高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽知識(shí)拓展

高斯函數(shù)，又稱為取整函數(shù)，常用的性質(zhì)有：

x-l<岡Wx<[x]+1

[x+n]=n+[x]

{n+x}={x}(n^Z)

[x]+[y]W[x+y]W岡+[y]+l等

與函數(shù)有關(guān)的幾個(gè)重要結(jié)論

結(jié)論1設(shè)函數(shù)y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù)

(1)若f(x)在R上為單調(diào)函數(shù)，則|f(xl)|<|f(x2)|<=>|xl|<|x2|

(2)若f(x)在R上為增函數(shù),則|f(xl)|<f(x2)<=>|xl|<x2

(3)若f(x)在R上為減函數(shù)，則|f(xl)|<f(x2)<=>|xl|<-x2

結(jié)論2設(shè)函數(shù)y=f(x)是定義在R上的偶函數(shù)

(1)若f(x)在[0,+8)上為增函數(shù)，則f(xl)<f(x2)<=>[xl|<|x為

(2)若f(x)在[0,+8)上為減函數(shù)，則f(xl)<f(x2)<=>|xl|>|x2|

奇、偶函數(shù)的概念可以推廣：

定義1對(duì)于函數(shù)f(x”CR),若存在常數(shù)a,使得其函數(shù)定義域內(nèi)任意一個(gè)x,都有f(a-x)=f(a+x)

或f(2a-x)=f(x)

則稱f(x)為廣義(1)型偶函數(shù)。顯然，當(dāng)a=0時(shí)，%x)為一般的偶函數(shù)。

對(duì)于函數(shù)f(xXxCR),若存在常數(shù)a,使得其函數(shù)定義域內(nèi)任意一個(gè)x,都有f(a-x)=-f(a+x)或

f(2a-x)=-f(x)

則稱f(x)為廣義(1)型奇函數(shù)。顯然，當(dāng)a=0時(shí)，f(x)為一般的奇函數(shù)。

定義2對(duì)于函數(shù)f(xMxGR),若存在常數(shù)a,b,使得其函數(shù)定義域內(nèi)任意一個(gè)X,都有

f(a-x)=f(b+x)

則稱f(x)為廣義(2)型偶函數(shù)。顯然，當(dāng)a=b時(shí)，f(x)為廣義(1)型偶函數(shù)；當(dāng)a=b=O時(shí),

f(x)為一般的偶函數(shù)。

對(duì)于函數(shù)f(x)(x€R),若存在常數(shù)a,b,使得其函數(shù)定義域內(nèi)任意一個(gè)x,都有f(a-x)=-f(b+x)

則稱f(x)為廣義(2)型奇函數(shù)。顯然，當(dāng)a=b時(shí)，f(x)為廣義(1)型奇函數(shù)；當(dāng)a=b=O時(shí),

f(x)為一般的奇函數(shù)。

定義3對(duì)于函數(shù)f(x)(xGR),若存在常數(shù)a,b,m,n(m>0,n>0),使得其定義域內(nèi)任意一個(gè)x,都

有f(a-mx)=f(b+nx)

則稱f(x)為廣義(3)型偶函數(shù)。顯然，當(dāng)m=n=l時(shí)，f(x)為廣義(2)型偶函數(shù)；當(dāng)a=b=O,

且m=n時(shí)，f(x)為一般的偶函數(shù)。

對(duì)于函數(shù)f(x)(xeR),若存在常數(shù)a,b,m,n(m>0,n>0),使得其定義域內(nèi)任意一個(gè)x,都有

f(a-mx)=-f(b+nx)

則稱f(x)為廣義(3)型奇函數(shù)。顯然，當(dāng)m=n=l時(shí)，f(x)為廣義(2)型奇函數(shù)；當(dāng)a=b=O,

且m=n時(shí)，f(x)為一般的奇函數(shù)。

結(jié)論3設(shè)f(x)為定義在R上的廣義(2)型偶函數(shù)

(1)若f(x)在[(a+b)/2,+8)上為增函數(shù)，則

f(xl)<f(x2)<=>|xl-(a+b)/21<|x2-(a+b)/21

(2)若f(x)在[(a+b)/2,+8)上為減函數(shù),則

f(xl)<f(x2)<=>|xl-(a+b)/21>|x2-(a+b)/21

結(jié)論4設(shè)f(x)為定義在R上的廣義(2)型奇函數(shù)

(1)若f(x)在R上為單調(diào)函數(shù)，則

|f(xl)|<|f(x2)|<=>|xl-(a+b)/21<|x2-(a+b)/21

(2)若f(x)在R上為增函數(shù)，則

|f(xl)|<f(x2)<=>|xl-(a+b)/2|<x2-(a+b)/2

(3)若f(x)在R上為減函數(shù),則

|f(xl)|<f(x2)<=>|xl-(a+b)/2|<(a+b)/2-x2

結(jié)論5設(shè)a,b是兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)，則

(1)當(dāng)f(x)關(guān)于a,b均為廣義(1)型偶函數(shù)時(shí)，f(x)為周期函數(shù)，且2|b-a|為其一個(gè)正周期

(2)當(dāng)f(x)關(guān)于a,b均為廣義(1)型奇函數(shù)時(shí)，f(x)為周期函數(shù)，且2|b-a|為其一個(gè)正周期

(1)當(dāng)f(x)關(guān)于a,b,一個(gè)為廣義(1)型奇函數(shù)，一個(gè)為廣義(1)型偶函數(shù)時(shí)，*x)為周期

函數(shù)，且4|b-a|為其一個(gè)正周期

結(jié)論6設(shè)f(x)為定義在R上的函數(shù)，對(duì)任意x￡R,恒有

(1)f(a-x)=f(b-x)(或f(a+x)=f(b+x))(aWb)成立，則f(x)為周期函數(shù),且|b-a|為其一正周期

(2)f(a+x)=-f(b+x)(或f(a-x)=-f(b-x川aWb)成立,則f(x)為周期函數(shù)，且2|b-a|為其一正周期

(3)f(x-a)+f(x+a)=f(x)(aWO)成立，則f(x)為周期函數(shù),且61al為其一正周期

結(jié)論7對(duì)于實(shí)數(shù)ai,bi,mi,ni(n=l,2),且mlm2=nln2,ml(a2-bl)Wnl(al-b2),若對(duì)于定義在R上

的函數(shù)f(x),且對(duì)于任意xdR,有

⑴f(ai-mix)=f(bi+nxD(i=l,2),則f(x)為周期函數(shù)，月」(a2-bl)+m2(b2-al)/n21為其一正周期

(2)f(ai-mix)=-f(bi+nxD(i=l,2),則f(x)為周期函數(shù)，且|(a2-bl)+nl(b2-al)/ml|為其一正周期

(3)f(al-mlx)=f(bl+nlx),f(a2-m2x)=-f(b2+n2x),WiJf(x)為周期函數(shù)，且2|(a2-bl)+nl(b2-al)/ml|

為其?正周期

結(jié)論8設(shè)T為非零常數(shù)，若對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意X,恒有f(x+T)=M[f(x)],其中M(x)滿足

M[M(x)]=x,且M(x)Wx,則f(x)為周期函數(shù)，且2T為其一?個(gè)周期。

以上結(jié)論3?8均由周期函數(shù)的定義即可推證

我們知道，對(duì)于奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點(diǎn)(0,0)成中心對(duì)稱；對(duì)于偶函數(shù)，其圖像關(guān)于y

軸(x=0)成軸對(duì)稱。一般地，我們有

結(jié)論9函數(shù)f(x)定義在R上，對(duì)于定義域內(nèi)任意一實(shí)數(shù)X,都有

f(a+x)+f(b-x)=c

成立的充要條件是函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)((a+b)/2,c/2)成中心對(duì)稱。

結(jié)論10函數(shù)f(x)定義在R上，對(duì)于定義域內(nèi)任一實(shí)數(shù)x,都有

f(a+x)-f(b-x)=0

成立的充要條件是函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=(a+b)/2成軸對(duì)稱。

※※第一講函數(shù)練習(xí)※※

1.求函數(shù)y=x+J(x0-3x+2)的值域。［1,3/2)U［2,+8)

2.f(x)和g(x)的定義域都是R,f(x)是偶函數(shù),g(x)是奇函數(shù)，且f(x)+g(x)=l/(xA-x+l),那么f(x)/g(x)

的取值范圍為？x>0時(shí)，f(x)/g(x)>2；x<0時(shí),f(x)/g(x)W-2

3.(1)已知定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)f(x)始終滿足f(x+2)=-f(x),且當(dāng)OWxWl時(shí)，f(x)=x,求

f(15/2)的值。-1/2

(2)函數(shù)f(x)=(9八x-l)/3Nx+l)-J(l-xA2)/(|x+2|-2)+l,已知f(a)=J3,求f(-a)的值(

2-J3

4.f(x)是定義在R上的函數(shù),對(duì)任意實(shí)數(shù)X,都有f(x+3)Wf(x)+3,f(x+2)》f(x)+2,若f(998)=1002,

求f(2000)的值。2004

5.已知二次函數(shù)flxTax"+bx+cghce&a#。。。)%：!)：：。,⑵對(duì)任意xWR,xWf(x)W(xA2+l)/2,

那么a=?b=?c=?1/4,1/2,1/4

6.若函數(shù)g)="八2/2+13/2在區(qū)間［a,b］上的最小值為2a,最大值為2b,求［a,b］。［1,3］或卜2-J

17,13/4］

7.已知l/3WaWl,若f(x)=axA2-2x+l在［1,3］上最大值為M(a),最小值為N(a),令g(a)=M(a)-N(a)。

(1)求g(a)的函數(shù)表達(dá)式g(a)=a+l/a-2,ae(l/3,l/2］§gg(a)=9a+l/a-6,ae(1/2,1］(2)判斷函

數(shù)g(a)的單調(diào)性，并求出g(a)的最小值［1/3,1/2］上單減，［1/2』上單增,g(a)min=l/2

8.對(duì)于函數(shù)f(x),若存在xOCR,使f(xO)=xO成立，則稱x0為f(x)的不動(dòng)點(diǎn)，已知函數(shù)

f(x)=axA2+(b+l)x+(b-l)(a#0)。

(1)當(dāng)a=l,b=-2時(shí),求函數(shù)f(x)的不動(dòng)點(diǎn)

(2)若對(duì)于任意實(shí)數(shù)b,函數(shù)f(x)恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，求a的取值范圍

(3)在(2)的條件下，若y=f(x)的圖像上A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是函數(shù)f(x)的不動(dòng)點(diǎn)，且A,B兩

點(diǎn)關(guān)于直線y=kx+l/(2aA2+1)對(duì)稱，求b的最小值

9.函數(shù)f(x)定義在實(shí)數(shù)域上,且滿足下列條件:對(duì)任何實(shí)數(shù)X,有f(2+x)=f(2-x),且f(7+x)=f(7-x)o

若x=0是方程f(x)=O的一個(gè)根，問方程f(x)=O在區(qū)間-IOOOWXWIOOO中至少應(yīng)有幾個(gè)根？

10.設(shè)函數(shù)f(x)對(duì)所有x>0有定義，且滿足：(1)函數(shù)f(x)在。+8)上嚴(yán)格遞增；(2)對(duì)所有x>0

均有f(x)>-l/x；(3)對(duì)所有x>0均有f(x)?f［f(x)+l/x］=l,求函數(shù)值f⑴。

11.已知實(shí)數(shù)x不是整數(shù)，月一x+99/x=［x］+99/岡，求x的值

12.求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使得對(duì)任意實(shí)數(shù)x與任意的ad［0,貝/2］恒有(x+3+2sinacos

a)A2+(x+asina+acosa)A2^1/8

13.求函數(shù)f(x)=x(l-x)/(x+D(x+2"2x+l),xG(0,1]的最大值。

14.已知f(x)是定義在R上的不恒為0的函數(shù),且對(duì)于任意的a,bGR,滿足f(ab)=af(b)+又(a)。

(1)求f(0),f⑴的值；(2)判斷f(x)奇偶性，并證明;(3)f⑵=2,an=f[2"(-n)]/n(n(N*),求

數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn?

15.設(shè)函數(shù)y=f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖像關(guān)于直線x=l對(duì)稱，對(duì)任意xl,x2G[0,1/2]

都有f(xl+x2)=f(xl)f(x2),且弱)=a>0。(1)求f(l/2),f(l/4)；(2)求證f(x)是周期函數(shù)；(3)

記an=f(2n+l/2n),lim(n-*°°)(lnan)o

16.實(shí)數(shù)a,b,c和正數(shù)人使得f(x)=x”+axA2+bx+c有三個(gè)實(shí)數(shù)根xl,x2,x3,且滿足(1)x2-xl=

X；(2)x3>(xl+x2)/2o求(2a7+27c-9ab)/A八3的最大值。

※※第一講函數(shù)※※結(jié)束

※※第二講方程(組)※※

在處理方程(組)問題中，常常應(yīng)用到如下結(jié)論：

結(jié)論1(韋達(dá)定理)若復(fù)系數(shù)一元n次方程anxAn+a(n-l)xA(n-l)+...+alx+aO=O(anW0)的n個(gè)

復(fù)數(shù)根是xl,x2，…,xn,則

xl+x2+...+xn=-a(n-l)/an

xlx2+...+xlxn+x2x3+...+x2xn+...+x(n-l)xn=(-l)A2?a(n-2)/an

xlx2...xn=(-l)An?aO/an

結(jié)論2設(shè)實(shí)系數(shù)一元二次方程為axA2+bx+c=0(a#0).若△=b"2-4ac<0,則方程無(wú)實(shí)根；若△

=bA2-4ac=0,則方程有相同兩實(shí)根；若A=b"2-4ac>0,則方程有兩相異實(shí)根。

結(jié)論3設(shè)函數(shù)f(x)是嚴(yán)格單調(diào)的，

(1)且xGR,a,b為實(shí)常數(shù),則方程f(x)=f(ax+b)與ax+b=x(aW0)同解；

(2)且xGR,a,b,c為實(shí)常數(shù)，則方程f(x)=f(ax"2+bx+c)與ax"2+(b-l)x+c=0(aW0)同解;

(3)且xeR,g(x)和h(x)是實(shí)值函數(shù)，則方程f[g(x)]=f[h(x)]與g(x)=h(x)同解；

⑷且x《R,g(x)是實(shí)值函數(shù)，則方程f[g(x)]=f(x)與g(x)=x同解.

※※第二講方程(組)冰※結(jié)束

※※第三講數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法※※

特殊數(shù)列求和主要應(yīng)掌握以卜幾種方法：

(1)直接求和法：直接運(yùn)用等差數(shù)列或等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式來(lái)求和

(2)轉(zhuǎn)化求和法：對(duì)于既非等差，又非等比數(shù)列的求和，經(jīng)常通過拆、并、減、倒序相加、

錯(cuò)位相減等方法，將非等差(比)數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差(比)數(shù)列來(lái)求前n項(xiàng)的和

(3)拆項(xiàng)求和法：如果一個(gè)數(shù)列的每-項(xiàng)都可化為幾項(xiàng)的差，而前一項(xiàng)的減數(shù)與后一項(xiàng)的

被減數(shù)相同，或前一項(xiàng)的被減數(shù)與后一項(xiàng)的減數(shù)相同，則相加時(shí)，中間項(xiàng)全部抵消為零，即

可求出前n項(xiàng)的和

(4)遞推求和法：利用二項(xiàng)式定理及前n個(gè)正整數(shù)的較低次基的和的公式來(lái)求數(shù)列前n項(xiàng)

的和

在求數(shù)列的前n項(xiàng)和的時(shí)候，應(yīng)熟記以下公式：

Ei=n(n+l)/2

LiA2=n(n+l)(2n+l)/6

EiA3=[n(n+l)/2]A2

+A

C(n,0)+C(n,l)+---C(nzn)=2n

C(m,m)+C(m+l,m)+...+C(n,m)=C(n+l,m+l)(n2m,n,m￡N*)

遞歸數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)

(1)數(shù)列｛an｝的相鄰若干項(xiàng)的關(guān)系成為遞推關(guān)系，由遞推關(guān)系和初始值所確定的數(shù)列叫做

遞歸數(shù)列

等差數(shù)列和等比數(shù)列可以看作特殊的遞推數(shù)列：

an=a(n-l)+d(n>2),an=a(n-l)*q(n>2)

對(duì)于一個(gè)遞歸數(shù)列，如果我們知道了它的通項(xiàng)，那么就可以從整體上認(rèn)識(shí)和把握該數(shù)列，因

此，求遞歸數(shù)列的通項(xiàng)公式是遞歸數(shù)列的基本問題。

(2)由遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式

由于遞歸數(shù)列的種類繁多，多數(shù)情況下沒有求解通項(xiàng)公式的現(xiàn)成方法。求般遞歸數(shù)列的通

項(xiàng)公式，基本思想仍是通過變形、代換等手段把問題轉(zhuǎn)化為求等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,

或者通過試驗(yàn)猜想出一個(gè)通項(xiàng)公式，然后證明其正確性。由遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式的常用方法

有：累加法，迭代法，代換法，代入法，不動(dòng)點(diǎn)法，特征方程法等。

數(shù)學(xué)歸納法

(1)數(shù)學(xué)歸納法的基本形式

第一數(shù)學(xué)歸納法：設(shè)P(n)是一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，如果①當(dāng)n=nO(nOCN*)時(shí)，P(n)成

立;②假設(shè)n=k(kinO,kGN*)成立,由此推得n=k+l時(shí)，P(n)也成立，那么，根據(jù)①②對(duì)一

切正整數(shù)nenO時(shí)，P(n)成立。

第二數(shù)學(xué)歸納法：設(shè)P(n)是一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，如果①當(dāng)n=nO(nOCN*)時(shí)，P(n)成

立；②假設(shè)nWk(k》nO,kGN*)成立，由此推得n=k+l時(shí),P(n)也成立，那么，根據(jù)①②對(duì)一

切正整數(shù)n〈nO時(shí)，P(n)成立。

跳躍數(shù)學(xué)歸納法：①當(dāng)n=l,2,3,...,l時(shí),P(1),P(2),.,P(I)成立。②假設(shè)n=U時(shí)，P(n)成立，山此

推得n=k+l時(shí)，P(n)也成立，那么，根據(jù)①②對(duì)一切正整數(shù)時(shí)，P(n)成立。

反向數(shù)學(xué)歸納法：設(shè)P(n)是一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，如果①P(n)對(duì)無(wú)限多個(gè)正整數(shù)n成

立；②假設(shè)n=k時(shí)，命題P(n)成立，則當(dāng)n=k-l時(shí)，命題P(n)也成立，那么根據(jù)①②對(duì)一切

正整數(shù)n2l時(shí)，P(n)成立。

(2)應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法的技巧

起點(diǎn)前移：有些命題對(duì)一切大于等于1的正整數(shù)n都成立，但命題本身對(duì)n=0也成立，而

且驗(yàn)證起來(lái)比驗(yàn)證n=l時(shí)容易，因此用驗(yàn)證n=0成立代替驗(yàn)證n=L同理，其他起點(diǎn)也可以

前移，只要前移的起點(diǎn)成立且容易驗(yàn)證就可以。因而為了便于起步，有意前移起點(diǎn)。

起點(diǎn)增多：有些命題在由廿1<向口=1<+1跨進(jìn)時(shí)，需要經(jīng)其他特殊情形作為基礎(chǔ)，此時(shí)往往需

要補(bǔ)充驗(yàn)證某些特殊情形，因此需要適當(dāng)增多起點(diǎn)。

加大跨度:有些命題為了減少歸納中的困難，適當(dāng)可以改變跨度，但注意起點(diǎn)也應(yīng)相應(yīng)增多。

選擇合適的假設(shè)方式：歸納假設(shè)不一定要拘泥于'‘假設(shè)n=k時(shí)命題成立”，而需要根據(jù)題意

采取第一、第二、跳躍、反向數(shù)學(xué)歸納法中的某一形式，靈活選擇使用。

變換命題：有些命題在用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，需要引進(jìn)一個(gè)輔助命題幫助證明，或者需要改

變命題(即將命題?般化或加強(qiáng))，才能滿足歸納的需要，才能順利進(jìn)行證明。

(3)歸納-猜想-證明

在數(shù)學(xué)中，通過特例或根據(jù)一部分對(duì)象得出的結(jié)論可能是正確的，也可能是錯(cuò)誤的，這種由

個(gè)別事實(shí)得出?般性結(jié)論的不嚴(yán)格的推理方法稱為不完全歸納法。不完全歸納法是發(fā)現(xiàn)規(guī)律、

解決問題的極好方法。但不完全歸納法得出的結(jié)論，只能是一種猜想，其正確與否，必須進(jìn)

一步檢驗(yàn)或證明。我們經(jīng)常采用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明這種猜想。

※※第三講數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法※※結(jié)束

※※第四講不等式※※

常見不等式的解法

(1)高次不等式

設(shè)f(x)=(x-aD(x-a2)...(x-an)淇中al<a2<...<an

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),f(x)>0的解為(an,+8)ij(a(n-2),a(n-l))U(a(n-4),a(n-3))U...U(a2,a3)U(-8,al),

而f(x)<0的解為(a(n-l),an)U(a(n-3),a(n-2))U...U(al,a2)

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，f(x)>0的解為(an,+8)u(a(n-2),a(n-l))U(a(n-4),a(n-3))U...U(a2,al)^f(x)<0

的解為(a(n-l),an)U(a(n-3),a(n-2))U...U(-°°,al)

(2)分式不等式

f(x)/g(x)>0<=>f(x)g(x)>0

f(x)/g(x)WO<=>f(x)g(x)WO,g(x)WO

(3)無(wú)理不等式

Jf(x)》g(x)=f(x)20,g(x)20,f(x)》g(x)A2或f(x)》O,g(x)WO

Vf(x)<g(x)<=>f(x)20,g(x)>0,f(x)<g(x)A2

(4)絕對(duì)值不等式

|f(x)|Wg(x)<=>-g(x)Wf(x)Wg(x)

If(x)I>g(x)<=>f(x)<-g(x)或f(x)>g(x)

(5)指數(shù)、對(duì)數(shù)不等式

a>l時(shí)，aAf(x)>aAg(x)<=>f(x)>g(x)

0<a<l時(shí)，aAf(x)>aAg(x)<=>f(x)<g(x)

a>l時(shí),logaf(x)>logag(x)<=>f(x)>g(x)>0

0<a<l時(shí)，logaf(x)>logag(x)<=>0<f(x)<g(x)

幾個(gè)重要的著名不等式

(1)平均值不等式

設(shè)al,a2,.，an是n個(gè)正實(shí)數(shù)，記

A=(al+a2+...+an)/n,G=(ala2...an)A(l/n),H=n/(l/al+l/a2+...+l/an),Dr=[(alAr+a2Ar+...+anAr)/n]A(

::A

1/r)(r#0);(ala2...an)(l/n)(r=0)

它們分別稱為這n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均、兒何平均、調(diào)和平均及r次幕平均，則有下列平均值

不等式成立：

⑴HWGWA,等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)al=a2=…二an

(ii)當(dāng)s<r時(shí),Ds已Dr,等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)al=a2=...=an

注意不等式⑴僅是(ii)的特殊情形：D(；)WDOWD1

(2)柯西(Cauchy)不等式

設(shè)al,a2,…,an及bl,b2,...,bn為實(shí)數(shù),J0lJ(Saibi)A2^EaiA2EbiA2,等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)存在常

數(shù)人,U(不全為零)使人ai二ubi(i=l,2,…,n)。當(dāng)ai,bi都不為零時(shí)，等號(hào)成立的充要條件可

寫為al/bl=a2/b2=...=an/bn

(3)赫爾德(Holder)不等式

設(shè)al,a2,...,an,bl,b2,??.,bn為正實(shí)數(shù),p,q為正實(shí)數(shù)且l/p+l/q=l,貝ij得EaibW(Eai八p)八(l/p)(￡

biAq)A(l/q)①，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)alAp/blAq=a2Ap/b2Aq=...=anAp/bnAq

A

在①中令xi=abi,yi=biq(i=lz2z...,n),p=a+1(a20),即a=p-l=p/q,則①可等價(jià)地寫為:當(dāng)a

20時(shí)，有E[xi八(a+l)/yiAQ]2(Exi)A(a+l)/(Eyi)Aa②并且②中等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)

xl/yl=x2/y2=...=xn/yn

不等式①叫做赫爾德不等式，它的等價(jià)形式②我們稱為權(quán)方和不等式

(4)排序不等式

給定實(shí)數(shù)alWa2W.?.Wan和blWb2W...Wbn,設(shè)il,i2,.,in是1,2n的任意排列,則

albn+a2b(n-l)+...+anblWalbil+a2bi2+...+anbinWalb2+a2b2+...+anbn/等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)

al=a2=...=an或bl=b2=...=bn

(5)切比雪夫不等式

若alWa2〈...Wan,bl〈b2W...<brb則EaibiNl/n?(Eai)(Ebi)；若alWa2W...Wan,blWb2

W…Wbn,則EaibiWl/n?(￡ai)(Ebi),等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)al=a2=..=an或bl=b2=...=bn

(6)伯努力(Bernoulli)不等式

設(shè)X>-1,則當(dāng)0<Qvl時(shí)，有(1+X)八QWl+QX;當(dāng)Q<0或a>l時(shí)，有(1+X)AQ21+QX;等號(hào)稱

里當(dāng)且僅當(dāng)x=0

(7)凸函數(shù)不等式

(i)定義：設(shè)f(x)是定義在區(qū)間I上的函數(shù)，故對(duì)任意xl,x2d(xirx2)及任意實(shí)數(shù)a(O<a<l),

有f(axl+(l-a)x2)<(>)a：Lf(xl)+a2f(x2),則成f(x)為區(qū)間I上的嚴(yán)格下(上)凸函數(shù)

(ii)凸函數(shù)的判定:如果對(duì)任意的xGI,Wf"(x)>0(<0),則f(x)是區(qū)間I上的下(上)凸函數(shù)

(iii)琴生(Jensen)不等式:設(shè)f(x)為區(qū)間I上的嚴(yán)格下(上)凸函數(shù),則對(duì)任意xl,x2，…,xnci

以及任意正實(shí)數(shù)al,a2,...,an(a1+a2+...+an=l)有f(￡aixi)W(2)￡aif(xi),等號(hào)成立當(dāng)且僅

當(dāng)xl=x2=...=xn

※※第四講不等式※※結(jié)束

※※第五講三角函數(shù)※※

三角函數(shù)的性質(zhì)

(1)有界性

對(duì)任意角a,都有|sina|<l,|cosa這一性質(zhì)稱為正、余弦函數(shù)的有界性。競(jìng)賽解題

中還常常用至lj1土sina^OjAsina+Bcosa|WJ伊八2+8八2)等式子

(2)奇偶性與對(duì)稱性

正弦函數(shù)、正切函數(shù)和余切函數(shù)都是奇函數(shù)，從而它們的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，并且y=sinx

的圖像還關(guān)于x=kn+n/2,kez對(duì)稱

(3)單調(diào)性

利用三角函數(shù)的圖像可以寫出三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。例如，y=sinx在區(qū)間［2kn-n/2,2kn+

n/2］上單調(diào)遞增，而在區(qū)間［2kn+“/2,2kn+3n/2］(kCZ)上單調(diào)遞減；y=cosx在［2kn+n,2k

Ji+2n］上單調(diào)遞增，而在區(qū)間［2kn,2kn+n］(kGZ)上單調(diào)遞減

三角函數(shù)的單調(diào)性是解決三角不等式、求三角函數(shù)最值的重要依據(jù)

(4)周期性

三角函數(shù)都是周期函數(shù)，并且都有最小正周期。對(duì)于一般表達(dá)式，y=Asin(3x+<b),y=Acos(3

x+力)的最小正周期為2口/|3|；y=Atan(3x+6),y=Acot(3x+6)的最小正周期為“3

(5)其他性質(zhì)

若0<x<n/2,貝sinx<x<tanx；

這個(gè)性質(zhì)揭示了銳角x的弧度數(shù)與sinx,tanx之間的關(guān)系，利用它可以解決一些混合不等式問

題

y=sinx/x在(0,n/2)上是減函數(shù)；

y=tanx/x在(0,n/2)上是增函數(shù)；

三角函數(shù)在其定義域內(nèi)的不同的區(qū)間上呈現(xiàn)上色或下凸的性質(zhì)

三角變換

三角變換(或三角恒等變形)是重要的代表式變形，變形過程中，不僅需要熟練地掌握各種

三角公式的應(yīng)用條件和把握應(yīng)用時(shí)機(jī)，還需要有一種駕駛和處理復(fù)雜三角式的化歸意識(shí)與能

力。

常見的三角變換包括：角變換、函數(shù)名稱變換、常數(shù)變換、公式變換及幕變換等等。

反三角函數(shù)與三角方程

（1）反三角函數(shù)式的三角運(yùn)算

（2）三角函數(shù)式的反三角運(yùn)算

（3）反三角函數(shù)式間的恒等式

（4）三角方程與三角不等式的解法

解三角方程與不等式，應(yīng)始終抓住“將方程或不等式轉(zhuǎn)化為最基本的三角方程或不等式”這

一想法，即轉(zhuǎn)化為sinx=a或sinxWa,cosx=a或cosxWa的形式。

在處理三角方程及反三角方程問題時(shí)，需要檢驗(yàn)。

三角函數(shù)具有一系列優(yōu)美的性質(zhì)：有界性、奇偶性、周期性以及在一些區(qū)間上的單調(diào)性。因

而，三角內(nèi)容有其特有的作用，它與其他相關(guān)知識(shí)有著密切的內(nèi)在聯(lián)系，它體現(xiàn)數(shù)學(xué)重要思

想方法的重要內(nèi)容，也是解決相關(guān)問題或?qū)嶋H問題的重要工具（三角代換或三角法）。

求解三角問題一般是通過三角函數(shù)（或反三角函數(shù)）恒等變形來(lái)完成，這種方法是最基本的，

也是很重要的。有些三角問題，除了常規(guī)方法外，還可根據(jù)題目所提供的信息，通過觀察、

聯(lián)想，采用處理代數(shù)問題的各種技巧，如配湊、構(gòu)造、代換等。

※※第五講三角函數(shù)※※結(jié)束

※※第六講向量※※

向量的基礎(chǔ)知識(shí)和有關(guān)性質(zhì)，可以用來(lái)處理函數(shù)、不等式、三角、平面幾何、立體幾何、解

析兒何等各學(xué)科的問題，因而向量是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要工具。利用向量知識(shí)及性質(zhì)處理

問題的特點(diǎn)是數(shù)形結(jié)合，運(yùn)算有法可循，因此，向量法既有綜合法的靈巧，又有坐標(biāo)法的方

便，能把綜合法與坐標(biāo)法有機(jī)地結(jié)合在?起。

為了便于應(yīng)用向量方法，掌握下述結(jié)論是必要的。

結(jié)論1（平面向量的基本定理）如果el,e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平

面內(nèi)的任意向量a,有且只有?組實(shí)數(shù)入1,X2,使得a=入lel+入2e2

特別地，若記0A向量=el,0B向量=e2,0C=a,則有0c向量=入10A向量+入20B向量

結(jié)論2若0C向量=A10A向量+A20B向量（入1,入26R）,則A,B,C三點(diǎn)共線的充要條件是

Xl+x2=1

特別地，若記0A向量=a,0B向量=b,0C向量=c,則A,B,C三點(diǎn)共線的充要條件是：有不

全為0的實(shí)數(shù)l,m,n,使得la+mb+nc=O,且l+m+n=0

若A,B,C三點(diǎn)共線，且AC向量=、CB向量，。為任意一點(diǎn)，則有0C向量=（0A+入0B）/（l+入）

結(jié)論3對(duì)于向量a=（xl,yl）,b=（x2,y2）,則

（1）aIIb<=>a=入b或aXb=0或xly2-x2yl=0

（2）aJ_b<=>a*b=0或|aXb|=|a卜|b|或xlx2+yly2=0

（3）a?b=|a|?|b卜cos（a,b）,a?b=|a|?|b|?sin（a,b）,其中（a,b）表示向量a和b之間正方向的夾角

結(jié)論4設(shè)a,b為兩向量,則a?bW|a|,|b|,|a?b|W|a|?|b|

結(jié)論5（空間向量的基本定理）如果el,e2,e3是空間中三個(gè)不共面的向量，那么對(duì)于空間

中任一向量a,有且只有一組實(shí)數(shù)入1,入2,入3,使得a=Alel+入2e2+入3e3

平面向量的結(jié)論2,3,4等均可以推廣到空間向量中去

結(jié)論6平面上點(diǎn)P到直線I的距離

d(P,l)=|PA?n|/|n|,當(dāng)AGI,nJJ時(shí)；|PAXv|/|v|,當(dāng)Ad|,vIII時(shí)；|PAXPB|/|AB|,當(dāng)A,B

el時(shí)

※※第六講向量※※結(jié)束

※※第七講立體幾何※※

數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的立體幾何問題，主要涉及角(包括異面直線所成的角、線面角、面面角即二面

角)、求距離(點(diǎn)點(diǎn)距、點(diǎn)線距、點(diǎn)面距、異面直線之間的距離、平行的線線距、平行的線

面距、平行的面面距)、求面積(側(cè)面、截面、全面積)與體積，以及位置關(guān)系的判定等。

高中聯(lián)賽中主要以選擇題、填空題以及求解角、距、積的形式出現(xiàn)。求解這些問題常常需要

熟悉一些特殊幾何體(如正方體、四面體、平行六面體、球體、錐體、柱體，以及從正方體

或四面體截割下的某特殊幾何體或補(bǔ)形成特殊幾何體)的性質(zhì)以及下述的一些結(jié)論：

結(jié)論1(1)兩條異面直線分別與它們的公垂線所確定的兩個(gè)平面所成的二面角等于這兩條

異面直線所成的角。

(2)線段AB的兩端在直二面角M-CD-N內(nèi)，并且與兩個(gè)面所成的角為a和B,異面直線

AB與CD所成角為6,則(sin0)A2=(sina「2+(sinB)A2

結(jié)論2(1)若A,B是異面直線a,b上的兩點(diǎn)，EF是公垂線段，點(diǎn)E在a上，點(diǎn)F在b匕

且AE=m,BF=n,則異面直線a和b所成的角0滿足cos0=|(EFA2+mA2+nA2-ABA2)/2mn|

(2)若A,B是異面直線a,b上的兩點(diǎn)，EF是公垂線段，則異面直線AB和EF所成的角W滿

足cosW=EF/AB

結(jié)論3(1)長(zhǎng)度為I的線段與其射影線段的長(zhǎng)10有如下關(guān)系：I0=lcos。，其中。為線段與

其射影所成的夾角

(2)長(zhǎng)度為I的線段在其共面的兩相互垂直的直線上的射影長(zhǎng)分別為I1J2,則I八2=1。2+12八2

(3)長(zhǎng)度為I的線段，與它在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長(zhǎng)分別為11,12,13,則

IA2=I1A2+I2A2+I3A2

結(jié)論4(1)面積為S的多邊形與其射影面的面積S0有如下關(guān)系：S0=S'cos6,其中0為多

邊形所在平面與其射影面所成二面角的大小

(2)面積為S的多邊形在三個(gè)兩兩互相垂直的平面上的射影面積分別為S1,S2,S3,則

SA2=S1A2+S2A2+S3A2

⑶若臺(tái)體各側(cè)面與底面所成的二面角均為。，則S下6上=$側(cè)?8$。。特別地，當(dāng)S上=0

時(shí)為錐體情形

結(jié)論5在三棱錐V-ABC,VC_L底面ABC,設(shè)二面角V-AB-C的大小為V,記NVAC=。1(1b匕三

棱錐可視為長(zhǎng)方體中截得的幾何體)

(1)若NACB=90°,記NVBC=93,則(tanW42=(tan。l)"2+(tan。3)八2

(2)若NAVB=90°,記NVBC=63,貝lj(sinW)A2=(sin?l)A2+(sin03)A2

(3)記/VAB=9,則sinV=sin01/sin0

(4)記NVAB=0,ZBAC=02,則cosV=tan92/tan0,且有cos9=cos。l,cos62,tanW=tan

91/sin02,還有cosV=(cos91-cos。*cos92)/sin0*sin02

結(jié)論6在三棱錐V-ABC中，二面角V-AB-C的大小為V,NVAC=01,/BAC=02,/VAB=。，

貝I]cosV=(cos01-cos0?cos02)/sin0?sin02

※※第七講立體幾何※※結(jié)束

※※第八講直線與圓的方程※※

1.兩點(diǎn)間的距離公式

設(shè)Pl(xl,yl),P2(x2,y2),則|P1P2|=V[(xl-x2)A2+(yl-y2)A2]

2.線段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式

設(shè)Pl(xl,yl),P2(x2,y2),點(diǎn)P(x,y)分P1P2的比為P1P/PP2=X,則x=(xl+Xx2)/(l+X),y=(yl+X

y2)/(l+A)(A#l)

3.直線方程的各種形式

(1)點(diǎn)斜式:y-yO=k(x-xO)

(2)斜截式:y=kx+b

(3)兩點(diǎn)式：(y-yl)/(y2-yl)=(x-xl)/(x2-xl)

(4)截距式：x/a+y/b=l(aW0,bW0)

(5)參數(shù)方程：x=xO+tcosa,y=yO+tsina(t為參數(shù)，a為傾斜角,|t|表示點(diǎn)(x,y)與(xO,yO)之

間的距離)

(6)一般式：Ax+By+C=0(A,B不同時(shí)為0)

4.兩直線的位置關(guān)系

設(shè)直線ll:Alx+Bly+Cl=0,l2:A2x+B2y+C2=0(或Il:y=klx+b,l2:y=k2x+b),則

(1)11III2<=>A1B2-A2B1=O且A1C2-A2C1WO,B1C2-B2clW0(kl=k2且blWb2)

(2)H±l2<=>AlB2+A2Bl=0(klk2=-l)

5.兩直線的夾角

設(shè)兩直線的斜率為kl,k2,夾角為0,則tan0=(k2-kl)/(l+klk2)

6.點(diǎn)P(xO,yO)到直線I的距離

點(diǎn)P(xO,yO倒直線l:Ax+By+C=0的距離公式d=|Ax0+By0+C|/V(AA2+BA2)

7.過兩直線交點(diǎn)的直線系方程

設(shè)直線ll:Alx+Bly+Cl=O與直線l2:A2x+B2y+C2=0相交，那么過II與12的交點(diǎn)的直線系方程

為Alx+Bly+Cl+X(A2x+B2y+C2)=0(其中不包括直線12)

8.圓的方程

(1)標(biāo)準(zhǔn)方程：(x-a)A2+(y-b?2=RA2,其中(a,b)為圓心坐標(biāo)，R為圓半徑

(2)一般方程：xA2+yA2+Dx+Ey+F=0,其中DA2+EA2-4F>0,圓心為(-D/2,-E/2),半徑為J

(DA2+EA2-4F)/2

9.圓的切線方程

過圓xA2+yA2=RA2(xA2+yA2+Dx+Ey+F=0)上一點(diǎn)PO(xO,yO)的切線方程是

xOx+yOy=RA2(xOx+yOy+D[(x+xO)/2]+E[(y+yO)/2]+F=O)

10.圓系方程

(1)兩圓的根軸

設(shè)圓Cl:xA2+yA2+Dlx+Ely+Fl=0(DlA2+ElA2-4Fl>0),圓

C2:xA2+yA2+D2x+E2y+F2=0(D2A2+E2A2-4F2>0),貝lj直線(Dl-D2)x+(El-E2)y+(Fl-F2)=0稱為圓C1

與C2的根軸。根軸與兩圓的連心線垂直，且根軸上任意一點(diǎn)向兩圓所引切線長(zhǎng)相等。當(dāng)兩

圓相交(切)時(shí)，根軸必過兩圓的交點(diǎn)(切點(diǎn))。

(2)與圓C1和C2同根軸的圓系方程

xA2+yA2+Dlx+Ely+Fl+X(xA2+yA2+D2x+E2y+F2)=0,記為C1+XC2=0,X為待定系數(shù)(不包括圓

C2)

11.圓的參數(shù)方程

圓心為(a,b),半徑為R的圓的參數(shù)方程為x=a+Rcos0,y=b+Rsin0(0為參數(shù))

12.切點(diǎn)弦方程

從圓C:(x-a)A2+(y-b)A2=RA2外-點(diǎn)P(m,n)向圓C引兩條切線PM1,PM2(M1,M2為切點(diǎn))，則過

切點(diǎn)的弦M1M2的直線方程為(m-a)(x-a)+(n-b)(y-b)=RA2.

事實(shí)上設(shè)Mi(xi,yi)(i=l,2),則過Mi(xi,yi)的切線方程為(xi-aXx-a)+(yi-b)(y-b)=RA2(i=l,2)

而P(m,n)在切線上，故(xi-a)(m-a)+(yi-bXn-b)=RA2(i=l,2),即點(diǎn)Ml(xl,yl),M2(x2,y2)的坐標(biāo)滿足

方程(m-aXx-a)+(n-tO(y-b)=RA2。這就是過M1,M2的切點(diǎn)弦方程。

※※第八講直線與圓的方程※※結(jié)束

※※第九講圓錐曲線※※

1.橢圓

(1)橢圓的定義

第一定義：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離之和為常數(shù)2a(2a>|FlF2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。

其中F1,F2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，|F1F2|為焦距。

第二定義：平面內(nèi)到一定點(diǎn)F和一條定直線L的距離之比為常數(shù)e(0<e<l)的動(dòng)點(diǎn)軌跡叫做橢

圓。其中定點(diǎn)F是橢圓的焦點(diǎn)，定直線L為相應(yīng)準(zhǔn)線。

(2)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

標(biāo)準(zhǔn)方程：xA2/aA2+yA2/bA2=l(a>b>0)o根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程可以清楚地了解橢圓的一系列數(shù)據(jù)及

信息：對(duì)稱軸、對(duì)稱中心、長(zhǎng)軸、短軸、焦距、離心率、準(zhǔn)線、方程、頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)

以及取值范圍等。

(3)橢圓的參數(shù)方程

橢圓xA2/aA2+yA2/b"2=l(a>b>0)的參數(shù)方程為x=acos0,y=bsin0(9為參數(shù))

2.雙曲線

(1)雙曲線的定義

第一定義：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離之差的絕對(duì)值為常數(shù)2a(2a<|FlF2|)的點(diǎn)的軌跡叫

做雙曲線。其中F1,F2為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，|F1F2|為焦距。

第二定義：平面內(nèi)到一定點(diǎn)F和一條定直線L的距離之比為常數(shù)e(e>l)的動(dòng)點(diǎn)軌跡叫做雙曲

線。其中定點(diǎn)F是雙曲線的焦點(diǎn)，定直線L為相應(yīng)準(zhǔn)線。

(2)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

標(biāo)準(zhǔn)方程：xA2/aA2-H2/bA2=l(a>0,b>0)。根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程可以清楚地了解雙曲線的各種數(shù)據(jù)及

信息：對(duì)稱軸、虛軸、焦距、離心率、準(zhǔn)線方程、頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、漸近線方程、取值

范圍等。

(3)雙曲線的參數(shù)方程

雙曲線xA2/aO-yA2/l3A2=l(a>0,b>0)的參數(shù)方程為x=asec0,y=btan0(0為參數(shù))

3.拋物線

(1)拋物線的定義

平面內(nèi)到一定點(diǎn)F和一條定直線L的距離相等的動(dòng)點(diǎn)軌跡叫做拋物線。其中定點(diǎn)F是拋物線

的焦點(diǎn)，定直線L為準(zhǔn)線

(2)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

標(biāo)準(zhǔn)方程:p2=2px(p>0)。根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程可以清楚地了解拋物線的各種數(shù)據(jù)及信息：對(duì)稱軸、

離心率、準(zhǔn)線方程、頂點(diǎn)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、取值范圍等。

(3)拋物線的參數(shù)方程

拋物線yA2=2px(p>0)的參數(shù)方程為x=2ptA2,y=2pt(t為參數(shù))

4.圓錐曲線

(1)橢圓、雙曲線、拋物線的統(tǒng)一定義及極坐標(biāo)方程

平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離到定直線距離之比為常數(shù)e的動(dòng)點(diǎn)軌跡叫做圓錐曲線。當(dāng)e>l時(shí)，軌跡

表示雙曲線：當(dāng)e=l時(shí)，軌跡表示拋物線；當(dāng)e<l時(shí)，軌跡表示橢圓。定點(diǎn)是焦點(diǎn)，定直線

是一條準(zhǔn)線，圓錐曲線的統(tǒng)一極坐標(biāo)方程為P=ep/(l-ecos()),e為離心率，p為焦點(diǎn)到相應(yīng)

準(zhǔn)線的距離，極點(diǎn)是焦點(diǎn)，以焦點(diǎn)向準(zhǔn)線作垂線的反向延長(zhǎng)線為極軸建立極坐標(biāo)系。

(2)共交點(diǎn)的二次曲線系

過兩條已知二次曲線Ci:Aix"2+Bip2+Dix+Eiy+Fi=0(i=l,2)的交點(diǎn)的二次曲線系方程是C1+X

C2=0(不包括曲線C2)

※※第九講圓錐曲線※※結(jié)束

※※第十講導(dǎo)數(shù)※※

1.導(dǎo)數(shù)的概念

如果函數(shù)y=f(x)在xO處的增量Ay與自變量的增量Ax的比值A(chǔ)y/Ax,當(dāng)Ax-0時(shí)的極限

lim(Ax-0)Ay/Ax=lim(Ax-O)[f(xO+Ax)-f(xO)]/Ax存在,則稱f(x)在點(diǎn)xO處可導(dǎo)，并稱此極

限為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)xO處的導(dǎo)數(shù)，記為f'(xO)或y'|x=xO

2.導(dǎo)函數(shù)

函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)都存在，就說f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)也是(a,b)

內(nèi)的函數(shù)，又叫f(x)的導(dǎo)函數(shù)，記作f(x)或『

函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)在x=xO時(shí)的函數(shù)值f'(xO),就是f(x)在xO處的導(dǎo)數(shù)。

3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義

(1)設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)xO處可導(dǎo)，那么它在該點(diǎn)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)所表示曲線在相應(yīng)點(diǎn)M(x0,y0)

處切線的斜率

(2)設(shè)s=s⑴是位移函數(shù)，則C(⑼表示物體在t=tO時(shí)刻的瞬時(shí)速度

(3)設(shè)v=v(t)是速度函數(shù)，則M(tO)表示物體在t=tO時(shí)刻的加速度

4.幾種常用的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

(l)c,=O(c為常數(shù))

⑵(xAm)'=mxA(m-l)(m金Q)

(3)(sinx)'=cosx

(4)(cosx)'=-sinx

(5)(eAx)'=eAx

(6)(aAx)'=aAxlna

(7)(lnx)'=l/x

(8)(logax)'=l/xlna

5,兩個(gè)函數(shù)的四則運(yùn)算的導(dǎo)數(shù)

若u(x),v(x)的導(dǎo)數(shù)都存在，則

(1)和(差)的導(dǎo)數(shù)(U±v)'=u'±V'

(2)積的導(dǎo)數(shù)(uv)'=u'v+uv'

(3)商的導(dǎo)數(shù)(u/v)，=[”v-uv')/vA2](vW0)

※※第十講導(dǎo)數(shù)※※結(jié)束

※※第十講排列與組合※※

1.加法原理和乘法原理

如果完成一件事情的方法可分為n個(gè)互不相交的類，且第一類中有ml種方法，第二類中有

m2種方法,.，第n類中有mn中方法，那么完成這件事一■共有ml+m2+...+mn種方法。這就

是加法原理，簡(jiǎn)稱分類相加。

如果完成一件事情要分n步，且第一步有ml種方法，第二步有m2種方法，…,第n步有

mn種方法，那么完成這件事一共有mlm2…mn種方法。這就是乘法原理，簡(jiǎn)稱分步相乘。

2.無(wú)重復(fù)的排列與組合

從n個(gè)不同元素中任取m(<n)個(gè)不同元素排成一列，其排列數(shù)為

A(n,m)=n(n-l)(n-2)...(n-m+l)=n!/(n-m)!(約定0!=1)

特別m=n,就得到n個(gè)不同元素的全排列數(shù)公式A(n,n)=n(n-l)(n-2)...l=n!

從n個(gè)不同元素中任取m(Wn)個(gè)不同元素排成一組，其組合數(shù)為

C(n,m)=A(n,m)/A(m,m)=n(n-l)...(n-m+l)/m!=n!/m!(n-m)l

3.可重復(fù)的排列與組合

從n個(gè)不同元素中任取m(2l)個(gè)元素(可重復(fù)取相同元素)排成一列，其排列數(shù)為Mm(選

第1位元素有n種方法，選定第一位元素后，選第2位元素仍有n種方法，.，最后選第m

位元素也有n種方法，由乘法原理知一共有n"m種方法)。

設(shè)n個(gè)元素由k個(gè)不同元素al,a2,...,ak組亦其中al有nl個(gè)，a2有n2個(gè)，.，ak有nk個(gè)，

那么這n個(gè)元素排成一列的方法數(shù)為n!/nl!n2!...nk!o

事實(shí)上，若n個(gè)元素互不相同，則全排列數(shù)位n!種，但其中ni個(gè)ai任意交換順序(有ni!

種交換順序的方法)得到的是同一排列(i=l,2，…,k),故不同的排列個(gè)數(shù)為n!/nl!n2!...nk!.

從n個(gè)不同元素中任取m(21)個(gè)元素(可以取相同元素)并成一組，其不同組合數(shù)為

事實(shí)上不妨設(shè)n個(gè)不同元素為1,2，…,n,取出的m個(gè)元素為(lW)al近a2W..Wam(Wn)(因

允許重復(fù)，符號(hào)可以成立)，于是(lW)al+0<a2+l<...<am+m-：l(Wn),將(al,a2,.,am)與

(al+0,a2+l,...,am+m-l)對(duì)應(yīng)，這個(gè)對(duì)應(yīng)是?對(duì)應(yīng)，故所求組合數(shù)等于從這

n+m-1個(gè)不同元素中取m個(gè)不同元素(al+0,a2+L...,am+m-l)的組合數(shù)，即C(n+m-l,m)。

4.圓排列和項(xiàng)鏈數(shù)

從n個(gè)不同元素取m個(gè)不同元素排在一個(gè)圓周上，其圓排列數(shù)為A(n,m)/m=n!/nr(n-m)!o

特別地，將n個(gè)不同元素排列在一個(gè)圓周上的圓排列數(shù)為A(n,n)/n=(n-l)!

若將n粒不同的珍珠，用線串成一根項(xiàng)鏈的不同方法數(shù)記為Dn,則Dn=l(n=l或2),(n-l)!/2

(n23)

因?yàn)閚23時(shí)項(xiàng)鏈沒有順時(shí)針與逆時(shí)針的區(qū)別，而圓排列則有此區(qū)別，故n23時(shí)項(xiàng)鏈數(shù)只

有圓排列數(shù)的1/2.而n=l或2時(shí)，兩者都沒有順時(shí)針和逆時(shí)針的區(qū)別。

5.容斥原理

對(duì)于有限集合S,我們用|S|表示S中元素個(gè)數(shù)，若5是S的子集,

則耳=S\S1表示Si在S中的補(bǔ)集。S1在S中的補(bǔ)集也可記為CsSl

定理1設(shè)Si，S2，...,Sn是有限集合，則

IEUS2U...US.I=￡IS,I-z〔s,ns/+zis,ns,nsj+…+

定理2設(shè)S“S”…,Sn都是有限集合S的子集，則

國(guó)nWr...r司RSI-IHUS2U...USJ

=\s\~x\si\+-ziSjnSjnss+...+

f-l

(-lris,n^n.-nsj2

定理1的證明

若S】US?LL.US”，則a不屬于\聲2,51t中任何一個(gè),a在1式

兩端計(jì)算的次數(shù)都等于0.

若aeS】US?LL.US”，不妨設(shè)a只屬于$,$2，...,5好而不屬于其余

集合(1WkW”)，貝！Ja在1式左端計(jì)算了一次，而a在右端第一項(xiàng)

力14沖計(jì)