第六章計數(shù)原理微專題1計數(shù)問題的常用方法

有關(guān)計數(shù)問題在考試中經(jīng)常直接和間接的考查，其命題常以實際問題為背景，考查排列組合的綜合應(yīng)用，如均分或不均分問題，特殊元素或位置問題、相鄰或不相鄰問題等.求解的策略是先組合后排列，同時按元素的性質(zhì)分類或按事情的發(fā)生過程分步，必要時可構(gòu)造模型，或畫樹形圖求解.一、“多面手”問題例1

某外語組有9人，每人至少會英語和日語中的一門，其中7人會英語，3人會日語，從中選出會英語和日語的各一人到邊遠地區(qū)支教，有多少種不同的選法？解由題意，知有1人既會英語又會日語，6人只會英語，2人只會日語.方法一

分兩類.第一類：從只會英語的6人中選1人教英語，有6種選法，則教日語的有2＋1＝3(種)選法.此時共有6×3＝18(種)選法.第二類：從不只會英語的1人中選1人教英語，有1種選法，則選會日語的有2種選法，此時有1×2＝2(種)選法.所以由分類加法計數(shù)原理知，共有18＋2＝20(種)選法.方法二

設(shè)既會英語又會日語的人為甲，則甲有入選、不入選兩類情形，入選后又要分兩種：(1)教英語；(2)教日語.第一類：甲入選.(1)甲教英語，再從只會日語的2人中選1人，由分步乘法計數(shù)原理，有1×2＝2(種)選法；(2)甲教日語，再從只會英語的6人中選1人，由分步乘法計數(shù)原理，有1×6＝6(種)選法.故甲入選的不同選法共有2＋6＝8(種).第二類：甲不入選.可分兩步.第一步，從只會英語的6人中選1人，有6種選法；第二步，從只會日語的2人中選1人，有2種選法.由分步乘法計數(shù)原理，有6×2＝12(種)不同的選法.綜上，共有8＋12＝20(種)不同的選法.反思感悟用流程圖描述計數(shù)問題，類中有步的情形如圖所示具體意義如下：從A到B算作一件事的完成，完成這件事有兩類辦法，在第1類辦法中有3步，在第2類辦法中有2步，每步的方法數(shù)如圖所示.所以，完成這件事的方法數(shù)為m1m2m3＋m4m5，“類”與“步”可進一步地理解為：“類”用“＋”號連接，“步”用“×”號連接，“類”獨立，“步”連續(xù)，“類”標(biāo)志一件事的完成，“步”缺一不可.二、“相鄰”與“不相鄰”問題例2

把5件不同的產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，則不同的擺法有____種.36解析記其余兩件產(chǎn)品為D，E.將A，B視為一個元素，先與D，E進行排列，二、“相鄰”與“不相鄰”問題例2

把5件不同的產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，則不同的擺法有____種.36解析記其余兩件產(chǎn)品為D，E.將A，B視為一個元素，先與D，E進行排列，反思感悟解排列組合問題時常以元素(或位置)為主體，即先考慮特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置).對于排列組合的綜合題目，一般是先取出符合要求的元素，再對取出的元素進行排列.三、含“至多”“至少”的問題例3某校舉辦詩歌朗誦比賽，該校高三年級準(zhǔn)備從包括甲、乙、丙在內(nèi)的7名學(xué)生中選派4名學(xué)生參加，要求甲、乙、丙這3名學(xué)生中至少有1人參加，且當(dāng)這3名學(xué)生都參加時，甲和乙的朗誦順序不能相鄰，那么選派的4名學(xué)生不同的朗誦順序的種數(shù)為A.720 B.768 C.810 D.816√則甲、乙、丙這3名學(xué)生中至少有1人參加的情況有840－24＝816(種)；則滿足題意的朗誦順序有816－48＝768(種).故選B.反思感悟求解含有附加條件的計數(shù)問題的兩種方法通常選用直接法或間接法，解題時應(yīng)注意對“至少”“至多”“恰好”等詞的含義的理解.對于涉及“至少”“至多”等詞的計數(shù)問題，既可以從反面情形考慮，即間接求解，也可以通過分類討論直接求解.四、組數(shù)問題例4有五張卡片，它們的正、反面分別寫0與1,2與3,4與5,6與7,8與9.將其中任意三張并排放在一起組成三位數(shù)，共可組成多少個不同的三位數(shù)？四、組數(shù)問題例4有五張卡片，它們的正、反面分別寫0與1,2與3,4與5,6與7,8與9.將其中任意三張并排放在一起組成三位數(shù)，共可組成多少個不同的三位數(shù)？解方法一

(直接法)從0與1兩個特殊值著眼，可分三類：又除含0的那張外，其他兩張都有正面或反面兩種可能，五、分組分配問題例5將6本不同的書分給甲、乙、丙、丁4個人，每人至少1本的不同分法共有______種.(用數(shù)字作答)1560解析把6本不同的書分成4組，每組至少1本的分法有2類.第一類，采用“3,1,1,1”的分法，即有1組3本，其余3組每組1本.第二類，采用“2,2,1,1”的分法，即有2組每組2本，其余2組每組1本.所以不同的分組方法共有20＋45＝65(種).反思感悟本題屬于局部均分問題，解題時需注意，若有m組元素個數(shù)相等，則分組時應(yīng)除以

，分組過程中有幾個這樣的均勻分組就要除以幾個這樣的全排列數(shù).例66個相同的小球放入4個編號為1,2,3,4的盒子，求下列方法的種數(shù).(1)每個盒子都不空；解先把6個相同的小球排成一行，在首尾兩球外側(cè)放置一塊隔板，(2)恰有一個空盒子；解恰有一個空盒子，插板分兩步進行.然后將剩下的一塊隔板與前面任意一塊并放形成空盒，(3)恰有兩個空盒子.解恰有兩個空盒子，插板分兩步進行.如|00|0000|，然后將剩下的兩塊隔板插入形成空盒.反思感悟相同元素分配問題的處理策略(1)隔板法：如果將放有小球的盒子緊挨著成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相鄰兩塊隔板形成一個“盒”，每一種插入隔板的方法對應(yīng)著小球放入盒子的一種方法，此法稱之為隔板法，隔板法專門解決相同元素的分配問題.(2)將n個相同的元素分給m個不同的對象(n≥m)，有

種方法，可描述為(n－1)個空中插入(m－1)塊板.六、涂色問題例7如圖，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給該地區(qū)的地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一種顏色.現(xiàn)在有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有____種.(用數(shù)字作答)72解析方法一(以位置為主考慮)第一步涂①，有4種著色方法.第二步涂②，有3種著色方法.第三步涂③，有2種著色方法.第四步涂④時分兩類，第一類用余下的顏色，有1種著色方法，第五步涂⑤，有1種著色方法；第二類④與②同色，有1種著色方法，第五步涂⑤，有2種著色方法.所以不同的著色方法共有4×3×2×(1×1＋1×2)＝72(種).方法二(以顏色為主考慮)分兩類.所以共有著色方法48＋24＝72(種).備用工具&資料解析方法一(以位置為主考慮)第一步涂①，有4種著色方法.第二步涂②，有3種著色方法.第三步涂③，有2種著色方法.第四步涂④時分兩類，第一類用余下的顏色，有1種著色方法，第五步涂⑤，有1種著色方法；第二類④與②同色，有1種著色方法，第五步涂⑤，有2種著色方法.所以不同的著色方法共有4×3×2×(1×1＋1×2)＝72(種).(2)將n個相同的元素分給m個不同的對象(n≥m)，有

種方法，可描述為(n－1)個空中插入(m－1)塊板.反思感悟用流程圖描述計數(shù)問題，類中有步的情形如圖所示解由題意，知有1人既會英語又會日語，6人只會英語，2人只會日語.方法一

分兩類.第一類：從只會英語的6人中選1人教英語，有6種選法，則教日語的有2＋1＝3(種)選法.此時共有6×3＝18(種)選法.第二類：從不只會英語的1人中選1人教英語，有1種選法，則選會日語的有2種選法，此時有1×2＝2(種)選法.所以由分類加法計數(shù)原理知，共有18＋2＝20(種)選法.二、“相鄰”與“不相鄰”問題例2

把5件不同的產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，則不