第三課時(shí)余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例

課前篇咱主梳理穩(wěn)固根底

［筆記教材］

學(xué)問點(diǎn)1測量距離問題

當(dāng)線段48的長度不行直接測量時(shí)，求A,8兩點(diǎn)間的距離有以

下三種類型:

類型圖形解法

測出兩邊及其夾角：

A,8兩點(diǎn)間不行達(dá)又BC=a,AC=b,角C,運(yùn)用

不行視余弦定理得AB=

c

\la2-hb2—2abcosC

測出兩角及其夾邊：

BC=a,角3,角C,依據(jù)正

弦定理-^=-^=

sinCsinA

BC

A,B兩點(diǎn)間可視但不A

sin[7c—(B+Q]

行達(dá)（如人與點(diǎn)5在河

_BC

的同側(cè)，A在另一側(cè)）B'u---------C

"sin(B+C)

_________W_______彳曰

-sin(B+C)'得

AB=

sin(B+C)

續(xù)表

類型圖形解法

先在△AOC和△3DC中分別求出

A,8兩點(diǎn)都不行達(dá)（如AJi

--.K.--------AD,3。（或AC,BQ,再在△

點(diǎn)4與8在河的同側(cè)，

~~r—'、wA3。（或△ABC）中運(yùn)用余弦定理求

人在另一側(cè)）DaC

解.

在△4DC中，由正弦定理可得AO

asinNACZ)

sin(NADC+NACD)'

在△8DC中，由正弦定理可得8Q

asinNBCO

sin(N3OC+N3c0'

在△450中，由余弦定理可得AB

7AU+BD1-2ADBDcos/ADB

學(xué)問點(diǎn)2測量角度問題

實(shí)際應(yīng)用問題中的一些關(guān)于角的術(shù)語、名稱:

⑴坡角

坡面與水平面的夾角，如圖：

(2)仰角和俯角

與目標(biāo)視線在同一鉛直平面內(nèi)的水平線和目標(biāo)視線的夾角，當(dāng)目

標(biāo)視線在水平線上方時(shí)叫做仰角，當(dāng)目標(biāo)視線在水平線下方時(shí)叫做俯

角，如圖：

.視線

鉛

水

,平線

仰

角

垂

角

俯

線.

、視線

(3)方位角

指從正北方向線順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，方位角的取

值范圍是［0,2兀).如圖中B點(diǎn)的方位角為a.

北,

西東

南B

(4)方向角

相對于某一正方向的水平角，即從指定方向線到目標(biāo)方向線的水

平角.方向角小于90。，通常表達(dá)成：正北或正南，北偏東30°,南

偏西30。等.如圖，點(diǎn)C位于點(diǎn)8的北偏東60。或東偏北30。方向上.

學(xué)問點(diǎn)3測量高度問題

測量高度是在與地面垂直的豎直平面內(nèi)構(gòu)造直角三角形，依據(jù)條

件結(jié)合正弦定理和余弦定理來解決.解決測量高度問題時(shí)，經(jīng)常會消

失仰角和俯角，要留意它們的區(qū)分與聯(lián)系.

［重點(diǎn)理解］

運(yùn)用正、余弦定理解決實(shí)際問題的根本步驟

⑴分析:理解題意，弄清與未知，畫出示意圖(一個(gè)或幾個(gè)三角

形)；

(2)建模:依據(jù)條件與求解目標(biāo)，把量與待求量盡可能地集中在

有關(guān)三角形中，建立一個(gè)解三角形的數(shù)學(xué)模型；

(3)求解:利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得數(shù)學(xué)模型的

解；

(4)檢驗(yàn):檢驗(yàn)所求的解是否符合實(shí)際問題，從而得出實(shí)際問題

的解.

［自我排查］

1.思維辨析.(對的打“,錯(cuò)的打"X")

(1)基線選擇不同，同一個(gè)量的測量結(jié)果可能不同.()

(2)東偏北45。的方向就是東北方向.()

(3)兩點(diǎn)間可視但不行到達(dá)問題的測量方案實(shí)質(zhì)是構(gòu)造兩角及一

邊的三角形并求解.()

(4)如下圖，為了測量隧道A3的長度，可測量數(shù)據(jù)。，江〉進(jìn)行

計(jì)算.()

解析：⑴J.

(2)由方向角的定義可知該說法正確.

(3)，可由正弦定理解三角形求解.

(4)4由余弦定理可求出AB.

2.一艘船自西向東勻速航行，上午10時(shí)到達(dá)一座燈塔P的南偏

西75。距塔68nmile的M處，下午2時(shí)到達(dá)這座燈塔的東南方向的N

處，那么此船的航行速度的大小為()

A.17y(nmile/h)B.344(nmile/h)

C.17y(nmile/h)D.34/(nmile/h)

答案：A

解析：如下圖，在APMN中,

PMMN

sin45。=sin120°'

68乂仍

：.MN=E=34^r6.

.MNn^6

.-v=~^~=_2（nmile/h）.

3.兩燈塔A,B與海洋觀看站C的距離都等于a(km),燈塔A

在。北偏東30。的方向上，B在。南偏東60。的方向上，那么A,B

之間距離為()

A.-\[2akmB.小akm

C.akmD.2akm

答案：A

4.一艘船以4km/h的速度沿著與水流方向成120。的方向航行，

河水流速為2km/h,那么經(jīng)過2h,該船實(shí)際航程為km.

答案：4小

;二二二X

率騫?善二

水流方.

解析：如下圖，

?實(shí)=留+42—2X4X2XCOS60°

=2小(km/h),

所以實(shí)際航程為25X2=44(km).

5.如圖，在某地震災(zāi)區(qū)的搜救現(xiàn)場，一條搜救犬從4處沿正北

方向行進(jìn)％m到達(dá)3處發(fā)覺一個(gè)生命跡象，然后向右轉(zhuǎn)105。，行進(jìn)

10m到達(dá)C處發(fā)覺另一個(gè)生命跡象，這時(shí)它向右轉(zhuǎn)135。后連續(xù)前行

回到動身點(diǎn)，那么％=m.

敗安.1^/6

解析：由題意NC8A=75。，ZBCA=45°,

所以N5AC=180°-75°-45°=60°,

由正弦定理可得s,45。=sin60"所以%=味⑺?

課堂篇?重點(diǎn)難點(diǎn)研習(xí)突破

研習(xí)1測量距離問題

［角度一］兩點(diǎn)間不行通又不行視

［典例1］如下圖，要測量一水塘兩側(cè)A,8兩點(diǎn)間的距離，其方

法是先選定適當(dāng)?shù)奈恢肅,用經(jīng)緯儀測出角a,再分別測出AC,BC

的長b,a,那么可求出A,B兩點(diǎn)間的距離，即AB=y］a2-\-b2-2abcosa.

假設(shè)測得CA=400m,CB=600m,NACB=60。，試計(jì)算AB的長.

［答案］20Mm

［角度二］兩點(diǎn)間可視但有一點(diǎn)不行到達(dá)

［典例2］如下圖，A,3兩點(diǎn)在一條河的兩岸，測量者與A在同

側(cè)，且3點(diǎn)不行到達(dá)，要測出A,3的距離，其方法是在A所在的岸

邊選定一點(diǎn)C,可以測出A,C的距離如再借助經(jīng)偉儀，測出NAC8

=a,/CAB=6,在△ABC中，運(yùn)用正弦定理就可以求出A,3的距

離.

假設(shè)測出AC=60m,/BAC=75。,N3cA=45。，那么A,B兩

點(diǎn)間的距離為m.

［答案］20^6

［角度三］兩點(diǎn)都可視但不行到達(dá)

［典例3］如圖，A,8兩點(diǎn)在河的同側(cè)，且A,8兩點(diǎn)均不行到

達(dá)，要測出A,B的距離，測量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)C,D,測

得CQ=Q,同時(shí)在C,O兩點(diǎn)分別測得N3C4=a,ZACD=/3,ZCDB

=y,.在△AOC和△3DC中，由正弦定理分別計(jì)算出AC

和8C,再在△ABC中，應(yīng)用余弦定理計(jì)算出A3.假設(shè)測得8=寧

km,ZADB=ZCDB=3Q°,ZACD=60°,ZACB=45°,求A,B兩

點(diǎn)間的距離.

［答案］乎km

［巧歸納］當(dāng)A,8兩點(diǎn)之間的距離不能直接測量時(shí)，求A3的距

離分為以下三類：

（1）兩點(diǎn)間不行通又不行視（如圖①）：可取某點(diǎn)C,使得A,B與

。之間的距離可直接測量，測出AC=b,BC=a以及NAC3=y,利

用余弦定理得：

AB=-\la2+h2—2abcosy.

（2）兩點(diǎn)間可視但有一點(diǎn)不行到達(dá)（如圖②）：可選取與5同側(cè)的點(diǎn)

C,測出以及NA3C和NACB,先使用內(nèi)角和定理求出N3AC,

再利用正弦定理求出A3.

（3）兩點(diǎn)都可視但不行到達(dá)（如圖③）：在河邊測量對岸兩個(gè)建筑物

之間的距離，可先在一側(cè)選取兩點(diǎn)C,D,測出CO=m,ZACB,Z

ACD,AADC,ZADB,再在△BCO中由正弦定理求出BC,在△AQC

中由正弦定理求出AC,最終在△ABC中，由余弦定理求出A3.

研習(xí)2測量高度問題

［角度一］測量仰角（或俯角）求高度

［典例4］（1）如圖，在離地面高400m的熱氣球M上，觀測到山

頂C處的仰角為15。，山腳A處的俯角為45。./區(qū)4。=60。，那么山的

同度BC為（）

A.700mB.640m

C.600mD.560m

(2)如圖，某登山隊(duì)在山腳A處測得山頂3的仰角為35。，沿傾斜

角為20。的斜坡前進(jìn)1000m后到達(dá)D處，又測得山頂?shù)难鼋菫?5。,

求此山的高度.(精確到1m,參考數(shù)據(jù)：sin35°^0.5736,^2^1.414)

(1)［答案］C

［解析］如圖，過點(diǎn)M作垂足為D

在RtZkAMD中，NK4Q=45°,MD=40Qm,

MD

4so=40(Mr^(m).

ol.ll一)

在△MAC中，ZAMC=45°+15°=60°,

ZMAC=180°-45°-60°=75°,

所以NMCA=180°-ZAMC-ZMAC=45°.

由正弦定理，得

AMsinZAMC40Mx

AC=-----------------=40()V3(m).

sinZMCA孚

在RtAABC中，

、行

BC=ACsinZBAC=400V3X^=600(m).

(2)［解］如圖，過點(diǎn)。作。?〃AC交BC于E,

由于NQAC=20。，所以NADE=160。,

于是乙4。3=360。-160°—65°=135°.

又/區(qū)4。=35°—20。=15°,所以NABO=30°.

在△A3。中，由正弦定理，得

ADsinZADB1000Xsin1350

=100()V2(m).

sinN/AASnDr\sin30°

在中，8C=A8sin35°-8n(m).

［內(nèi)化?悟］兩次觀測點(diǎn)和所測垂線段的垂足在同一條直線上，此

類測量高度問題的解題思路是什么？

提示：放在直角三角形中，依據(jù)所給的邊、角的關(guān)系，求出與所

求高相關(guān)的一條邊的長，然后再求高.

［巧歸納］測量仰角(或俯角)求高度問題

(1)根本思路：構(gòu)造含建筑物高度的三角形，用正、余弦定理解

答.

(2)構(gòu)造三角形的方法

①如圖①所示，取經(jīng)過建筑物4?底部3的基線上兩點(diǎn)H,G,

用同樣高度的兩個(gè)測角儀?！焙虲G測量得仰角小?,測量兩個(gè)測角

儀的距離以G,構(gòu)成△ACD

②如圖②所示，在建筑物CD的頂部直立物體8C,分別在8,C

兩處測量俯角?,B，構(gòu)成△A3C.

［角度二］測量方向角求高度

［典例5］(1)(2020?福建龍巖高二檢測)如圖，某景區(qū)欲在兩山頂

A,C之間建纜車，需要測量兩山頂間的距離，山高A3=lkm,CD

=3km,在水平面上E處測得山頂A的仰角為30。，山頂。的仰角為

60°,ZAEC=150°,那么兩山頂A,C之間的距離為()

2市km3A/3km

4啦km3小km

(2)如圖，某人在塔的正東方向上的C處，在與塔垂直的水平面

內(nèi)，沿南偏西60。的方向以每小時(shí)6千米的速度步行了1分鐘以后，

在點(diǎn)D處望見塔的底端B在東北方向上，沿途塔的仰角ZAEB=a,

a的最大值為60°.

①求此人沿南偏西60。的方向走到仰角a最大時(shí)，走了幾分鐘；

②求塔的高A3.

⑴［答案］A

［解析］由于AB=\,CD=3,ZAEB=30°,NCED=60。,Z

AEC=150°,

所以AE=2A3=2,6QO=^3=2V3,

在△ACE中，由余弦定理，得

AC2=AE2+CE2~2XAEXCEXCOSZAEC

=28,

所以AC=26km,即兩山頂A,C之間的距離為入「km.

(2)［解］①依題意知，在△DBC中，ZBCD=30°,ZDBC=180°

—45。=135。，CD=6000X*100(m),0=18。。-135。-3。。=15。,

CDBC

由正弦定理,得

sinD'

m-CPsinDlOOXsin15°

所以BC=?而

sinZDZJCsmi135

逐一也

VV

IOOX-4--

=----啦----=50（小-l）（m）.

2

在RtAABE中，tan。=左DtL，

由于48為定長，所以當(dāng)?shù)拈L最小時(shí)，a取得最大值60。，這

時(shí)BELCD.

當(dāng)時(shí)，在RtZiBEC中，

EC=BCcosNBCE=50（小一1"=25（3一?。╩）,設(shè)該人沿南

EC

偏西60。的方向走到仰角a最大時(shí)，走了，分鐘，那么，=彳而X60

25（3-^3）3一小八人

=6000*60=4（分鐘）.

②由①知，當(dāng)a取得最大值60。時(shí)，BELCD,

在RtABEC中，BE=BCsinZBCD,

所以AB=BE-tan60°=BCsinZBCDtan60°

=50（V3-l）x|xV3

=25（3一?。╩）,

即所求塔高為25（3-?。﹎.

［巧歸納］測量方向角求高度問題

（1）根本思路

方向角屬于水平面的角，而仰角屬于鉛垂面內(nèi)的角，所以此類問

題的圖形通常是立體圖形，解題的根本思路是把目標(biāo)高度轉(zhuǎn)化為三角

形的邊長，從而把空間問題轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)解三角形問題.

(2)根本方法

首先在與地面垂直的豎直平面內(nèi)構(gòu)造三角形或者在空間中構(gòu)造

三棱錐，再依據(jù)條件利用正、余弦定理解其中的一個(gè)或幾個(gè)三角形，

從而求出高度.

研習(xí)3測量角度問題

［角度一］計(jì)算角度問題

［典例6］如下圖，在坡度肯定的山坡A處測得山頂上一建筑物

CD的頂端C對于山坡的傾斜度為15°,向山頂前進(jìn)100m到達(dá)B處,

又測得C對于山坡的傾斜度為45。，假設(shè)0=50m,山坡對于地平

面的坡度為仇那么cos8=()

C

A.B.小

C.3—1D.^2-1

［答案］C

［解析］在3c中，由正弦定理，得

AB________ACABAC

sinNAC3=sinNA8C即sin3(T=sin135°'

所以AC=100Vl

Arm

在中，由正弦定理得sinNsinNCA。'

'sin(6?+90°)sin15°'

所以cos0=sin(9+90°)=/C15=事一1.

［角度二］求航向中的角度問題

［典例7］(2020?江蘇南通高一檢測)如圖，在海岸A處，發(fā)覺南

偏東45。方向距A為（2審一2）海里的B處有一艘走私船，在A處正北

方向，距A為人傍每里的C處的緝私船馬上奉命以海里/時(shí)的速

度追截走私船.

（1）剛發(fā)覺走私船時(shí)，求兩船的距離；

（2）假設(shè)走私船正以1所海里/時(shí)的速度從B處向南偏東75。方向

逃跑，問緝私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的時(shí)

間.（精確到分鐘，參考數(shù)據(jù)：81.4,冊心2.5）

［解］⑴在△A3C中，由于A3=（2小一2）海里，AC=2啦海里,

ZBAC=135°,

由余弦定理，得

BC=y］（2事-2）2+（2立￥-2X2小義（2小-2）cos135°

=4（海里）.

（2）依據(jù)正弦定理，

可付sinNABC=口廠=不

nCZ

所以NA8C=30。，易知NACB=15。，

設(shè)緝私船應(yīng)沿CD方向行駛，小時(shí)，才能最快截獲（在D點(diǎn)）走私

船，如下圖.

那么有8=1附/（海里），

M=10V^（海里）.

而NC3O=120。，在△BCD中，依據(jù)正弦定理,

BDsinZCBDlOj2?sin120°_V2

可得sinN3CD=

CD10V3z—2'

所以N8CD=45。，/BDC=15°,所以NACD=60。.在△CBD中,

依據(jù)正弦定理'得sinNBDC=sinNCBD'

Pfl410^3/

即迅E邁一也，

42

解得胃逅產(chǎn)小時(shí)"47分鐘.

故緝私船沿南偏東60。方向，大約需47分鐘才能追上走私船.

［巧歸納］1.測量角度問題的根本思路

測量角度問題的關(guān)鍵是在弄清題意的根底上，畫出表示實(shí)際問題

的圖形，并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離，再用正弦定理或余弦定理

解三角形，最終將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題的解.

2.測量角度問題畫示意圖的根本步驟

1.某人先向正東方向走了xkm,然后他向右轉(zhuǎn)150。，向新的方

向走了3km,結(jié)果他離動身點(diǎn)恰好為gkm,那么％的值為（）

A.小B.2小

C.2小或小D.3

答案：C

解析：依據(jù)余弦定理，可得

（表）2=JC2+32—2義3%*cos（180?！?50。），

即_?一3小%+6=0,解得％=2，5或小.

2.兩座燈塔A和B與海岸觀看站。的距離相等，燈塔A在觀看

站北偏東40。的方向上，燈塔3在觀看站南偏東60。的方向上，那么

燈塔A在燈塔B的（）

A.北偏東10°B.北偏西10。

C.南偏東10°D.南偏西10。

答案：B

解析：如圖，由，得

ZACB=180°-(40°+60°)=80°,

'：AC=BC,

：.NA=ZCBA=|X(180°-80°)=50°.

又EC//BD,

：.NCBD=NBCE=60°,

那么ZABD=60°-50°=10°,

二.燈塔A在燈塔3的北偏西10。的方向上.

3.江岸邊有一炮臺高30m,江中有兩條船，由炮臺頂部測得俯

角分別為45。和30。，而且兩條船與炮臺底部連線成30。角，那么兩條

船相距m.

答案：30

解析：如圖，過炮臺頂部4作水平面的垂線，垂足為3,設(shè)A處

觀測小船C的俯角為45°,A