWx,y<(s,Z)dzjj.y.

上式表明：X是連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù)為

fx(%)=■(%)=[二“X，力??

同理，y是連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù)為

人()')=耳(y)=匚/(%，)')也

定義3-8我們稱

fxM=Jf+00f(x,y)dy

J—00

為二維連續(xù)型隨機向量(X,F)關(guān)于X的邊際密度函數(shù)(marginaldensityfunction)o稱

-r+oo

加y)=ff{x,y)dr

J-00

為二維連續(xù)型隨機向量(x,y)關(guān)于y的邊際密度函數(shù)。

例3-6設(x,y)的聯(lián)合密度函數(shù)為

(3x,0<x<l,0<y<x

[0,其他

求(x,y)的邊際密度函數(shù)人(幻，人(刃。

解：先畫出區(qū)域{(x,40<x<l,0<y<x}的圖形，見圖3—8.

圖3—8

則

r-Ko13xdy,0cx<1

fx(x)=f/(x,y)dy=?

J—000,其他

3X2,0<X<1

0,其他

f+00f3xdx,0<y<1

J-OD0,其他

332c.

2~2y，o<y<i

0，其他

與二維離散型隨機向量類似，對于二維連續(xù)型隨機向量（x,y）而言，兩個邊際密度函

數(shù)也不能唯一地確定聯(lián)合密度函數(shù)。

*三、條件密度函數(shù)

定義3-9設二維連續(xù)型隨機向量（X,y）的聯(lián)合密度函數(shù)為/（x,y）,邊際密度函數(shù)

為A（x），4（y），對于任意的X,若/x（x）>（），則稱

—X3X）='：；），-℃<y<+oo

Jx（町

為在條件X=X下y的條件密度函數(shù)（conditionaldensityfunction）,記為人以（VI*）?

類似地，對于任意的y,若力（y）>o,則稱

r（\/（Q）

—x，y）=/（）,），-8<%<+8

為在條件y=y下X的條件密度函數(shù)，記為

例3-7設二維隨機向量(X,y)的聯(lián)合密度函數(shù)為

求：條件密度函數(shù)八w(x|y)、.啟x(vlx)

解：邊際密度函數(shù)分別為：

0,x<00,x<0

￡(x)=J：/(x，y)dy=<

f4-00

f/dy,x>0一e~x,x>0

IJx

Qy<00,y<0

J。e~ydx,y>0ye~\y>0

當)'>0時4(y)>0,所以，在y=y的條件下X的條件密度函數(shù)為:

0<x<y

/xiy(xly)〃x，y)』已

人3n其他

當x>0時，人(力在X=x的條件下Y的條件密度函數(shù)為:

0<x<y

⑴"卜錦=1。,其他

四.兩種常用的二維連續(xù)型隨機向量的分布

1.二維均勻分布

定義3-1。若二維隨機向量(x,y)的聯(lián)合密度函數(shù)為

小，加。

o,其他

其中s。是平面區(qū)域。的面積(O<SD<-8),則稱(x,y)服從區(qū)域。上的二維均勻分布.

這時，(x,y)落在區(qū)域。內(nèi)任何子區(qū)域的概率與該子區(qū)域的面積成正比，而與該子區(qū)域的

具體位置無關(guān)，由第一章知，這是幾何概率.現(xiàn)在由二維均勻分布來描述，設GuO,則

尸{(XM，G}=g/(D)d^=p?dxdk繇.

這正是幾何概率的計算公式。

特別地，當G為矩形區(qū)域時，即

G={(x,y\a<x<b,c<y<d\,

則此二維均勻分布的聯(lián)合密度函數(shù)為

----------------.a<x<b,c<y<d

f(x,y)=Uh-a)(d-c)-

0,其他

例3-8在區(qū)間(0,。)的中點兩邊隨機地選取兩點，求兩點間的距離小于q的概率。

3

解：以X表示中點左邊所取的隨機點到端點O的距離，y表示中點右邊所取的隨機點到端

點。的距離，即

G=<(x,y)0<X,(見圖3—9)

(x,y)服從區(qū)域G上的二維均勻分布，所以，(x,y)的聯(lián)合密度函數(shù)為

圖3—9

4?aa

f(x,y)=<a-22,

0,其他

又“兩點間距離小于］”等價于事件{丫則

P(Y-X<學=JJf(x,y)d.xdy=公厚?⑦

請讀者用幾何概型來解決。

2.二維正態(tài)分布

定義3-11若二維連續(xù)型隨機向量（X,丫）的聯(lián)合密度函數(shù)為

1（X一出）22—（尸叢）（）」〃2）］（尸〃2『

rzX12（1—/）2op?2

f（x,y）=-----------eLa」，

27roT］/J-p

其中4,〃2，巧,5,0為常數(shù)，且5〉。,%>0,3<1,則稱（x,y）服從二維正態(tài)分布

（2-dimensionalnormaldistribution）,記作（XJ）?"（〃［，4，0"：，0"；,。）。

二維正態(tài)分布的聯(lián)合密度函數(shù)z=/（x,y）的幾何圖形是一張以（“,生）為極大值點的

單峰鐘形曲面（圖3-10）,很像一頂四周無限延伸的草帽.

圖3-10

例3-9設二維隨機向量（x,y）?N（O,O,U,夕），求x和y的邊際密度函數(shù).

解：?。?匚（"抄=匚/；?e'?

2兀9_p

1^1e4".

屈eL后出_/

注意到上式積分號內(nèi)的被積函數(shù)恰好是均值為2方,方差為1-0?的正態(tài)分布的密度函

數(shù)，因此，該積分分值為1，于是

1.

爪x)=b

同理可得

人(加2

可見

X~N(O,1),y~N((),l)

通過與例3-9類似的計算，可得如下結(jié)論：

(1)二維正態(tài)分布的兩個邊際分布均為一維正態(tài)分布，且它們的參數(shù)對應于二維正態(tài)分

布的前4個參數(shù)；

(2)邊際分布不能唯一確定聯(lián)合分布，這是因為x與y的邊際密度函數(shù)相同，但可以有

不同的。值；

(3)為了確定一個二維正態(tài)分布的聯(lián)合密度函數(shù)，除了知道兩個邊際分布以外，還需知道

P的值.

§3.4隨機變量的獨立性

在上一節(jié)中，我們曾經(jīng)指出，二維隨機向量(x,y)的聯(lián)合概率分布或聯(lián)合密度函數(shù)不

僅描述了x與丫各自的統(tǒng)計規(guī)律，而且還包含了x與丫相互之間關(guān)系的信息。當隨機向量

x與丫取值的規(guī)律互不影響時，稱x與丫相互獨立.

一、隨機變量獨立性

定義3-12設尸(x,y)為二維隨機向量(X,y)的聯(lián)合分布函數(shù)，4(x),弓(y)分別為

x與丫的邊際分布函數(shù)。若對于任意實數(shù)%,y,有

F(x,y)=Fx(x)FY(y),

即

p{x<x,r<y}=p{x<x}.p{y<^},

則稱隨機變量X與y相互獨立(independent)o否則稱隨機向量X與丫不獨立(not

independent)?

在許多情形下，隨機變量是否獨立，并不一定使用上述抽象的定義，而是根據(jù)有關(guān)理論、

實踐知識和直觀理解來判斷隨機變量是否獨立.例如，一顆骰子擲兩次，出現(xiàn)的點數(shù)X與丫

顯然獨立。

二、離散型隨機變量獨立的等價命題

由定義3-12可知，對于二維離散型隨機向量，隨機變量X與y相互獨立，有如下定理:

定理3-1設二維離散型隨機向量(X,V)的聯(lián)合概率分布為

P（X=Xj,y=%.）=%,i=l,…,m,…/=

隨機變量x與y相互獨立的充分必要條件是：若對于任意的正整數(shù)i,.),有

P（x=%y=X）=P（x=x,.）p（y=x）,

即

Pu=Pi.■。

證明從略。

問名夕取什么值時，X與y相互獨立？

23

解：由ZZ/%=i知

i=lj=l

a+A=；，

又

p（y=2）="+a,

1

P（x=l）il1=

6+9+183

及x與y獨立，則

p（x=i,y=2）=p（x=i）p（y=2）

即

993

a=2,夕」二」

9399

將a,尸的值代入聯(lián)合概率分布，可以驗證X與y相互獨立。

例3-11袋中有5只白球，3只黑球。取兩次球，每次取1只，定義下列隨機變量：

v第一次取到白球v卜，第二次取到白球

1。，第一次取到黑球lo,第二次取到黑球

判斷：（1）有放回取球的情況下x與y是否獨立？

（2）無放回取球的情況下x與y是否獨立？

解（1）有放回取球的情況下，（x,y）的所有可能取值為（0,0）,（0,1）,（1,1）.

由概率的乘法公式得

339

p{x=o,y=o}=p{x=o}p{y=o|x=o）=-x-=—

p{x=0,y=i}=p{x=o}p{r=i|x=o}=|x-=^

QOA

P{X=Ly=o}=p{x-i}p{y=o|X=i}=jx-=—

224

P{X=\,Y=\}=P{X=\}P{Y=l\X=l}=-x-=—

即：（X,Y）的聯(lián)合概率分布與邊際概率分布見表3-10.

01P,.

96

00.6

2525

64

10.4

2525

P.J0.60.4

表3T0有放回取球時的聯(lián)合概率分布與邊際概率分布表

從表3-10,易知，P4=P,.?P./（i,1/=l,2）,故當有放回取球時，X與F獨立。這與問

題的實際意義完全相符。

（2）無放回取球的情況下，由