第一節(jié)定積分概念一、問(wèn)題提出二、定積分定義三、存在定理四、定積分幾何意義七、小結(jié)思索題六、定積分性質(zhì)五、定積分近似計(jì)算1/47abxyo【實(shí)例1】（求曲邊梯形面積）一、問(wèn)題提出【問(wèn)題】怎樣求由任意封閉曲線(xiàn)所圍成平面圖形面積?！痉椒ā哭D(zhuǎn)化為求曲邊梯形面積xyo2/47abxyoabxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形總面積越靠近曲邊梯形面積．（四個(gè)小矩形）（九個(gè)小矩形）3/47觀(guān)察以下演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積關(guān)系．播放4/47曲邊梯形如圖所表示，分割取近似5/47曲邊梯形面積近似值為曲邊梯形面積為求和取極限6/47【實(shí)例2】（求變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)旅程）【思緒】把整段時(shí)間分割成若干小段，每小段上速度看作不變，求出各小段旅程再相加，便得到旅程近似值，最終經(jīng)過(guò)對(duì)時(shí)間無(wú)限細(xì)分過(guò)程求得旅程準(zhǔn)確值．7/47(1)分割部分旅程值某時(shí)刻速度(3)求和(4)取極限旅程準(zhǔn)確值(2)取近似8/47二、定積分定義【定義】9/47被積函數(shù)被積表示式積分變量記為積分上限積分下限積分和10/47【注意】（因?yàn)槎ǚe分是一個(gè)數(shù)值）所以若已知極限I存在，則可選取特殊分法和特殊取法，仍有相同結(jié)果。（這為計(jì)算帶來(lái)方便）(3)定義中，令λ→0，必定造成n→∞。但反之不然：(4)當(dāng)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上定積分存在時(shí)，稱(chēng)f(x)在區(qū)間[a,b]上可積.(5)

f(x)在[a,b]上有界是f(x)在[a,b]上可積必要條件：即若只有n→∞，不能確保每個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)都趨于0。11/47當(dāng)f(x)在[a,b]上有有限個(gè)第一類(lèi)間斷點(diǎn)時(shí)，則f(x)在[a,b]上可積【定理1】【定理2】三、可積充分條件（定積分存在定理）可積函數(shù)類(lèi)【推論】12/47曲邊梯形面積曲邊梯形面積負(fù)值四、定積分幾何意義13/47【幾何意義】14/47【例1】利用定義計(jì)算定積分【解】15/47【例2】.用定積分表示以下極限:解:16/47五、定積分近似計(jì)算依據(jù)定積分定義可得以下近似計(jì)算方法:將[a,b]分成n等份:

1.左矩形公式2.右矩形公式17/473.梯形公式4.拋物線(xiàn)法公式18/47拋物線(xiàn)法公式推導(dǎo)上作拋物線(xiàn)(如圖)則以?huà)佄锞€(xiàn)為頂小曲邊梯形面積經(jīng)推導(dǎo)可得：19/47例3.

用梯形公式和拋物線(xiàn)法公式解:計(jì)算yi(見(jiàn)右表)近似值.ixiyi00.04.0000010.13.9604020.23.8461530.33.6697240.43.4482850.53.060.62.9411870.72.6845680.82.4390290.92.20994101.02.00000(取n=10,計(jì)算時(shí)取5位小數(shù))用梯形公式得用拋物線(xiàn)法公式得積分準(zhǔn)確值為計(jì)算定積分20/47在下面性質(zhì)中，假定定積分都存在，且若無(wú)尤其說(shuō)明則不考慮積分上下限大?。畬?duì)定積分【補(bǔ)充要求】【說(shuō)明】六、定積分性質(zhì)【證】【性質(zhì)1】（此性質(zhì)能夠推廣到有限多個(gè)函數(shù)作和情況）（逐項(xiàng)積分）21/47【證】【性質(zhì)2】【補(bǔ)充】不論a,b,c相對(duì)位置怎樣,上式總成立.［例］若【性質(zhì)3】則（積分區(qū)間可加性）【推廣】［首尾相接］22/47【證】【性質(zhì)4】【性質(zhì)5】（不等式性質(zhì)）——比較性質(zhì)【幾何意義顯著】—保號(hào)性【解】令于是23/47【性質(zhì)5推論】【證】［推論1］【證】［推論2］【說(shuō)明】24/47【證】（此性質(zhì)可用于預(yù)計(jì)積分值大致范圍）【性質(zhì)6】（估值性質(zhì)）【解】［復(fù)習(xí)］閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)求最值普通方法.25/47【解】26/47【證】由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)介值定理推論知：【性質(zhì)7】（定積分中值定理）積分中值公式使即數(shù)值27/47【積分中值公式幾何解釋】【注意】1.積分中值定理微分中值定理2.顯然，積分中值公式不論a>b還是a<b都是成立.3.從幾何角度易看出，表示連續(xù)曲線(xiàn)在上平均高度.為曲邊曲邊梯形面積等于同一底邊而高為f(ξ)一個(gè)矩形面積。亦即函數(shù)在上平均值.它是有限個(gè)數(shù)平均值概念拓廣28/47【解】由積分中值定理知有使【分析】去掉積分號(hào)才輕易求極限，則想到用積分中值定理等價(jià)無(wú)窮小代換最簡(jiǎn)單29/47七、小結(jié)１．定積分實(shí)質(zhì)：特殊和式極限．２．定積分思想和方法：分割化整為零求和積零為整取極限準(zhǔn)確值——定積分求近似，以直（不變）代曲（變）取極限取近似以直代曲30/47【思索題】1.將和式極限：表示成定積分.【思索題解答】原式［法Ⅰ］31/47［法Ⅱ］原式32/47觀(guān)察以下演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積關(guān)系．33/47觀(guān)察以下演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積關(guān)系．34/47觀(guān)察以下演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積關(guān)系．35/47觀(guān)察以下演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積關(guān)系．36/47觀(guān)察以下演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積關(guān)系．37/47觀(guān)察以下演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積關(guān)系．38/47觀(guān)察以下演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積關(guān)系．39/47觀(guān)察以下演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積關(guān)系．40/47觀(guān)察以下演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積關(guān)系．41/47觀(guān)察以下演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積關(guān)系．42/47觀(guān)察以下演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積關(guān)系．43/47觀(guān)察以下演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，