專題強化三天體運動中的三種典型問題一、近地衛(wèi)星、同步衛(wèi)星及赤道上物體的運行問題1．同步衛(wèi)星和赤道上物體：角速度相同，同步衛(wèi)星軌道半徑大，則線速度大。2．同步衛(wèi)星和近地衛(wèi)星：向心力都是由萬有引力提供，是軌道半徑不同的兩個地球衛(wèi)星，都滿足v＝eq\r(\f(GM,r))，因此近地衛(wèi)星的速度大。3．近地衛(wèi)星和赤道上物體：做圓周運動的半徑相同，由1、2結論可知，近地衛(wèi)星的線速度最大。4．特別注意：赤道上物體的向心力由萬有引力和支持力的合力提供，所以Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)不適用。例1a、b、c、d四顆地球衛(wèi)星，a還未發(fā)射，在地球赤道上隨地球表面一起轉動，向心加速度為a1；b處于近地軌道上，運行速度為v1；c是地球同步衛(wèi)星，離地心距離為r，運行速度為v2，加速度為a2；d是高空探測衛(wèi)星，各衛(wèi)星排列位置如圖所示，已知地球的半徑為R，則有(C)A．a(chǎn)的向心加速度等于重力加速度gB．d的運動周期有可能是20小時C．eq\f(a1,a2)＝eq\f(R,r)D．eq\f(v1,v2)＝eq\f(r,R)[解析]本題考查地球表面的物體與衛(wèi)星做圓周運動時的區(qū)別和聯(lián)系。同步衛(wèi)星的周期與地球自轉周期相同，角速度相同，則知a與c的角速度相同，根據(jù)a＝ω2r知，c的向心加速度大。由eq\f(GMm,r2)＝ma可知，衛(wèi)星的軌道半徑越大，向心加速度越小，則同步衛(wèi)星的向心加速度小于b的向心加速度，而b的向心加速度約為g，故知a的向心加速度小于重力加速度g，故A錯誤；由開普勒第三定律eq\f(r3,T2)＝k，知衛(wèi)星的半徑越大，周期越大，所以d的運行周期大于c的周期24h，故B錯誤；由a＝ω2r得，eq\f(a1,a2)＝eq\f(R,r)，故C正確；由eq\f(GMm,r2)＝eq\f(mv2,r)得v＝eq\r(\f(GM,r))，所以eq\f(v1,v2)＝eq\r(\f(r,R))，故D錯誤。名師點撥衛(wèi)星與赤道上物體運行問題解題技巧同步衛(wèi)星是近地衛(wèi)星與赤道上物體的聯(lián)系橋梁，同步衛(wèi)星與近地衛(wèi)星符合相同規(guī)律，軌道半徑越大，周期T越大，線速度v，角速度ω，向心加速度an越??；同步衛(wèi)星與赤道上物體有相同的角速度ω和周期T。二、衛(wèi)星的變軌與對接問題1．衛(wèi)星的變軌兩類變軌離心運動近心運動變軌起因衛(wèi)星速度突然增大衛(wèi)星速度突然減小萬有引力與向心力的關系Geq\f(Mm,r2)<meq\f(v2,r)Geq\f(Mm,r2)>meq\f(v2,r)軌跡變化由圓變?yōu)橥馇袡E圓，或由橢圓變?yōu)橥馇袌A由圓變?yōu)閮惹袡E圓，或由橢圓變?yōu)閮惹袌A速度和加速度變化兩個軌道切點的加速度相等，外軌道的速度大于內軌道的速度2．衛(wèi)星的對接在低軌道運行的衛(wèi)星，加速后可以與高軌道的衛(wèi)星對接。同一軌道的衛(wèi)星，不論加速或減速都不能對接。例2(多選)若“嫦娥四號”從距月面高度為100km的環(huán)月圓形軌道Ⅰ上的P點實施變軌，進入近月點為15km的橢圓軌道Ⅱ，由近月點Q落月，如圖所示。關于“嫦娥四號”，下列說法正確的是(AD)A．沿軌道Ⅰ運動至P時，需制動減速才能進入軌道ⅡB．沿軌道Ⅱ運行的周期大于沿軌道Ⅰ運行的周期C．沿軌道Ⅱ運行時，在P點的加速度大于在Q點的加速度D．在軌道Ⅱ上由P點運行到Q點的過程中，萬有引力對其做正功，它的動能增加，重力勢能減小，機械能不變[解析]要使“嫦娥四號”從環(huán)月圓形軌道Ⅰ上的P點實施變軌進入橢圓軌道Ⅱ，需制動減速做近心運動，A正確；由開普勒第三定律知，沿軌道Ⅱ運行的周期小于沿軌道Ⅰ運行的周期，B錯誤；根據(jù)牛頓第二定律，有Geq\f(Mm,r2)＝ma，解得a＝Geq\f(M,r2)，沿軌道Ⅱ運行時，在P點的加速度小于在Q點的加速度，C錯誤；月球對“嫦娥四號”的萬有引力指向月球，所以在軌道Ⅱ上由P點運行到Q點的過程中，萬有引力對其做正功，它的動能增加，重力勢能減小，機械能不變，D正確。名師點撥衛(wèi)星變軌問題“四個”物理量的規(guī)律分析(1)速度：如圖所示，設衛(wèi)星在圓軌道Ⅰ和Ⅲ上運行時的速率分別為v1，v3，在軌道Ⅱ上過A點和B點時速率分別為vA，vB。在A點加速由軌道Ⅰ變?yōu)檐壍愧?，則vA>v1，在B點加速由軌道Ⅱ變?yōu)檐壍愧?，則v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB。(2)加速度：因為在A點衛(wèi)星只受到萬有引力作用，故不論從軌道Ⅰ還是軌道Ⅱ上經(jīng)過A點，衛(wèi)星的加速度都相同，同理，經(jīng)過B點加速度也相同。(3)周期：設衛(wèi)星在Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ軌道上的運行周期分別為T1，T2，T3，軌道半徑分別為r1，r2(半長軸)，r3，由開普勒第三定律eq\f(r3,T2)＝k可知T1<T2<T3。(4)機械能：在一個確定的圓(橢圓)軌道上機械能守恒。若衛(wèi)星在Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ軌道的機械能分別為E1，E2，E3，則E1<E2<E3。三、衛(wèi)星的追及相遇問題某星體的兩顆衛(wèi)星之間的距離有最近和最遠之分，但它們都處在同一條直線上。由于它們的軌道不是重合的，因此在最近和最遠的相遇問題上不能通過位移或弧長相等來處理，而是通過衛(wèi)星運動的圓心角來衡量，若它們初始位置在同一直線上，實際上內軌道所轉過的圓心角與外軌道所轉過的圓心角之差為π的整數(shù)倍時就是出現(xiàn)最近或最遠的時刻。例3(2023·安徽池州聯(lián)考)A、B兩顆人造地球衛(wèi)星在同一個平面內同向做勻速圓周運動，B星的軌道半徑大于A星的軌道半徑。A星繞地球做圓周運動的周期為2小時，經(jīng)觀測每過t小時A、B兩顆衛(wèi)星就會相遇(相距最近)一次。則A、B兩顆衛(wèi)星的軌道半徑之比為(D)A．eq\r(1＋\f(2,t)3) B．eq\r(1－\f(2,t)3)C．eq\r(3,1＋\f(2,t)2) D．eq\r(3,1－\f(2,t)2)[解析]本題考查不同軌道衛(wèi)星相距最近時的軌道半徑關系的情況。A星運動的周期為T1＝2h，軌道半徑為r1，設B星運動周期為T2，軌道半徑為r2，經(jīng)過t小時A、B兩衛(wèi)星就會相遇一次，表明A星比B星多轉一圈，有(eq\f(2π,T1)－eq\f(2π,T2))t＝2π，解得T2＝eq\f(2t,t－2)小時；根據(jù)開普勒第三定律eq\f(r\o\al(3,1),T\o\al(2,1))＝eq\f(r\o\al(3,2),T\o\al(2,2))，得A、B兩衛(wèi)星的軌道半徑之比為eq\r(3,1－\f(2,t)2)，選項D正確，A、B、C錯誤?！矊ｎ}強化訓練〕1．(多選)已知地球赤道上的物體隨地球自轉的線速度大小為v1、向心加速度大小為a1，近地衛(wèi)星線速度大小為v2、向心加速度大小為a2，地球同步衛(wèi)星線速度大小為v3、向心加速度大小為a3。設近地衛(wèi)星距地面高度不計，同步衛(wèi)星距地面高度約為地球半徑的6倍。則以下結論正確的是(BCD)A．eq\f(v2,v3)＝eq\r(6) B．eq\f(v1,v3)＝eq\f(1,7)C．eq\f(a2,a3)＝49 D．eq\f(a1,a3)＝eq\f(1,7)[解析]近地衛(wèi)星和同步衛(wèi)星都繞地球做勻速圓周運動，根據(jù)萬有引力提供向心力有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，解得v＝eq\r(\f(GM,r))，兩衛(wèi)星的軌道半徑之比為1︰7，所以eq\f(v2,v3)＝eq\f(\r(7),1)，故A錯誤；地球赤道上的物體和同步衛(wèi)星具有相同的周期和角速度，根據(jù)v＝ωr，地球的半徑與同步衛(wèi)星的軌道半徑之比為1︰7，所以eq\f(v1,v3)＝eq\f(1,7)，故B正確；根據(jù)萬有引力提供向心力得Geq\f(Mm,r2)＝ma，a＝eq\f(GM,r2)，兩衛(wèi)星的軌道半徑之比為1︰7，則eq\f(a2,a3)＝49，C正確；同步衛(wèi)星與隨地球自轉的物體具有相同的角速度，根據(jù)a＝rω2，地球的半徑與同步衛(wèi)星的軌道半徑之比為1︰7，所以eq\f(a1,a3)＝eq\f(1,7)，故D正確。2．(2023·蘇州期中)(多選)如圖所示，人造地球衛(wèi)星的發(fā)射過程要經(jīng)過多次變軌方可到達預定軌道。先將衛(wèi)星發(fā)射至近地圓軌道Ⅰ，然后在A點(近地點)點火加速，衛(wèi)星做離心運動進入橢圓軌道Ⅱ；在點B(遠地點)再次點火加速進入圓形軌道Ⅲ。關于衛(wèi)星的發(fā)射和變軌，下列說法正確的是(CD)A．衛(wèi)星在圓軌道Ⅰ上運行時的向心加速度和周期大于在圓軌道Ⅲ上的向心加速度和周期B．衛(wèi)星從軌道Ⅰ轉移到軌道Ⅲ的過程中，動能減小，重力勢能增大，機械能守恒C．若衛(wèi)星在橢圓軌道Ⅱ上運行，經(jīng)過A點時的速度大于經(jīng)過B點時的速度D．如果圓軌道Ⅲ是地球同步衛(wèi)星軌道，則在該軌道上運行的任何衛(wèi)星，其角速度都和在地面上靜止物體的角速度相同[解析]本題考查衛(wèi)星變軌問題及不同軌道衛(wèi)星運行參數(shù)的比較。根據(jù)衛(wèi)星的運行規(guī)律，有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mrω2＝mreq\f(4π2,T2)＝ma，可得v＝eq\r(\f(GM,r))，ω＝eq\r(\f(GM,r3))，T＝eq\r(\f(4π2r3,GM))，a＝eq\f(GM,r2)，可知軌道半徑越大，衛(wèi)星的線速度、角速度以及向心加速度越小，周期越大，A錯誤；衛(wèi)星從軌道Ⅰ轉移到軌道Ⅲ的過程中，變軌需要點火加速，因此機械能不守恒，故B錯誤；衛(wèi)星在橢圓軌道Ⅱ上運行，根據(jù)開普勒第二定律可知，近地點的速度大，則衛(wèi)星經(jīng)過A點時的速度大于經(jīng)過B點時的速度，故C正確；如果圓軌道Ⅲ是地球同步衛(wèi)星軌道，則衛(wèi)星定位在赤道上空，因此在該軌道上運行的任何衛(wèi)星，其角速度都和在地面上靜止物體的角速度相同，故D正確。3．(多選)如圖所示，A、B兩衛(wèi)星繞地球運行，運動方向相同，此時兩衛(wèi)星距離最近，其中A是地球同步衛(wèi)星，軌道半徑為r。地球可看成質量均勻分布的球體，其半徑為R，自轉周期為T。若經(jīng)過時間t后，A、B第一次相距最遠，下列說法正確的是(AC)A．在地球兩極，地表重力加速度是eq\f(4π2r3,T2R2)B．衛(wèi)星B的運行周期是eq\f(2Tt,T＋t)C．衛(wèi)星B的軌道半徑是req\r(3,\f(2t,2t＋T)2)D．若衛(wèi)星B通過變軌與A對接之后，B的機械能可能不變[解析]本題考查衛(wèi)星的追及、相遇問題。對于衛(wèi)星A，根據(jù)萬有引力提供向心力，可得Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，可得地球的質量M＝eq\f(4π2r3,GT2)，在地球兩極，根據(jù)萬有引力等于重力，可得m′g＝Geq\f(Mm′,R2)，聯(lián)立解得g＝eq\f(4π2r3,R2T2)，故A正確；衛(wèi)星A的運行周期等于地球自轉周期T，設衛(wèi)星