第七章應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)分析材料力學(xué)第七章應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)分析

§7–1應(yīng)力狀態(tài)的概念§7–2平面應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法§7–3平面應(yīng)力狀態(tài)分析——圖解法§7–4

梁的主應(yīng)力及其主應(yīng)力跡線§7–5

三向應(yīng)力狀態(tài)研究——應(yīng)力圓法§7–6

平面內(nèi)的應(yīng)變分析§7–7

復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力--應(yīng)變關(guān)系

——（廣義虎克定律）§7–8

復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的變形比能§7–１應(yīng)力狀態(tài)的概念應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)一、一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)：

過受力構(gòu)件內(nèi)一點(diǎn)有無數(shù)的截面，這一點(diǎn)的各個(gè)截面上應(yīng)力情況的集合，稱為這點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)（StateofStressataGivenPoint）。應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)二、為什么要研究應(yīng)力狀態(tài)？1、鑄鐵與低碳鋼的拉、壓、扭試驗(yàn)現(xiàn)象是怎樣產(chǎn)生的？PP鑄鐵拉伸P鑄鐵壓縮應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)鑄鐵與低碳鋼的扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)現(xiàn)象M低碳鋼鑄鐵2、組合變形桿將怎樣破壞？MP四、普遍狀態(tài)下的應(yīng)力表示

單元體：

單元體——構(gòu)件內(nèi)的點(diǎn)的代表物，是包圍被研究點(diǎn)的無限小的幾何體，常用的是正六面體。

單元體的性質(zhì)——a、每個(gè)平面上，應(yīng)力均布；

b、平行面上，應(yīng)力相等。xyzs

xsz

s

y應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)txy三、怎樣研究應(yīng)力狀態(tài)xyzs

xsz

s

y應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)txy五、剪應(yīng)力互等定理（TheoremofConjugateShearing

Stress):

過一點(diǎn)的兩個(gè)正交面上,如果有與相交邊垂直的剪應(yīng)力分量,則兩個(gè)面上的這兩個(gè)剪應(yīng)力分量一定等值、方向相對或相離。六、原始單元體（已知單元體）：一般受力構(gòu)件：

應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)PPAAsxsx桿狀構(gòu)件：xyzsx

stxyysz[例1]

畫出下列圖中的A、B、C點(diǎn)的已知單元體。

應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)MCtxyCtyxtxytyxtzx

應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)MPxyzBCsxsxBtxztxytyx七、主單元體、主平面、主應(yīng)力：

主單元體(Principalbidy)：

各側(cè)面上剪應(yīng)力均為零的單元體。

主平面(PrincipalPlane)：

剪應(yīng)力為零的截面。

主應(yīng)力(PrincipalStress

）：

主平面上的正應(yīng)力。

主應(yīng)力排列規(guī)定：按代數(shù)值大小，應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)s1s2s3xyzsxsysz

單向應(yīng)力狀態(tài)（UnidirectionalStateofStress）：

一個(gè)主應(yīng)力不為零的應(yīng)力狀態(tài)。

二向應(yīng)力狀態(tài)（PlaneStateofStress）：

一個(gè)主應(yīng)力為零的應(yīng)力狀態(tài)。應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)

三向應(yīng)力狀態(tài)（Three—DimensionalStateof

Stress）：

三個(gè)主應(yīng)力都不為零的應(yīng)力狀態(tài)。AsxsxtzxsxsxBtxz應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)§7–2

平面應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)sxtxysyxyzxysxtxysyO圖1一、任意斜截面上的應(yīng)力應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)xysxtxysyO規(guī)定：

截面外法線同向?yàn)檎?/p>

ta繞研究對象順時(shí)針轉(zhuǎn)為正；

a逆時(shí)針為正。圖1設(shè)：斜截面面積為A，由分離體平衡得：應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)xysxtxysyOsytyxsxsataaxyOtn圖2圖1應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)xysxtxysyOsytyxsxsataaxyOtn圖2考慮剪應(yīng)力互等和三角變換，得：同理：例2

求圖示單元體指定斜截面的應(yīng)力。(單位：MPa)應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)

二、極值應(yīng)力應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)xysxtxysyO

在剪應(yīng)力相對的象限內(nèi)，且偏向于

x

及

y較大的一側(cè)。應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)222xyyxminmaxtsstt+-±=?íì

）（xysxtxysyO

主單元體例3

求圖示單元體的主應(yīng)力、主平面的位置。(單位：MPa)應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)

[例4]

分析受扭構(gòu)件的破壞規(guī)律。應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)txyCtyxMCxyOtxytyx解：

確定危險(xiǎn)點(diǎn)并畫其原始單元體

求極值應(yīng)力應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)txyCtyxMCxyOtxytyx

破壞分析應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)低碳鋼鑄鐵§7–3

平面應(yīng)力狀態(tài)分析——圖解法對上述方程消去參數(shù)（2

），得：一、應(yīng)力圓（

StressCircle）應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)xysxtxysyO此方程曲線為圓—應(yīng)力圓（或莫爾圓，由德國工程師：OttoMohr引入）sytxyxsxsataaxyOtn

建立應(yīng)力坐標(biāo)系，如下圖所示，（注意選好比例尺）二、應(yīng)力圓的畫法

在坐標(biāo)系內(nèi)畫出點(diǎn)A(

x，

xy)和B(

y，

yx)

AB與sa

軸的交點(diǎn)C便是圓心。

以C為圓心，以AC為半徑畫圓——應(yīng)力圓；應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)sxtxysyxyOnsataaOsataCA(sx,txy)B(sy,tyx)x2anD(sa,

ta)應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)sxtxysyxyOnsataaOsataCA(sx,txy)B(sy,tyx)x2anD(sa,

ta)三、單元體與應(yīng)力圓的對應(yīng)關(guān)系

面上的應(yīng)力(

，

)

應(yīng)力圓上一點(diǎn)(

，

)

面的法線應(yīng)力圓的半徑

兩面夾角

兩半徑夾角2

；且轉(zhuǎn)向一致。四、在應(yīng)力圓上標(biāo)出極值應(yīng)力應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)OCsataA(sx,txy)B(sy,tyx)x2a12a0s1s2s3例5

求圖示單元體指定斜截面的應(yīng)力、主應(yīng)力及主平面的位置。(單位：MPa)應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)

應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)例6

軸向拉壓的應(yīng)力分析。設(shè)P=40kN，面積A=10cm2。[例7]

受扭構(gòu)件的應(yīng)力、破壞規(guī)律分析。應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)txyCtyxMCxyOtxytyx應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)課堂練習(xí)s3例8

求圖示單元體的主應(yīng)力及主平面的位置。(單位：MPa)AB

1

2解法1——圖解法：

主應(yīng)力坐標(biāo)系如圖

AB的垂直平分線與sa

軸的交點(diǎn)C便是圓心，以C為圓心，以AC為半徑畫圓——應(yīng)力圓

0應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)s1s2BAC2s0sata(MPa)(MPa)O20MPa

在坐標(biāo)系內(nèi)畫出點(diǎn)s3應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)s1s2BAC2s0sata(MPa)(MPa)O20MPa

主應(yīng)力及主平面如圖

1

0

2AB解法2—解析法：分析——建立坐標(biāo)系如圖60°應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)xyO應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)課堂練習(xí)§7–4

梁的主應(yīng)力及其主應(yīng)力跡線應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)12345P1P2q如圖，已知梁發(fā)生剪切彎曲（橫力彎曲），其上M、Q>0，試確定截面上各點(diǎn)主應(yīng)力大小及主平面位置。單元體：應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)21s1s3s33s1s34s1s1s35a0–45°a0stA1A2D2D1COsA2D2D1CA1Ot2a0stD2CD1O2a0=–90°sD2A1Ot2a0CD1A2stA2D2D1CA1O拉力壓力主應(yīng)力跡線（StressTrajectories)：

主應(yīng)力方向線的包絡(luò)線——曲線上每一點(diǎn)的切線都指示著該點(diǎn)的拉主應(yīng)力方位（或壓主應(yīng)力方位）。實(shí)線表示拉主應(yīng)力跡線；虛線表示壓主應(yīng)力跡線。應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)

1

3

1

3qxy主應(yīng)力跡線的畫法：11截面22截面33截面44截面ii截面nn截面bacd

1

3應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)

3

1§7–5

三向應(yīng)力狀態(tài)研究——應(yīng)力圓法應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)s2s1xyzs31、空間應(yīng)力狀態(tài)2、三向應(yīng)力分析

彈性理論證明，圖a單元體內(nèi)任意一點(diǎn)任意截面上的應(yīng)力都對應(yīng)著圖b的應(yīng)力圓上或陰影區(qū)內(nèi)的一點(diǎn)。圖a圖b

整個(gè)單元體內(nèi)的最大剪應(yīng)力為：tmax應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)s2s1xyzs3[例9]

求圖示單元體的主應(yīng)力和最大剪應(yīng)力。（MPa）解：

由單元體圖知：yz面為主平面

建立應(yīng)力坐標(biāo)系如圖，畫應(yīng)力圓和點(diǎn)

1,得:應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)5040xyz3010(M

Pa)sa（M

Pa）taABCABs1s2s3tmax課堂練習(xí)應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)

應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)§7–6

平面內(nèi)的應(yīng)變分析應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)一、位移與應(yīng)變分量應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)x方向的應(yīng)變應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)剪應(yīng)變應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)二、任意方向應(yīng)變公式應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)坐標(biāo)變換公式應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)比較2、已知一點(diǎn)A的應(yīng)變（），畫應(yīng)變圓二、應(yīng)變分析圖解法——應(yīng)變圓（StrainCircle）1、應(yīng)變圓與應(yīng)力圓的類比關(guān)系

建立應(yīng)變坐標(biāo)系如圖

在坐標(biāo)系內(nèi)畫出點(diǎn)

A(

x，

xy/2)

B(

y，-

yx/2)

AB與

a

軸的交點(diǎn)C便是圓心

以C為圓心，以AC為半徑畫圓——應(yīng)變圓。應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)eaga/2ABCeaga/2三、

方向上的應(yīng)變與應(yīng)變圓的對應(yīng)關(guān)系

max

min2

0D(

，

/2)2n應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)

方向上的應(yīng)變(

，

/2)

應(yīng)變圓上一點(diǎn)(

，

/2)

方向線應(yīng)變圓的半徑

兩方向間夾角

兩半徑夾角2

；且轉(zhuǎn)向一致。ABC四、主應(yīng)變數(shù)值及其方位應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)五、應(yīng)變分析與應(yīng)變測量應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)應(yīng)變片

測得一點(diǎn)在某一平面內(nèi)的

1、

2、

3

方向上的線應(yīng)變分別為

1、

2、

3，，可求該面內(nèi)的主應(yīng)變。i=1,2,3這三個(gè)方程求出

x，

y，

xy；然后再求主應(yīng)變。應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)應(yīng)變花

用45°應(yīng)變花測得一點(diǎn)的三個(gè)線應(yīng)變后，求該點(diǎn)的主應(yīng)變。xyu45o

0

max應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)[例10]

若已測得等角應(yīng)變花三各方向得應(yīng)變分別，，，試求主應(yīng)變及其方向。應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)§7–7

復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力--應(yīng)變關(guān)系

——（廣義虎克定律）一、單拉下的應(yīng)力--應(yīng)變關(guān)系二、純剪的應(yīng)力--應(yīng)變關(guān)系應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)xyzsxxyz

x

y三、復(fù)雜狀態(tài)下的應(yīng)力---應(yīng)變關(guān)系依疊加原理,得:應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)

xyzszsytxysx主應(yīng)力---主應(yīng)變關(guān)系四、平面狀態(tài)下的應(yīng)力---應(yīng)變關(guān)系:方向一致應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)s1s3s2主應(yīng)力與主應(yīng)變方向一致。應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)[例11]已知一受力構(gòu)件自由表面上某一點(diǎn)處的兩個(gè)面內(nèi)主應(yīng)變分別為：

1=24010-6，

2=–16010-6，彈性模量E=210GPa，泊松比為

=0.3，試求該點(diǎn)處的主應(yīng)力及另一主應(yīng)變。所以，該點(diǎn)處為平面應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)e3342.-=×10-6應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)

例12：如圖所示，若測得，求軸向力P。已知EA、ν。應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)

例13如圖所示的薄壁圓筒，壁厚d=10mm、外徑D=60mm，在表面A處與其軸線成45°和135°角即xy兩方向分別貼上應(yīng)變片，然后，在圓筒兩端作用外力偶矩Me，已知材料的彈性模量E=200GPa，泊松比ν=0.3，若該圓筒的變形在彈性范圍之內(nèi)，且MPa，試求圓筒A處的線應(yīng)變和以及變形后筒壁的厚度。應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)解：

1.A點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)MPa

，

MPa2.由廣義胡克定律得

應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)3.設(shè)圓筒徑向坐標(biāo)軸為z，且由廣義胡克定律得原筒表面上A點(diǎn)沿徑向的應(yīng)變?yōu)橥砜勺C，該圓筒在筒壁中任意一點(diǎn)處的徑向應(yīng)變?yōu)榱?，因此，該圓筒變形后的壁厚無變化，仍然為d=10mm。應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)例14

列車通過鋼橋時(shí)，在鋼橋橫梁得A點(diǎn)用變形儀量得，。試求A點(diǎn)在x-x及y-y方向得正應(yīng)力。設(shè)E=200GPa，=0.3。并問這樣能否求出A點(diǎn)得主應(yīng)力？[例15]

圖a所示為承受內(nèi)壓的薄壁容器。為測量容器所承受的內(nèi)壓力值，在容器表面用電阻應(yīng)變片測得環(huán)向應(yīng)變

t

=350×l06，若已知容器平均直徑D=500mm，壁厚

=10mm，容器材料的E=210GPa，

=0.25，試求:1.導(dǎo)出容器橫截面和縱截面上的正應(yīng)力表達(dá)式；2.計(jì)算容器所受的內(nèi)壓力。應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)pODxABy圖apppxstsmL1、軸向應(yīng)力:(longitudinalstress)解：容器的環(huán)向和縱向應(yīng)力表達(dá)式用橫截面將容器截開，受力如圖b所示,根據(jù)平衡方程應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)psmsmxD圖b用縱截面將容器截開，取長為L的一部分為研究對象，受力如圖c所示2、環(huán)向應(yīng)力：(hoopstress)3、求內(nèi)壓（以應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系求之）應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)

t

m外表面ypststDqdqz圖cO應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)〔例16〕應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)

例17

直徑D=40mm的鋁圓柱，放在厚度為δ=2mm的鋼套筒內(nèi)，且設(shè)兩者之間無間隙。作用于圓柱上的軸向壓力為P=40KN。若鋁的彈性模量及泊松比分別是E1=70GPa，μ1=0.35；鋼的彈性模量是E=210GPa，試求筒內(nèi)的周向應(yīng)力。應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)解：應(yīng)力狀態(tài)分析應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)