PAGE2025年高考數學一輪復習課時作業(yè)-平面向量的數量積（原卷版）(時間:45分鐘分值:85分)【基礎落實練】1.(5分)如果向量a,b滿足a=1,b=2,且a⊥(a-b),則a和b的夾角大小為()A.30° B.135° C.75° D.45°2.(5分)已知向量a,b滿足a+b=5,a-b=4,則a·A.9 B.3 C.6 D.93.(5分)(2023·佛山模擬)向量a=(2,23)在向量b=(3,1)上的投影向量是()A.(-3,3) B.(3,3)C.(3,-3) D.(-3,-3)4.(5分)(2023·臨滄模擬)已知向量a=(2,1),a·b=10,a+b=52,則b=(A.5 B.10 C.5 D.105.(5分)(多選題)(2023·淮安模擬)已知a,b,c是平面內三個非零向量,則下列結論正確的是()A.若a·c=b·c,則a=bB.若a+b=a-bC.若a∥c,b∥c,則a∥bD.若a∥b,則a·b=a6.(5分)(多選題)(2023·蘇州模擬)如圖,已知正六邊形ABCDEF的邊長為1,記BC=e,則()A.AD=2(AE+AC)B.AB·(EA+2FA)=|AB|2C.BC(CD·FE)=(BC·CD)FED.AE在CB方向上的投影向量為327.(5分)(2023·浦東模擬)已知A,B是圓心為C,半徑為5的圓上的兩點,且AB=5,則AC·CB=.

8.(5分)(2023·保山模擬)已知平面向量a,b的夾角為π3,且a=1,b=2,則2a-b與b的夾角是9.(5分)已知向量a,b滿足a+b=a-2b,其中b是單位向量,則a10.(10分)平面內三個向量a=(1,2),b=(-1,1),c=(3,3).(1)若d=25,且d與a方向相反,求d的坐標;【加練備選】1.(2023·大慶模擬)已知向量a,b滿足a=2,b=(1,1),a·b=-2,則sin<a+b,b>=()A.12 B.22 C.322.(多選題)已知a=b=a+b=1,下述結論正確的是(A.a-b=3 B.(a+b)·bC.<a-b,b>=π6 D.(a-2b)·a11.(10分)(2023·滁州模擬)已知平面向量a,b是單位向量,且a⊥(a-2b).(1)求向量a,b的夾角;(2)若a-b=(12,-32),向量c與向量a-b共線,且|c|=|a+b|,求向量【能力提升練】12.(5分)(多選題)(2023·鄭州模擬)蜜蜂的巢房是令人驚嘆的神奇天然建筑物.巢房是嚴格的六角柱狀體,它的一端是平整的六角形開口,另一端是封閉的六角菱形的底,由三個相同的菱形組成,巢中被封蓋的是自然成熟的蜂蜜.如圖是一個蜂巢的正六邊形ABCDEF,下列說法正確的是()A.AC-AE=BFB.AC+AE=2C.AD·AB=|AB|2D.EC在AB上的投影向量為313.(5分)(2023·寧德模擬)在平行四邊形ABCD中,已知DE=12EC,BF=12FC,AE=2,AF=6,則AC·【加練備選】已知△OAB中,OA=1,OB=2,OA·OB=-1,過點O作OD垂直AB于點D,點E滿足OE=12ED,則EO·EA的值為14.(10分)(2023·蘇州模擬)已知△ABC中,AB=2,AC=3,BP=13BC,Q是邊AB(1)若AQ=25AB,O點為AP與CQ的交點,請用AB,AC表示(2)若點Q使得AP⊥CO,求cos∠BAC的取值范圍.2025年高考數學一輪復習課時作業(yè)-平面向量的數量積（解析版）(時間:45分鐘分值:85分)【基礎落實練】1.(5分)如果向量a,b滿足a=1,b=2,且a⊥(a-b),則a和b的夾角大小為()A.30° B.135° C.75° D.45°【解析】選D.由a⊥(a-b),則a·(a-b)=a2-a·b=a2-abcos<a,則1-1×2cos<a,b>=0,得cos<a,b>=22,0°≤<a,b>≤180°,所以<a,b>=45°2.(5分)已知向量a,b滿足a+b=5,a-b=4,則a·A.9 B.3 C.6 D.9【解析】選D.因為a+b=5,所以即得a2+b2+2a·b=25,又a-b=4,同理可得a2+b2-2a·b=16,兩式相減得4a·b=9,即a·b=3.(5分)(2023·佛山模擬)向量a=(2,23)在向量b=(3,1)上的投影向量是()A.(-3,3) B.(3,3)C.(3,-3) D.(-3,-3)【解析】選B.因為a=(2,23),b=(3,1),所以a·b=2×3+23×1=43,b=(3所以向量a=(2,23)在向量b=(3,1)上的投影向量為a·bb·bb=4344.(5分)(2023·臨滄模擬)已知向量a=(2,1),a·b=10,a+b=52,則b=(A.5 B.10 C.5 D.10【解析】選A.因為a=(2,1),所以|a|=5,又因為a·b=10,a+b=52,所以a+b2=50,即|a|2+2a·b+|b|5.(5分)(多選題)(2023·淮安模擬)已知a,b,c是平面內三個非零向量,則下列結論正確的是()A.若a·c=b·c,則a=bB.若a+b=a-bC.若a∥c,b∥c,則a∥bD.若a∥b,則a·b=a【解析】選BC.對于A,若a·c=b·c,則accos<a,c>=bccos<b,則acos<a,c>=bcos<b,c>,但cos<a,c>與cos<b,c>不一定相同,所以得不到a=b,無法得到a=b,故A錯誤;對于B,若a+b=平方得a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,即a·b=0,所以a⊥b,故B正確;對于C,若a∥c,b∥c,則a∥b顯然成立,故C正確;對于D,a·b=abcos<a,ba·b=若a∥b,則cos<a,b>=±1,若cos<a,b>=-1,原式不成立,故D錯誤.6.(5分)(多選題)(2023·蘇州模擬)如圖,已知正六邊形ABCDEF的邊長為1,記BC=e,則()A.AD=2(AE+AC)B.AB·(EA+2FA)=|AB|2C.BC(CD·FE)=(BC·CD)FED.AE在CB方向上的投影向量為32【解析】選BCD.正六邊形ABCDEF的邊長為1,對于A,連接CE交AD于O,則△ACE為正三角形,且O為CE的中點,AE+AC=2AO,而AD=2,OD=EDsin30°=12,則AO=3|AE+AC|=2|AO|=3>|AD|,所以AD≠2(AE+AC),A不正確;對于B,AB⊥AE,∠BAF=120°,AB·(EA+2FA)=2AB·FA=2×1×1×cos60°=1=|AB|2,B正確;對于C,FE=BC,則有CD·FE=BC·CD,因此BC(CD·FE)=(BC·CD)FE,C正確;對于D,EF=CB=-e,<AE,EF>=150°,|AE|=2|AF|cos30°=3,向量AE在CB方向上的投影向量為|AE|cos<AE,CB>·CBCB=3cos150°(-e)=32e7.(5分)(2023·浦東模擬)已知A,B是圓心為C,半徑為5的圓上的兩點,且AB=5,則AC·CB=.

【解析】由題意,得圓C的半徑為5,且AB=5,由余弦定理知,cos∠ACB=52+5所以AC·CB=-CA·CB=-|CA||CB|cos∠ACB=-5×5×910=-45答案:-458.(5分)(2023·保山模擬)已知平面向量a,b的夾角為π3,且a=1,b=2,則2a-b與b的夾角是【解析】由平面向量a,b的夾角為π3,且a=1,b=2,可得(2a-b)·b=2a·b-b22×1×2cosπ3且2a-b=4設向量2a-b與b的夾角為θ,所以cosθ=(2a-b)·因為θ∈[0,π],可得θ=2π3,即2a-b與b的夾角為2π答案:2π9.(5分)已知向量a,b滿足a+b=a-2b,其中b是單位向量,則a【解析】因為b是單位向量,所以b=1.因為a+b=a-2b,所以(a+b)2=(a化簡得2a·b=b2=1,即a·b=12所以a在b方向上的投影向量是a·bb2·b答案:1210.(10分)平面內三個向量a=(1,2),b=(-1,1),c=(3,3).(1)若d=25,且d與a方向相反,求d的坐標;【解析】(1)設d=λa(λ<0),則d=λa=(λ,2λ),由d=25可得λ2+(2λ所以d=(-2,-4);(2)若(a+kc)⊥(a-2b),求a+kc在向量a上的投影向量的模.【解析】(2)a+kc=(1+3k,2+3k),a-2b=(3,0),由題意得3(1+3k)=0?k=-13所以a+kc=(0,1),所以a+kc在向量a上的投影向量的模為(a+kc)·a【加練備選】1.(2023·大慶模擬)已知向量a,b滿足a=2,b=(1,1),a·b=-2,則sin<a+b,b>=()A.12 B.22 C.32【解析】選D.由(a+b)·b=a·b+b2=-2+2=0,則cos<a+b,b>=(a由<a+b,b>∈[0,π],則<a+b,b>=π2故sin<a+b,b>=1.2.(多選題)已知a=b=a+b=1,下述結論正確的是(A.a-b=3 B.(a+b)·bC.<a-b,b>=π6 D.(a-2b)·a【解析】選AB.因為a=b=a+所以a+b2=a2+2a·b+b2=1?a·b=-12?<a,對于A項,a-b2=a2-2a·b+b2=3?a對于B項,(a+b)·b=a·b+b2=12對于C項,cos<a-b,b>=(a-b)·ba-bb=a·b-b2對于D項,(a-2b)·a=a2-2a·b=2≠0,故D錯誤.11.(10分)(2023·滁州模擬)已知平面向量a,b是單位向量,且a⊥(a-2b).(1)求向量a,b的夾角;【解析】(1)因為a⊥(a-2b),所以a·(a-2b)=a2-2a·b=0,又因為a,b是單位向量,設a與b的夾角為θ,所以a·(a-2b)=a2-2a·b=1-2cosθ=0,解得cosθ=12又θ∈[0,π],所以θ=π3(2)若a-b=(12,-32),向量c與向量a-b共線,且|c|=|a+b|,求向量【解析】(2)因為|c|=|a+b|,所以|c|2=|a+b|2=a2+b2+2a·b=3,即|c|=3.設c=(x,y),則有|c|=x2+y因為向量c與向量a-b共線,所以-32x=12y,解得y=-3聯(lián)立兩式解得:x=32所以c為(32,-32)或(-32,【能力提升練】12.(5分)(多選題)(2023·鄭州模擬)蜜蜂的巢房是令人驚嘆的神奇天然建筑物.巢房是嚴格的六角柱狀體,它的一端是平整的六角形開口,另一端是封閉的六角菱形的底,由三個相同的菱形組成,巢中被封蓋的是自然成熟的蜂蜜.如圖是一個蜂巢的正六邊形ABCDEF,下列說法正確的是()A.AC-AE=BFB.AC+AE=2C.AD·AB=|AB|2D.EC在AB上的投影向量為3【解析】選CD.對A,AC-AE=EC,顯然由題圖可得EC與BF為相反向量,故A錯誤;對B,由圖易得AE=AC,直線AD平分∠EAC,且△ACE為正三角形,根據平行四邊形法則有AC+AE=2AH,與AD共線且同方向,易知△EDH,△AEH均為含π6角的直角三角形,故EH=3DH,AH=3EH則AD=4DH,而2AH=6DH,故2AHAD=32,故AC+AE對C,因為∠BCD=∠ABC=2π3AB=BC=DC,所以∠BDC=∠DBC=π6,則∠ABD=π又因為AD∥BC,所以∠DAB=π3,AD=2ABAD·AB=ADABcosπ3=2AB2×1對D,連接AE,作CG垂直AB所在直線,垂足為G,記AB=m,由C選項可知EA⊥AB,所以EC在AB上的投影向量為AG,易知在Rt△BCG中,∠CBG=π3,BC=m所以BG=12m,所以AG=32m,故AG=313.(5分)(2023·寧德模擬)在平行四邊形ABCD中,已知DE=12EC,BF=12FC,AE=2,AF=6,則AC·【解析】設AB=a,AD=b,由DE=12EC,BF=可得AE=AD+DE=13a+bAF=AB+BF=a+13b又因為AE=2,AF=6,所以AE2=(13a+b)2=19a2+b2+23a·b=2,AF2=(a+13b)2=兩式相減得到89a2-89b2=4,可得a2-b2=又由AC=a+b,BD=b-a,所以AC·BD=(a+b)·(b-a)=b2-a2=-92答案:-9【加練備選】已知△OAB中,OA=1,OB=2,OA·OB=-1,過點O作OD垂直AB于點D,點E滿足OE=12ED,則EO·EA的值為【解析】OA·OB=1×2×cos<OA,OB>=2cos<OA,OB>=-1,cos<OA,OB>=-12由于0≤<OA,OB>≤π,所以<OA,OB>=2π3AB=12+2S△OAB=12×7×OD=12×1×2×sin2π3,OD=37,由于所以OE=37×13=121,ED=37×23=221,