北京市西城區(qū)（北區(qū)）2011—2012學(xué)年度第二學(xué)期學(xué)業(yè)測(cè)試高二數(shù)學(xué)（文科）試卷滿分：150分考試時(shí)間：120分鐘一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知全集，集合，那么集合的子集有（）A.6個(gè)B.7個(gè)C.8個(gè)D.9個(gè)2.是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)等于（）A.B.C.D.3.下列函數(shù)中，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且在上單調(diào)遞增的函數(shù)是（）A.B.C.D.4.若，則“”是“”的（）A.充分但不必要條件B.必要但不充分條件C.充要條件D.既不是充分條件也不是必要條件5.對(duì)于，函數(shù)滿足，且在上單調(diào)遞減，，那么使得成立的x的范圍是（）A.B.C.D.6.在數(shù)列中，，其中。記的前n項(xiàng)和為，那么等于（）A.B.C.D.7.已知函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.B.C.D.8.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，如果存在函數(shù)為常數(shù)），使得對(duì)于一切實(shí)數(shù)都成立，那么稱為函數(shù)的一個(gè)承托函數(shù).已知是函數(shù)的一個(gè)承托函數(shù)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.B.C.D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。9.已知命題：，，那么命題為____________________________.10.已知函數(shù)若，則實(shí)數(shù)_________.11.設(shè)，那么實(shí)數(shù)a,b,c的大小關(guān)系是_________.12.在等比數(shù)列中，，，則________.13.設(shè)函數(shù)，，則的最大值為____________，最小值為_________。14.如圖，設(shè)是拋物線上一點(diǎn)，且在第一象限.過點(diǎn)作拋物線的切線，交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)，此時(shí)就稱確定了.依此類推，可由確定，.記，。給出下列三個(gè)結(jié)論：①；②數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；③當(dāng)時(shí)，.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為___________.三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.（本小題滿分13分）設(shè)，集合，.（Ⅰ）當(dāng)a=3時(shí)，求集合；（Ⅱ）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.16.（本小題滿分13分）已知公差不為0的等差數(shù)列的首項(xiàng)，且成等比數(shù)列.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.17.（本小題滿分13分）已知函數(shù)，其中.（Ⅰ）若函數(shù)為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.（本小題滿分13分）如圖，要建一間體積為，墻高為的長(zhǎng)方體形的簡(jiǎn)易倉庫.已知倉庫屋頂每平方米的造價(jià)為500元，墻壁每平方米的造價(jià)為400元，地面造價(jià)忽略不計(jì).問怎樣設(shè)計(jì)倉庫地面的長(zhǎng)與寬，能使總造價(jià)最低？最低造價(jià)是多少？19.（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)，其中.（Ⅰ）若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與直線平行，求實(shí)數(shù)的值；（Ⅱ）求函數(shù)的極值.20.（本小題滿分14分）在數(shù)列中，對(duì)于任意，等式成立，其中常數(shù).（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（Ⅲ）如果關(guān)于n的不等式的解集為，求b和c的取值范圍.

【試題答案】一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.1.C；2.D；3.B；4.A；5.C；6.D；7.B；8.D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.9.，；10.；11.；12.；13.；14.①、③。注：第13題第一個(gè)空2分，第二個(gè)空3分；第14題少選得2分，多選和錯(cuò)選均不得分.三、解答題：本大題共6小題，共80分.（如有其他方法，仿此給分）15.（本小題滿分13分）（Ⅰ）解：因?yàn)榧匣颍?分集合，…4分所以或.……………7分（Ⅱ）解：因?yàn)?，所以，……………?1分解得.…………13分注：第（Ⅱ）問中沒有等號(hào)扣分.16.（本小題滿分13分）（Ⅰ）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意，得，即，……2分所以，解得，或（舍），…………4分所以.………6分（Ⅱ）解：由（Ⅰ），得，……8分所以.則………………9分……11分，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和.……13分17.（本小題滿分13分）（Ⅰ）解：因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)．所以，其中且.…………2分即,其中且.所以.…………6分（Ⅱ）解：.…………8分因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增,所以在上恒成立，………9分即在上恒成立，因?yàn)樵谏系淖钚≈?，所以．?yàn)證知當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增.…13分18.（本小題滿分13分）解：設(shè)倉庫地面的長(zhǎng)為，寬為，則有，所以．…2分則倉庫屋頂?shù)拿娣e為，墻壁的面積為．所以倉庫的總造價(jià)，…5分將代入上式，整理得．……7分因?yàn)椋?，……?0分且當(dāng)，即時(shí)，W取得最小值36500．此時(shí)．………12分答：當(dāng)倉庫地面的長(zhǎng)為，寬為時(shí)，倉庫的總造價(jià)最低，最低造價(jià)為36500元.…………13分19.（本小題滿分14分）（Ⅰ）解：函數(shù)的定義域是.………………1分對(duì)求導(dǎo)數(shù)，得.…………3分由題意，得，且，解得.…………5分（Ⅱ）解：由，得方程，一元二次方程存在兩解，，…………6分當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，隨著x的變化，與的變化情況如下表： ↘極小值↗即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以函數(shù)在存在極小值；……………8分當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，隨著x的變化，與的變化情況如下表： ↗極大值↘極小值↗即函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以函數(shù)在存在極小值，在存在極大值；…………10分當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），所以在上為增函數(shù)，故不存在極值；……………12分當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，隨著x的變化，與的變化情況如下表： 極大值極小值即函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以函數(shù)在存在極大值，在存在極小值；綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在極小值，不存在極大值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在極小值，存在極大值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)不存在極值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在極大值，存在極小值.…………14分20.（本小題滿分14分）（Ⅰ）解：因?yàn)椋?，，解得?…………3分（Ⅱ）證明：當(dāng)時(shí)，由，①得，②將①，②兩式相減，得,化簡(jiǎn)，得，其中.…5分因?yàn)椋?，其?…………6分因?yàn)闉槌?shù)，所以數(shù)列為等比數(shù)列.……8分（Ⅲ）解：由（Ⅱ），得，………9分所以，11分又因?yàn)?，所以不等式化?jiǎn)為，當(dāng)時(shí)，考察不等式的解，由題意，知不等式的解集為，因?yàn)楹瘮?shù)在R上單調(diào)遞增，所以只要求且即可，解得；……13分當(dāng)時(shí)，考察不等式的解，由題意，要求不等式的解集為，因?yàn)?，所以如果時(shí)不等式成立，那么時(shí)不等式也成立，這與題意不符，舍去.所以，.…………14分沁園春·雪<毛澤東>北國(guó)風(fēng)光，千里冰封，萬里雪飄。望