第29講尺規(guī)作圖與定義.命題.定理

目錄

題型07尺規(guī)作圖-找圓心

一、考情分析題型08尺規(guī)作圖-過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線(xiàn)

二、知識(shí)建構(gòu)題型09尺規(guī)作圖-作外接圓

考點(diǎn)一尺規(guī)作圖題型10尺規(guī)作圖-作內(nèi)切圓

題型01尺規(guī)作圖-作線(xiàn)段題型11尺規(guī)作圖-作圓內(nèi)接正多邊形

題型02尺規(guī)作圖-作角度題型12尺規(guī)作圖-格點(diǎn)作圖

類(lèi)型一作一個(gè)角等于已知角考點(diǎn)二定義、命題、定理

類(lèi)型二尺規(guī)作角的和、差題型01判斷是否命題

類(lèi)型三過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)作這條線(xiàn)的平行題型02判斷命題真假

類(lèi)型四作角平分線(xiàn)題型03舉反例說(shuō)明命題為假命題

題型03尺規(guī)作圖-作三角形（含特殊三角形）題型04寫(xiě)出命題的逆命題

題型04尺規(guī)作圖-作三角形的中線(xiàn)與高題型05反證法證明中的假設(shè)

題型05尺規(guī)作圖-作垂直平分線(xiàn)題型06用反證法證明命題

題型06尺規(guī)作圖-畫(huà)圓

考點(diǎn)要求新課標(biāo)要求命題預(yù)測(cè)

>能用尺規(guī)作圖：本考點(diǎn)內(nèi)容以考查尺規(guī)作

①作一個(gè)角等于已知角；作一個(gè)角的平分線(xiàn).圖和真假命題為主，年年考查，

②作一條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)；過(guò)一點(diǎn)作已知直線(xiàn)的垂線(xiàn).是廣大考生的得分點(diǎn)，分值為

③過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)作這條直線(xiàn)的平行線(xiàn).6分左右.預(yù)計(jì)2024年各地中

尺規(guī)作圖④己知三邊、兩邊及其夾角、兩角及其夾邊作三角形；已知底邊及底考還將繼續(xù)考查這兩個(gè)知識(shí)

邊上的高線(xiàn)作等腰三角形；已知一直角邊和斜邊作直角三角形.點(diǎn).中考對(duì)尺規(guī)作圖的考查

⑤過(guò)不在同一直線(xiàn)上的三點(diǎn)作圓；作三角形的外接圓、內(nèi)切圓；作圓的涉及多種形式，不再是單一的

內(nèi)接正方形和內(nèi)接正六邊形.對(duì)作圖技法操作進(jìn)行考查，而

⑥過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線(xiàn).是把作圖與計(jì)算、證明、分析、

>通過(guò)具體實(shí)例，了解定義、命題、定理、推論的意義.判斷等數(shù)學(xué)思維活動(dòng)有效融

>結(jié)合具體實(shí)例，會(huì)區(qū)分命題的條件和結(jié)論，了解原命題及其逆命題的合，既體現(xiàn)了動(dòng)手實(shí)踐的數(shù)學(xué)

概念.會(huì)識(shí)別兩個(gè)互逆的命題，知道原命題成立其逆命題不一定成立.思維活動(dòng)，也考查了學(xué)生運(yùn)用

定義、命

>知道證明的意義和證明的必要性，知道數(shù)學(xué)思維要合乎邏輯，知道可數(shù)學(xué)思考解決問(wèn)題的能力，為

題、定理

以用不同的形式表述證明的過(guò)程，會(huì)用綜合法的證明格式.避免丟分，學(xué)生應(yīng)扎實(shí)掌握.

>了解反例的作用，知道利用反例可以判斷一個(gè)命題是錯(cuò)誤的.

>通過(guò)實(shí)例體會(huì)反證法的含義.

題型01尺規(guī)作圖-作線(xiàn)段

題型02尺規(guī)作圖-作角度

類(lèi)型一作一個(gè)角等于已知角

類(lèi)型二尺規(guī)作角的和、差

先分析題目，讀懂題意.類(lèi)型三過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)作這條線(xiàn)的平行

判斷題目要求作什么類(lèi)型四作角平分線(xiàn)

尺關(guān)題型03尺規(guī)作圖-作三角形（含特殊三角形）

規(guī)鍵讀懂題意后，再運(yùn)用幾種題型04尺規(guī)作圖-作三角形的中線(xiàn)與高

題型尺規(guī)作圖-作垂直平分線(xiàn)

作基本作圖方法解決問(wèn)題05

題型06尺規(guī)作圖-畫(huà)圓

圖切記作圖中一定要保留作題型07尺規(guī)作圖-找圓心

與圖痕跡題型08尺規(guī)作圖-過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線(xiàn)

定題型09尺規(guī)作圖-作外接圓

題型10尺規(guī)作圖-作內(nèi)切圓

義

題型11尺規(guī)作圖-作圓內(nèi)接正多邊形

題型12尺規(guī)作圖-格點(diǎn)作圖

,

命

定

題

義題型01判斷是否命題

、

命題型02判斷命題真假

定題型03舉反例說(shuō)明命題為假命題

瓢

題型04寫(xiě)出命題的逆命題

定

題型05反證法證明中的假設(shè)

理

題型06用反證法證明命題

考點(diǎn)一尺規(guī)作圖

.夯基■必備基礎(chǔ)邂推理

尺規(guī)作圖的定義：在幾何里，把限定用沒(méi)有刻度的直尺和圓規(guī)來(lái)畫(huà)圖稱(chēng)為尺規(guī)作圖.

五種基本作圖:

類(lèi)型圖示作圖依據(jù)

作一條線(xiàn)段等Ia?

圓上的點(diǎn)到圓心的距離等于半徑.

于已知線(xiàn)段

114「

0]P

作一個(gè)角等于

1）三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等；

已知角

。方2）全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；

3）兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn).

B

作一個(gè)角的平

分線(xiàn)

作一條線(xiàn)段的

1）到線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條

垂直平分線(xiàn)

-線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上；

2）兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn).

M,

過(guò)一點(diǎn)作已知

1）等腰三角形“三線(xiàn)合一”；

直線(xiàn)的垂線(xiàn)

XD“a.1.D2）兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn).

根據(jù)基本作圖作三角形

類(lèi)型圖示

已知三角形的三邊，求作三角形二M

a

已知三角形的兩邊及其夾角，求作三角形4b"

已知三角形的兩角及其夾邊，求作三角形

2tK

m/aPK

BmiC

已知直角三角形一直角邊和斜邊,求作直角

三角形

根據(jù)基本作圖作圓

類(lèi)型圖示

過(guò)不在同一直線(xiàn)上的三點(diǎn)作圓

（即三角形的外接圓）

A

作三角形的內(nèi)切圓

尺規(guī)作圖的關(guān)鍵:

1）先分析題目，讀懂題意，判斷題目要求作什么;

2）讀懂題意后，再運(yùn)用幾種基本作圖方法解決問(wèn)題;

3）切記作圖中一定要保留作圖痕跡.

一提升.必考典型歸納

題型01尺規(guī)作圖-作線(xiàn)段

【例1】（2021上?遼寧撫順?九年級(jí)校聯(lián)考周測(cè)）如圖，平面上有四個(gè)點(diǎn)A,B,C,根據(jù)下列要求畫(huà)圖.

?B

D

(1)畫(huà)直線(xiàn)AB；

(2)作射線(xiàn)BC-.

(3)畫(huà)線(xiàn)段A。；

(4)連接CD,并延長(zhǎng)CD至點(diǎn)E,使。E=C。；(保留作圖痕跡)

(5)在四邊形ABCD內(nèi)找一點(diǎn)O,使它到四邊形四個(gè)頂點(diǎn)的距離的和OA+O8+OC+OD最小.

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

(3)見(jiàn)解析

(4)見(jiàn)解析

(5)見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)直線(xiàn)的概念作圖即可；

(2)根據(jù)射線(xiàn)的概念作圖即可；

(3)根據(jù)線(xiàn)段的概念作圖即可；

(4)以點(diǎn)。為圓心、0c為半徑，畫(huà)弧交CO延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E；

(5)根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，連接AC、BD,交點(diǎn)即為所求點(diǎn)。

【詳解】(1)如圖所示，直線(xiàn)AB即為所求；

(2)如圖所示，射線(xiàn)即為所求；

(3)如圖所示，線(xiàn)段40即為所取；

(4)如圖所示，線(xiàn)段。E即為所求；

(5)如圖所示，點(diǎn)。即為所求.

B

【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線(xiàn)，射線(xiàn)和線(xiàn)段的定義和作圖.熟練地掌握直線(xiàn)，射線(xiàn)和線(xiàn)段的定義，并正確

的根據(jù)定義作圖是解題的關(guān)鍵.

【變式1T】（2023上?廣西河池.九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在同一平面上有A,B,C三個(gè)點(diǎn)，按要求作圖：

C

/B

⑴作直線(xiàn)AC,射線(xiàn)BC,連接42；

⑵延長(zhǎng)AB到點(diǎn)D,使得BD=AB；

（3）直接寫(xiě)出乙4BC+乙CBD=°.

【答案】（1）圖見(jiàn)解析；

（2）圖見(jiàn)解析；

（3）180°

【分析】（1）按照題意用直尺作出圖形；

（2）按照題意作出圖形即可；

（3）由題意可知，AABC+^CBD=180°.

【詳解】（1）解：如圖所示，直線(xiàn)AC,射線(xiàn)BC,線(xiàn)段AB即為所求;

（2）解：如圖所示線(xiàn)段8。即為所求；

（3）解：乙4BC+NCBD=180。，理由是：

?延長(zhǎng)AB到點(diǎn)D,使得BC=AB

NA8O是平角

:.乙ABC+乙CBD=180°

c

/ABD

【點(diǎn)睛】本題考查了直線(xiàn)、線(xiàn)段、射線(xiàn)的作圖，解決本題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作圖.

【變式1-2]（2023?山西太原?山西大附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知線(xiàn)段a、b、c.

，a，

b

（1）用直尺和圓規(guī)作出一條線(xiàn)段AB,使它等于a+c-6.（保留作圖痕跡，檢查無(wú)誤后用水筆描黑，包括痕

跡）

（2）若a=6,6=4,c=7,點(diǎn)C是線(xiàn)段4B的中點(diǎn)，求4C的長(zhǎng).

【答案】（1）作圖見(jiàn)解析

（2）4.5

【分析】（1）作射線(xiàn)4M,在射線(xiàn)4M上順次截取4E==c,在線(xiàn)段用4上截取FB=b,則線(xiàn)段28即為

所求；

（2）由（1）中結(jié)論及已知條件，求得4B的長(zhǎng)，再利用線(xiàn)段中點(diǎn)的性質(zhì)即可解得AC的長(zhǎng).

【詳解】（1）解：如圖，線(xiàn)段4B即為所求：

A^l~FM

（2）如圖，

ACB[_￥M

va=6,b=4,c=7,

AB=a+c—b=6+7—4=9

???點(diǎn)C是線(xiàn)段43的中點(diǎn)，

11

???AC=-AB=-x9=4.5

22

即AC的長(zhǎng)4.5.

【點(diǎn)睛】本題考查基本作圖、線(xiàn)段的和差、線(xiàn)段的中點(diǎn)等知識(shí)，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.

【變式「3】（2022上?廣西梧州?七年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）如圖，已知線(xiàn)段a,b,用直尺和圓規(guī)作圖，分別作

下列兩條線(xiàn)段.

①AB=a+b；

②CD=2a-b.

ab

（2）已知：如圖，Z.AOB=/.COD=90°,4BOD=25°.求乙4OC的度數(shù).

【答案】（1）①見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析；（2）155°

【分析】（1）①先作線(xiàn)段AC=a,再以點(diǎn)C為一端點(diǎn)，往AC延長(zhǎng)線(xiàn)方向作線(xiàn)段CB=6即可;

②先作線(xiàn)段CE=2a,再以點(diǎn)E為一端點(diǎn)，往EC延長(zhǎng)線(xiàn)方向作線(xiàn)段即=6即可；

（2）先根據(jù)已知條件求出乙4。。的度數(shù)，再由乙4。。=NC。。+乙4。。計(jì)算即可.

【詳解】⑴解:

ab

AacbB

①ZB=a+b；

CD

?----------------------------1------------------1----------------------------------------------------1廠(chǎng)

aba

②CD=2a—b

（2）解：???乙AOB=90°,4BOD=25°

???/.AOD=4AOB-4BOD=90°-25°=65°

???乙COD=90°

AAAOC=乙COD+^AOD=90°+65°=155°.

【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-線(xiàn)段的和差及計(jì)算角的和差，熟練掌握作圖技巧及知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

題型02尺規(guī)作圖-作角度

類(lèi)型一作一個(gè)角等于已知角

【例2】（2022?吉林長(zhǎng)春.統(tǒng)考一模）如圖，在AABC中，乙4c8=90。，AC^BC.用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)在

A8邊上找一點(diǎn)。，使=則符合要求的作圖是（）

cc

【答案】c

【分析】過(guò)點(diǎn)。作A2的垂線(xiàn)，利用同角的余角相等證明即可.

【詳解】根據(jù)題意，A作圖是構(gòu)造等腰三角形，

不符合題意；

8是作的角的平分線(xiàn)，

故不符合題意；

C是過(guò)點(diǎn)。作AB的垂線(xiàn)，

ZA=90°-ZB,ZBCD=90°-ZB,

;?乙BCD=Z-Af

故C符合題意；

D作的是線(xiàn)段AC的垂直平分線(xiàn)，

故不符合題意，

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂線(xiàn)的基本作圖，余角的性質(zhì)，熟練掌握作圖，靈活運(yùn)用互余性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式2-1］（2023?山東青島??？家荒＃┤鐖D，8D平分NABC,點(diǎn)E為A8上一點(diǎn).

（1）尺規(guī)作圖：以E為頂點(diǎn)，作NAEF=NABC,交8。于點(diǎn)尸（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）;

（2）在（1）的條件下，若/DFE=150。,求N2EP的度數(shù).

【答案】（1）見(jiàn)解析

（2）120°

【分析】（1）根據(jù)作一個(gè)角等于已知角的方法即可作NAEF=ZABC,交BD于點(diǎn)、F.

（2）根據(jù)NDPE=150。,可得到的度數(shù),再根據(jù)平行線(xiàn)的判定及性質(zhì)，角平分線(xiàn)的定義即可得到NBEP

的度數(shù).

【詳解】（1）解：如圖，/A斯即為所求；

\'^AEF=AABC,

：.EF\\BC.

：.NFBC=ZEFB=3O°,ZEBC+ZBEF=180°.

：8。平分/ABC,

二NEBC=2NFBC=60。,

：.ZBEF=180°-60°=120°.

【點(diǎn)睛】本題考查了基本作圖，角平分線(xiàn)的定義，平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)，掌握作一個(gè)角等于已知角，熟練

運(yùn)用平行線(xiàn)的判定和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

【變式2-2］（2021下.上海閔行.上海上師初級(jí)中學(xué)校考期中）如圖，已知乙4。8=70。，Na=53。，在圖中

用尺規(guī)作乙4OC=Na,并計(jì)算NBOC的值.（保留作圖痕跡，不得使用量角器）

【答案】見(jiàn)解析

【分析】分兩種情況：。。在乙4OB內(nèi)和。C在41OB外進(jìn)行作圖解題即可.

【詳解】解：如圖，當(dāng)。。在乙4OB內(nèi)時(shí)，

Z.BOC=Z.XOB-/.AOC=70°-53°=17°,

A

如圖，當(dāng)OC在乙4。8外時(shí)，

Z.BOC=乙40B+/.AOC=70°+53°=123°,

綜上所述，4BOC=17?；?8。。=123°.

【點(diǎn)睛】本題考查限定工具作圖一尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角，角的和差，掌握分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵.

類(lèi)型二尺規(guī)作角的和、差

【例3】（2023上?內(nèi)蒙古呼和浩特??？茧A段練習(xí)）如圖，已知/ABC.

（1）請(qǐng)以射線(xiàn)DG為邊作一個(gè)角，使它等于乙48c的補(bǔ)角；（尺規(guī)作圖，不必寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）

（2）若乙4BC的補(bǔ)角是NABC的5倍，貝UN/IBC=_.

【答案】（1）詳見(jiàn)解析

（2）30°

【分析】（1）作一個(gè)角等于已知角，反向延長(zhǎng)所作角的一邊，得其鄰補(bǔ)角即為所求.

（2）根據(jù)補(bǔ)角的定義知互為補(bǔ)角的兩個(gè)角和為180。，構(gòu)建方程求解.

【詳解】（1）解：作NMDF=Z71BC,反向延長(zhǎng)射線(xiàn)DM,得射線(xiàn)DG,NGDF即為所求;

（2）解：由題意，得乙4BC+54aBe=180。，

解得：4ABC=30°,

故答案為:30°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖一作一個(gè)角等于已知角，補(bǔ)角的定義，解題的關(guān)鍵是掌握尺規(guī)作圖的方

法和步驟，以及相加等于180。的兩個(gè)角互補(bǔ).

【變式3-1］（2023上?陜西榆林?校考階段練習(xí)）已知如圖N%“，請(qǐng)你利用尺規(guī)作圖作N40B,使乙4OB=

N0-Na.（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）

【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖的方法先作〃OC="，再以。C為角的一邊作NBOC=Na,貝IJNAOB即為所求.

【詳解】解：如圖，N40B即為所求.

【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖，角的計(jì)算，熟練掌握尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角的方法是解題的關(guān)鍵.

【變式3-2］（2023?陜西商洛?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在AABC中，AB=AC,"BC的平分線(xiàn)交力C于點(diǎn)E,

請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在射線(xiàn)BE上求作一點(diǎn)D,使得=（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）

【答案】見(jiàn)解析

【分析】如圖所示，作NC4D=NC交射線(xiàn)BE于。，點(diǎn)。即為所求.

【詳解】解：如圖所示，作NQ4D=NC交射線(xiàn)BE于。，點(diǎn)。即為所求;

VzCXD=ZC,

'：AD||BC,

：./.ADE=乙CBE,

?.,乙48c的平分線(xiàn)交AC于點(diǎn)E,

：.ACBE=-^ABC,

2

*：AB=AC,

:.(C=Z.ABC,

C.^ADE=-ZC.

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖一作與已知角相等的角，平行線(xiàn)的性質(zhì)與判定，角平分線(xiàn)的定義，等邊

對(duì)等角等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

類(lèi)型三過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)作這條線(xiàn)的平行

【例4】(2022?廣東佛山?西南中學(xué)校考三模)如圖，在AABC中，尸為4C邊上任意一點(diǎn)，按以下步驟作圖：

①以點(diǎn)A為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交力P、于點(diǎn)M,N；②以點(diǎn)尸為圓心，以AM長(zhǎng)為半徑作

弧，交PC于點(diǎn)E；③以點(diǎn)E為圓心，以MN長(zhǎng)為半徑作弧，在△ABC內(nèi)部交前面的弧于點(diǎn)尸；④作射線(xiàn)PF交

BC于點(diǎn)Q.若Z71=60°,ZC=40°,則NPQC=()

C

A.100°B.80°C.60°D.40°

【答案】B

【分析】先由三角形內(nèi)角和定理得到NB=80。，再根據(jù)作圖方法可知NCPQ=乙4,則PQII4B,由此即可

得至"QC=Z5=80°.

【詳解】解：：乙4=60。，ZC=40°,

:.乙B=180°-ZX-ZC=80°,

由作圖方法可知NCPQ=ZX,

：.PQIIAB,

：.Z.PQC=NB=80°,

故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，平行線(xiàn)的性質(zhì)與判定，尺規(guī)作圖一作與已知角相等的角，證

明PQII4B是解題的關(guān)鍵.

【變式4-1］（2023下?河南焦作?統(tǒng)考期中）如圖，已知NBOP與射線(xiàn)OP上的點(diǎn)4,小亮用尺規(guī)過(guò)點(diǎn)4作OB的

平行線(xiàn)，步驟如下.

①取射線(xiàn)。P上的點(diǎn)C,以點(diǎn)。為圓心，OC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交。B于點(diǎn)D；

②以點(diǎn)A為圓心，。。長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交。4于點(diǎn)M；

③以點(diǎn)M為圓心，CD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交第②步中所畫(huà)的弧于點(diǎn)E,直線(xiàn)瓦4即為所求.

A.同位角相等，兩直線(xiàn)平行

B.內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行

C.同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線(xiàn)平行

D.以上結(jié)論都不正確

【答案】B

【分析】由作法可知：^0=^0AE,結(jié)合平行線(xiàn)的判定定理即可得出結(jié)論.

【詳解】解：由作法可知：N0=N04E,

根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行，可得4EII08

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線(xiàn)的判定，尺規(guī)作圖，根據(jù)圖形的作法得到N0=N04E是關(guān)鍵.

【變式4-21（2024上?陜西商洛?統(tǒng)考期末）如圖，在△4BC中，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)D,請(qǐng)用尺規(guī)作圖法求作射線(xiàn)CE,

使得CEII4B,且點(diǎn)E在上方.（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）

【分析】本題考查了角的基本作圖，利用同位角相等，兩直線(xiàn)平行，畫(huà)一個(gè)角等于NB,且是一對(duì)同位角即

可.

【詳解】根據(jù)題意，畫(huà)圖如下:

A

E.

BCD

則CE即為所求.

【變式4-3](2023上?吉林長(zhǎng)春?統(tǒng)考期末)圖①、圖②、圖③均是6x6的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂

點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)，AaBC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，在給定的網(wǎng)格中，按下列要求作圖

(1)在圖①中AABC的邊BC上確定一點(diǎn)E,連結(jié)DE,使DE||AC.

(2)在圖②中44BC的邊力C上確定一點(diǎn)F,連結(jié)DF,使乙4FD=ZC.

⑶在圖③中△力8c的邊4C上確定一點(diǎn)G,連結(jié)。G,使N4GD=Z_8.

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

(3)見(jiàn)解析

【分析】本題考查網(wǎng)格作圖，中位線(xiàn)的性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì);

(1)利用網(wǎng)格特征作出BC的中點(diǎn)E,連接DE即可；

(2)利用網(wǎng)格特征作出線(xiàn)段4c的中點(diǎn)F,連接DF即可；

(3)利用網(wǎng)格特征作出N4DE=NC,交2C于點(diǎn)G,即可.

解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題.

【詳解】(1)解：如圖1中，點(diǎn)E即為所求；

圖①

(2)如圖2中，點(diǎn)F即為所求;

圖②

(3)如圖3中，利用網(wǎng)格特征作出乙4DE=NC,交47于點(diǎn)G,

由三角形的內(nèi)角和可知：LAGD=4B,

故點(diǎn)G即為所求.

圖③

類(lèi)型四作角平分線(xiàn)

【例5】(2024上?內(nèi)蒙古包頭.統(tǒng)考期末)如圖，在ATIBC中，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為

半徑作弧，分別交4B,BC于點(diǎn)。和E；②分別以點(diǎn)為圓心，以大于［DE的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)F；

③作射線(xiàn)BF交4C于點(diǎn)G；④過(guò)點(diǎn)G作GHIIBC交力B于點(diǎn)H,若乙BHG=110°,貝此HG8=()

A.25°B.30°C.35°D.40°

【答案】C

【分析】本題考查了作圖-基本作圖，熟練掌握角平分線(xiàn)的基本作圖思想是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.也考查了平行

線(xiàn)的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和.由題意可知BG是乙4BC的平分線(xiàn)，得至！="BG,根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得

到NHGB=NCBG,等量代換得到NHGB=NABG,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論.

【詳解】解：由題意可知BG是N4BC的平分線(xiàn),

*'?Z-ABG=Z.CBG9

???HG||BC,

???乙HGB=乙CBG,

???Z.HGB=Z.ABG,

???(BHG=110°,

???乙4GB=乙HBG=jx(180°-110°)=35°,

故選：C.

【變式5-1](2023上?廣東廣州?廣州市第七十五中學(xué)?？计谥?如圖，已知AABC.

(1)尺規(guī)作圖：作N4C8的角平分線(xiàn)，與AB交于點(diǎn)D；(保留作圖痕跡，不用寫(xiě)作法)

(2)若42=50°,乙B=70°,求zTZM的大小.

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)ZC￡)X=100°

【分析】(1)根據(jù)角平分線(xiàn)的作圖方法作圖即可；

(2)利用三角形內(nèi)角和及角平分線(xiàn)定義N4CD=乙BCD=30°,由三角形內(nèi)角和定理求出NCZM大小即可.

【詳解】(1)解：如圖，即為所求；

(2)解：：乙4=50°,乙B=70°,

Z.71CB=180°一乙力一N8=60°,

CD平分NACB,

1

：.Z-ACD=乙BCD=-Z.ACB=30°,

2

AZ.CDA=180°-Z.ACD一人”180°-30°-50°=100°.

【點(diǎn)睛】此題考查了基本作圖一角平分線(xiàn)，利用角平分線(xiàn)的定義求角度，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握

各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

【變式5-2](2023上?河南駐馬店?統(tǒng)考階段練習(xí))如圖，已知△4BC,過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)418c.

B

（1）請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作出N8的平分線(xiàn)（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；

（2）若（1）中所作的角平分線(xiàn)與直線(xiàn)/交于點(diǎn)。.求證：△4BD是等腰三角形.

【答案】（1）見(jiàn)解析

（2）見(jiàn)解析

【分析】（1）利用角平分線(xiàn)的作圖步驟作圖即可；

（2）由平行線(xiàn)的性質(zhì)和角平分線(xiàn)的定義，得出乙=即可證明結(jié)論.

【詳解】（1）解：如圖，BE即為NB的平分線(xiàn)；

Z.ADB=4DBC

???8D平分ZJ1BC,

Z.ABD=Z.CBD,

Z.ABD=Z.ADB,

AB=AD,

??.△48。是等腰三角形.

【點(diǎn)睛】本題考查了作圖一角平分線(xiàn)，平行線(xiàn)的性質(zhì)，角平分線(xiàn)的定義，等腰二角形的判定，熟練掌握

等腰三角形判定條件是解題關(guān)鍵.

題型03尺規(guī)作圖-作三角形（含特殊三角形）

【例6】（2024上?山西呂梁?統(tǒng)考期末）如圖，已知A4BC.

實(shí)踐操作：

（1）作AABD,使A4BD三AABC.（要求：尺規(guī)作圖，點(diǎn)。在直線(xiàn)力B的下方，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）.

推理與探究：

（2）點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，AE||BD.探究：線(xiàn)段CE+2E與。B有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

c

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）CE+AE^DB,見(jiàn)解析

【分析】本題考查了作三角形以及全等三角形的性質(zhì)、平行線(xiàn)的性質(zhì)：

（1）以點(diǎn)A為圓心，4C為半徑在力B下方畫(huà)弧，同時(shí)以點(diǎn)8為圓心，BC為半徑，在力B下方畫(huà)弧，兩弧相交

一點(diǎn)，即為點(diǎn)因?yàn)锳C=4。，AB^AB,BC=BD,所以△4BD三AaBC,即可作答.

（2）先由全等三角形的性質(zhì)，^CBA=/.DBA,CB=DB,結(jié)合平行線(xiàn)的性質(zhì)，=/.EAB,以及

等角對(duì)等邊，即可作答.

【詳解】解：（1）如圖AaBD即為所求；

C

（2）CE+AE=DB.理由：

???△ABD=△ABC

??.Z.CBA=Z-DBA.CB=DB

???AE||BD

???Z.EAB=Z.ABD

???Z.CBA=Z.EAB

??.EA=EB

???CB=CE+EB

DB=CE+AE.

【變式6-1］（2023上?湖北襄陽(yáng)?統(tǒng)考期末）（1）尺規(guī)作圖中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法.如圖，為了

得到NMBN=NP4Q,在用直尺和圓規(guī)作圖的過(guò)程中，得至以4CDmABEF的依據(jù)是（）

A.SASB.SSSC.ASAD.AAS

（2）如圖，直線(xiàn)。是一條公路，M,N是公路a同側(cè)的兩個(gè)居民區(qū)，現(xiàn)計(jì)劃在公路a上修建一個(gè)公交候車(chē)

亭0,及修建兩居民區(qū)M,N之間的道路，為了使。時(shí)+。'+”可最短，請(qǐng)?jiān)趫D中作出點(diǎn)。的位置（尺規(guī)作

圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）.

?N

M

a

【答案】(1)B；(2)見(jiàn)解析

【分析】(1)本題考查了全等三角形的判定定理，三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，以及作一個(gè)角等于已

知角，根據(jù)用尺規(guī)畫(huà)一個(gè)角等于已知角的步驟，據(jù)此即可求解.

(2)本題考查將軍飲馬模型，作“關(guān)于直線(xiàn)a的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M',連接與直線(xiàn)。交于點(diǎn)0,根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)和

兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，即可得到。M+0N+MN最短.

【詳解】(1)解：根據(jù)做法可知：AC=BE,AD=BF,CD=EF,

：.AACD=ABEF(SSS),

故選：B.

(2)解：點(diǎn)。的位置如圖所示:

,?N

M/

?/

/

-VTO?

j/

M'

【變式6-2](2024上.湖北襄陽(yáng).統(tǒng)考期末)我們定義：頂角等于36。的等腰三角形為黃金三角形.

如圖，△ABC中，48=2。且NZ=36。，則△ABC為黃金三角形.

R「(1)利用尺規(guī)作圖，在圖中構(gòu)造出一個(gè)“黃金三角形”；(保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法)

(2)說(shuō)說(shuō)(1)中的三角形是“黃金三角形”的理由.

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

【分析】本題主要考查了角平分線(xiàn)的作圖，等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)

及角平分線(xiàn)的作圖是解答本題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)定義可知，黃金三角形需滿(mǎn)足兩個(gè)條件：①等腰三角形，②頂角為36。.因此滿(mǎn)足條件的黃金三

角形不唯一，例如以NC=72。為一個(gè)角構(gòu)造黃金三角形，只需作NB的平分線(xiàn)交力C于點(diǎn)O,則ABDC是黃金

三角形；

(2)由48=4c及三角形內(nèi)角和定理可知乙4BC="=72°,由角平分線(xiàn)的定義可得乙48。=ACBD=36°,

則4引兀=72°,所以4BDC=ZC,故八BDC是黃金三角形.

【詳解】(1)如圖，ABDC就是所求作的黃金三角形;

由作圖可知，BD平分N4BC,

.-./.ABD=Z.CBD=-/.ABC=36°,

2

乙BDC=CA+乙ABD=72。,

???Z-BDC=Z.C,

所以ABDC是黃金三角形.

【變式6-3](2024上.江西南昌?校聯(lián)考期末)如圖是5x5的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,僅

用無(wú)刻度直尺在圖①和圖②中按要求作圖.

圖①圖②

(1)在圖①中，畫(huà)等腰三角形4BC,使其面積為3(畫(huà)出一個(gè)即可)；

(2)在圖②中，畫(huà)等腰直角三角形A8D,使其面積為|(畫(huà)出一個(gè)即可).

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

【分析】本題主要考查了等腰三角形的判定：

(1)取格點(diǎn)C,連接4C、BC,則AABC即為所求；

(2)取格點(diǎn)D連接2D、BD,則Aag。即為所求；

【詳解】⑴解：如圖所示，AABC即為所求；

圖①

（2）解：如圖所示，△4BD即為所求。

圖②

【變式6-4］（2023上?江蘇南京?校聯(lián)考期末）如圖，已知線(xiàn)段4B,用兩種不同的方法作一個(gè)含30。角的直角

三角形ABC,使其斜邊為4B（用直尺和圓規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）.

I___________________??_____________________?

ABAB

【答案】見(jiàn)解析

【分析】方法一，作線(xiàn)段4B的垂直平分線(xiàn)，交4B于點(diǎn)D再以點(diǎn)。為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，以點(diǎn)A為

圓心，4D長(zhǎng)為半徑作弧與前弧相交于點(diǎn)C,AZBC即為所作；

方法二，作線(xiàn)段4B的垂直平分線(xiàn)，交28于點(diǎn)再作射線(xiàn)4C,在射線(xiàn)4C上截取AC=過(guò)點(diǎn)C作AC的

垂線(xiàn)CB,以點(diǎn)A為圓心，4B長(zhǎng)為半徑作弧，交CB于點(diǎn)、B,△ABC即為所作.

【詳解】解：方法一：含30。角的直角三角形ABC如圖所示：

方法二：含30。角的直角三角形4BC如圖所示:

【點(diǎn)睛】本題考查的是作圖-復(fù)雜作出，熟知直角三角形的作法以及含30度角的直角三角形的性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

【變式6-5］（2022下?福建漳州?統(tǒng)考期末）求證：在直角三角形中，若一個(gè)銳角等于30。，則它所對(duì)的直角

邊等于斜邊的一半.要求:

____________C

AB

(1)根據(jù)給出的線(xiàn)段力B及/8,以線(xiàn)段4B為直角邊，在給出的圖形上用尺規(guī)作出Rt△4BC的斜邊力C,使得

乙4=30。，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法；

(2)根據(jù)(1)中所作的圖形，寫(xiě)出已知、求證和證明過(guò)程.

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)作一個(gè)角等于已知角的方法作圖即可；

(2)根據(jù)圖形和命題的已知事項(xiàng)寫(xiě)出已知，根據(jù)命題的未知事項(xiàng)寫(xiě)出求證，再寫(xiě)出證明過(guò)程即可.

【詳解】(1)解：如圖所示，線(xiàn)段4C為所求作的線(xiàn)段；

(2)已知：如圖，AaBC是直角三角形，乙4BC=90。，24=30。.

求證：BC=^AC.

解法一：如圖，在4c上截取一點(diǎn)。，使得CD=CB,連接08.

'：^ABC=90°,NA=30。，：.AACB=60°.

'：CD=CB,.?.△BCD是等邊三角形.

：.BC=CD=BD,乙CBD=60°.

"：/.ABC=90°,：.^ABD=乙ABC-乙CBD=30°.

：.^ABD=：.DA=DB.

?：BC=CD=DB,：.BC=-AC.

2

解法二：如圖，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)。，使=連接4D.

*：Z-ABC=90°,/.BAC=30°,

：./-ABD=90°,^ACB=60°,

U：AB=AB,BC=BD,/.ABC=/.ABD,

C.LABC=A^D(SAS).：.AC=AD.

△/C。是等邊三角形.

：.AC=CD,

ii

'：BC^-CD,：.BC^-AC.

22

【點(diǎn)睛】本題主要考查了用尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角及命題的證明過(guò)程的書(shū)寫(xiě)格式，掌握相關(guān)內(nèi)容是解題

的關(guān)鍵.

【變式6-6].(2022?江蘇南京?統(tǒng)考一模)如圖，已知線(xiàn)段a,h,用直尺和圓規(guī)按下列要求分別作：個(gè)等腰

三角形A8C(保留作圖痕跡，寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明).

ah

I____________________________II___________________________I

(□△ABC的底邊長(zhǎng)為a,底邊上的高為A；

(2)Z\ABC的腰長(zhǎng)為a,腰上的高為〃.

【答案】⑴作圖及理由見(jiàn)解析；

⑵作圖及理由見(jiàn)解析.

【分析】(1)首先作線(xiàn)段BC=a,再作出BC的垂直平分線(xiàn)，然后截取高為力，連接AB、C4即可.

(2)首先作直線(xiàn)GH垂直于直線(xiàn)。E,垂足為尸，再直線(xiàn)。E上取線(xiàn)段FC4,然后4B=2C=a,連接A3、

CB即可.

作法：1.作線(xiàn)段BC=m（如圖1）

2.作線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)MN,最足為0,

3.在直線(xiàn)MN上取線(xiàn)段。4=/7,

4.連接AB、AC,

△ABC為所求作的三角形；

理由：???線(xiàn)段8C的垂直平分線(xiàn)是MMOA=h,

AB=AC,AABC的高為h,

??.△ABC為等腰三角形，

BC-a,

???△48C是底邊長(zhǎng)為a,底邊上的高為萬(wàn)的等腰三角形;

G

圖2

⑵解:

作法：1.作直線(xiàn)G”垂直于直線(xiàn)。E,垂足為尸，（如圖2）

2.在直線(xiàn)上取線(xiàn)段FC=/z,

3.以點(diǎn)C為圓心，。的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交直線(xiàn)GH于點(diǎn)A,

4.以點(diǎn)A為圓心，a的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交射線(xiàn)于點(diǎn)8,

5.連接BC、AC,

△ABC為所求作的三角形;

理由：AB=AC=a,

??.△ABC為等腰三角形,

???直線(xiàn)G/7垂直于直線(xiàn)。E,垂足為RFC=h,

??.△ABC是腰長(zhǎng)為m腰上的高為力的等腰三角形;

【點(diǎn)睛】此題主要考查了復(fù)雜作圖，關(guān)鍵是正確掌握線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的作法和等腰三角形的性質(zhì).

題型04尺規(guī)作圖-作三角形的中線(xiàn)與高

【例7】（2023下?江蘇泰州?泰州市海軍中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在正方形網(wǎng)格中有一個(gè)△4BC,按要求進(jìn)

行下列作圖（只能借助于網(wǎng)格）

(1)分別畫(huà)出△48C的中線(xiàn)BG、高CH；

(2)畫(huà)出先將448c向右平移6格，再向上平移3格后的△DEF；

(3)畫(huà)一個(gè)亶為三角形MNP(要求各頂點(diǎn)在格點(diǎn)上)，使其面積等于△ABC的面積的2倍.

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

(3)見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)三角形的高和中線(xiàn)的定義結(jié)合網(wǎng)格作圖即可；

(2)根據(jù)平移變換的定義和性質(zhì)作圖即可；

(3)由△ABC的面積為3知所作三角形的面積為6,據(jù)此結(jié)合網(wǎng)格作圖即可得解；

【詳解】(1)如圖所示，中線(xiàn)BG、高CH即為所求；

(2)如圖所示，AOEF即為所求;

(3)如圖所示，京用三角形MNP即為所求;

【點(diǎn)睛】本題主要考查作圖-基本作圖及平移變換，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的高，中線(xiàn)的定義和平移變換

的定義與性質(zhì).

【變式7-1](2023?吉林?一模)如圖，圖①、圖②均是8x8的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,每

個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)，點(diǎn)4B、C均為格點(diǎn).只用無(wú)刻度的直尺，按下列要求作圖：

(1)在圖①中，作AABC的邊上的高；

(2)在圖②中，過(guò)點(diǎn)8作直線(xiàn)1,使得直線(xiàn)/平分AaBC的面積.

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

【分析】(1)在CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，找到格點(diǎn)D,使得△ABD是直角三角形，且NADB=90。，連接力D,即可求

解.

(2)根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)找到4C的中點(diǎn)，過(guò)4C的中點(diǎn)與點(diǎn)B作直線(xiàn)/,即可求解.

【詳解】(1)解：線(xiàn)段4。即為所求；

：.AB2=AD2+BD2

...△4B0是直角三角形，且44。8=90°,

.?.4。即為所求；

(2)直線(xiàn)/即為所求.

圖②

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理與網(wǎng)格，作三角形的高，中線(xiàn)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

【變式7-2］（2024?陜西西安?校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在A/IBC中，力。是BC邊上的中線(xiàn)，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法在4C

邊上作一點(diǎn)P,使得SAABC=4SA4DP.（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）

【答案】見(jiàn)解析

【分析】本題考查了尺規(guī)作圖一作垂線(xiàn)，與三角形中線(xiàn)有關(guān)的面積的計(jì)算，分別以點(diǎn)4c為圓心，大于

的長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧，交于M、N,作直線(xiàn)MN角4c于點(diǎn)P,點(diǎn)P即為所求，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是

解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，點(diǎn)P即為所求，

???在A4BC中，4D是BC邊上的中線(xiàn)，

SAABC=2SAACD,

由作圖可得：MN垂直平分2C,

AP=CP,

SAZCD=2sAAP。，

S^ABC=4SAAPD.

【變式7-3］（2023.吉林長(zhǎng)春.吉林大學(xué)附屬中學(xué)?？级＃﹫D①、那②，圖③積是6X6的間格，每個(gè)小正

方形的頂點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)，A4BC頂點(diǎn)A、B,C均在格點(diǎn)上，在圖①，圖②，圖③給定網(wǎng)格中按要求作圖，并

保留作圖痕跡.

A

/

/\

/

/\

⑵在圖①中畫(huà)出△age中BC邊上的中線(xiàn)an；

(3)在圖②中確定一點(diǎn)E,使得點(diǎn)E在ZC邊上，且滿(mǎn)足BE14C；

(4)在圖③中畫(huà)出△BMN,使得A8MN與ABC4是位似圖形，且點(diǎn)B為位似中心，點(diǎn)M、N分別在BC、AB邊

上，位似比為彳

【答案］⑴45

(2)見(jiàn)解析

(3)見(jiàn)解析

(4)見(jiàn)解析

【分析】(1)直接根據(jù)網(wǎng)格的性質(zhì)求解即可；

(2)找到BC的中點(diǎn)O,連接4。即可；

(3)根據(jù)網(wǎng)格的性質(zhì)畫(huà)出AC的垂線(xiàn)，與力C交于點(diǎn)E即可；

(4)在BC上找到點(diǎn)使得小=)再過(guò)點(diǎn)M畫(huà)AC的平行線(xiàn)，與AB交于點(diǎn)N,即可得解.

BC3

【詳解】(1)解：由圖可知：

4B的度數(shù)是45。

(2)在圖①中，中線(xiàn)4。即為所求；

圖①

(3)在圖②中，點(diǎn)E即為所求;

圖②

（4）在圖③中，A8MN即為所求.

圖③

【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-位似變換，解決本題的關(guān)鍵是掌握位似變換.

題型05尺規(guī)作圖-作垂直平分線(xiàn)

【例8】（2023下?河北石家莊??？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，由作圖痕跡做出如下判斷，其中正確的是（）

A.FH>HGB.FH=HGC.EF>FHD.EF=FH

【答案】A

【分析】由作圖可得：PC是N4PB的角平分線(xiàn)，DE是線(xiàn)段PQ的垂直平分線(xiàn)，過(guò)H作“KL4P于K,證明HG=

HK,結(jié)合可得HG<HF,故A符合題意，B不符合題意；由作圖可得，E,。是隨著作圖需要

可以變化位置的，可判斷C,D,從而可得答案.

【詳解】解：由作圖可得：PC是的角平分線(xiàn)，DE是線(xiàn)段PQ的垂直平分線(xiàn)，過(guò)“作HKJ.”于K,

'：HG1PB,PC平分〃PB,HKLAP,

：.HG=HK,

■:HK<HF,

HG<HF,故A符合題意，B不符合題意；

由作圖可得，E,。是隨著作圖需要可以變化位置的，

:.EF,不