數(shù)學(xué)文化第一章20211.中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載:“芻甍者,下有袤有廣,而上有袤無(wú)廣.芻,草也.甍,屋蓋也.”翻譯為“底面有長(zhǎng)有寬為矩形,頂部只有長(zhǎng)沒(méi)有寬為一條棱.芻甍字面意思為茅草屋頂.”現(xiàn)有一個(gè)芻甍如圖所示,四邊形ABCD為正方形,四邊形ABFE、四邊形CDEF為兩個(gè)全等的等腰梯形,AB=4,EF

AB.若這個(gè)芻甍的體積為,求異面直線AB與CF所成角的余弦值.解

(方法1)取CD,AB的中點(diǎn)M,N,連接FM,FN,則多面體分割為棱柱與棱錐兩個(gè)部分,設(shè)E到平面ABCD的距離為h,(方法2)取CD,AB的中點(diǎn)M,N,連接FM,FN,則多面體分割為棱柱與棱錐兩個(gè)部分,設(shè)E到平面ABCD的距離為h,如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),以DC為x軸,DA為y軸,垂直于平面ABCD且過(guò)點(diǎn)D的直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.由已知得2.中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)·商攻》中闡述:“斜解立方,得兩壍堵.斜解壍堵,其一為陽(yáng)馬,一為鱉臑.陽(yáng)馬居二,鱉臑居一.”若稱為“陽(yáng)馬”的某四棱錐如圖所示,底面ABCD為矩形,PD⊥平面ABCD,PD=AD=3,AB=4,則PA與BC所成的角等于

,PB與平面PDC所成角的正弦值等于

.

解析

(方法1)如圖,∵底面ABCD為矩形,∴AD∥BC,則∠PAD為PA與BC所成的角.∵PD⊥平面ABCD,∴PD⊥AD.在Rt△PDA中,∵PD=AD,∴∠PAD=45°,即PA與BC所成的角等于45°.∵PD⊥平面ABCD,PD?平面PDC,則平面PDC⊥平面ABCD.又平面ABCD∩平面PDC=DC,AD⊥DC,∴AD⊥平面PDC.又AD∥BC,∴BC⊥平面PDC.∴∠BPC是PB與平面PDC所成角.∵PD=3,DC=4,∴PC=5.(方法2)分別以DA,DC,DP為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖.由題意可知,P(0,0,3),A(3,0,0),B(3,4,0),C(0,4,0),3.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)專著,在《九章算術(shù)》卷第一《方田》中,將直角梯形稱之為“邪田”,當(dāng)直角梯形底邊橫放時(shí),以“頭”稱其上下底,以“正從”稱其高,如圖,在“邪田”ABCD中,E,F分別在“正從”和“下頭”上,沿EF,FD,DE將圖形翻折起來(lái),使A,B,C重合為一點(diǎn)O.(1)求證:OE⊥DF;(2)若在“邪田”ABCD中,“正從”AB=4,“上頭”AD=5,試求平面ODF與平面EFD的夾角的余弦值.(1)證明

依題意E,F分別為AB,BC的中點(diǎn),且由AD⊥AE,BF⊥BE,得OD⊥OE,OE⊥OF,∵OF∩OD=O,∴OE⊥平面ODF.∵DF?平面ODF,∴OE⊥DF.(2)解

如圖①,過(guò)點(diǎn)D作DG⊥BC于點(diǎn)G,則CD=AD=5,DG=AB=4,∴CG=3,∴BC=8,BF=CF=4,∴FG=1,∴DF=.由(1)知OE⊥平面ODF,如圖②,以O(shè)