直線和圓的方程時(shí)間：120分鐘分值：150分一、選擇題(每小題5分，共60分)1．若a＋b＝0，則直線y＝ax＋b的圖象可能是 ()解析：由a＋b＝0得a＝－b，直線在x軸上的截距為－eq\f(b,a)＝1，故選D.答案：D2．若點(diǎn)P(x0，y0)在直線Ax＋By＋C＝0上，則直線方程可表示為 ()A．A(x－x0)＋B(y－y0)＝0B．A(x－x0)－B(y－y0)＝0C．B(x－x0)＋A(y－y0)＝0D．B(x－x0)－A(y－y0)＝0解析：依題意得Ax0＋By0＋C＝0，即C＝－Ax0－By0，代入直線方程得Ax＋By－Ax0－By0＝0，故直線方程為A(x－x0)＋B(y－y0)＝0，選A.答案：A3．已知兩直線x＋ay＋1＝0與ax－y－3＝0垂直，則a的取值的集合是 ()A．{－1,1} B．{x|x≠0}C．R D．?解析：當(dāng)a＝0時(shí)，兩直線為x＝－1或y＝－3，則兩直線垂直，當(dāng)a≠0時(shí)，兩直線的斜率分別為－eq\f(1,a)和a，又－eq\f(1,a)×a＝－1，則兩直線垂直，故a的取值的集合是R，選C.答案：C4．直線(a＋1)x－y＋1－2a＝0與直線(a2－1)x＋(a－1)y－15＝0平行，則實(shí)數(shù)a ()A．1 B．－1,1C．－1 D．0解析：將－1,1,0分別代入兩直線方程檢驗(yàn)得a＝－1符合題意．答案：C5．過點(diǎn)(1,3)作直線l，若l過點(diǎn)(a,0)與(0，b)，且a，b∈N*，則可作出的直線l的條數(shù)為 ()A．1條 B．2條C．3條 D．多于3條解析：因?yàn)閑q\f(1,a)＋eq\f(3,b)＝1，且a，b∈N*，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4,b＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2,b＝6)).故選B.答案：B6．不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐標(biāo)平面內(nèi)表示的區(qū)域(用陰影部分表示)，應(yīng)是下列圖形中的 ()解析：(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋1≥0，,x＋y－3≤0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋1≤0，,x＋y－3≥0.))答案：C7．已知有向線段eq\o(PQ,\s\up6(→))的起點(diǎn)P(－1,1)，終點(diǎn)Q(2,2)，若直線l：x＋my＋m＝0與有向線段eq\o(PQ,\s\up6(→))的延長(zhǎng)線相交，且過定點(diǎn)M(0，－1)．如圖1，則m的取值范圍是 ()圖1A．(eq\f(1,3)，eq\f(3,2))B．(－3，－eq\f(2,3))C．(－∞，－3)D．(－eq\f(2,3)，＋∞)解析：易知kPQ＝eq\f(2－1,2－(－1))＝eq\f(1,3)，直線x＋my＋m＝0過點(diǎn)M(0，－1)．當(dāng)m＝0時(shí)，直線化為x＝0，一定與PQ相交，所以m≠0，當(dāng)m≠0時(shí)，k1＝－eq\f(1,m)，考慮直線l的兩個(gè)極限位置．(1)l經(jīng)過Q，即直線l1，則kl1＝eq\f(2－(－1),2－0)＝eq\f(3,2)；(2)l與eq\o(PQ,\s\up6(→))平行，即直線l2，則kl2＝kPQ＝eq\f(1,3)，所以eq\f(1,3)<－eq\f(1,m)<eq\f(3,2)，即－3<m<－eq\f(2,3).故選B.答案：B8．把直線x－2y＋λ＝0向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位后，所得直線正好與圓x2＋y2＋2x－4y＝0相切，則實(shí)數(shù)λ的值為 ()A．3或13 B．－3或13C．3或－13 D．－3或－13解析：直線x－2y＋λ＝0按a＝(－1，－2)平移后的直線為x－2y＋λ－3＝0，與圓相切，易得λ＝13或3.答案：A9．兩圓相交于兩點(diǎn)(1,3)和(m,1)，兩圓的圓心都在直線x－y＋eq\f(c,2)＝0上，則m＋c的值是 ()A．－1 B．2C．3 D．0解析：由題意知兩點(diǎn)(1,3)、(m,1)的中點(diǎn)(eq\f(m＋1,2)，2)在直線x－y＋eq\f(c,2)＝0上，即eq\f(m＋1,2)－2＋eq\f(c,2)＝0.∴m＋c＝3.答案：C10．已知點(diǎn)M(0,1)、A(1,1)、B(0,2)，且eq\o(MP,\s\up6(→))＝cosθeq\o(MA,\s\up6(→))＋sinθeq\o(MB,\s\up6(→))(θ∈[0，π])，則點(diǎn)P的軌跡方程是 ()A．x2＋y2＝1(x≥0)B．x2＋y2＝1(y≥0)C．x2＋(y－1)2＝1(y≤1)D．x2＋(y－1)2＝1(y≥1)解析：設(shè)P(x，y)，則eq\o(MP,\s\up6(→))＝(x，y－1)，又eq\o(MA,\s\up6(→))＝(1,0)，eq\o(MB,\s\up6(→))＝(0,1)，故有(x，y－1)＝(cosθ，sinθ)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y－1＝sinθ，))x2＋(y－1)2＝1.又∵θ∈[0，π]，∴y＝sinθ＋1≥1.∴選D.答案：D11．已知三點(diǎn)A(－2,1)，B(－3，－2)，C(－1，－3)和動(dòng)直線l：y＝kx，當(dāng)點(diǎn)A、B、C到直線l的距離的平方和最小時(shí)，下列結(jié)論中正確的是 ()A．點(diǎn)A在l上 B．點(diǎn)B在l上C．點(diǎn)C在l上 D．點(diǎn)A、B、C均不在l上解析：點(diǎn)A、B、C到直線l的距離的平方和為：d＝eq\f((－2k－1)2＋(－3k＋2)2＋(－k＋3)2,k2＋1)＝14－eq\f(14k,k2＋1).要使d最小，顯然k>0，此時(shí)d＝14－eq\f(14,k＋\f(1,k))≥14－7＝7.當(dāng)且僅當(dāng)k＝eq\f(1,k)，即k＝1時(shí)，等號(hào)成立．所以，當(dāng)k＝1時(shí)，d取最小值，此時(shí)點(diǎn)A、B、C均不在直線y＝x上．故選D.答案：D12．已知向量m＝(a－2b，a)，n＝(a＋2b,3b)，且m，n的夾角為鈍角，則在平面aOb上，滿足上述條件及a2＋b2≤1的點(diǎn)(a，b)所在的區(qū)域面積S滿足 ()A．S＝π B．S＝eq\f(π,2)C．S>eq\f(π,2) D．S<eq\f(π,2)圖2解析：∵m，n的夾角為鈍角，∴cos〈m，n〉＝eq\f(m·n,|m|·|n|)<0，∴m·n<0，而(a－2b，a)·(a＋2b,3b)＝a2－4b2＋3ab＝(a＋4b)(a－b)<0.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋4b>0,a－b<0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋4b<0,a－b>0))，畫出上述可行域及a2＋b2≤1(如圖2)．顯然直線b＝a與b＝－eq\f(1,4)a的夾角為銳角．∴S<eq\f(π,2).故應(yīng)選D.答案：D二、填空題(每小題4分，共16分)13．已知直線l1：2x＋m2y－2＝0，直線l2：mx＋2y－1＝0，若l1⊥l2，則m＝__________.解析：由題意知m＝0時(shí)l1⊥l2，又因m≠0時(shí)，(－eq\f(2,m2))·(eq\f(－m,2))＝－1?m＝－1.答案：0或－1圖314．不等式組：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<0，y<0,4x＋3y＋8>0))表示的平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)坐標(biāo)為__________．解析：如圖3可知其整點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，－1)．答案：(－1，－1)15．過點(diǎn)P(－3，－eq\f(3,2))且被圓x2＋y2＝25所截得的弦長(zhǎng)為8的直線方程為__________．解析：由題意知，過P的直線y＋eq\f(3,2)＝k(x＋3)?2kx－2y＋6k－3＝0，圓心到直線的距離d＝eq\f(|6k－3|,\r(22＋4k2))＝3?k＝－eq\f(3,4)，驗(yàn)證知x＝－3滿足條件．故直線方程為3x＋4y＋15＝0或x＝－3.答案：3x＋4y＋15＝0或x＝－3.16．(2010·安徽巢湖一檢)過點(diǎn)M(eq\f(1,2)，1)的直線l與圓C：(x－1)2＋y2＝4交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)∠ACB最小時(shí)，直線l的方程為__________．解析：由平面幾何知識(shí)可知，當(dāng)l與CM垂直時(shí)∠ACB最?。遦CM＝eq\f(1,\f(1,2)－1)＝－2，∴kl＝eq\f(1,2)，故直線l方程為y－1＝eq\f(1,2)(x－eq\f(1,2))，即2x－4y＋3＝0.答案：2x－4y＋3＝0三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共計(jì)74分，寫出必要的文字說明、計(jì)算步驟，只寫最后結(jié)果不得分)17．(12分)求與點(diǎn)P(4,3)的距離為5，且在兩坐標(biāo)軸的截距相等的直線方程．解：設(shè)所求直線方程為y＝kx或eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1(a≠0)．對(duì)于y＝kx，5＝eq\f(|4k－3|,\r(k2＋(－1)2))，9k2＋24k＋16＝0，解之得k＝－eq\f(4,3).對(duì)于x＋y＝a,5＝eq\f(|4＋3－a|,\r(12＋12))，解之得a＝7＋5eq\r(2)或7－5eq\r(2).故所求直線方程為y＝－eq\f(4,3)x或x＋y－7－5eq\r(2)＝0或x＋y－7＋5eq\r(2)＝0.18．(12分)已知直線l夾在兩條直線l1：3x＋y－2＝0和l2：x＋5y＋10＝0之間的線段被點(diǎn)D(2，－3)平分，求直線l的方程．解：設(shè)l與l1交點(diǎn)為A(x1，y1)，與l2交點(diǎn)為B(x2，y2)，∵D(2，－3)是AB中點(diǎn)，∴eq\f(x1＋x2,2)＝2，eq\f(y1＋y2,2)＝－3.因此eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝4－x1，,y2＝－6－y1.))B(x2，y2)在l2上，得x2＋5y2＋10＝0，即4－x1＋5(－6－y1)＋10＝0.由此得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x1＋y1－2＝0，,x1＋5y1＋16＝0.))解之得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝\f(13,7)，,y1＝－\f(25,7).))∴A(eq\f(13,7)，－eq\f(25,7))，又直線l過A、D兩點(diǎn)，所以直線方程為eq\f(y＋3,－\f(25,7)＋3)＝eq\f(x－2,\f(13,7)－2).化為一般形式得l的方程為4x－y－11＝0.19．(12分)已知圓C的圓心在直線l1：x－y－1＝0上，與直線l2：4x＋3y＋14＝0相切，且截得直線l3：3x＋4y＋10＝0所得弦長(zhǎng)為6，求圓C的方程．解：設(shè)圓心C(a，b)，半徑為r.則a－b－1＝0，r＝eq\f(|4a＋3b＋14|,\r(42＋32))，eq\f(|3a＋4b＋10|,\r(32＋42))＝eq\r(r2－32).所以eq\f((4a＋3b＋14)2,25)－eq\f((3a＋4b＋10)2,25)＝9.即eq\f((a－b＋4)(7a＋7b＋24),25)＝9.因?yàn)閍－b＝1，所以eq\f(5(7a＋7b＋24),25)＝9，a＋b＝3.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＝1，,a＋b＝3.))解之得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1.))故所求圓C的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝25.20．(12分)圓C通過不同的三點(diǎn)P(k,0)、Q(2,0)、R(0,1)，已知圓C在P點(diǎn)切線的斜率為1，試求圓C的方程．解：設(shè)圓C的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.將P、Q、R的坐標(biāo)代入，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＋2＝－D，,2k＝F，,E＋F＋1＝0.))∴圓的方程為x2＋y2－(k＋2)x－(2k＋1)y＋2k＝0，圓心為(eq\f(k＋2,2)，eq\f(2k＋1,2))．又∵kCP＝－1，∴k＝－3.∴圓的方程為x2＋y2＋x＋5y－6＝0.21．(12分)已知圓C的方程為x2＋y2＝4.(1)直線l過點(diǎn)P(1,2)，且與圓C交于A、B兩點(diǎn)，若|AB|＝2eq\r(3)，求直線l的方程；(2)圓C上一動(dòng)點(diǎn)M(x0，y0)，eq\o(ON,\s\up6(→))＝(0，y0)，若向量eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(ON,\s\up6(→))，求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線．解：(1)①若直線l垂直于x軸，則此直線為x＝1，l與圓的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(1，eq\r(3))和(1，－eq\r(3))，這兩點(diǎn)間的距離為2eq\r(3)，符合題意．②若直線l不垂直于x軸，設(shè)其方程為y－2＝k(x－1)即kx－y－k＋2＝0設(shè)圓心到此直線的距離為d∵2eq\r(3)＝2eq\r(4－d2)∴d＝1∴1＝eq\f(|－k＋2|,\r(k2＋1))解得k＝eq\f(3,4)故所求直線方程為3x－4y＋5＝0綜上所述所求直線方程是x＝1或3x－4y＋5＝0.(2)設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)∵M(jìn)點(diǎn)的坐標(biāo)是(x0，y0)，eq\o(OM,\s\up6(→))＝(x0，y0)，eq\o(ON,\s\up6(→))＝(0，y0)，eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(ON,\s\up6(→))∴(x，y)＝(x0,2y0)∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0,y＝2y0))∵xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝4∴x2＋(eq\f(y,2))2＝4.即eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,16)＝1，∴Q點(diǎn)的軌跡方程是eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,16)＝1.Q點(diǎn)軌跡是一個(gè)焦點(diǎn)在y軸上的橢圓．圖422．(14分)(2010·內(nèi)蒙古赤峰統(tǒng)考)如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，N為圓A：(x＋1)2＋y2＝16上的一點(diǎn)，點(diǎn)B(1,0)，點(diǎn)M是BN中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段AN上，且eq\o(MP,\s\up6(→))·eq\o(BN,\s\up6(→))＝0.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；(2)試判斷以PB為直徑的圓與圓x2＋y2＝4的位置關(guān)系，并說明理由．解：(1)由點(diǎn)M是BN中點(diǎn)，又eq\o(MP,\s\up6(→))·eq\o(BN,\s\up6(→))＝0，可知PM垂直平分