PAGEPAGE1第六章測(cè)評(píng)(時(shí)間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.將一顆質(zhì)地勻稱的骰子擲兩次,不能作為隨機(jī)變量的是()A.第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)B.其次次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)C.兩次出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和D.兩次出現(xiàn)相同點(diǎn)的種數(shù)答案D解析由于兩次出現(xiàn)相同點(diǎn)的種數(shù)是定值6,故不是隨機(jī)變量.2.已知離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布列如下:ξ135P0.5m0.2則數(shù)學(xué)期望Eξ等于()A.1 B.0.6C.2+3m D.2.4答案D解析由題意得m=1-0.5-0.2=0.3,所以Eξ=1×0.5+3×0.3+5×0.2=2.4,故選D.3.某同學(xué)通過計(jì)算機(jī)測(cè)試的概率為13,他連續(xù)測(cè)試3次,其中恰有1次通過的概率為(A.49 B.29答案A解析連續(xù)測(cè)試3次,其中恰有1次通過的概率為P=C31131-1324.已知隨機(jī)變量X的分布列為P(X=k)=13,k=1,2,3,則D(3X+5)等于(A.6 B.9 C.3 D.4答案A解析EX=1×13+2×13+所以DX=13×[(1-2)2+(2-2)2+(3-2)2]=23,所以D(3X+5)=9DX=9×5.已知隨機(jī)變量ξ聽從正態(tài)分布N(2,σ2),P(ξ≤4)=0.84,則P(ξ<0)=()A.0.16 B.0.32 C.0.68 D.0.84答案A解析因?yàn)镻(ξ≤4)=0.84,μ=2,所以P(ξ<0)=P(ξ>4)=1-0.84=0.16.故選A.6.若隨機(jī)變量ξ的分布列如下表所示,則p1=()ξ-124P12p1A.0 B.215 C.1答案B解析因?yàn)槿侩S機(jī)變量對(duì)應(yīng)概率的和為1,所以,15+23+p1=1,解得p1=27.一批型號(hào)相同的產(chǎn)品,有2件次品,5件正品,每次抽一件測(cè)試,將2件次品全部區(qū)分出后停止,假定抽后不放回,則第5次測(cè)試后停止的概率是()A.121 B.521答案B解析P=28.設(shè)0<a<1.隨機(jī)變量X的分布列是X0a1P111則當(dāng)a在(0,1)內(nèi)增大時(shí),()A.DX增大 B.DX減小C.DX先增大后減小 D.DX先減小后增大答案D解析由分布列得EX=1+a3,則DX=1+a3-02×13+1+a3-a2×13+1+a3-12×13=29a-122+1二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,有選錯(cuò)的得0分,部分選對(duì)的得3分.9.下列說法正確的是()A.若X~N(0,9),則其正態(tài)曲線的對(duì)稱軸是y軸B.正態(tài)分布N(μ,σ2)的圖象位于x軸上方C.全部的隨機(jī)現(xiàn)象都聽從或近似聽從正態(tài)分布D.函數(shù)f(x)=12πe-x22(x∈答案ABD解析并不是全部的隨機(jī)現(xiàn)象都聽從或近似聽從正態(tài)分布,還有其他分布.10.口袋中有n個(gè)白球,3個(gè)紅球,依次從口袋中任取一球,若取到紅球,則接著取球,且取出的紅球不放回;若取到白球,則停止取球.記取球的次數(shù)為X,若P(X=2)=730,則下列結(jié)論正確的是(A.n=7 B.P(X=3)=7C.EX=118 D.DX=答案ABC解析由P(X=2)=730,得C31Cn1Cn+31Cn+21=730,即3n(n+3)(n+2)=730,整理得90n=7(n+2)(n+3),解得n=7n=67舍去.所以X的全部可能取值為1,2,3,4,P(X=1)=C71C101=710,P(X=3)=C31C21C71C101C91C81=711.設(shè)隨機(jī)變量ξ聽從正態(tài)分布N(0,1),則下列結(jié)論正確的是()A.P(|ξ|<a)=P(ξ<a)+P(ξ>-a)(a>0)B.P(|ξ|<a)=2P(ξ<a)-1(a>0)C.P(|ξ|<a)=1-2P(ξ<a)(a>0)D.P(|ξ|<a)=1-P(|ξ|>a)(a>0)答案BD解析因?yàn)镻(|ξ|<a)=P(-a<ξ<a),所以A不正確;因?yàn)镻(|ξ|<a)=P(-a<ξ<a)=P(ξ<a)-P(ξ<-a)=P(ξ<a)-P(ξ>a)=P(ξ<a)-(1-P(ξ<a))=2P(ξ<a)-1,所以B正確,C不正確;因?yàn)镻(|ξ|<a)+P(|ξ|>a)=1,所以P(|ξ|<a)=1-P(|ξ|>a)(a>0),所以D正確.12.甲、乙兩人練習(xí)射擊,命中目標(biāo)的概率分別為12和13,甲、乙兩人各射擊一次,A.目標(biāo)恰好被命中一次的概率為1B.目標(biāo)恰好被命中兩次的概率為1C.目標(biāo)被命中的概率為1D.目標(biāo)被命中的概率為1-1答案BD解析設(shè)“甲射擊一次命中目標(biāo)”為事務(wù)A,“乙射擊一次命中目標(biāo)”為事務(wù)B,明顯,A,B相互獨(dú)立,則目標(biāo)恰好被命中一次的概率為P(AB∪AB)=P(AB)+P(AB)=12×23+12×13=12,故A不正確;目標(biāo)恰好被命中兩次的概率為P(AB)=P(A)P(B)=12×13,故B正確;目標(biāo)被命中的概率為P(AB∪AB∪AB)=P(AB)+P(AB)+P(AB)=12×23+1三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.將兩枚質(zhì)地勻稱的骰子各擲一次,設(shè)事務(wù)A表示“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)互不相同”,B表示“出現(xiàn)一個(gè)5點(diǎn)”,則P(B|A)=.

答案1解析出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)互不相同的共有n(A)=6×5=30種,出現(xiàn)一個(gè)5點(diǎn)共有n(AB)=5×2=10種,所以P(B|A)=n14.已知有一勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的圓盤,其中心有一個(gè)固定的小目標(biāo)M,甲、乙兩人站在距離圓盤邊緣2m處的地方向圓盤中心拋擲小圓環(huán),他們拋擲的小圓環(huán)能套上小目標(biāo)M的概率分別為14與15,現(xiàn)甲、乙兩人分別用小圓環(huán)向圓盤中心各拋擲一次,則小目標(biāo)M答案2解析小目標(biāo)M被套上包括甲拋擲的小圓環(huán)套上、乙拋擲的小圓環(huán)沒有套上;乙拋擲的小圓環(huán)套上、甲拋擲的小圓環(huán)沒有套上;甲、乙拋擲的小圓環(huán)都套上,所以小目標(biāo)M被套上的概率為14×1-15+1-14×15.(2024課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,理15)甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽,實(shí)行七場(chǎng)四勝制(當(dāng)一隊(duì)贏得四場(chǎng)成功時(shí),該隊(duì)獲勝,決賽結(jié)束).依據(jù)前期競(jìng)賽成果,甲隊(duì)的主客場(chǎng)支配依次為“主主客客主客主”.設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為0.6,客場(chǎng)取勝的概率為0.5,且各場(chǎng)競(jìng)賽結(jié)果相互獨(dú)立,則甲隊(duì)以4∶1獲勝的概率是.

答案0.18解析前五場(chǎng)中有一場(chǎng)客場(chǎng)輸時(shí),甲隊(duì)以4∶1獲勝的概率是0.63×0.5×0.5×2=0.108;前五場(chǎng)中有一場(chǎng)主場(chǎng)輸時(shí),甲隊(duì)以4∶1獲勝的概率是0.4×0.6×2×0.52×0.6=0.072.綜上所述,甲隊(duì)以4∶1獲勝的概率是0.108+0.072=0.18.16.5張彩票中僅有1張中獎(jiǎng)彩票,5個(gè)人依次摸獎(jiǎng),則其次個(gè)人摸到中獎(jiǎng)彩票的概率為,第三個(gè)人摸到中獎(jiǎng)彩票的概率為.

答案1解析記“第i個(gè)人抽中中獎(jiǎng)彩票”為事務(wù)Ai,明顯P(A1)=15,而P(A2)=P[A2(A1∪A1)]=P(A2A1)+P(A2A1)=P(A1)P(A2|A1)+P(A1)P(A2|A1)=15×0+45×14=15,P(A3)=P[A3(A1A2∪A1A2∪A1A2∪A1A2)]=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)=四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(10分)端午節(jié)吃粽子是我國(guó)的傳統(tǒng)習(xí)俗.設(shè)一盤中裝有10個(gè)粽子,其中豆沙粽2個(gè),肉粽3個(gè),白粽5個(gè),這三種粽子的外觀完全相同.從中隨意選取3個(gè).(1)求三種粽子各取到1個(gè)的概率;(2)設(shè)X表示取到的豆沙粽個(gè)數(shù),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.解(1)令A(yù)表示事務(wù)“三種粽子各取到1個(gè)”,則由古典概型的概率計(jì)算公式有P(A)=C(2)X的全部可能取值為0,1,2,P(X=0)=C83C103=715,P(X=1)=綜上,X的分布列為X012P771故EX=0×715+1×718.(12分)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡,第一次落下時(shí)打破的概率為12,第一次落下未打破,其次次落下打破的概率為710,若前兩次均未打破,第三次落下時(shí)打破的概率為910解以Ai,i=1,2,3表示事務(wù)“透鏡落下第i次時(shí)打破”,以B表示事務(wù)“透鏡落下三次未打破”,因?yàn)锽=A1A2A3,所以P(B)=P(A1A2A3)=P(=1-12×1-710×1-910=3200.19.(12分)某企業(yè)打算聘請(qǐng)一批高校生到本單位就業(yè),但在簽約前要對(duì)他們的某項(xiàng)專業(yè)技能進(jìn)行測(cè)試.在待測(cè)試的某一個(gè)小組中有男、女生共10人(其中女生人數(shù)多于男生人數(shù)),假如從中隨機(jī)選2人參與測(cè)試,其中恰為一男一女的概率為815(1)求該小組中女生的人數(shù);(2)假設(shè)此項(xiàng)專業(yè)技能測(cè)試對(duì)該小組的學(xué)生而言,每個(gè)女生通過的概率均為34,每個(gè)男生通過的概率均為23;現(xiàn)對(duì)該小組中男生甲、男生乙和女生丙3個(gè)人進(jìn)行測(cè)試,記這3人中通過測(cè)試的人數(shù)為隨機(jī)變量ξ,求ξ解(1)設(shè)該小組中有n個(gè)女生,依據(jù)題意,得Cn解得n=6或n=4(舍去),∴該小組中有6個(gè)女生.(2)由題意,ξ的取值為0,1,2,3,P(ξ=0)=13P(ξ=1)=C21×23×1P(ξ=2)=C21×23×1P(ξ=3)=232×34∴ξ的分布列為ξ0123P1741Eξ=0×136+1×736+220.(12分)(2024天津,理16)設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間,每天7:30之前到校的概率均為23.假定甲、乙兩位同學(xué)到校狀況互不影響,且任一同學(xué)每天到校狀況(1)用X表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中7:30之前到校的天數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)設(shè)M為事務(wù)“上學(xué)期間的三天中,甲同學(xué)在7:30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7:30之前到校的天數(shù)恰好多2”,求事務(wù)M發(fā)生的概率.解(1)因?yàn)榧淄瑢W(xué)上學(xué)期間的三天中到校狀況相互獨(dú)立,且每天7:30之前到校的概率均為23,故X~B3,23,從而P(X=k)=C3k23k133-k,k=所以,隨機(jī)變量X的分布列為X0123P1248隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望EX=3×23=(2)設(shè)乙同學(xué)上學(xué)期間的三天中7:30之前到校的天數(shù)為Y,則Y~B3,23,且M={X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0}.由題意知事務(wù){(diào)X=3,Y=1}與{X=2,Y=0}互斥,且事務(wù){(diào)X=3}與{Y=1},事務(wù){(diào)X=2}與{Y=0}均相互獨(dú)立,從而由(1)知P(M)=P({X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0})=P({X=3,Y=1})+P({X=2,Y=0})=P({X=3})P({Y=1})+P({X=2})P({Y=0})=82721.(12分)某市對(duì)高三期末考試中的數(shù)學(xué)成果進(jìn)行統(tǒng)計(jì),統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示,全市10000名學(xué)生的數(shù)學(xué)成果X聽從正態(tài)分布N(120,25).在某校隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成果進(jìn)行分析,這50名學(xué)生的成果全部介于85分到145分之間,將結(jié)果按如下方式分為6組,第一組[85,95),其次組[95,105),……,第六組[135,145],得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)試估計(jì)此次考試該校數(shù)學(xué)的平均成果;(2)從這50名學(xué)生中成果在125分及以上的學(xué)生中隨意抽取3人,把這3人中在全市數(shù)學(xué)成果排名前13的人數(shù)記為Y,求Y的分布列和期望.附:若X~N(μ,σ2),則P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.6826,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.9544,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.9974.解(1)由題中頻率分布直方圖,可知成果在[125,135)內(nèi)的頻率為1-(0.01×10+0.024×10+0.03×10+0.016×10+0.008×10)=0.12,所以a=0.012.所以估計(jì)此次考試該校數(shù)學(xué)的平均成果為90×0.1+100×0.24+110×0.3+120×0.16+130×0.12+140×0.08=112(分).(2)由題意,得P(120-3×5<X≤120+3×5)≈0.9974,故P(X≥135)≈1-0.99742=0.0013,則0.0013×10000=13,所以排名在前13依據(jù)題中頻率分布直方圖,可知這50人中成果在135分及以上的有50×0.08=4(人),而成果在[125,145]內(nèi)的學(xué)生有50×(0.12+0.08)=10(人),所以Y的全部可能取值為0,1,2,3.所以P(Y=0)=C6P(Y=1)=C6P(Y=2)=C6P(Y=3)=C所以Y的分布列為Y0123P1131期望EY=0×16+1×12+222.(12分)在某市舉辦的“中華文化藝術(shù)節(jié)”學(xué)問大賽中,大賽分預(yù)賽與復(fù)賽兩個(gè)環(huán)節(jié),預(yù)賽有4000人參賽.先從預(yù)賽學(xué)生中隨機(jī)抽取100人的成果得到如下頻率分布直方圖.(1)若從上述樣本中預(yù)賽成果不低于60分的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人,求至少1人成果不低于80分的概率;(2)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為該市全體參與預(yù)賽的學(xué)生成果Z聽從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中μ可以近似為100名學(xué)生的預(yù)賽平均成果,σ2=362,試估計(jì)全市參與預(yù)賽學(xué)生中成果不低于91分的人數(shù);(3)預(yù)賽成果不低于91分的學(xué)生可以參與復(fù)賽,復(fù)賽規(guī)則如下:①每人復(fù)賽初始分均為100分;②參賽學(xué)生可在起先答題前自行選擇答題數(shù)量n(n>1),每答一題須要扣掉肯定分?jǐn)?shù)來獲得答題資格,規(guī)定回答第k(k=1,2,…,n)題時(shí)扣掉0.2k分;③每答對(duì)一題加2分,答錯(cuò)既不加分也不扣分;④答完n題后參賽學(xué)生最終分?jǐn)?shù)即為復(fù)賽分?jǐn)?shù).已知學(xué)生甲答對(duì)每題的概率為0.75,且各題答對(duì)與否相互獨(dú)立,若甲期望得到最佳復(fù)賽成果,則他的答題數(shù)量n應(yīng)為多少?參考數(shù)據(jù):362≈19,