課時檢測(五十二)勻強(qiáng)磁場中的臨界極值和多解問題(題型研究課)一、多項(xiàng)選擇題1．在如圖所示的兩條互相垂直的虛線范圍內(nèi)存在垂直紙面向里的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場，一電荷量為q、質(zhì)量為m的帶正電的粒子，由水平線上的某點(diǎn)沿與水平線成30°的方向斜向右上方射入磁場，忽略粒子的重力，則()A．如果粒子的速度大小適當(dāng)，該粒子可能經(jīng)過兩虛線的交點(diǎn)B．粒子在磁場中運(yùn)動的時間可能為eq\f(5πm,3qB)C．粒子在磁場中運(yùn)動的時間可能為eq\f(3πm,2qB)D．粒子在磁場中運(yùn)動的時間可能為eq\f(πm,6qB)解析：選BC如圖所示，粒子在磁場中要想經(jīng)過兩虛線的交點(diǎn)，轉(zhuǎn)過的圓心角一定大于180°，因磁場有邊界，故粒子不可能經(jīng)過兩虛線的交點(diǎn)，A錯誤；由于粒子入射點(diǎn)的位置不定，所以粒子在磁場中的運(yùn)動軌跡圓弧所對的圓心角也不同，最大的圓心角為300°，運(yùn)動時間為eq\f(5,6)T，而粒子從兩虛線的交點(diǎn)出發(fā)時對應(yīng)的圓心角最小，即為120°，運(yùn)動時間為eq\f(1,3)T，而T＝eq\f(2πm,qB)，故粒子在磁場中運(yùn)動所經(jīng)歷的時間最長為eq\f(5πm,3qB)，最短為eq\f(2πm,3qB)，B、C正確，D錯誤。2．如圖所示，有一垂直于紙面向外的有界勻強(qiáng)磁場，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，其邊界為一邊長為L的正三角形(邊界上有磁場)，A、B、C為三角形的3個頂點(diǎn)。今有一質(zhì)量為m、電荷量為＋q的粒子(不計(jì)重力)，以速度v＝eq\f(\r(3)qBL,4m)從AB邊上的某點(diǎn)P沿既垂直于AB邊又垂直于磁場的方向射入磁場，若該粒子能從BC邊上某點(diǎn)Q射出，則()A．PB≤eq\f(2＋\r(3),4)L B．PB≤eq\f(1＋\r(3),4)LC．QB≤eq\f(\r(3),4)L D．QB≤eq\f(1,2)L解析：選AD由qvB＝eq\f(mv2,R)，解得R＝eq\f(\r(3),4)L。粒子恰好從BC邊上某點(diǎn)Q射出時的軌跡如圖所示，PB最大時軌跡與AC邊相切，由幾何關(guān)系及對稱性得AP＝eq\f(R,cos30°)－R，BP＝L－AP＝eq\f(2＋\r(3),4)L，A正確，B錯誤；QB最大時，粒子平行于AB邊從Q′點(diǎn)射出，此時Q′B＝eq\f(R,sin60°)＝eq\f(1,2)L，C錯誤，D正確。3．如圖所示是半徑為R的一圓柱形勻強(qiáng)磁場區(qū)域的橫截面，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向外，磁場外有一粒子源，能沿一直線發(fā)射速度大小不等的在一定范圍內(nèi)的同種帶電粒子，帶電粒子的質(zhì)量為m，電荷量為q(q>0)，不計(jì)重力，現(xiàn)粒子以沿正對cO中點(diǎn)且垂直于cO的方向射入磁場區(qū)域，發(fā)現(xiàn)帶電粒子恰能從bd之間飛出磁場，則()A．從b點(diǎn)飛出的帶電粒子的速度最大B．從d點(diǎn)飛出的帶電粒子的速度最大C．從d點(diǎn)飛出的帶電粒子的運(yùn)動時間最長D．從b點(diǎn)飛出的帶電粒子的運(yùn)動時間最短解析：選ACD粒子在磁場中，受到洛倫茲力作用做勻速圓周運(yùn)動，根據(jù)題意作出粒子運(yùn)動軌跡如圖所示。圖中Ob為到達(dá)b點(diǎn)的軌跡的圓心，Od為到達(dá)d點(diǎn)的軌跡的圓心，根據(jù)幾何關(guān)系可知，rb>rd，到達(dá)d點(diǎn)轉(zhuǎn)過的圓心角比到達(dá)b點(diǎn)的圓心角大，到達(dá)b點(diǎn)的半徑最大，到達(dá)d點(diǎn)的半徑最小，根據(jù)r＝eq\f(mv,Bq)可知，從b點(diǎn)飛出的帶電粒子的速度最大，從d點(diǎn)飛出的帶電粒子的速度最小，A正確，B錯誤；周期T＝eq\f(2πm,Bq)，所以粒子運(yùn)動的周期相等，而到達(dá)d點(diǎn)轉(zhuǎn)過的圓心角最大，到達(dá)b點(diǎn)轉(zhuǎn)過的圓心角最小，所以從d點(diǎn)飛出的帶電粒子的運(yùn)動時間最長，從b點(diǎn)飛出的帶電粒子的運(yùn)動時間最短，C、D正確。4．如圖所示，左右邊界分別為PP′、QQ′的勻強(qiáng)磁場的寬度為d，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直紙面向里。一個質(zhì)量為m、電荷量為q的微觀粒子，沿圖示方向以速度v0垂直射入磁場。為使粒子不能從邊界QQ′射出，粒子入射速度v0的最大值可能是()A.eq\f(Bqd,m) B.eq\f(2＋\r(2)Bqd,m)C.eq\f(2－\r(2)Bqd,m) D.eq\f(\r(2)Bqd,2m)解析：選BC粒子射入磁場后做勻速圓周運(yùn)動，由R＝eq\f(mv0,qB)知，粒子的入射速度v0越大，R越大，當(dāng)粒子的運(yùn)動軌跡和邊界QQ′相切時，粒子剛好不從邊界QQ′射出，此時其入射速度v0應(yīng)為最大。若粒子帶正電，其運(yùn)動軌跡如圖(a)所示(此時圓心為O點(diǎn))，由幾何關(guān)系可知R1sin45°＋d＝R1，將R1＝eq\f(mv0,qB)代入上式得v0＝eq\f(2＋\r(2)Bqd,m)，B項(xiàng)正確；若粒子帶負(fù)電，其運(yùn)動軌跡如圖(b)所示(此時圓心為O′點(diǎn))，由幾何關(guān)系可知R2＋R2cos45°＝d，將R2＝eq\f(mv0,qB)代入上式得v0＝eq\f(2－\r(2)Bqd,m)，C項(xiàng)正確。二、計(jì)算題5．如圖所示勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，寬度為L，邊界為CD和EF。一電子從CD邊界外側(cè)以速率v垂直射入勻強(qiáng)磁場，入射方向與CD夾角為θ。已知電子的質(zhì)量為m，電荷量為q，為使電子從EF邊界射出，求電子的速率v滿足的條件。解析：電子速率不同，其軌跡半徑也不同，隨著速率增加，其軌跡構(gòu)成如圖所示的一簇動態(tài)圓，可知為使電子從EF邊界射出，軌跡半徑至少大于與EF邊界相切的圓的半徑。對于恰好相切的軌跡圓，由幾何關(guān)系得：r＋rcosθ＝L，又因?yàn)锽qv＝meq\f(v2,r)，所以v＝eq\f(Bqr,m)＝eq\f(BqL,m1＋cosθ)。為使電子從EF邊界射出，其速率v>eq\f(BqL,m1＋cosθ)。答案：v>eq\f(BqL,m1＋cosθ)6．(2018·常州模擬)如圖所示，兩豎直金屬板間電壓為U1，兩水平金屬板的間距為d。豎直金屬板a上有一質(zhì)量為m、電荷量為q的微粒(重力不計(jì))從靜止經(jīng)電場加速后，從另一豎直金屬板上的小孔水平進(jìn)入兩水平金屬板間，并繼續(xù)做直線運(yùn)動。水平金屬板內(nèi)的勻強(qiáng)磁場及其右側(cè)寬度一定、高度足夠高的勻強(qiáng)磁場方向都垂直紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B，求：(1)微粒剛進(jìn)入水平金屬板間時的速度大小v0；(2)兩水平金屬板間的電壓U；(3)為使微粒不從磁場右邊界射出，右側(cè)磁場的最小寬度D。解析：(1)在加速電場中，由動能定理得qU1＝eq\f(1,2)mv02解得v0＝eq\r(\f(2qU1,m))。(2)在水平金屬板間時，微粒做直線運(yùn)動，則Bqv0＝qeq\f(U,d)解得U＝Bdeq\r(\f(2qU1,m))。(3)若微粒進(jìn)入磁場偏轉(zhuǎn)后軌跡恰與右邊界相切，此時對應(yīng)磁場的最小寬度為D，則Bqv0＝meq\f(v02,r)，由幾何關(guān)系知r＝D解得D＝eq\f(1,B)eq\r(\f(2U1m,q))。答案：(1)eq\r(\f(2qU1,m))(2)Bdeq\r(\f(2qU1,m))(3)eq\f(1,B)eq\r(\f(2U1m,q))7．如圖所示，在坐標(biāo)系xOy中，第一象限內(nèi)充滿著兩個勻強(qiáng)磁場a和b，OP為分界線，在磁場a中，磁感應(yīng)強(qiáng)度為2B，方向垂直于紙面向里，在磁場b中，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直于紙面向外，P點(diǎn)坐標(biāo)為(4l,3l)。一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子從P點(diǎn)沿y軸負(fù)方向射入磁場b，經(jīng)過一段時間后，粒子恰能經(jīng)過原點(diǎn)O，不計(jì)粒子重力。求：(1)粒子從P點(diǎn)運(yùn)動到O點(diǎn)的最短時間；(2)粒子運(yùn)動的速度。解析：(1)設(shè)粒子的入射速度為v，用Ra、Rb、Ta、Tb分別表示粒子在磁場a中和磁場b中運(yùn)動的軌道半徑和周期，則有Ra＝eq\f(mv,2qB)，Rb＝eq\f(mv,qB)，Ta＝eq\f(2πm,2qB)＝eq\f(πm,qB)，Tb＝eq\f(2πm,qB)當(dāng)粒子先在區(qū)域b中運(yùn)動，后進(jìn)入?yún)^(qū)域a中運(yùn)動，然后恰從O點(diǎn)射出時，粒子從P點(diǎn)運(yùn)動到O點(diǎn)所用的時間最短，如圖所示。根據(jù)幾何關(guān)系得tanα＝eq\f(3l,4l)＝eq\f(3,4)，故α＝37°粒子在區(qū)域b和區(qū)域a中運(yùn)動的時間分別為tb＝eq\f(2×90°－α,360°)Tb，ta＝eq\f(2×90°－α,360°)Ta故從P點(diǎn)運(yùn)動到O點(diǎn)的最短時間為t＝ta＋tb＝eq\f(53πm,60qB)。(2)由(1)中圖及粒子運(yùn)動的規(guī)律可知n(2Racosα＋2Rbcosα)＝eq\r(3l2＋4l2)解得v＝eq\f(25qBl,12nm)(n＝1,2,3，…)。答案：(1)eq\f(53πm,60qB)(2)eq\f(25qBl,12nm)(n＝1,2,3，…)8．(2018·揚(yáng)州月考)如圖所示，用特殊材料制成的PQ界面垂直于x軸，只能讓垂直打到PQ界面上的電子通過。PQ的左右兩側(cè)有兩個對稱的直角三角形區(qū)域，左側(cè)的區(qū)域分布著方向垂直紙面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場，右側(cè)區(qū)域內(nèi)分布著豎直向上的勻強(qiáng)電場。現(xiàn)有速率不同的電子在紙面上從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿不同方向射向右側(cè)三角形區(qū)域，不考慮電子間的相互作用。已知電子的電量為e，質(zhì)量為m，在△OAC中，OA＝l，θ＝60°。(1)求能通過PQ界面的電子所具有的最大速度及其從O點(diǎn)入射時與y軸的夾角；(2)若以最大速度通過PQ界面的電子剛好被位于x軸上F處的接收器所接收，求電場強(qiáng)度E；(3)在電場強(qiáng)度E滿足第(2)問的情況下，求所有能通過PQ界面的電子最終穿越x軸的區(qū)間寬度。解析：(1)由evB＝meq\f(v2,r)得，r＝eq\f(mv,eB)，根據(jù)如圖所示電子的運(yùn)動軌跡結(jié)合幾何知識，當(dāng)r＝eq\f(l,cosθ)＝2l時，電子具有最大速度vm＝eq\f(2Bel,m)，可得，電子入射時與y軸的夾角為30°。(2)電子在勻強(qiáng)電場中做類平拋運(yùn)動，由ltanθ＝vmt，l＝eq\f(1,2)at2，a＝eq\f(eE,m)，解得E＝eq\f(8B2el,3m)。(3)電子進(jìn)入電場后做類平拋運(yùn)動，出電場后做勻速直線運(yùn)動穿越x軸，設(shè)類平拋運(yùn)動的水平分位移為x1，豎直分位移為y1，出電場時速度方向與水平方向的夾角為β，出電場后做勻速直線運(yùn)動的水平分位移為x2，其軌跡與x軸的交點(diǎn)到PQ界面的距離為s。則由tanθ＝eq\f(x1,y1)，x1＝vt，y1＝eq\f(1,2)at2，a＝eq\f(eE,m)，可得x1＝eq\f(2mv2,\r(3)eE)，y1＝eq\f(2mv2,3eE)，tanβ＝eq\f(at,v)＝eq\f(2\r(3),3)；由幾何關(guān)系得x2＝eq\f(rcosθ－y1,tanβ)，又r＝eq\f(mv,eB)則s＝ltanθ－rsinθ＋x1＋x2＝eq\f(7\r(3)l