函數(shù)尸2sin（GX+。）的圖像與性質(zhì)（一）

內(nèi)容要求1.結(jié)合具體實例，了解y=4sin（ox+。）的實際意義（重點）.2.能借助計算器

或計算機畫出尸/sin（ox+㈤的圖像，觀察參數(shù)43、。對函數(shù)圖像變化的影響（難點）.

|探前預習，自學學習，積淀基礎(chǔ)

知識點1振幅變換

（1）在函數(shù)尸/sinxG4>0）中，決定了函數(shù)的值域以及函數(shù)的最大值和最小值,通常稱4

為振幅.

（2）要得到函數(shù)尸/sinx（4>0,4W1）的圖像，只要將函數(shù)尸sin”的圖像上所有點的縱

坐標伸長（當」>1時）或縮短（當0<4<1時）到原來的&倍（橫坐標不變）即可得到.

【預習評價】

（1）函數(shù)y=-2sin（x-的最大值為最小值為.

答案2—2

（2）函數(shù)尸一夕。$x取得最大值時的x的集合為.

答案{x|x=2A貝+n,A6Z}

知識點2相位變換

（1）在函數(shù)y=sin（x+中，。決定了x=0時的函數(shù)值,通常稱（!>為初相,x+。為祖

位.

（2）對于函數(shù)尸sin（x+。）（0WO）的圖像，可以看作是把尸sinx的圖像上所有的點囪

左（當。>0時）或向右（當0<0時）平行移動|如個單位長度得到的.

【預習評價】

（1）如何由尸sinx的圖像變換為尸sin（x+q，的圖像？

提示向左平移寧個單位長度.

（2）如何由尸sin（x+：）的圖像變換為y=sinx的圖像？

提示向右平移3個單位長度

知識點3周期變換

（1）在函數(shù)尸sin3x（3>0）中，3決定了函數(shù)的周期7=2巴，通常稱周期的倒數(shù)/=；=

券為頻率.

（2）對于函數(shù)尸sin3x（3>0,gWI）的圖像，可以看作是把尸sinx的圖像上所有點

的橫坐標縮短（當3>1時）或伸長（當0V。<1時）到原來的上倍（縱坐標不變）而得到的.

3

【預習評價】

1.函數(shù)y=2sin仔+g）的周期、振幅依次是（）

A.4頁,—2B.4m,2

C.Ji,2D.Jt,—2

答案B

2.若函數(shù)y=3sinox的最小正周期為"，則。=___.

答案±2

I課堂互辦題型剖析,h；互動探究

題型一五點作圖法

［例1］用五點法作函數(shù)y=3sin俁一：）的簡圖，并指出這個函數(shù)的振幅、周期、頻率

和初相.

解⑴列表：

H3-5n7兀9兀

X萬

1兀ji3Ji

JT2n

5”一了0~2

y030-30

⑵描點：在直角坐標系中描出點（3，01，/W，3）,佟土0）,—3］，（?，0）.

.1Z/1Z//1Z/12）

（3）連線：將所得五點用光滑的曲線連起來，如圖所示.

fA

1L/\5仃9ir

1/1T~2-r

FOTT3u1T17irIx

（4）這樣就得到了函數(shù)尸3sin（表—寧）在一個周期內(nèi)的圖像，

再將這部分圖像向左、向右

平移4Z（MZ）個單位長度，得函數(shù)y=3的圖像

此函數(shù)振幅為3,周期為4”,頻率為言，初相為一

規(guī)律方法五點法作圖關(guān)鍵是列表，一般有下面兩種列表方法:

/n3兀、，

⑴分別令3x+0=0,萬，頁，—,2Jt,再求出對應的x.這體現(xiàn)了整體換元的思想.

（2）取QX0+0=O,得施=一?,再把的作為五點中第一個點的橫坐標，依次遞加一個周

期的"，就可得到其余四個點的橫坐標.

【訓練1】用五點法作函數(shù)y=2sin（2x+年）的簡圖，并指出這個函數(shù)的振幅、周期、頻

率和初相.

解（1）列表：列表時2x+5取值為。、T'"、等、2”,再求出相應的x值和y值.

O乙乙

JIjiJI7冗5Ji

X

12TIT刀

兀JT3n

2x+-0n2Ji

OT

y020-20

（2）描點.

（3）用平滑的曲線順次連接各點所得圖像如右圖所示.

利用這類函數(shù)的周期性,我們可以把上面所得到的簡圖向左、右擴展,得到尸2sin（2x+S，

xWR的簡圖（圖略）.

,1JT

此函數(shù)的振幅為2,周期為n,頻率為不，初相為

五3

題型二由圖像求函數(shù)的解析式

【例2】函數(shù)y=/sin（ox+。＞0,I。I〈方）的圖像的一部分如圖所示，求此函

數(shù)的解析式.

.?.y=3sin(2x+6).

?.?點（一看，0）在函數(shù)圖像上,

/.0=3sinf——X2+

n,n

.?.--X2+^2A，,得。=勺+20（比Z）.

JIJI

：I0〈不，

乙O

.?.尸3sin（2x+y）.

方法二（待定系數(shù)法）

由圖像知4=3.\?圖像過點停，0）和（子，0），

。=2,

解得

0=亍

.,.y=3sin（2x+

方法三（圖像變換法）

由4=3,7=n,點（「一"j,o'j在圖像上，可知函數(shù)圖像由y=3sin2x向左平移石Ji■個單位長

度而得，

所以y=3sin2（*+g），即y=3sin（2x+}j.

規(guī)律方法三角函數(shù)中系數(shù)的確定方法：

給出尸4sin（。刀+0）的圖像的一部分，確定43,。的方法

（D第一零點法：如果從圖像可直接確定/和。，則選取“第一零點”（即“五點法”作圖

中的第一個點）的數(shù)據(jù)代入“?！?。=0"（要注意正確判斷哪一點是“第一零點”）求得

d>.

（2）特殊值法：通過若干特殊點代入函數(shù)式，可以求得相關(guān)待定系數(shù)43,0.這里需要注

意的是，要認清所選擇的點屬于五個點中的哪一點，并能正確代入列式.

（3）圖像變換法：運用逆向思維的方法，先確定函數(shù)的基本解析式y(tǒng)=4sin。必再根據(jù)圖

像平移規(guī)律確定相關(guān)的參數(shù).

【訓練2】如圖，函數(shù)尸/sin（3x+。）（4>0,。>0,<!><n）的圖像，根據(jù)圖中條件，

寫出該函數(shù)解析式.

解由圖像知4=5.

,T5n3n

由“=~'

得7=3Ji,

2n2.2.

3=-.?.y=5sin（gx+0）.

下面用兩種方法求處

方法一（單調(diào)性法）

:點（n,0）在遞減的那段曲線上,

2n「冗3r

+2An,另E+2An］（A￡Z）.

j乙乙

2n、，2兀

由sin（——I-。）=0,得一。=24冗+n（AGZ）,

it,

：.0=2=Jt+—Uez）.

J

n

i。1<B，/.。=—

o

方法二（最值點法）

將最高點坐標（亍，5）代入尸5sin（|x+0）,

得5sin（—+。）=5,

+。=24五+~~（/r^Z）,

62

JI、

0=2%冗+—(AGZ).

O

:[0<兀,：.6=g.

O

函數(shù)式為y=5sin電+辛.

典例

題型三函數(shù)圖像的變換

遷移

【例3】如何由尸sin/的圖像得到尸2cos的圖像?

解

J4T

fl,吟

=2siv^x+—\t

向左平移于個單位

./7T

所以y=sinv---------------------------y=smji+7

縱坐標不變，_.

橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍”=SU1

橫坐標不變_.

--縱---坐---標---變---為---原----來---的---2---倍--?，'v=2sin

=2cos（+/）.

【遷移1】從例3中得到的函數(shù)圖像再得出y=2cos的圖像應如何變換?

解因為y=2cos

T+A

—■2cos

1n

-X++-

2JI4

所以只需把尸2cos（一1Y+[，的圖像向左平移n個單位.

【遷移2]從例3中得到的函數(shù)圖像再得出尸2coscx+寧）的圖像應如何變換？

解因為y=2cosb$+g=2cos&r力，所以只需把尸23卜1+己）的圖像向左

平移五個單位.

【遷移3]從例3中得到的函數(shù)圖像再得出尸一2cosb%+?）的圖像應如何變換？

解把y=2c?—%+千|的圖像作關(guān)于x軸的對稱圖像即可.

規(guī)律方法通常，由y=sinx的圖像經(jīng)過變換得到y(tǒng)=Jsin（GX+6）+Z?U>0,3>0）的

圖像的步驟如下：

（1）（相位變換）先把尸sinx的圖像上所有的點向左（當。>0時）或向右（當。<0時）平行

移動個單位長度，得函數(shù)尸sin（x+0）的圖像.

（2）（周期變換）把函數(shù)y=sin（x+0）的圖像上所有點的橫坐標縮短（當口>1時）或伸長（當

0<時）到原來的;倍（縱坐標不變），得函數(shù)尸sin（3x+0）的圖像.

CL）

（3）（振幅變換）把函數(shù)y=sin（ox+。）的圖像上所有點的縱坐標伸長（當J>1時）或縮短

（當0<4<1時）到原來的A倍（橫坐標不變），得函數(shù)y=/sin（ox+（|>）的圖像.

⑷把得到的y=4sin（"+的圖像向上（當b>0時）或向下（當b<0時）平移引個單位

長度，得函數(shù)y=4sin（ox++6的圖像.

也可以先周期變換再相位變換.

保堂反饋自主反饋，檢測成效

課堂達標

1.已知簡諧運動f（x）=2sin（3x+0|<?。┑膱D像經(jīng)過點（0,1）,則該簡諧運動的最

小正周期7和初相。分別為（）

JI

A.7=6,0—B.7=6,。=2

O

D,7=6n,(P=—

&f,°弋o

解析7=N=W=6,代入（0,1）點得sin

COJI乙

T

nJIn

???一方:?6=不.

乙乙o

答案A

2.已知曲線G：y=cosx,C：y=sin（2x+2/）,則下面結(jié)論正確的是（）

JT

A.把。上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移至個單

6

位長度，得到曲線G

B.把G上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移三個單

位長度，得到曲線C

C.把G上各點的橫坐標縮短到原來的3倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移/個單

位長度，得到曲線C

D.把G上各點的橫坐標縮短到原來的/倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移/個單

位長度，得到曲線G

解析Ci：y=cosx,G：y=sin（2x+-^-J,

首先曲線G,G統(tǒng)一三角函數(shù)名，可將G：尸cosx用誘導公式處理.

y=cosx=sin（x+gj,即y=sin^%+~^j

C,上各點橫坐標縮短為原來的十倍

再向左平移令個單位長度

尸sin2x+可尸sin

答案D

3,把函數(shù)尸sin（2x+總的圖像向_______平移________個單位得到尸^in2x的圖像

解析尸sin（2x+（，=sin2（入+總，所以將其向右移三個單位得到y(tǒng)=sin2x的圖像.

答案右三

4.已知函數(shù)尸sin（3才+。）（3>0,。<且此函數(shù)的圖像如圖所示，貝U點（3,

。）的坐標是.

,T7n3冗n

=9319

解析由川=Q-~~Q~~o~7=

zooz

9n3nJI

由T=---（口>0）得3=2.由2義七~+。=五得（!>=—.

3o4

點的坐標為（2,Y）.

答案（2,9）

3（1冗、

5.作出函數(shù)尸wsin^x一方在長度為一個周期的閉區(qū)間上的圖像.

Z\0o）

解列表：

1nJI3n

鏟一了0TJT2n

5n11n

XJI4冗7Ji

2

y=|sin^-f)3_3

000

2-2

描點畫圖（如圖所示）:

課堂小結(jié)

1.圖像變換是三角函數(shù)的重點內(nèi)容之一.函數(shù)的各種變換都是自變量X或函數(shù)值y進行的

變換.圖像變換與函數(shù)變換緊密相連，相位變換是用x+。來代替尸/1（X）中的x,周期變

換是用代替x,振幅變換是用錦代替y（4>0）.

n

2.圖像變換中，還常用以下三種變換：

（1）尸一sinx的圖像可由尸sinx的圖像沿x軸翻折180°而得到.

（2）尸|sinx|的圖像可由y=sinx的圖像得到.其變化過程為在x軸上方的部分不變，在

x軸下方的部分沿x軸翻折180°而得到.

（3）y=sinIx1的圖像可通過讓y=sinx的圖像在y軸右邊的部分不變，y軸左邊的圖像由

y軸右側(cè)的圖像關(guān)于y軸翻轉(zhuǎn)180°而得到.

|課后作業(yè)「強化訓練，鞏固提升

基礎(chǔ)過關(guān)

1.最大值是周期是等，初相是［■的函數(shù)表達式可能是（）

ZOO

A.y=1sin^+-^B，2sin停+高

C-尸2sin停一高

D.

3>o）的最大值為1，周期為2鼻一，初相為瓦，.?./

解析?函數(shù)尸1sin（3x+。）（力>0,

乙J0

1JI

的相位和初相分別是（）

JIn

A.-2x+——B.2x---,

ofOo

2nJI

D.2x+-r-

of

=2sin

9JI9n

.??相位和初相分別為2%+不一，—

JJ

答案c

3.將函數(shù)尸sinx的圖像上所有的點向左平移2個單位長度，再將圖像上所有的點的橫坐

O

標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），則所得圖像的函數(shù)解析式為（）

解析將尸sinx的圖像上所有點向左平移T?個單位長度，得到尸sin（x+9的圖像，

再將圖像上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，得到尸sin仔+方）的圖像.

答案A

（3nAJi

4.函數(shù)尸4sin（GX+。）（力>0,3>0,/一V0<2“J的最小值是一3,周期為且它

的圖像經(jīng)過點（o,一|）,則這個函數(shù)的解析式是.

解析由已知得4=3,T=~=~~，故G=6.

O3

.,.y=3sin（6x十0）.把（0,一|）代入，

得3sin。=-5,sin6=一租

11JI

又;；jrV0V2n,:.“=~^.

L0

(八,11n

.'.y=3sinl6%+-

(11JI

答案y=3sin〔6x+—1

＜高的圖像如圖所示，則/（）

5.函數(shù)/'(x)=4sin(a>x+。)其中力>0,小"x=

(1nJI

解析由圖知力=1,7=477—W=n,/.3=2.

11/O

JIJI

又2'7+0=冗,/.</>=—

oo

f\x)=sin(2x+~1~).

答案sin(2x+1[

6.怎樣由函數(shù)y=sinx的圖像變換得到p=sin|的圖像，試敘述這一過程

解由y=sinx的圖像通過變換得到函數(shù)y=sin（2x—■的圖像有兩種變化途徑:

G.向右」移.(JI

QJy=smXJI----->y=sinx-

w個單位i

o

縱坐標不變?.

橫坐標縮短為原來的廣si

自_.縱坐標不變1

②尸sin“橫坐標縮短為原來的￡

-in2心哆:=sin(2x-^-)

.個單位

已知曲線（。）（。＞）上的一個最高點的坐標為（，

7.y=4sinQx+4V0,0g此點到

3JI，0）若儀Tij-

相鄰最低點間的曲線與x軸交于點|~8

（D試求這條曲線的函數(shù)表達式；

⑵用“五點法”畫出（1）中函數(shù)在［0,上的圖像.

解（1）因為函數(shù)圖像的一個最高點為傳，碼

所以4=+，"為其中一條對稱軸，

這個最高點到相鄰最低點的圖像與X軸交于點（爸，0）.

一一73兀nJT

所以彳=丁一不=彳

2JT

又T=---=n,所以3=2,

G）

此時y=f（x）=*\/2sin（2%+。），

又所以sin（1~+。）=1,

HJIJI

即彳+。=萬+2攵冗，即。=彳+24兀.

（JIJIAn

又一萬，所以。=了，

所以尸蛆sin（2x+F）.

（2）列出筋y的對應值表:

JT3Ji5n7Jin

X0T~8~T

JTHJI3n9n

2x+—n2冗

4T~2

y10-乖01

作圖如下:

8,已知函數(shù)f（x）=sin（sx+。）（3>0）的部分圖像如圖所示，則等于（）

A.

2

解析工7="_型=三?七”

24123'3,

.2冗2n

',~=~即3=3.

又：3><4y+。=冗+24兀（A&Z），.二?？扇∫会?

1Li4

?■?{i)=sin^+fin股吟一.5n_亞

4J-Sin---2,

答案B

JI

9.將函數(shù)尸sin（2x+。）的圖像沿x軸向左平移行個單位后，得到一個偶函數(shù)的圖像，則

O

0的一個可能取值為（）

3兀人

A.~~B.—

44

C.0D.--T

4

解析將函數(shù)y=sin（2x+。）的圖像沿x軸向左平移一■個單位，得到函數(shù)y=

O

JI1，冗、JIJI

sin2x+彳+。=sin（2x+1+的圖像，因為此時函數(shù)為偶函數(shù)，所以丁+<t）=~

JI

+女打，k￡Z,即。=7~+4五，keZ,所以選笈

答案B

10.某同學給出了以下論斷：

①將尸cosX的圖像向右平移一■個單位，得到尸sinX的圖像；

②將尸sinx的圖像向右平移2個單位，可得到尸sin（x+2）的圖像；

③將y=sin（—x）的圖像向左平移2個單位，得到y(tǒng)=sin（—x—2）的圖像；

④函數(shù)y=sin（2x+4］的圖像是由y=sin2x的圖像向左平移1■個單位而得到的.

其中正確的結(jié)論是（填序號）.

答案①③

11.若y=4sin（3x+。）（4＞0,。＞0,。|＜5）的最小值為-2,其圖像相鄰最高點與

最低點橫坐標之差為3or,又圖像過點（0,1）,則其解析式是.

解析由最小值為一2可得4=2,

9JT1

由題意得7=6冗=,故3=w，

3O

則y=2sin（gx+0）,

又sin0=1，|故0=《，

226

所以尸2sin（；x+總.

答案尸2sin[；x+1~）

nn

12.已知函數(shù)F(x)=/sin(GX+。)(/>0,。＞0,一萬＜01萬，*GR）在一個周期內(nèi)的

圖像如圖所示.

（1）求函數(shù)F（X）的解析式;

,5Jt

(2)設(shè)g(x)=]f(2x)cosx,求的值.

解⑴由圖可知4=2,7=]■—（—'3）=4"，則3=蕓=；,

乙、乙,型11乙

???解析式為f(x)=2sin(；x+0),

且由F(x)的圖像過點仔，2),

<1JiA,冗

即2sin(]X5+0)=2,可得4>=2k^+—,

JlJTJI

又一-0V萬，得。=牙，

F(x)=2sinf^+-J.

(2)?.?g(x)=^f(2x)cosx

="X2sin^+-Jcosx

=(fx(考羋

13.(選做題)已知函數(shù)〃人)=東立(。/+0)1>0,。>0,101V2)的圖像在y軸上的

截距為1,它在y軸右側(cè)的第一個最高點和最低點分別為(為2)和(揚+3頁，-2).

(1)求/Xx)的解析式.

(2)將x=f(x)圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的;(縱坐標不變)，然后再將所得圖像沿x

軸正方向平移2個單位長度,得到函數(shù)尸g(x)的圖像.寫出函數(shù)尸g(x)的解析式并用“五

點法”畫出尸g(x)在長度為一個周期的閉區(qū)間上的圖像.

T

解(1)由已知，易知力=2,]=(照+3兀)一照=3"，

解得7=6/，所以

0

把(0,1)代入解析式y(tǒng)=2sin修+0),

得2sin。=1.又|01VJ,所以解得

26

所以f{x}=2sin(；+高.

⑵壓縮后的函數(shù)解析式為y=2sin(x+總，再平移，得g(x)=2sin(x-]+^=

2sin(x-

列表：

五JI3Ji

0JI2n

X~~6T

JT2JT7冗5JI13兀

X

T—6

2sin020-20

圖像如圖:

函數(shù)產(chǎn)=4sin（（ox+。）的圖像與性質(zhì)（二）

內(nèi)容要求1.掌握函數(shù)y=4sin（ox+0）的周期、單調(diào)性及最值的求法（重、難點）.

2.理解函數(shù)y=4sin（ox+4））的對稱性（難點）.

課前預習自主學習，積淀基礎(chǔ)

知識點函數(shù)尸力sin（＜wx+。）（力＞0,。＞0）的性質(zhì)

定義域R

值域j川

2n

周期T-

3

6=kx,A￡Z時,y=/sin（3x+0）是奇函數(shù)；兀+萬，AEZ時、

奇偶性

y=Jsin（。）是偶函數(shù)

對稱軸方程由3出+0=女冗+~|~（A￡Z）求得

對稱中心由3才+0=在兀（衣WZ）求得

遞增區(qū)間由2"一］~<3才+2kx+1~(4￡Z)求得；

單調(diào)性

遞減區(qū)間由2k尺4—^-^GX+OW24n+|n(A￡Z)求得

【預習評價】

(1)函數(shù)尸2sin(2x+!)+l的最大值是()

6

A.1B.2

C.3D,4

JTnn

解析當2x+—=2k^+丁時，即x=kTi+w"(A￡Z)時最大值為3.

6z6

答案C

⑵函數(shù)f(x)=sin(2x+/)的最小正周期為()

兀

A.4nB.2nC.nD.—

2n

解析由題意T=—=n，故選C.

答案C

I課堂互和題型剖析，互動探究

題型一函數(shù)y=1sin(3x+。)的最值問題

【例1】求函數(shù)尸/sin(2x+1-),0,—的值域.

,五

解YOW后萬，,0W2后冗.

nJI5n

^2^+-

444

；.一當Wsin(2x+fWl.

.—lW@in(2x+F)wV^,即一々反用

...函數(shù)y=小sin(2x+/),0,y的值域為［-1,小］.

規(guī)律方法求函數(shù)尸/sin(Qx+?),\_m,"］的值域的步驟:

(1)換元，u=3X+6,并求〃的取值范圍；

(2)作出尸sinu(注意〃的取值范圍)的圖像;

(3)結(jié)合圖像求出值域.

［訓練1】求函數(shù)尸2sin(2x+"1~)(-/WxWx)的最大值和最小值.

,JIJI

解了,

n2五

.\0^2X+—^~T-

0*59

當sin(2x+g)

=1時，加x=2

當sin(2x+~^=0時，煬n=0.

考查

題型二三角函數(shù)的性質(zhì)及應用

方向

方向1求函數(shù),『/sin(0)的周期

【例2—1】求下列函數(shù)的周期:

⑴尸sin(2x+胃(xCR)；

(2)y=sin(qx+E^(xGR).

2JT

解⑴7二-^-=n.

.,2n

(2)T=—=4.

jt

~2

方向2函數(shù)y=Asin(c^x+。)的奇偶性與對稱性

【例2—2】⑴函數(shù)尸sin(2x+總的圖像的對稱軸方程為

對稱中心為

(2)若函數(shù)f(x)=2sin(2x一是偶函數(shù)，則＜!＞的值可以是()

5五JI

A.~7~B.—

6

nn

C-TD.——

，、人(兀、.nnAnn,

解析⑴令尸土1,即sin2x+—±1,則2x+—(屆Z),，入一+(A

\oyJZNIN19

kKJi?(Ji

GZ),即對稱軸方程為X—+.?(AeZ).令y=0,即sin12x+—0,貝！］2x+—k”(A

乙IN\oJJ

kitJI(jiA(kun、

eZ),.”=.一x(4GZ),.?.函數(shù)尸sin2葉彳的圖像的對稱中心為丁一,0(A

ZO\J\OJ

GZ).

(兀、，，，，，nn5n

⑵由F(x)=2sin2x一丁+。為偶函數(shù)得。---=An+—(AGZ),即。=在冗+=.

\oyJNo

5n

??.當A=0時0==一.故選A.

o

、AJi(k^-n、

答案(1)矛=亍JI+詁aez)，ojaez)

(2)A

方向3函數(shù)尸力sin(3x+O)單調(diào)性

【例2—3]求函數(shù)尸2sin(z~—j的遞增區(qū)間.

解：尸2sin(]-J=-2sin(x--

???函數(shù)尸2sin(1?—j的遞增區(qū)間就是函數(shù)

〃=2sin(x—j")的遞減區(qū)間.

JIJi3n

.\2An+萬Wx—q~W24兀+一^-(z左￡2),

得2"WxW24n+-j—(AeZ),

二函數(shù)尸2sin(T■一，的遞增區(qū)間為：

-3兀7n~|

24兀+一^,2k^+——(AeZ).

_44_

規(guī)律方法1.關(guān)于函數(shù)y=4sin(QX+。)的對稱性與奇偶性

(1)將ox+0看作整體，代入到尸sinx的對稱中心、對稱軸的表達式可以求出函數(shù)尸

4sin(3x+。)的對稱中心、對稱軸或求。值.

⑵若函數(shù)尸/sin(。*+。)為奇函數(shù)，則0=Jt+"n,ZreZ,若函數(shù)尸4sin(”x+0)

為偶函數(shù)，則,代Z,函數(shù)y=/sin(3x+。)的奇偶性實質(zhì)是函數(shù)的對稱中心、

對稱軸的特殊情況.

2.求解函數(shù)尸4sin(3x+單調(diào)區(qū)間的四個步驟

(1)將?；癁檎?

(2)根據(jù)/的符號確定應代入y=sinJ的單調(diào)增區(qū)間，還是單調(diào)減區(qū)間.

(3)將。*+?？醋饕粋€整體，代入到上述的單調(diào)區(qū)間中解出x的范圍即為函數(shù)在R上的單

調(diào)區(qū)間.

(4)如果要求函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)區(qū)間，則給A賦值求單調(diào)區(qū)間.

題型三函數(shù)y=4sin(3x+性質(zhì)的綜合應用

【例3】已知函數(shù)/V)=sin(3x+0)(。>0,0?0^門)是口上的偶函數(shù)，其圖像關(guān)于

點(牛，°)對稱，且在區(qū)間°，方上是單調(diào)函數(shù)，求。和。的值.

解由/Xx)是偶函數(shù)，得/'(一x)=f(x),即函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于y軸對稱，

在x=0時取得最值.即sin0=±1.

依題設(shè)OW0WB,?,?解得0=-y.

由f(x)的圖像關(guān)于點〃對稱，可知

(3冗nA4k2

sin|^-=解得出=彳-§，kGL

又???f(x)在[0,上是單調(diào)函數(shù)，

2n

即---2，又

7^n,G)Ji,o>W2.?:a>>0,

2

，當〃=時，3=￡；

1O

當上=2時，3=2.

n2

/.。=萬，。=2或?=-.

規(guī)律方法函數(shù)尸4sin(o*+。)綜合應用的注意點

⑴對于平移問題，應特別注意要提取x的系數(shù)，即將Qx+0變?yōu)楹笤儆^察x

的變化.

(2)對于對稱性、單調(diào)性問題應特別注意將ox+。看作整體，代人一般表達式解出x的值.

(3)對于值域問題同樣是將3X+0看作整體，不同的是根據(jù)x的范圍求ox+0的范圍，

再依據(jù)圖像求值域.

(4)對于奇偶性問題，由。來確定，Gt￡Z)時是奇函數(shù)，+5(AeZ)時是偶

函數(shù).

【訓I練2]設(shè)函數(shù)Ax)=sin(2x+。)(-"V。V0)圖像的一條對稱軸是直線尸今

(1)求0的值；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

解(1)?."=2是函數(shù)f(x)=sin(2x+0)的一條對稱軸，

O

nJT

.*.2X—+(i>=k^kGZ.

oZ

*.*—JTV0V0,由此可得0=一—j-.

,一，Ji3nn

(2)由題意，得2?u一萬W2x一丁〈24幾+萬，kGZ,

,,n5n

解得k八kd,

oo

sin(2x—斗，的單調(diào)遞增區(qū)間為

...函數(shù)f(x)=

冗5n

kn+—,4兀+-5~,AeZ.

oo

課堂反饋自主反饋，檢測成效

課堂達標

1.函數(shù)尸2sin13x—■1的圖像的一個對稱中心坐標是(

)

B.e,0

A.

6T

冗An,

x=—+—(k^Z),

令4=0,則*=今把犬=會代入尸^si

得了=一1,；.對稱中心為(已，-lj.

答案D

2.函數(shù)y=3sin(^■—3,的單調(diào)遞減區(qū)間是()

2〃n5冗24兀Ji

A.——訪(AeZ)

24n5n2kTI冗

B.(AGZ)

312312

2k穴叮2"兀

C.~一一T?(AGZ)

2〃Jin2k^5n

D.~3~~~L2f~^+~L2(ASZ)

解析y=3sinf^--3,=-3sin

???y=3sinK~—3,的遞減區(qū)間就是

y=sin(3x—予的遞增區(qū)間.

nJI兀、，2k五24兀n,、

由2k五一方W3x—24n+丁(A￡Z)得-71一行＜XWF~~十丁(4￡Z).

答案C

3.函數(shù)F(x)=tsin(x+與j+cos(x―，的最大值為()

631

A.TB.1C.7D.7

□oo

n1JIJI

=cosx+w=sinx+—\,則/'(x)=■sinl^r+-l+sinlx+—

35