第六章,排隊(páiduì)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)

精品資料簡介(jiǎnjiè)在排隊論中,一個排隊模型是一個實際(shíjì)排隊系統(tǒng)的數(shù)學(xué)近似模擬.排隊網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)是由任意多個,通常是由有限個,單個排隊系統(tǒng)構(gòu)成的.來自不同類型或系統(tǒng)的顧客們已不同的方式或線路訪問并通過網(wǎng)絡(luò),并被服務(wù)于訪問的服務(wù)站(節(jié)點),各個服務(wù)站提供的服務(wù)不同,這種服務(wù)可以是真正的服務(wù),也可以是僅僅通過而已.例如,某個顧客訪問銀行,有的人直接走到出納員那里取錢或存錢,有人則需要先由接待員服務(wù),然后再由出納員服務(wù),如果涉及的資金多,則還需要部門經(jīng)理服務(wù).那么,接待員,出納員,經(jīng)理,還有無人自動存儲機(jī),均為節(jié)點,而整個銀行就是一個排隊網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng).如果我們模擬的是三峽船閘系統(tǒng),那么,不同水平的船閘開起及關(guān)閉,及不同船只通過的路線也是一個排隊網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng).許多工廠,公司都要面臨設(shè)備維修保養(yǎng),零件配件的供貨訂貨,生產(chǎn)流水線的管理等等都可以構(gòu)成排隊網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng),利用排隊網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)模型去模擬實現(xiàn).在排隊網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)顧客可以從一個排隊系統(tǒng)進(jìn)入另一個排隊系統(tǒng),這種轉(zhuǎn)移可以是隨機(jī)的,服從某一概率分布,也可以是固定的精品資料6.1開放(kāifàng)Jackson網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)定義6.1:一個排隊網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)被定義為Jackson網(wǎng)絡(luò),那么它滿足:所有的系統(tǒng)外的訪問者,不論首先訪問哪一個服務(wù)站,均服從泊松分布不論哪一個服務(wù)站,所有的服務(wù)時間,,均服從指數(shù)分布所有的服務(wù)站,均可接待無限數(shù)量的顧客當(dāng)一個顧客被完成了一個服務(wù)以后,其轉(zhuǎn)移到另一個服務(wù)站的概率,與該顧客已經(jīng)接受的服務(wù)過程無關(guān),與其它的服務(wù)所在的服務(wù)站無關(guān).Jackson網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)可以是開放的,也可以是閉合的.開放的Jackson網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)接受系統(tǒng)外顧客的來訪顧客也可以離開.閉合的Jackson網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)不接受系統(tǒng)外顧客的來訪,也沒有顧客離開.機(jī)器維修保養(yǎng)系統(tǒng),可以看做是閉合的,機(jī)器工作時機(jī)器處于一種狀態(tài),機(jī)器不工作時,機(jī)器處于另一種狀態(tài),當(dāng)機(jī)器修好(xiūhǎo),機(jī)器回到第一中第一種工作狀態(tài).精品資料6.2開放(kāifàng)Jackson網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)我們使用例子開始討論開放Jackson網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng),演示如何求出解答.例6.1某工作(gōngzuò)站有三種服務(wù):加工,細(xì)加工,裝飾,顧客訪問該工作(gōngzuò)站,首先要進(jìn)行加工,然后80%的顧客進(jìn)行細(xì)加工,再被裝飾,其余1/5的顧客直接被裝飾.工作(gōngzuò)站內(nèi)有一臺機(jī)器進(jìn)行加工,平均加工時間為5分鐘,有兩臺機(jī)器進(jìn)行細(xì)加工,每臺每次平均加工時間為15分鐘,有一臺機(jī)器進(jìn)行裝飾,平均加工時間為6分鐘,全部服從指數(shù)分布.顧客到工作(gōngzuò)站訪問的個數(shù)為泊松分布,平均7.5分鐘一個新顧客到來.整個工作(gōngzuò)流程如圖6.1所示精品資料工作(gōngzuò)流程圖精品資料solution首先可以確定這是一個Jackson網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng),根據(jù)陳述,我們寫出其轉(zhuǎn)移矩陣:這里節(jié)1為加工,節(jié)2為細(xì)加工,節(jié)3為裝飾出站.解決Jackson網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的步驟為首先確定每個節(jié)點的顧客訪問率,然后(ránhòu)對每個節(jié)點按照獨立的M/M/c系統(tǒng)處理.精品資料VisitRate那么我們首先計算三個節(jié)點的事件發(fā)生率:很明顯,對于節(jié)點1:λ1=1/7.5*60=8/小時對于節(jié)點2:λ2=λ1*0.8=6.4/小時對于節(jié)點3:λ3=λ1*0.25+λ2=8*0.2+6.4=8/小時下面(xiàmian)我們計算服務(wù)率,根據(jù)陳述,顯然μ1=60/5=12/小時,μ2=60/15=4/小時,μ3=60/6=10/小時.

精品資料Solution對于節(jié)點1和節(jié)點3,M/M/1系統(tǒng),使用(shǐyòng)第四章的穩(wěn)定狀態(tài)下系統(tǒng)中顧客數(shù)目的平均值確4.6

ρ1=λ1/μ1=8/12=0.667,ρ3=λ23/μ3=8/10=0.8,因此L1=0.667/(1-0.667)=2L3=0.8/(1-0.8)=4對于節(jié)點2,它是M/M/2系統(tǒng),見圖2精品資料那么,我們(wǒmen)首先設(shè)p0為n=0的概率,明顯λn=λ,對任意n=0,1,2…成立.服務(wù)時間稍有變化,只有一個顧客和有兩個或兩個以上的顧客的服務(wù)效率不同.只有一個顧客時,一個服務(wù)器工作,另一個服務(wù)器工作等待,系統(tǒng)具有兩個或兩個以上的顧客時,兩個服務(wù)器均工作,因此服務(wù)率為:

那么我們(wǒmen)可以得到這里γ=λ/μ,ρ=γ/2.精品資料那么,由于於是:對于節(jié)點(jiédiǎn)2:ρ2=6.4/8=0.8,因此p02=0.2/1.8=1/9,精品資料可以證明,M/M/2系統(tǒng)的平均顧客數(shù)目為

平均排隊等待數(shù)目為因此L2=2*0.8/(1-0.82)=4.44.

可以得到,節(jié)點(jiédiǎn)1沒有顧客的概率為p01=1-ρ01=1-2/3=1/3,節(jié)點(jiédiǎn)2沒有顧客的概率為p02=1/9,節(jié)點(jiédiǎn)3沒有顧客的概率為p03=1-ρ03=1-0.8=0.2.精品資料節(jié)點(jiédiǎn)總訪問率現(xiàn)在最困難的地方(dìfāng)是計算估計每個節(jié)點(服務(wù)器)的顧客訪問率.我們使用λi代表節(jié)點i的總訪問率.在一個穩(wěn)定系統(tǒng)中每個節(jié)點總顧客訪問率與總輸出率應(yīng)該相等,因此λi應(yīng)該等于從所有其它節(jié)點的來訪率及系統(tǒng)外來訪率的總和.因此我們有這里,γi為網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)外訪問節(jié)點外的訪問率,P(k,i)為由節(jié)點k直接傳到節(jié)點i的概率.對于網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中的任一節(jié)點都有一個方程,因此我們可以得到性質(zhì)如下:精品資料性質(zhì)(xìngzhì)6.1性質(zhì)6.1:假設(shè)矩陣P為Jackson網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)各節(jié)點之間的轉(zhuǎn)換概率(gàilǜ)γ為由網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)外顧客訪問每個節(jié)點的訪問率所構(gòu)成的向量,那么各個節(jié)點實際訪問率構(gòu)成的向量λ=(λ1,λ2,…λm)T滿足λ=γ(I-P)-16.2這里m為由網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)節(jié)點的總數(shù).性質(zhì)6.2:假設(shè)Jackson網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)具有m個節(jié)點,每個節(jié)點的服務(wù)效率均服從指數(shù)分布,其相應(yīng)的指數(shù)參數(shù)為μi,假設(shè)隨機(jī)變元Ni為節(jié)點i訪問顧客的個數(shù),那么m個節(jié)點的聯(lián)合分布概率(gàilǜ)為P{N1=n1,N2=n2,…,Nm=nm}=P{N1=n1}*P{N2=n2}*,…*P{Nm=nm}6.3式中任何一個概率(gàilǜ),P{Ni=ni},ni=0,1,2…,均可以用M/M/C排隊系統(tǒng)概率(gàilǜ)公式求出.精品資料顧客(gùkè)數(shù)目的期望值研究網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的特性,通常關(guān)注的是:通過系統(tǒng)服務(wù)的顧客數(shù)目期望值,在系統(tǒng)中接受服務(wù)的期望值,以及顧客在系統(tǒng)中停留時間的期望值.由于我們研究的系統(tǒng)是穩(wěn)定的,因此通過系統(tǒng)服務(wù)的顧客數(shù)目期望值應(yīng)該等于外界到系統(tǒng)訪問的數(shù)目總數(shù)的期望值,∑γi.,在系統(tǒng)中接受服務(wù)顧客數(shù)目的期望值等于每個節(jié)點中接受服務(wù)顧客數(shù)目期望值之和.顧客在系統(tǒng)中停留時間的期望值可以使用Little定律解決,于是我們有:性質(zhì)6.3:考慮Jackson一個擁有m個節(jié)點的,Nnet為代表(dàibiǎo)在系統(tǒng)中停留的顧客總數(shù),Tnet代表(dàibiǎo)任一個顧客在系統(tǒng)停留時間,γ是由各個節(jié)點外界顧客訪問率所構(gòu)成的向量.Li為M/M/C系統(tǒng)中得到的節(jié)點i中的顧客數(shù)目的期望值,那么我們有,精品資料例6.2某工作站有三種服務(wù):加工,細(xì)加工,裝飾,顧客訪問該工作站,首先要進(jìn)行加工,然后4/5的顧客進(jìn)行細(xì)加工,再被裝飾,其余1/5的顧客直接被裝飾.在所有被細(xì)加工的顧客有10%的顧客需要退回到第一種狀態(tài)重新加工.在所有被裝飾的顧客也有10%的顧客需要退回到第一種狀態(tài)重新加工.工作站內(nèi)有一臺機(jī)器(jīqì)進(jìn)行加工,平均加工時間為5分鐘,有兩臺機(jī)器(jīqì)進(jìn)行細(xì)加工,每臺每次平均加工時間為15分鐘,有一臺機(jī)器(jīqì)進(jìn)行裝飾,平均加工時間為6分鐘,全部服從指數(shù)分布.顧客到工作站訪問的個數(shù)為泊松分布,平均7.5分鐘一個新顧客到來.精品資料解:首先可以確定這是一個Jackson網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng),根據(jù)陳述,我們寫出其轉(zhuǎn)移矩陣:

這里(zhèlǐ)節(jié)1為加工,節(jié)2為細(xì)加工,節(jié)3為裝飾出站.使用6.1,λ1=8+0.1λ2+0.1λ3λ2=0.8λ1λ3=0.2λ1+0.9λ2

精品資料解這個方程組,由第三式我們得到λ3=0.92λ1,與第二式一起代入第一式,λ1=9.662,λ2=7.729,λ3=8.889,其相應(yīng)的服務(wù)率為μ1=60/5=12/小時,μ2=60/15=4/小時,μ3=60/6=10/小時.那么ρ1=λ1/μ1=9.662/12=0.8052,ρ2=λ2/(2μ2)=7.729/8=0.9661ρ3=λ3/μ3=8.889/10=0.8889,

對于節(jié)點1和節(jié)點3,M/M/1系統(tǒng),使用(shǐyòng)第四章的穩(wěn)定狀態(tài)下系統(tǒng)中顧客數(shù)目的平均值

精品資料因此L1=0.8052/(1-0.8052)=4.1326L3=0.8889/(1-0.8889)=8.0009對于節(jié)點2,M/M/2系統(tǒng)的平均顧客數(shù)目為因此顧客在整個網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)停留數(shù)目的期望值為L=L1+L2+L3=41.124.在節(jié)點1,沒有(méiyǒu)顧客訪問的概率為p01=(1-ρ1)/(1+ρ1)=(1-0.8052)/(1+0.8052)=0.1079,在節(jié)點2,沒有(méiyǒu)顧客訪問的概率為p02=(1-ρ2)/(1+ρ2)=(1-0.9661)/(1+0.9661)=0.0172,在節(jié)點3,沒有(méiyǒu)顧客訪問的概率為p03=(1-ρ3)/(1+ρ3)=(1-0.8889)/(1+0.8889)=0.0588.因此,在整個網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)沒有(méiyǒu)顧客訪問的概率為p=p01*p02*p03=0.0001.顧客在系統(tǒng)中的平均時間為E(Tnet)=41.124/(8+0+0)=2.35小時.精品資料6.2封閉(fēngbì)Jackson網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)

所謂的封閉Jackson網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)并不是真正封閉的.而是當(dāng)系統(tǒng)飽和后,進(jìn)出系統(tǒng)的個數(shù)相同,一個顧客被完成服務(wù)后,下一個顧客才被容許進(jìn)入,因此系統(tǒng)的顧客總數(shù)是固定的.系統(tǒng)永遠(yuǎn)處于穩(wěn)定狀態(tài),因此我們可以把系統(tǒng)看成是封閉的.下面我們使用例子來具體討論例6.3,某加工廠需要三道程序?qū)Ξa(chǎn)品進(jìn)行加工:1.機(jī)工車間,2.組裝(zǔzhuānɡ)車間3.電力車間.在機(jī)工車間加工的產(chǎn)品,70%需要到組裝(zǔzhuānɡ)車間組裝(zǔzhuānɡ),30%直接到電力車間.在組裝(zǔzhuānɡ)車間的產(chǎn)品,10%被發(fā)現(xiàn)質(zhì)量問題,需要返回到加工車間,90%的產(chǎn)品到電力車間.在電力車間完成的產(chǎn)品,離開系統(tǒng),因此一個新的產(chǎn)品進(jìn)入網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng),以保持系統(tǒng)總產(chǎn)品數(shù)目不變假設(shè)系統(tǒng)最多可以容納5個產(chǎn)品.有關(guān)各個車間的時間信息如下,所有的加工時間均服從指數(shù)分布,在機(jī)工停留時間時間,其均值為80分鐘,在組裝(zǔzhuānɡ)停留時間時間,其均值為120分鐘,在電力停留時間時間,其均值為60分鐘.精品資料系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移(zhuǎnyí)矩陣(I-P)是不滿秩矩陣外界輸入變量(產(chǎn)品進(jìn)入各個節(jié)點的訪問向量)r為0向量.因此(yīncǐ)不可能解出,進(jìn)入每個節(jié)點的實際輸入率.僅能求出相對訪問向量,因此(yīncǐ)我們可以假設(shè)第一行第一列的取值為1,然后求出其它行列相對外界對輸入率為γ0=(1,0.7,0.3)τ,出去第一個數(shù)值,接點1的輸假設(shè)輸入率,那么γ=(0.7,0.3)τ可以被看做為由節(jié)點2,3構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的外界輸入向量,使用6.1精品資料性質(zhì)(xìngzhì)6.4

假設(shè)P代表(dàibiǎo)一個具有m個節(jié)點的封閉網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移矩陣,Q代表(dàibiǎo)移去第一行,第一列的P的子矩陣,γ為由P的第一行,移去第一個分量所構(gòu)成的向量γ=(p12,p13,…,p1m)τ,第二到m個節(jié)點的相對輸入向量ξ可以由下式估計ξ=γτ(1-Q)-1此為性質(zhì)6.1的推論精品資料估計系統(tǒng)(xìtǒng)內(nèi)產(chǎn)品所花的時間但是我們最關(guān)心的是如何估計系統(tǒng)內(nèi)產(chǎn)品所花的時間,系統(tǒng)在每一個節(jié)點上所需要的時間,但是這些量是與封閉網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的水平有關(guān)部門,所謂的水平是與網(wǎng)絡(luò)所同時(tóngshí)服務(wù)的顧客數(shù)目決定的,容許進(jìn)入系統(tǒng)的個數(shù)越多,那么每個顧客在系統(tǒng)內(nèi)停留時間越長.顯然,同時(tóngshí)也與顧客實際的訪問率有關(guān)精品資料均值(jūnzhí)分析策略性質(zhì)6.5:均值分析考慮一個封閉的具有m個節(jié)點的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng),最多服務(wù)于wmax個工作.節(jié)點i的服務(wù)時間(shíjiān)服從均值為μi的指數(shù)分布i=1,2,…,m.使用性質(zhì)6.4估計出的相對節(jié)點訪問率,ξi.我們可以使用下面步騶計算在每個節(jié)點平均停留時間(shíjiān).1.設(shè)w=1,Wk(w)=1/μk,k=1,2,…,m2.setw=w+1,3.4.當(dāng)w=wmax停止,否則回到2每個節(jié)點的平均顧客訪問率精品資料例:6.3(繼續(xù)(jìxù))在網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)停留時間的計算過程(guòchéng)列在表6.1中的第1-5行當(dāng)w=5時,我們得到產(chǎn)品在機(jī)工車間平均停留時間為289.3分鐘,在組裝車間平均停留時間為471.6分鐘,在電力車間平均停留時間為108.6分鐘.wW1(w)W1(w)W3(w)∑ξiWi(w82109.12165.8671.46291.683149.94231.8883.72390.114207.57328.3696.30526.975289.32471.58108.62720.446405.51687.65120.08998.54表6.1網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)內(nèi)平均逗留時間計算

(w=5或者6)

精品資料系統(tǒng)(xìtǒng)特征(容許量)表6.2網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)內(nèi)有關(guān)統(tǒng)計量

(w=5)

統(tǒng)計量

節(jié)點1

節(jié)點2

節(jié)點3平均逗留時間289.32471.58108.62λk0.400.460.141/μk8012060ρk0.540.920.14Lk1.1510.960.16表6.3網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)內(nèi)有關(guān)統(tǒng)計量

(w=6)

統(tǒng)計量

節(jié)點1

節(jié)點2

節(jié)點3平均逗留時間405.51687.65120.08λk0.410.480.111/μk8012060ρk0.540.960.11Lk1.1826.870.13精品資料討論(tǎolùn)從表6.1-6.3可以看出,平均逗留時間與系統(tǒng)中容許接待的顧客或產(chǎn)品數(shù)量有關(guān).隨著最大容許量w的增加,平均逗留時間增加,但是各個節(jié)點的增加量并不平衡.從5個容許量增加到6個容許量,在節(jié)點1,平均逗留時間由289分鐘增加到406分鐘,相應(yīng)的顧客訪問數(shù)基本未變,1.15對應(yīng)1.18.而在節(jié)點2,平均逗留時間由472分鐘增加到688分鐘,相應(yīng)的顧客訪問數(shù)從11個增加到27.其次可以看到系統(tǒng)的原設(shè)計并不合理,在節(jié)點2訪問的顧客總數(shù)為11(w=5),要遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于在其它兩個節(jié)點停留的顧客總數(shù)1.15和0.16.因此我們需要改變編制機(jī)構(gòu).如果,我們增加組裝車間的人員設(shè)備為加倍.構(gòu)成(gòuchéng)M/M/C/2系統(tǒng).在使用同樣的相對輸入率的情況下,其結(jié)果列在表6.4中:精品資料

表6.4網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)內(nèi)有關(guān)統(tǒng)計量

(w=5)

統(tǒng)計量

節(jié)點1M/M/1

節(jié)點2M/M/2

節(jié)點3M/M/1平均逗留時間289.32471.58108.62λk0.400.460.141/μk8012060ρk0.540.460.14Lk1.151.160.16精品資料6.3非Jackson網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)很多網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)是非Jackson系統(tǒng)類型.對于這種Jackson類型,通常只能使用模擬或近似方式.一種常見的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)是節(jié)點的連接順序是固定的.也就是說,所有的加工順序是給定的.例如考慮一個產(chǎn)品由兩道工序組成,產(chǎn)品訪問率為每小時10個,產(chǎn)品總是(zǒnɡshì)先進(jìn)入第一道工序,然后進(jìn)入第二道工序,第二道工序結(jié)束后,再回到第一道工序,然后離開.因此產(chǎn)品所經(jīng)過的途經(jīng)是固定的.因此這個過程不滿足本章初,所定義的Jackson網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)定義,主要是第四條,系統(tǒng)轉(zhuǎn)入下一個狀態(tài)的的概率,與該產(chǎn)品客已經(jīng)接受的服務(wù)過程無關(guān),與其它的服務(wù)所在的節(jié)點無關(guān).但是我們可以將其稍為改造一下,建立一個Jackson網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)用來近似這個程序.例如我們可以假定訪問率加倍,完成第一道工序的產(chǎn)品,50%轉(zhuǎn)入第二道工序,那么網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)轉(zhuǎn)移矩陣為精品資料系統(tǒng)(xìtǒng)轉(zhuǎn)換顧客(gùkè)訪問率加倍精品資料具有泊松分布的固定(gùdìng)路程的系統(tǒng)

例6.4:下圖給出一個由三個固定路程(lùchéng)構(gòu)成的非Jackson網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)精品資料路程(lùchéng)路程1為(1,2,3,2),該加工過程為,產(chǎn)品先進(jìn)入節(jié)點1,然后進(jìn)入節(jié)點2,再進(jìn)入節(jié)點3,再回到節(jié)點2,然后離開網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng).其網(wǎng)絡(luò)路程長度為4.類似地,路程2為(2,3),路程3為(1,2,1,3).對于一般的具有K個路程的系統(tǒng),rk=(Ik1,,Ik2,…Ik)來表示第k個路程的具體途徑,Ikj為該路程k第j個節(jié)點,ni為該路程所通過的節(jié)點總數(shù),稱其為,節(jié)點通過,重復(fù)計算.那么對路程1,n1=4,對路程2,n2=4對路程3n3=3.路程1-3的外界(wàijiè)輸入率分別為γ1,,γ2和γ3.精品資料節(jié)點的輸入(shūrù)率計算

那么我們可以計算出節(jié)點1的輸入率為λ1=γ1,+2γ3節(jié)點2的輸入率為λ2=2γ1+γ2+γ3,節(jié)點3的輸入率為λ3=γ1+γ2+γ3.具體地說,當(dāng)計算通過每個節(jié)點的輸入率時,我們是通過數(shù)該網(wǎng)絡(luò)的每個路程通過該點次數(shù)乘以該路程輸入率,然后求和.例如對節(jié)點i:路程k通過該節(jié)點i的次數(shù)為這里(zhèlǐ),那么,所有路程通過該節(jié)點的總數(shù)為或者使用矩陣表達(dá)式得到節(jié)點的輸入率λ=γ??

精品資料節(jié)點的服務(wù)(fúwù)率計算

在得到每個節(jié)點的輸入率以后,各個節(jié)點可以被看作為獨立的服務(wù)器,盡管輸入變元不滿足泊松分布,但是(dànshì)我們通常認(rèn)為多個獨立相異非泊松分布的變元之和,可以使用泊松分布去近似.因此我們需要估計,不同的非泊松分布的變元是如何疊加,也就是計算疊加權(quán)重:給定一個節(jié)點i,由第k個路程輸入的概率為

例6.4(續(xù))由三個路程的節(jié)點轉(zhuǎn)換,可以看到由節(jié)點1轉(zhuǎn)到節(jié)點2分別在三個節(jié)點之間的傳輸狀態(tài)矩陣為精品資料輸入(shūrù)率概率矩陣假設(shè),路程1輸入率為γ1=10/小時,路程2輸入率為γ2=20/小時,路程3輸入率為γ1=30/小時.那么,節(jié)點1的輸入率為λ1=10+2*30=70/小時,節(jié)點2的輸入率為λ2=2*10+20+30=70/小時,節(jié)點3的輸入率為λ3=10+20+30=60/小時.那么概率矩陣為我們(wǒmen)還需要計算服務(wù)時間的有關(guān)參數(shù)精品資料服務(wù)(fúwù)時間性質(zhì)6.5:服務(wù)時間假設(shè)節(jié)點(jiédiǎn)i服務(wù)路程k的服務(wù)時間均值為μki,其服務(wù)率1/μki的方差為σki2.設(shè)Si為節(jié)點(jiédiǎn)i的任一工作的服務(wù)時間.式中6.6給出.精品資料例6.5,假設(shè)一個網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)具有5個類型的工作組合,其工作路程由下表給出,表中T代表圖象處理,M代表模型研發(fā),S代表產(chǎn)品生產(chǎn),X代表銷售.總共有六類產(chǎn)品,每種產(chǎn)品的流程及產(chǎn)品到達(dá)速度列在表6.5中.例如(lìrú)生產(chǎn)A類產(chǎn)品,需要訪問四個加工節(jié)點,每個節(jié)點只訪問一次,該產(chǎn)品訪問網(wǎng)絡(luò)的平均輸入率為每八小時55個B類產(chǎn)品,需要訪問五個加工節(jié)點,需要二次圖象處理,因此訪問節(jié)點T兩次其它節(jié)點只訪問一次,該產(chǎn)品訪問網(wǎng)絡(luò)的平均輸入率為每八小時35個.表6.5:產(chǎn)品種類,流程及輸入率產(chǎn)品種類生產(chǎn)流程產(chǎn)品輸入率(小時)AT-M-S-X55BM-T-M-S-T-X35CT-M-X30DM-S-T-S-X56ET-M-S-T-X70FT-S-X40精品資料使用(shǐyòng)的EXCEL根據(jù)表格6.5,是取自EXELL,表中最后一列為該表在EXELL中所在的行數(shù),在行17-22列出不同類產(chǎn)品訪問不同節(jié)點的頻數(shù),??ki,在行23我們計算每個節(jié)點的輸入率λi.最后一行為(xíngwéi)該表所在的列數(shù),使用的EXCEL公式為λi(T):=(B17*$F$17+B18*$F$18+B19*$F$19+B20*$F$20+B21*$F$21+B22*$F$22)/8λi(M):=(C17*$F$17+C18*$F$18+C19*$F$19+C20*$F$20+C21*$F$21+C22*$F$22)/8λi(S):=(D17*$F$17+D18*$F$18+D19*$F$19+D20*$F$20+D21*$F$21+D22*$F$22)/8λi(X):=(E17*$F$17+E18*$F$18+E19*$F$19+E20*$F$20+E21*$F$21+E22*$F$22)/8使用EXELL,表中最后一列為該表在EXELL中所在的行數(shù),精品資料產(chǎn)品(chǎnpǐn)輸入率

表6.6:計算節(jié)點的產(chǎn)品輸入率產(chǎn)品種類節(jié)點產(chǎn)品輸入率行數(shù)

TMSX(小時)

A11115517B22113518C11013019D11215620E21117021F10114022λi個/小時48.87535.1253935.75

23ABCDEF

精品資料產(chǎn)品種類

節(jié)點

TMSX

行數(shù)A0.1410.1960.1760.19231B0.1790.2490.1120.12232C0.0770.1070.0000.10533D0.1430.1990.3590.19634E0.3580.2490.2240.24535F0.1020.0000.1280.14036E[Si]1.010.570.691.2937E[S2]1.080.360.491.7438C2s1/20.261/10.931/20.721/24.6439ABCDE

表6.7:計算節(jié)點的產(chǎn)品輸入概率:qk,I,不同工作在各個節(jié)點的平均工作時間(shíjiān),二階矩,及方差系數(shù)行31-36給定節(jié)點條件(tiáojiàn)下,為相應(yīng)工作被服務(wù)的概率,使用6.11計算qk,I,使用EXCELL相應(yīng)的計算公式并使用表6.6,6.7和6.8,行31,列B給出qA,T,=B47*B17/B23行31,列C給出qAM,c47*C17/C23行32,列B給出qBT,=C48*B18/B23精品資料表6.7不同類型(lèixíng)工作在不同節(jié)點上所需要服務(wù)的平均時間及標(biāo)準(zhǔn)差產(chǎn)品種類TMSX行數(shù)

MeanStdDevMeanStdDevMeanStdDevMeanStdDevA1.250.310.630.130.500.061.060.8147B1.130.940.310.190.630.131.691.0048C0.750.630.880.190.060.060.940.6349D1.380.380.690.190.880.441.500.7550E0.810.500.560.560.560.251.440.5051F0.880.560.060.060.690.191.000.6952ABCDEFGHI

行37為服務(wù)時間均值:E[Si(T)]:=B3*B31+B4*B32+B5*B33+B6*B34+B7*B35+B8*B36行38為服務(wù)時間的二階矩:E[S2(T)]:=B3*B3*B31+B4*B4*B32+B5*B5*B33+B6*B6*B34+B7*B7*B35+B8*B8*B36精品資料特征函數(shù)

節(jié)點

行數(shù)TMSX訪問率

48.87535.1253935.7555服務(wù)率

59.28105.1387.3746.3556ρ

0.820.330.450.7757L4.700.500.813.3758W=L/λ(小時)0.100.010.020.0959Wq=w-μ(小時)0.080.0050.010.0760ABCDE

表6.9不同(bùtónɡ)節(jié)點上排對系統(tǒng)特征值

精品資料最后一步,我們使用6.14計算在網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中完成不同類型產(chǎn)品的時間,行66-71,列B-E給出不同類型產(chǎn)品,在不同工作節(jié)點所需要的停留時間.以A類工作在節(jié)點T的停留時間使用EXCEL為例,其計算公式公式為:E(TA,T)=B47+$B$38/$B$37/$B$37/2*$B$59,A類工作在節(jié)點M的停留時間為E(TA,M)=D47+$C$38/$C$37/$C$37/2*$C$59,B類工作在節(jié)點T的停留時間為E(TB,T)=B48+$B$38/$B$37/$B$37/2*$C$58,其余類推.那么A類產(chǎn)品在整個網(wǎng)絡(luò)停留的時間為A所在行按表6.6相應(yīng)行加權(quán)求和(6.14):Tnet,A=B17*B66+C17*C66+D17*D66+E17*E66,類似(lèisì)地,B類產(chǎn)品的期望停留時間為Tnet,B==B18*B67+C18*C67+D18*D67+E18*E67精品資料節(jié)點期望工作(gōngzuò)時間

表6.10在網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中完成不同類型產(chǎn)品的期望時間產(chǎn)品種類(K)節(jié)點期望工作時間Tnet,k行數(shù)

TMSXA1.3000.6330.5111.1123.5666B1.1750.3200.6361.7375.3667C0.8000.8830.0730.9872.6768D1.4250.6950.8861.5495.4469E0.8630.5700.5731.4874.3670F0.9250.0700.6981.0492.6771ABCDE

精品資料系統(tǒng)模擬

理論計算需要將模型簡化,加上很多假設(shè).因此理論模型的結(jié)果(jiēguǒ)往往并不準(zhǔn)確.我們通常使用數(shù)值模擬計算.下面程序(SAS)生成250個時間序列.SAS程序:我們反復(fù)使用兩個MACRO,一個ranexp生成服從泊松分布序列,A,B,C,D,E,F根據(jù)表6.5給出的泊松密度,另一個生成服從指數(shù)分布的服務(wù)時間,分別代表四個節(jié)點T,M,S和X,依照表6.5給出的順序.我們記錄每個系列到達(dá)時間及離開系統(tǒng)的時間,每個節(jié)點(T,M,…)的服務(wù)時間,及服務(wù)對象(A,B,…),最后做統(tǒng)計分析.精品資料SASProgram%macrorannorm(mu,std,seed,var);Time=&mu+(ranuni(&seed)-0.5)*&std/24;node=&var;%mend;%macroranexp(lambda,seed,var);Ini1=ranexp(&seed)/&lambda*8;INit=&var;%mend;%macrodatade();dataduse;retaintimelineainibinicinidinieinifiniini0;%doi=1%to250;ran=ranuni(830903)*286;ifran<=55thendo;group='A';%ranexp(55,&i+11,'Aini');aid=1;%rannorm(1.25,0.31,&i+1,'T');idin='A11';output;%rannorm(0.63,0.13,&i+2,'M');idin='A12';output;%rannorm(0.5,0.06,&i+3,'S');idin='A13';output;%rannorm(1.06,0.81,&i+4,'X');idin='A14';output;aini=ini+ini1;end;elseifran<=90thendo;group='B';%ranexp(35,&i+13,'Bini');Bid=1;idin='B21';%rannorm(0.31,0.19,&i+1,'M');output;idin='B22';%rannorm(1.13,0.94,&i+2,'T');output;idin='B23';%rannorm(0.31,0.19,&i+3,'M');output;idin='B24';%rannorm(0.63,0.13,&i+4,'S');output;idin='B25';%rannorm(1.13,0.94,&i+3,'T');output;idin='B26';%rannorm(1.69,1.1,&i+4,'X');output;bini=ini+ini1;end;elseifran<=120thendo;group='C';%ranexp(30,&i+15,'Cini');Cid=1;idin='C31';%rannorm(0.75,0.63,&i+1,'T');output;idin='C32';%rannorm(0.88,0.19,&i+2,'M');output;idin='C33';%rannorm(0.94,0.63,&i+4,'X');output;cini=ini+ini1;end;elseifran<=176thendo;group='D';%ranexp(56,&i+17,'Dini');Did=1;idin='D41';/*???? T M S X ?? Mean StdDev Mean StdDev Mean StdDev Mean StdDev E 0.81 0.50 0.56 0.56 0.56 0.25 1.44 0.50 51F 0.88 0.56 0.06 0.06 0.69 0.19 1.00 0.69 52A B C D E F G H I */%rannorm(0.69,0.19,&i+1,'M');output;idin='D42';%rannorm(0.88,0.44,&i+2,'S');output;idin='D43';%rannorm(1.38,0.38,&i+3,'T');output;idin='D44';%rannorm(0.88,0.44,&i+4,'S');output;idin='D45';%rannorm(1.5,0.75,&i+3,'X');output;dini=ini+ini1;end;elseifran<=246thendo;group='E';%ranexp(70,&i+19,'Eini');Eid=1;idin='E51';%rannorm(0.81,0.5,&i+1,'T');output;idin='E52';%rannorm(0.56,0.56,&i+2,'M');output;idin='E53';%rannorm(0.56,0.25,&i+3,'S');output;idin='E54';%rannorm(0.81,0.5,&i+4,'T');output;idin='E55';%rannorm(1.44,0.5,&i+3,'X');output;eini=ini+ini1;end;elsedo;group='F';%ranexp(40,&i+21,'Fini');Fid=1;idin='F61';%rannorm(0.88,0.56,&i+1,'T');output;idin='F62';%rannorm(0.69,0.19,&i+2,'S');output;idin='F63';%rannorm(1,0.69,&i+3,'X');output;fini=ini+ini1;end;ini=ini+ini1;%end;%MEND;%DATADE();dataduse1;setduse;group1=lag1(group);procprintdata=duse1;run;dataduse2;setduse1;retainatimebtimectimedtimeetimeftimeltimettimemtimestimextime0;if_N_=1thendo;atime=ini;btime=ini;ctime=ini;dtime=ini;etime=ini;ftime=ini;ttime=ini;mtime=ini;stime=ini;xtime=ini;end;ifgroupnegroup1THENDO;ttime=max(ini,ttime)+(node='T')*time;mtime=max(ini,mtime)+(node='M')*time;stime=max(ini,stime)+(node='S')*time;xtime=max(ini,xtime)+(node='X')*time;ltime=max(ttime,mtime,stime,xtime);END;elsedo;ttime=ltime+(node='T')*time;mtime=ltime+(node='M')*time;stime=ltime+(node='S')*time;xtime=ltime+(node='X')*time;ltime=max(ttime,mtime,stime,xtime);end;/*ifGROUPnegroup1thenltime1=ini;elseltime1=lag1(ltime);*/if_N_=1THENDO;IFgroup='A'THENAtime=ini;IFgroup='B'THENBtime=ini;IFgroup='C'THENCtime=ini;IFgroup='D'THENDtime=ini;IFgroup='E'THENEtime=ini;IFgroup='F'THENFtime=ini;END;IFgroup='A'THENdo;ifnode='T'thenatime=max(ini,ttime);elseifnode='M'thenat