第03講古典概型

號(hào)目標(biāo)導(dǎo)航

課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀

1.了解基本事件的特點(diǎn)，理解古典概型的定義及特點(diǎn)；通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求會(huì)判斷古典概型，

2.理解古典概型的概率公式，會(huì)用列舉法計(jì)算一些隨會(huì)求隨機(jī)事件所包含的基本事件數(shù)，會(huì)應(yīng)

機(jī)事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；用古典概型的計(jì)算公式解決與古典概型有

3.會(huì)應(yīng)用古典概型的概率公式解決實(shí)際問題.關(guān)的問題.

四%.知識(shí)精講________________________________________________

知識(shí)點(diǎn)

1.基本事件

在一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的每一個(gè)基本結(jié)果叫做基本事件.

基本事件有如下特點(diǎn)：

①任何兩個(gè)基本事件是互斥的.

②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.

2.隨機(jī)事件的概率

對(duì)隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量(數(shù)值)稱為事件的概率，事件4的概率用P(4)表示.

3.古典概型

一般地，若試驗(yàn)E具有以下特征：(1)有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；(2)等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)

生的可能性相等.稱試驗(yàn)E為古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡(jiǎn)稱古典概型.

4.古典概型的概率公式

一般地，設(shè)試驗(yàn)E是古典概型，樣本空間Q包含"個(gè)樣本點(diǎn)，事件A包含其中的左個(gè)樣本點(diǎn)，則定義事件

A的概率P(A)=§=貌，其中，〃(A)和〃(0分別表示事件A和樣本空間2包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù).

【微點(diǎn)撥】求古典概型概率的步驟：

(1)確定樣本空間的樣本點(diǎn)的總數(shù)n

（2）確定所求事件A包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)m

m

（3）P（A）=n

【即學(xué)即練1】將一枚質(zhì)地均勻的骰子投兩次，得到的點(diǎn)數(shù)依次記為“，b,設(shè)事件M為“方程江+法+1

=0有實(shí)數(shù)解“，則事件M中含有樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）

A.6B.17C.19D.21

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)從24a可得隨機(jī)事件中含有的基本事件的個(gè)數(shù).

【詳解】

方程加+bx+1=0（“W0）有實(shí)數(shù)解，〃一4。20,

則M含有的樣本點(diǎn)為：

（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（2,6）；（3,4）,（3,5）,（3,6）,（4,4）,（4,5）,（4,6）,（5,5）,（5,6）,

（6,5）,（6,6）,共19個(gè)，故選：C.

【即學(xué)即練2】下列概率模型，其中屬于古典概型的是（）

A.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，從橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的所有點(diǎn)中任取一點(diǎn)

B.某射手射擊一次，可能命中0環(huán)，1環(huán)，2環(huán)，…，10環(huán)

C.某小組有男生5人，女生3人，從中任選1人做演講

D.一只使用中的燈泡壽命長(zhǎng)短

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)古典概型的特征依次判斷即可.

【詳解】

A不屬于，原因：所有橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)有無限多個(gè)，不滿足有限性；

B不屬于，原因：命中0環(huán)，1環(huán)，2環(huán)，…，10環(huán)的概率不一定相同，不滿足等可能性；

C屬于，原因：顯然滿足有限性，且任選1人與學(xué)生的性別無關(guān)，是等可能的：

D不屬于，原因：燈泡的壽命是任何一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，有無限多種可能，不滿足有限性.

故選：c.

【即學(xué)即練3】甲、乙兩人有三個(gè)不同的學(xué)習(xí)小組A8,C可以參加，若每人必須參加并且僅能參加一個(gè)學(xué)習(xí)

小組(兩人參加各小組的可能性相同)，則兩人參加同一個(gè)學(xué)習(xí)小組的概率為()

A.—B.—C.—D.一

3456

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，求得所有參加學(xué)習(xí)小組的情況，找出滿足題意的情況，再根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式即可求

得結(jié)果.

【詳解】

根據(jù)題意，甲乙兩人所有可能的參加情況有如下9種：

A4,AB,AC,BA,BB,BC,CA,CB,CC,

兩人參加同一個(gè)學(xué)習(xí)小組的情況有如下3種：

AA,BB,CC,

31

故兩人參加同一個(gè)學(xué)習(xí)小組的概率尸=j=§.故選：A.

【即學(xué)即練41小王同學(xué)有三支款式相同、顏色不同的圓珠筆，每支圓珠筆都有一個(gè)與之同顏色的筆帽，平

時(shí)小王都將筆桿和筆帽套在一起，但偶爾也會(huì)將筆桿和筆帽隨機(jī)套在一起，則小王將兩支筆的筆桿和筆帽

的顏色混搭的概率是()

A.-B.-C.；D.一

6326

【答案】C

【解析】

【分析】

設(shè)三支款式相同、顏色不同的圓珠筆分別為A,B,C,與之相同顏色的筆帽分別為。，b,c,利用古典

概型的概率能求出小王將兩支筆和筆帽的顏色混搭的概率.

【詳解】設(shè)三支款式相同、顏色不同的圓珠筆分別為A,B,C,與之相同顏色的筆帽分別為a,b,c,

將筆和筆帽隨機(jī)套在一起，基本事件有：

(4a,Bb,Cc),(Aa,Be,Cb),{Ab,Ba,Cc),(Ab,Be,Ca),(Ac,Bh,Ca),(Ac,Ba,Cb),

共有6個(gè)基本事件，

小王將兩支筆和筆帽的顏色混搭包含的基本事件有：

(Aa,Be,Cb),(Ab,Ba,Ct),(Ac,Bb,Ca),共有3個(gè)基本事件，

，小王將兩支筆和筆帽的顏色混搭的概率是P=,=?.故選：C

【即學(xué)即練5】(多選題)下列試驗(yàn)是古典概型的為()

A.從6名同學(xué)中選出4人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，每人被選中的可能性大小相等

B.同時(shí)擲兩顆骰子，點(diǎn)數(shù)和為6的概率

C.近三天中有一天降雨的概率

D.10人站成一排，其中甲、乙相鄰的概率

【答案】ABD

【解析】

【分析】

利用古典概型的定義和特點(diǎn)判斷.

【詳解】

由古典概型的定義和特點(diǎn)知：A,B,D是古典概型，

C不是古典概型，因?yàn)椴环系瓤赡苄?

故選：ABD

【即學(xué)即練6】從長(zhǎng)度為3,4,5,7,9的五條線段中任取三條，則取出的三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形的樣

本空間是.

【答案】{(3,4,5),(3,5,7),(3,7,9),(4,5,7),(4,7,9),(5,7,9)}

【解析】

【分析】

根據(jù)三角形三邊的關(guān)系用列舉法即可求解

【詳解】

從長(zhǎng)度為3,4,5,7,9的五條線段中任取三條，

則取出的三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形的樣本空間是

{(3,4,5),(3,5,7),(3,7,9),(4,5,7),(4,7,9),(5,7,9))

故答窠為：{(3,4,5),(3,5,7),(3,7,9),(4,5,7),(4,7,9),(5,7,9)}.

【即學(xué)即練7】從0,1,2這3個(gè)數(shù)字中，不放回地取兩次，每次取一個(gè)，構(gòu)成數(shù)對(duì)?y),x為第一次取到

的數(shù)字，y為第二次取到的數(shù)字.

(1)寫出這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間；

(2)求出這個(gè)試驗(yàn)基本事件的總數(shù)；

(3)寫出“第一次取出的數(shù)字是2”這一事件.

【答案】⑴｛(0，1)，(0,2),(1,2),(1,0),(2,0),(24)｝；(2)6；⑶(2,0),(2,1)

【分析】

(1)根據(jù)事件的定義求解；

(2)直接計(jì)數(shù)可得；

(3)由(1)可得.

【解析】

(1)樣本空間：｛(0,1),(0,2),(1,2),(1,0),(2,0),(2,1)｝；

(2)由(1)知基本事件總數(shù)為6.

⑶由(1)得：(2,0),(2,1).

【即學(xué)即練8】一個(gè)正方體的表面涂滿了紅色，在它的每個(gè)面上切兩刀，可得27個(gè)小正方體，從中任取一

個(gè)，求恰有一個(gè)面涂有紅色的概率.

【答案】

【解析】

【分析】

求出恰有一個(gè)面涂有紅色的小正方體的個(gè)數(shù)，再利用古典概率公式計(jì)算作答.

【詳解】

依題意，試驗(yàn)共有27個(gè)基本事件，它們等可能，從中任取一個(gè)小正方體恰有一個(gè)面涂有紅色的事件為A,

于是得P(A)='=￡,

所以恰有一個(gè)面涂有紅色的概率是，

【即學(xué)即練9】拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，試計(jì)算下列事件的概率：

(1)兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)相同;

(2)兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和是6；

(3)兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和不是6；

(4)至少一枚骰子的點(diǎn)數(shù)是3.

【答案】⑴⑵看⑶芥(端

【分析】

拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，整個(gè)事件空間為。={(，，/)11MiM6,1M/46,仃eN}有36個(gè)基本事件，列舉出

(1),(2),(4)中的事件包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可得解，利用對(duì)立事件的概率關(guān)系可

求解(3)

【解析】

(1)由題意，拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，用有序數(shù)對(duì)《,/)表示第一枚骰子點(diǎn)數(shù)為i,第二枚骰子點(diǎn)數(shù)為故

整個(gè)事件空間為C={6力11/Q6,14j4611/eN},有36個(gè)基本事件

記兩枚骰了一的點(diǎn)數(shù)相同為事件A,故人={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)},有6個(gè)基本事件，由古典概型

的概率公式，尸(A)=3='

(2)記兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和是為6為事件B,故3={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)},有5個(gè)基本事件，由古典

概型的概率公式，尸(8)=巳

36

31

(3)記兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和不是6為事件C,由于事件8,C為對(duì)立事件，故尸(C)=l-2(5)=)

36

(4)記至少一枚骰子的點(diǎn)數(shù)是3為事件。，故

。={(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(1,3),(2,3),(4,3),(5,3),(6,3)},有11個(gè)基本事件，由古典概型的概率公

式，40="

36

【即學(xué)即練10］按文獻(xiàn)記載，《百家姓》成文于北宋初年，表1記錄了《百家姓》開頭的24大姓氏：

表1：

趙錢孫李周吳鄭王馮陳褚衛(wèi)

蔣沈韓楊朱秦尤許何呂施張

表2記錄了2018年中國(guó)人口最多的前10大姓氏:

表2：

1:李2：王3：張4：劉5：陳

6：楊7：趙8：黃9：周10：吳

從《百家姓》開頭的24大姓氏中隨機(jī)選取I個(gè)姓氏，則這個(gè)姓氏是2018年中國(guó)人口最多的前10大姓

氏的概率為.

【答案】|

【解析】2018年中國(guó)人口最多的前10大姓氏也是《百家姓》的前24大姓氏的是趙、李、周、吳、王、陳、

Q1]

楊、張，共8個(gè)，故所求概率為三=；,故答案為：

【即學(xué)即練II】袋子中裝有除顏色外其他均相同的編號(hào)為。，匕的兩個(gè)黑球和編號(hào)為c,d,e的三個(gè)紅球，

從中任意摸出兩個(gè)球.

(1)求恰好摸出1個(gè)黑球和1個(gè)紅球的概率：

(2)求至少摸出1個(gè)黑球的概率.

37

【答案】(1)—：(2)—.

510

【解析】(1)記事件A:恰好摸出1個(gè)黑球和1個(gè)紅球，

所有的基本事件有：(掇⑼、(a,c)、(a,d)、(a,e)、也c)、也d)、(b,e)、(c,d)、(c,e)、

共10個(gè)，事件A所包含的基本事件有：(”,c)、(a,d)、(a,e)、(0,c)、(b,d)、(b,e),共6個(gè)，

由古典概型的概率公式可知，P(A)弋?

⑵事件8:至少摸出1個(gè)黑球，則事件5所包含的基本事件有：(a,。)、(a,c)、(a,d)、(a,e)、e,c)、

7

也d)、伽e),共7個(gè)，由古典概型的概率公式可知，—.

Q能力拓展

考法01

求基本事件

【典例1】在抽查作業(yè)的試驗(yàn)中，下列各組事件都是基本事件的是()

A.抽到第一組與抽到第二組B.抽到第一組與抽到男學(xué)生

C.抽到女學(xué)生與抽到班干部D.抽到班干部與抽到學(xué)習(xí)標(biāo)兵

【答案】A

【解析】

【分析】

利用基本事件是不可能同時(shí)發(fā)生的定義，即可得到答案；

【詳解】

在A中，抽到第一組與抽到第二組不能同時(shí)發(fā)生，都是基本事件，故A正確；

在B中，抽到第一組與抽到男學(xué)生有可能同時(shí)發(fā)生，不都是基本事件，故B錯(cuò)誤；

在C中，抽到女學(xué)生與抽到班干部有可能同時(shí)發(fā)生，不都是基本事件，故C錯(cuò)誤；

在D中，抽到班干部與抽到學(xué)習(xí)標(biāo)兵有可能同時(shí)發(fā)生，不都是基本事件，故D錯(cuò)誤.

故選：A

【典例2】同時(shí)擲兩枚大小相同的骰子，用（x,y）表示結(jié)果，記事件A為“所得點(diǎn)數(shù)之和小于5”，則事件

A包含的樣本點(diǎn)數(shù)是（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)基本事件概念即可求解.

【詳解】

因?yàn)槭录嗀={（1,1）,（1,2）,（1,3）,（2,1）,（2,2）,（3,1）},

共包含6個(gè)樣本點(diǎn).故選：D.

【典例3］我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究種取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2

的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和“，如30=7+23.在不超過30的素?cái)?shù)種，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于

30的取法有種.

【答案】3

【解析】

【分析】根據(jù)題意列舉即可得答案.

【詳解】

解：不超過30的素?cái)?shù)有2,3,5,7,II,13,17,19,23,29,共10個(gè)，

從中隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和為30的有7+23,11+19,13+17這3種情況.

故答案為：3

【典例4】有4件產(chǎn)品，其中有2件是一等品，2件是二等品，從中任意摸出2件產(chǎn)品.

（1）其對(duì)應(yīng)的樣本空間為:

（2）樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為；

（3）“恰有一件是一等品”這一事件用集合表示為.

【答案】{（一等品，一等品），（一等品，二等品），（二等品，一等品），（二等品，二等品）}4{

（一等品，二等品），（二等品，一*等品）}

【分析】用列舉法即可求解

【詳解】有4件產(chǎn)品，其中有2件是一等品，2件是二等品，從中任意摸出2件產(chǎn)品.

其對(duì)應(yīng)的樣本空間為

｛（一等品，一等品），（一等品，二等品），（二等品，一等品），（二等品，二等品）｝,

樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4,

“恰有一件是一等品“這一事件用集合表示為｛（一等品，二等品），（二等品，一等品）｝,

故答案為：｛（一等品，一等品），（一等品，二等品），（二等品，一等品），（二等品，二等品）｝;4：｛（-

等品，二等品），（二等品，一等品）｝

【典例5】同時(shí)拋擲一枚骰子和一枚硬幣，寫出下列事件：

（1）硬幣是正面，骰子的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)；

（2）硬幣是正面，骰子的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)；

（3）硬幣是正面；

（4）骰子的點(diǎn)數(shù)是5.

【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析；（3）答案見解析；（4）答案見解析.

【分析】

（1）根據(jù)事件的定義書寫,前面寫硬幣的正面，后面寫出奇數(shù);

（2）根據(jù)事件的定義書寫，前面寫硬幣的正面，后面寫出偶數(shù)；

（I）根據(jù)事件的定義書寫，前面寫硬幣的正面，后面寫出所有數(shù);

（1）根據(jù)事件的定義書寫，前面寫硬幣的正面或反面，后面寫5；

【解析】

⑴（正面，1）,（正面，3）,（正面，5）

(2)(正面,2),（正面，4）,（正面，6）

（3）（正面，1）,（正面,2）,（正面,3）,（正面，4）,（正面,5）,（正面，6）

（4）（正面，5）,（反面,5）

考法02

古典概型的判定

并不是所有的試驗(yàn)都是古典概型，只有同時(shí)滿足有限性和等可能性這兩個(gè)條件的試驗(yàn)才是古典概型.兩

個(gè)條件中只要有一個(gè)不滿足就不是古典概型.

【典例6】下列試驗(yàn)是古典概型的是（）

A.口袋中有2個(gè)白球和3個(gè)黑球，從中任取一球，基本事件為｛取中白球｝和｛取中黑球｝

B.在區(qū)間［-1,5］上任取一個(gè)實(shí)數(shù)x,使『一3x+2>0

C.拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣，觀察其出現(xiàn)正面或反面

D.某人射擊中靶或不中靶

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)古典概型的特征：①有限性；②等可能性即可判斷.

【詳解】

根據(jù)古典概型的兩個(gè)特征進(jìn)行判斷.

A項(xiàng)中兩個(gè)基本事件不是等可能的，

B項(xiàng)中基本事件的個(gè)數(shù)是無限的，

D項(xiàng)中“中靶”與“不中靶”不是等可能的，

C項(xiàng)符合古典概型的兩個(gè)特征.

故選：C

【典例7】下列有關(guān)古典概型的說法中，正確的是()

A.試驗(yàn)的樣本空間的樣本點(diǎn)總數(shù)有限

B.每個(gè)事件出現(xiàn)的可能性相等

C.每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等

D.已知樣本點(diǎn)總數(shù)為"，若隨機(jī)事件A包含k個(gè)樣本點(diǎn)，則事件A發(fā)生的概率P(A)；：

【答案】ACD

【解析】

【分析】

根據(jù)古典概型的定義逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】

由古典概型概念可知：試驗(yàn)的樣本空間的樣本點(diǎn)總數(shù)有限；每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等.

故AC正確；每個(gè)事件不一定是樣本點(diǎn)，可能包含若干個(gè)樣本點(diǎn)，所以B不正確；

根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式可知D正確.

故選：ACD

【典例8】(1)在數(shù)軸上0~3之間任取一點(diǎn)x,觀察x是否小于1.此試驗(yàn)是否為古典概型？為什么？

(2)從1,2,3,4四個(gè)數(shù)中任意取出兩個(gè)數(shù)，觀察所取兩數(shù)之一是否是5.此試驗(yàn)是古典概型嗎？試說明

理由.

(3)投擲一顆質(zhì)地非均勻的骰子，觀察擲出的點(diǎn)數(shù).此試驗(yàn)是否為古典概型？為什么？

【解析】(1)在數(shù)軸上0~3之間任取一點(diǎn)，此點(diǎn)可以在0~3之間的任一位置，且在每個(gè)位置上的可能性是

相同的，具備等可能性.但試驗(yàn)結(jié)果有無限多個(gè)，不滿足古典概型試驗(yàn)結(jié)果的有限性.因此不屬于古典概

型.

(2)此試驗(yàn)是古典概型，因?yàn)榇嗽囼?yàn)的所有基本事件共有6個(gè)：(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),

(3,4),且每個(gè)事件的出現(xiàn)是等可能的，因此屬于古典概型.

(3)投擲一顆質(zhì)地非均勻的骰了，擲出的點(diǎn)數(shù)不是等可能出現(xiàn)的，質(zhì)地較重的那一面朝下的可能性比較大,

其對(duì)面的點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)的可能性就比其他點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)的可能性大，因此不屬于古典概型.

考法03

古典概型的計(jì)算

求古典概型的概率的關(guān)鍵是正確列出基本事件，在寫出基本事件后最好檢驗(yàn)一下各基本事件發(fā)生的概

率是否相同.求隨機(jī)事件的概率的關(guān)鍵就是明晰它包含了幾個(gè)基本事件.

要寫出所有的基本事件可采用的方法較多，例如列舉法、列表法、坐標(biāo)系法、樹形圖法等.無論采用哪種

方法，都要求按照一定的順序進(jìn)行，以做到不重不漏.

【典例9】從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽得的第一

張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為()

A.—B.-C.—D.-

105105

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，寫出所有抽取的基本事件，再找出滿足題意的基本事件，利用古典概型的概率計(jì)算公式即可求

得結(jié)果.

【詳解】

根據(jù)題意，不妨用(x,y)表示兩次抽取的基本事件，

其中x代表第一次抽取的數(shù)字，y代表第二次抽取的數(shù)字.

故所有抽取的可能有如下25種:

（1,1）,（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）（2,1）,（2,2）,（2,3）,（2,4）,（2,5）

（3,1）,（3,2）,（3,3）,（3,4）,（3,5）（4,1）,（4,2）,（4,3）,（4,4）,（4,5）

（5,1）,（5,2）,（5,3）,（5,4）,（5,5）

滿足抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的有如下10種：

（2,1）,（3,1）,（3,2）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,（）（）（）（4）,

102

根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式可得：該事件的概率P=方=（.

故選：D.

【典例10】有五條線段，長(zhǎng)度分別為2,3,5,7,9,從這五條線段中任取三條，則所取三條線段能構(gòu)成

一個(gè)三角形的概率為.

3

【答案】記

【解析】所有的基本事件有：（2,3,5）、（2,3,7）、（2,3,9）、（2,5,7）、（2,5,9）、（2,7,9）、（3,5,7）、（3,5,9）、

（3,7,9）、（5,7,9）,共10個(gè)，其中，事件“所取三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形”所包含的基本事件有：（3,5,7）、

（3,7,9）、（5,7,9）,共3個(gè)，由古典概型的概率公式可知，事件”所取三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形”的概率

33

為伍，故答案為：—.

【典例11】口袋內(nèi)裝有一些大小相同的紅球、黃球和藍(lán)球，從中摸出1個(gè)球，摸出紅球的概率為0.42,摸

出黃球的概率是0.28.若紅球有21個(gè)，則藍(lán)球有個(gè).

【答案】15

21

【解析】由題意摸出紅球的概率為0.42,并且紅球有21個(gè)，則總球數(shù)為——=50個(gè)，所以藍(lán)球的個(gè)數(shù)

0.42

為50x（1—0.42—0.28）=15個(gè).故答案為：15.

【典例12】同時(shí)拋擲三枚質(zhì)地均勻的硬幣，計(jì)算以下事件的概率：

（1）至少一枚反面朝上；

（2）至少兩枚反面朝上；

（3）恰好兩枚反面朝上.

_7I3

【答案】⑴（2）—；（3）-

Ozo

【分析】

同時(shí)拋擲三枚質(zhì)地均勻的硬幣，先列舉出整個(gè)事件空間有8個(gè)基本事件，分別列舉出（1）,（2）,（3）中的

隨機(jī)事件的基本事件，由古典概型的概率公式，即得解

【解析】

（1）同時(shí)拋擲三枚質(zhì)地均勻的硬幣，記整個(gè)事件空間為C,用+表示正面向上，一表示反面向上，則

。-,+）,（-,+,+）,（+,一,一）,（一,+,一）,（一,一,+）,（一,一,一）｝包含8個(gè)基本事件，

記至少一枚反面朝上為事件A,則A=,-,+）,（一,一,一）｝

7

包含7個(gè)基本事件，則P（A）=~

O

（2）記至少兩枚反面朝上為事件B,則5=（-,+,-）,（-,+）,（-,-））

41

包含4個(gè)基本事件，則尸（8）=苒=；

82

（3）記恰好兩枚反面朝上為事件C,則。=｛（+,-,一）,（一,+,一）,（一,一,+）｝包含3個(gè)基本事件，則尸（。=]

O

【典例13】甲袋中有5個(gè)球（3紅，2白），乙袋中有3個(gè)球（2紅，1白），從每袋中各任取1個(gè)球，求至

少取到1個(gè)白球的概率.

【答案】|

【解析】

【分析】

記甲袋中有5個(gè)球（3紅，2白）分別為A、4、A3、與、Bz.乙袋中有3個(gè)球（2紅，1白）分別為《、

%、b,用列舉法列出所有可能結(jié)果，再找出符合至少取到1個(gè)白球的事件，再根據(jù)古典概型的概率公式計(jì)

算可得；

【詳解】依題意記甲袋中有5個(gè)球（3紅，2白）分別為A、&、A,、用、層；

乙袋中有3個(gè)球（2紅，1白）分別為q、出、b；則從每袋中各任取I個(gè)球一共有（4馮）、（As）、（46）、

（4,4）、（4,%）、（4,6）、（4嗎）、（怎出）、（A，b）、（用嗎）、（耳嗎）、（綜。）、（乙嗎）、（6,外）、（B2,b）

共15個(gè)；

至少有一個(gè)白球的有（A，幼、（&?、（人⑼、（4,4）、（可四）、（綜6）、（氏4）、（鳥嗎）、出力）共9

93

個(gè)；所以至少取到1個(gè)白球的概率2=百=：

【典例14】小明、小亮和小強(qiáng)三人準(zhǔn)備下象棋，他們約定用“拋硬幣”的游戲方式來確定哪兩個(gè)人先下棋,

規(guī)則如下圖所示.求一個(gè)回合能確定兩人先下棋的概率.

游戲規(guī)則

三人手中各持有一枚質(zhì)地

均勻的硬幣，他們同時(shí)將手中

的硬幣拋落到水平地面上為一

個(gè)回合，落地后，三枚硬幣中，

恰有兩枚正面向上或者反面向

上的兩人先下棋；若三枚硬幣

均為正面向上或反面向上，則

確定哪兩人先下

3

【答案匕

【解析】

【分析】

利用列舉法求得所有情況，找出一個(gè)回合能確定兩人先下棋的情況，結(jié)合古典概型的概率計(jì)算公式，即可

求解.

【詳解】

根據(jù)題意，利用列舉法畫出樹狀圖，如圖所示:

可共有8種情況，其中一個(gè)回合能確定兩人下棋的情況有6種情況,

所以一個(gè)回合能確定兩人卜棋的概率為尸44

小明

小強(qiáng)正面反面正面反面正面反面正面反面

不

確

確

確

確

確

不

確

確

定

定

定

定

定

定

確

定

定

考法04

易錯(cuò)點(diǎn)提示：

【典例15】從5名男生和3名女生中任選1人去參加演講比賽，求選中女生的概率.

【錯(cuò)解】從8人中選出1人的結(jié)果有“男生女生"兩種，則選中女生的概率為g.

【錯(cuò)因分析】因?yàn)槟猩藬?shù)多于女生人數(shù)，所以選中男生的機(jī)會(huì)大于選中女生的機(jī)會(huì)，它們不是等可能的.

【正解】選出1人的所有可能的結(jié)果有8種，即共有8個(gè)基本事件，其中選中女生的基本事件有3個(gè)，故

選中女生的概率為?3.

8

【名師點(diǎn)睛】利用古典概型的概率公式求解時(shí)，注意需滿足兩個(gè)條件：

(1)所有的基本事件只有有限個(gè)；

(2)試驗(yàn)的每個(gè)基本事件是等可能發(fā)生的.

fii分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

1.先后拋擲2枚均勻的一分、二分的硬幣，觀察落地后硬幣的正反面情況，則下列事件包含3個(gè)基本事件

的是()

A.“至少一枚硬幣正面向上”

B.“只有一枚硬幣正面向上”

C.“兩枚硬幣都是正面向上”

D.“兩枚硬幣一枚正面向上，另一枚反面向上”

【答案】A

【解析】

利用列舉法，宜接列舉出總的基本事件，逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)果.

【詳解】

先后拋擲2枚均勻的一分、二分的硬幣，所包含的基本事件有｛正，正｝、｛正，反｝、｛反，正｝、｛反，反｝,

“至少一枚硬幣正面向上''包含的基本事件有｛正，正｝、｛正，反｝、｛反，正｝共三個(gè)，故A正確；

“只有一枚硬幣正面向上”包含的基本事件有｛正，反｝、｛反，正｝共兩個(gè)，故B錯(cuò)：

“兩枚硬幣都是正面向上”包含的基本事件有｛正，正｝共一個(gè)，故C錯(cuò)；

“兩枚硬幣一枚正面向上，另一枚反面向上“包含的基本事件有｛正，反｝、（反，正｝共兩個(gè)，故D錯(cuò).

故選：A.

2.下列試驗(yàn)中是古典概型的是（）

A.在適宜的條件下，種下一粒種子，觀察它是否發(fā)芽

B.口袋里有2個(gè)白球和2個(gè)黑球，這4個(gè)球除顏色外完全相同，從中任取一球

C.向一個(gè)圓面內(nèi)隨機(jī)地投一個(gè)點(diǎn)，觀察該點(diǎn)落在圓內(nèi)的位置

D.射擊運(yùn)動(dòng)員向一靶心進(jìn)行射擊，試驗(yàn)結(jié)果為命中10環(huán)，命中9環(huán)，…，命中。環(huán)

【答案】B

【解析】

【分析】

利用古典概型的兩個(gè)基本特征，即有限性和等可能性進(jìn)行判斷.

【詳解】

解：古典概型滿足兩個(gè)條件：

隨機(jī)實(shí)驗(yàn)所有可能的結(jié)果是有限的；②每個(gè)基本結(jié)果發(fā)生的概率是相同的.

在A中，這個(gè)試驗(yàn)的基本事件共有“發(fā)芽”，“不發(fā)芽”兩個(gè)，而“發(fā)芽”或"不發(fā)芽”這兩種結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會(huì)一般

是不均等的，故不是古典概型；

在B中，觀察球的顏色，滿足古典概型的兩個(gè)條件，故B是古典概型；

在C中，實(shí)驗(yàn)的結(jié)果是無窮的，故不是古典概型；

在D中，不滿足基本事件是等可能的，故不是古典概型.

故選：B.

3.下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.方差可以衡量一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小

B.抽樣調(diào)查抽取的樣本是否具有代表性，直接關(guān)系對(duì)總體估計(jì)的準(zhǔn)確程度

C.一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)有且只有一個(gè)

D.拋擲一枚圖釘針尖朝上的概率，不能用列舉法求得

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)各個(gè)選項(xiàng)中的說法，可以判斷是否正確，從而可以解答本題.

【詳解】

對(duì)于A,方差可以衡量一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，故選項(xiàng)4正確；

對(duì)于8,抽樣調(diào)查抽取的樣本是否具有代表性，直接關(guān)系對(duì)總體估計(jì)的準(zhǔn)確程度，故選項(xiàng)8正確：

對(duì)于C,一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)有一個(gè)或者幾個(gè)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于O,拋擲一枚圖釘，針尖朝上和針尖朝下的可能性不相等，所以針尖朝上不是一個(gè)基本事件，所以不能

用列舉法求得，故選項(xiàng)。正確；

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了一組數(shù)據(jù)的方差、眾數(shù)，考查了抽樣方式，屬于基礎(chǔ)題.

4.為了治療某種疾病，研制了一種新藥，為確定該藥的療效，生物實(shí)驗(yàn)室有6只小動(dòng)物，其中有3只注射

過該新藥，若從這6只小動(dòng)物中隨機(jī)取出2只檢測(cè)，則恰有1只注射過該新藥的概率為（）

23人21

A.-B.-C.-D.一

3555

【答案】B

【解析】將3只注射過新藥的小動(dòng)物編號(hào)為4、B、C,3只未注射新藥的小動(dòng)物編號(hào)為。、b、c,

記事件M:恰有1只注射過該新藥,所有的基本事件有:（A3）、（AC）、（A。）、（A。）、（Ac）、（B,C）、

（3,a）、（B,b）、（8,c）、（C,a）、（C,。）、（C,c）、（a,b）、（a,c）、（b,c）,共15個(gè)，其中事件M所包

Q3

含的基本事件個(gè)數(shù)為9個(gè)，山古典概型的概率公式得尸（〃）=石=?，故選B.

5.從標(biāo)號(hào)分別為1、2、3、4、5的5張標(biāo)簽中隨機(jī)抽取一張，放回后再隨機(jī)抽取一張，則抽得的第一張

標(biāo)簽的標(biāo)號(hào)與第二張標(biāo)簽的標(biāo)號(hào)恰好相差1的概率為（）

【答案】D

【解析】從標(biāo)號(hào)分別為1、2、3、4、5的5張標(biāo)簽中隨機(jī)抽取一張，放回后再隨機(jī)抽取一張，

所有的基本事件數(shù)為52=25,其中，事件“抽得的第一張標(biāo)簽的標(biāo)號(hào)與第二張標(biāo)簽的標(biāo)號(hào)恰好相差1”所包

含的基本事件有:(1,2)、(2,1)、(2,3)、(3,2)、(3,4)、(4,3)、(4,5)、(5,4),共8種情況,

Q

因此，所求事件的概率為尸=金.故選：D.

25

【名師點(diǎn)睛】本題考查利用古典概型的概率公式求事件的概率，一般利用列舉法列舉出基本事件，考查計(jì)

算能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.從分別標(biāo)有1,2,9的9張卡片中不放回地隨機(jī)抽取2次，每次抽取1張，則抽到在2張卡片上的

數(shù)奇偶性不同的概率是()

A.—B.-C.-D.-

18999

【答案】C

【解析】從分別標(biāo)有I，2,9的9張卡片中不放回地隨機(jī)抽取2次，所有的基本事件為：(12),(13),

(14),(15),(16),(17),(18),(19),(23),(24),(25),(26),(27),(28),

(29),(34),(35),(36),(37),(38),(39),(45),(46),(47),(48),(49),

(56),(57),(58),(59),(67),(68),(69),(78),(79),(89),共有36種不同

的情況，且這些情況是等可能發(fā)生的，其中抽到在2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的情況有20種，故抽到在2

張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率尸=型=』，故選C.

369

7.從(40,30),(50,10),20,30),(45,5),(10,10)中任取一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)在圓/+尸=2016

內(nèi)部的概率是()

32cl4

A.-B.—C.—D.一

5555

【答案】B

2222

【解析】因?yàn)?02+302=2500>2016,50+10=2600>2016.20+30=1300<2016.

452+52=2050>2016，102+102=200<2016.所以只有點(diǎn)(20,30),(10,10)這兩個(gè)點(diǎn)在圓

2

V+y2=2016內(nèi)部，因此這個(gè)點(diǎn)在圓Y+y2=2016內(nèi)部的概率是彳，故選B.

8.某商場(chǎng)對(duì)某一商品搞活動(dòng)，已知該商品每一個(gè)的進(jìn)價(jià)為3元，銷售價(jià)為8元，每天售出的第20個(gè)及之后

的半價(jià)出售.該商場(chǎng)統(tǒng)計(jì)了近10天這種商品的銷量，如圖所示，設(shè)x(個(gè))為每天商品的銷量，y(元)為

該商場(chǎng)每天銷售這種商品的利潤(rùn).從日利潤(rùn)不少于96元的幾天里任選2天，則選出的這2天日利潤(rùn)都是97

元的概率是（）

【答案】A

【解析】當(dāng)x=18時(shí).，y=18x5=90,當(dāng)x=19時(shí)，y=19x5=95,

當(dāng)x=20時(shí).，y=19x5+l=96,當(dāng)尤=21時(shí)，y=19x5+2=97,日利潤(rùn)不少于96元共有5天，記作

A、B、C、D、E,其中有2天日利潤(rùn)是97元，假設(shè)分別為A、B,則從中任選2天的基本事件有（A、B）,

（A、C）,（A、D）,（A、E）,（B、C）,（B、D）,（B、E）,（C、D）,（C、E）,（D、E）,

共10個(gè)，選出的2天日利潤(rùn)都是97元的基本事件有1個(gè)，為（A、B）,故所求概率為尸=5,故選A.

9.如果一個(gè)三位數(shù)的各位數(shù)字互不相同，且各數(shù)字之和等于10,則稱此三位數(shù)為“十全十美三位數(shù)''（如235）,

任取一個(gè)“十全十美三位數(shù)”，該數(shù)為奇數(shù)的概率為（）

13715

A.—B.—C.-D.—

2020212

【答案】C

【解析】任取一個(gè)“十全十美三位數(shù)”，包含的基本事件有：

109,190,901,910,127,172,271,217,721,712,136,163,316,361,613,631,145,154,451,

415,514,541,208,280,802,820,235,253,352,325,523,532,307,370,703,730,406,460,

604,640,共40個(gè)，其中奇數(shù)有20個(gè)，.?.任取一個(gè)“十全十美三位數(shù)”，該數(shù)為奇數(shù)的概率為P=2'0=二1.故

402

選C.

10.我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果，哥德巴赫猜想的內(nèi)容是：每個(gè)大于

2的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和，例如8=3+5,在不超過14的素?cái)?shù)中隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和

等于14的概率為（）

【答案】D

【解析】不超過14的素?cái)?shù)有2,3,5,7,11,13共6個(gè)，從這6個(gè)素?cái)?shù)中任取2個(gè)，有2與3,2與5,

2與7,2與II,2與13,3與5,3與7,3與11,3與13,5與7,5與II,5與13,7與11,7與13,

11與13共15種結(jié)果，其中和等于14的只有一組3與11,所以在不超過14的素?cái)?shù)中隨機(jī)選取兩個(gè)不同的

數(shù)，其和等于14的概率為故選D.

11.數(shù)學(xué)上有種水仙花數(shù)，它是指各位數(shù)字的立方和等于其本身的三位數(shù).水仙花數(shù)共有4個(gè)，其中僅有1

個(gè)在區(qū)間(150,160)內(nèi)，我們姑且稱它為“水仙四妹”，則從集合｛147,152,154,157,“水仙四妹”｝的5

個(gè)元素中任意取3個(gè)整數(shù)，則這3個(gè)整數(shù)中含有“水仙四妹”，且其余兩個(gè)整數(shù)至少有一個(gè)比“水仙四妹''小的

概率是()

A.—B.-C.—D.1

104102

【答案】D

【解析】

【分析】

先根據(jù)題意求出“水仙四妹''為153,所以集合為｛147,152,153,154,157｝,然后利用列舉法求解即可

【詳解】

設(shè)“水仙四妹”為150+x且0<x<10,xeZ,依題意，知F+5^+V=150+x,即有(x-l)x(x+l)=24,可

得x=3,即“水仙四妹”為153,所以集合為｛147,152,153,154,157｝,

從該集合中任取3個(gè)元素，該試驗(yàn)的樣本空間

Q=｛(147,152,153),(147,152,154),(147,152,157),(147,153,154),

(147,153,157),(147,154,157),(152,153,154),(152,153,157),(152,154,157),(153,154,157)),共有10個(gè)樣本點(diǎn).

記事件A表示“取出的3個(gè)整數(shù)中含有153,且其余兩個(gè)整數(shù)至少有一個(gè)比153小”，則事件A包含的樣本點(diǎn)

有(147,152,153),(147,153,154),(147,153,157),(152,153,154),(152,153,157),共5個(gè)，

故尸⑷

故選:D

12.某班級(jí)的班委由包含甲、乙在內(nèi)的5位同學(xué)組成，他們分成兩個(gè)小組參加某項(xiàng)活動(dòng)，其中一個(gè)小組有3

位同學(xué)，另外一個(gè)小組有2位同學(xué)，則甲和乙不在同一個(gè)小組的概率為（）

A.-B.-C.—D.—

551010

【答案】B

【解析】

【分析】

利用列舉法求解即可

【詳解】

這五位同學(xué)分別記為：甲、乙、A、8、C,

分組情況有：（甲乙A,BC）、（甲乙B,AC）、（甲乙C,A8）、（甲A3,乙C）、（甲AC,乙B）、（甲BC,乙A）

、（乙45,甲C）、（乙AC,甲8）、（乙8C,甲A）、（A8C,甲乙），共10種，

其中甲和乙不在同一個(gè)組的有：（甲A8,乙C）、（甲AC,乙8）、（甲BC,乙A）、（乙A8,甲C）.（乙AC,甲B）

、（乙8C,甲A）,共6種，

所以所求概率為柒|.

故選：B.

13.甲乙兩人進(jìn)行撲克牌得分比賽，甲的三張撲克牌分別記為A,h,C,乙的三張撲克牌分別記為。，B,

c.這六張撲克牌的大小順序?yàn)锳>a>8>b>C>c.比賽規(guī)則為：每張牌只能出一次，每局比賽雙方各出一

張牌，共比賽三局，在每局比賽中牌大者得1分，牌小者得0分.若每局比賽之前彼此都不知道對(duì)方所出之

牌，則六張牌都出完時(shí)乙得2分的概率為（）

A.-B.\C.1D.-

6323

【答案】D

【解析】

【分析】

依題意列出所有的可能情況，根據(jù)古典概型的概率公式計(jì)算可得；

【詳解】

解：依題意基本事件總數(shù)有3x2xl=6種；

分別有以下情況：

baB,C<r^c,此時(shí)乙得1分；

A—a,bcc,CcB,此時(shí)乙得1分：

A—B,bca,C—c,此時(shí)乙得1分；

A->B*b>c,Ca,此時(shí)，乙得1分：

A—c,b—a,CcB,此時(shí)乙得2分；

Acc,bcB,Cea,此時(shí)乙得2分