.2雙曲線知識點(diǎn)一雙曲線的定義【【解題思路】雙曲線的定義的應(yīng)用(1)已知雙曲線上一點(diǎn)的坐標(biāo)，可以求得該點(diǎn)到某一焦點(diǎn)的距離，進(jìn)而根據(jù)定義求該點(diǎn)到另一焦點(diǎn)的距離．(2)雙曲線中與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的問題可以根據(jù)定義結(jié)合余弦定理、勾股定理或三角形面積公式等知識進(jìn)行運(yùn)算，在運(yùn)算中要注意整體思想和一些變形技巧的靈活運(yùn)用．【例1-1】（2024·河北邢臺）若點(diǎn)P是雙曲線C：上一點(diǎn)，，分別為C的左、右焦點(diǎn)，則“”是“”的（

）A．既不充分也不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．充分不必要條件【例1-2】（2024高三下·全國·專題練習(xí)）雙曲線方程為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．或【變式】1．（23-24高二上·江蘇常州·期末）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在雙曲線上，，則（

）A．13 B．10 C．1 D．13或12．（23-24高二上·廣東河源·期末）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是的左支上一點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．3．（23-24高二上·廣東深圳·期末）雙曲線的左右焦點(diǎn)分別是與是雙曲線左支上的一點(diǎn)，且，則（

）A．1 B．13 C．1或13 D．34．（23-24高二下·上?！るA段練習(xí)）設(shè)是雙曲線上一點(diǎn)，分別是雙曲線左右兩個(gè)焦點(diǎn)，若，則等于（

）A．1 B．17 C．1或17 D．5或135．（23-24高二上·陜西咸陽·階段練習(xí)）雙曲線：的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是與，焦距為8，是雙曲線上的一點(diǎn)，且，則等于（

）A．9 B．9或1 C．1 D．66．（2024·河北石家莊·二模）已知曲線，則“”是“曲線的焦點(diǎn)在軸上”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7（23-24高一下·四川成都·開學(xué)考試）方程表示雙曲線的必要不充分條件可以是（

）A． B．C． D．知識點(diǎn)二焦點(diǎn)三角形【例2-1】（23-24高二下·江蘇鹽城·階段練習(xí)）已知雙曲線：的左，右焦點(diǎn)分別為，，過的直線與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)，且，則的周長為（

）A．20 B．22 C．28 D．36【例2-2】（23-24高二上·貴州貴陽·期末）雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，為雙曲線上一點(diǎn)，若，則的面積為.【變式】1．（23-24高三上·廣東湛江·階段練習(xí)）已知點(diǎn)為雙曲線的左支上一點(diǎn)，分別為的左，右焦點(diǎn)，則（

）A．2 B．4 C．6 D．82．（23-24湖南長沙·階段練習(xí)）雙曲線的右支上一點(diǎn)在第一象限，，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為的內(nèi)心，若內(nèi)切圓的半徑為1，則的面積等于（

）A．24 B．12 C． D．3．（23-24高二下·福建廈門·期末）已知，分別為雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，為右支上一點(diǎn)，且，則的面積為.知識點(diǎn)三雙曲線中線段和或差值【例3-1】（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）已知，雙曲線C：的左焦點(diǎn)為F，P是雙曲線C的右支上的動點(diǎn)，則的最大值是（

）A． B． C． D．【變式】1．（22-23高二上·福建福州·期末）已知，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是雙曲線左支上一點(diǎn)，則的最小值為（）A．5 B．7 C．9 D．112．（2023·河南鄭州·一模）設(shè)，為雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，Q為雙曲線右支上一點(diǎn)，點(diǎn)P（0，2）．當(dāng)取最小值時(shí)，的值為（

）A． B． C． D．3．（22-23高二上·山西晉中·期末）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)是雙曲線右支上的一點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的一點(diǎn)，則的最小值為（

）A．5 B． C．7 D．84．（2023·陜西西安·模擬預(yù)測）設(shè)點(diǎn)P是圓上的一動點(diǎn)，，，則的最小值為（

）．A． B． C．6 D．12知識點(diǎn)四雙曲線的離心率與漸近線【【解題思路】求雙曲線離心率的方法(1)直接法：若可求得a，c，則直接利用e＝eq\f(c,a)得解．(2)解方程法：若得到的是關(guān)于a，c的齊次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r為常數(shù)，且p≠0)，則轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解．【例4-1】（23-24高二下·安徽六安·期末）已知雙曲線的左焦點(diǎn)到其漸近線的距離為，則該雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．【例4-2】（23-24高二下·云南玉溪·期末）設(shè)，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，且滿足，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【例4-3】（24-25高三上·湖北武漢·開學(xué)考試）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，過的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，若的周長為，則雙曲線離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式】1．（24-25高三上·湖南·開學(xué)考試）已知雙曲線，若雙曲線的一條漸近線方程為，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．2．（23-24高二下·山西長治·期末）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線交的左支于兩點(diǎn)，若，，成等差數(shù)列，且，則的離心率是（

）A． B． C． D．3．（23-24高二下·河南·期末）已知雙曲線的一條漸近線與圓相交于兩點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．4．（2024·山西陽泉·三模）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，雙曲線的右支上有一點(diǎn)與雙曲線的左支交于點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，且滿足，若，則雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．5．（23-24高二下·甘肅·期末）過雙曲線的左焦點(diǎn)作斜率為2的直線交于兩點(diǎn)．若，則雙曲線的離心率為（

）A．3 B．2 C． D．知識點(diǎn)五雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程【【解題思路】1.求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：若焦點(diǎn)位置不確定，可按焦點(diǎn)在x軸和y軸上兩種情況討論求解．(2)當(dāng)mn<0時(shí)，方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1表示雙曲線．2.由雙曲線的性質(zhì)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)根據(jù)雙曲線的某些幾何性質(zhì)求雙曲線方程，一般用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為解方程(組)，但要注意焦點(diǎn)的位置，從而正確選擇方程的形式．(2)巧設(shè)雙曲線方程的技巧漸近線為ax±by＝0的雙曲線方程可設(shè)為a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．【例5】（2024江蘇·課后作業(yè)）求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)一個(gè)焦點(diǎn)為，且經(jīng)過點(diǎn)；(2)與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)；(3)經(jīng)過和兩點(diǎn)．（4）過點(diǎn)，離心率為；（5）與橢圓有公共焦點(diǎn)，且離心率；（6）與雙曲線有共同漸近線，且過點(diǎn).【變式】（23-24高二上·山東煙臺·階段練習(xí)）求適合下列條件的圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)頂點(diǎn)在軸上，兩頂點(diǎn)間距離是8且的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)與雙曲線有相同焦點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(3)經(jīng)過點(diǎn)，且；(4)經(jīng)過點(diǎn)、．(5)與橢圓有公共焦點(diǎn)，且過點(diǎn)；(6)焦點(diǎn)在軸上，焦距為，漸近線斜率為；(7)離心率，且經(jīng)過點(diǎn)；(8)經(jīng)過點(diǎn)，且一條漸近線的方程為．（9）與雙曲線有共同漸近線，且過點(diǎn)；（10）與雙曲線有公共焦點(diǎn)，且過點(diǎn)知識點(diǎn)六直線與雙曲線的位置關(guān)系【【解題思路】設(shè)直線l：y＝kx＋m(m≠0)，①雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，②把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.(1)當(dāng)b2－a2k2＝0，即k＝±eq\f(b,a)時(shí)，直線l與雙曲線C的漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點(diǎn)．(2)當(dāng)b2－a2k2≠0，即k≠±eq\f(b,a)時(shí)，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．Δ>0?直線與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)；Δ＝0?直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)；Δ<0?直線與雙曲線有0個(gè)公共點(diǎn)．【例6】（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）已知雙曲線，直線，試確定實(shí)數(shù)k的取值范圍，使：(1)直線l與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)；(2)直線l與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；(3)直線l與雙曲線沒有公共點(diǎn)．【變式】1．（23-24高二上·黑龍江雞西·期末）如果直線與雙曲線沒有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（24-25高二上·全國·假期作業(yè)）過點(diǎn)的直線與雙曲線的公共點(diǎn)只有1個(gè)，則滿足條件的直線有（

）A．2條 B．3條 C．4條 D．5條3．（23-24高二上·安徽黃山·期末）已知雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，且其漸近線方程為.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與雙曲線至少有一個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．知識點(diǎn)七弦長【【解題思路】弦長公式設(shè)直線y＝kx＋b與雙曲線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2).【例7-1】（23-24高二下·廣東茂名·開學(xué)考試）已知雙曲線與有相同的漸近線，點(diǎn)為的右焦點(diǎn)，，為的左右頂點(diǎn)．(1)求雙曲線的方程；(2)過點(diǎn)傾斜角為的直線交雙曲線于，兩點(diǎn)，求．【例7-2】（23-24高二上·湖北武漢·期末）已知雙曲線的離心率為，焦點(diǎn)到漸近線的距離為．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線交雙曲線于兩點(diǎn)，求的面積．【變式】1．（23-24高二上·內(nèi)蒙古赤峰·期末）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，且的離心率為2，焦距為4．(1)求的方程；(2)直線過點(diǎn)且與交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的面積為，求的方程．2．（23-24高二上·山東煙臺·期末）已知雙曲線C與橢圓有公共焦點(diǎn)，其漸近線方程為.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)m的值.知識點(diǎn)八雙曲線有關(guān)的軌跡問題【【解題思路】和雙曲線有關(guān)的軌跡(1)定義法．解決軌跡問題時(shí)利用雙曲線的定義，判定動點(diǎn)的軌跡就是雙曲線．(2)直接法．根據(jù)點(diǎn)滿足條件直接代入計(jì)算【例8-1】（2024·福建莆田·三模）已知圓，，P是圓C上的動點(diǎn)，線段的垂直平分線與直線（點(diǎn)C是圓C的圓心）交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M的軌跡是（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【變式】1．（24-25高二上·上?！ふn堂例題）已知?jiǎng)訄AP與圓M：，圓N：均外切，記圓心P的運(yùn)動軌跡為曲線C，則C的方程為（

）A． B．C． D．2．（24-25高二上·上?！ふn堂例題）過橢圓右焦點(diǎn)F的圓與圓O：外切，則該圓直徑FQ的端點(diǎn)Q的軌跡方程為（

）A． B．C． D．3．（23-24高二上·廣東·期末）已知?jiǎng)訄A與圓及圓都外切，那么動圓圓心軌跡方程是（

）A． B．C． D．4．（23-24高二上·四川綿陽·期末）如圖，定圓的半徑為定長，是圓外一個(gè)定點(diǎn)，是圓上任意一點(diǎn).線段的垂直平分線與直線相交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)的軌跡是（

）

A．射線 B．橢圓 C．雙曲線 D．圓知識點(diǎn)九中點(diǎn)弦【例9-1】（23-24高二上·天津和平·期末）直線l與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為點(diǎn)，則直線l的斜率為（

）A． B． C． D．【例9-2】（23-24高三下·全國·階段練習(xí)）設(shè)直線與雙曲線分別交于兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)橫坐標(biāo)是，則該雙曲線的離心率是（

）A． B． C．2 D．【例9-3】（2023·陜西寶雞·模擬預(yù)測）已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交雙曲線E于A、B兩點(diǎn).若的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則E的方程為（

）A． B．C． D．【變式】1．（23-24高二上·江蘇南通·階段練習(xí)）直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，則直線的斜率為(

)A．3 B．6 C．8 D．122．（22-23高二上·廣東佛山·期末）過點(diǎn)作斜率為1的直線，交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．3．（2022·貴州貴陽·模擬預(yù)測）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為過左焦點(diǎn)作斜率為2的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，P是AB的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線OP的斜率為，則b的值是（

）A．2 B． C． D．4．（2024·山東）過雙曲線：（，）的焦點(diǎn)且斜率不為0的直線交于A，兩點(diǎn)，為中點(diǎn)，若，則的離心率為（

）A． B．2 C． D．5．（2024陜西）已知雙曲線C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，其中一個(gè)焦點(diǎn)為，過F的直線l與雙曲線C交于A、B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為，則C的離心率為(

)A． B． C． D．【題組一雙曲線的定義】1．（23-24高二上·四川南充·階段練習(xí)）設(shè)是雙曲線上一點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線方程為分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若，則（

）A．1或5 B．6 C．7 D．82．（22-23高二下·安徽滁州·開學(xué)考試）若雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在雙曲線上，且，則（

）A． B． C．或 D．或3．（23-24高二下·安徽蕪湖·階段練習(xí)）已知方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．4（23-24高二下·湖南邵陽·期中）（多選）對于曲線，下面說法正確的是（

）A．若，曲線的長軸長為2B．若曲線是橢圓，則的取值范圍是C．若曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則的取值范圍是D．若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，離心率為，則值為35．（23-24高二上·廣東中山·期中）（多選）已知曲線，下列說法正確的是（

）A．曲線可以表示圓B．當(dāng)時(shí)，曲線為雙曲線，漸近線為C．若表示雙曲線，則或D．若表示橢圓，則【題組二焦點(diǎn)三角形】1．（23-24高二下·上海·期末）設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)為、，點(diǎn)是上一點(diǎn)，滿足，則的面積為．2．（23-24高二上·上海青浦·階段練習(xí)）雙曲線的左右兩個(gè)焦點(diǎn)為，，第二象限內(nèi)的一點(diǎn)P在雙曲線上，且，則三角形的面積是．3（2024湖北）已知為雙曲線的左焦點(diǎn)，，為雙曲線右支上的點(diǎn)，若的長等于虛軸長的2倍，點(diǎn)在線段上，則的周長為（

）A．28 B．36 C．44 D．484．（2023湖南）已知為雙曲線的左焦點(diǎn)，為雙曲線同一支上的兩點(diǎn)．若，點(diǎn)在線段上，則的周長為（

）A． B． C． D．5．（2024·福建）過雙曲線的左焦點(diǎn)作一條直線交雙曲線左支于，兩點(diǎn)，若，是雙曲線的右焦點(diǎn)，則的周長是___________.【題組三雙曲線中線段和或差值】1．（2024·安徽蚌埠）已知雙曲線：，點(diǎn)是的左焦點(diǎn)，若點(diǎn)為右支上的動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到的一條漸近線的距離為，則的最小值為（

）A．6 B．7 C．8 D．92．（2024湖南長沙·階段練習(xí)）已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線右支上任一點(diǎn)，則的最小值為（

）A．19 B．25 C．37 D．853．（23-24高二下·上海靜安·期末）已知點(diǎn)是雙曲線右支上的一點(diǎn)，點(diǎn)分別是圓和圓上的點(diǎn)．則的最小值為（

）A．3 B．5 C．7 D．94．（2024·山西太原·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A坐標(biāo)為，若動點(diǎn)P位于y軸右側(cè)，且到兩定點(diǎn)，的距離之差為定值4，則周長的最小值為（

）A． B． C． D．5．（23-24高三上·云南曲靖·階段練習(xí)）已知F是雙曲線的左焦點(diǎn)，，P是雙曲線右支上的一動點(diǎn)，則的最小值為（

）．A． B． C． D．6．（23-24高二上·全國·單元測試）已知等軸雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，左焦點(diǎn)為，焦距為4，點(diǎn)的坐標(biāo)為，為雙曲線右支上一動點(diǎn)，則的最大值為（）A． B． C． D．7．（23-24高二上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）已知雙曲線的下焦點(diǎn)為，，是雙曲線上支上的動點(diǎn)，則的最大值是（

）A．不存在 B．8 C．7 D．6【題組四雙曲線的離心率與漸近線】1．（23-24高二下·湖南·期末）已知雙曲線E：（）的右焦點(diǎn)F到其一條漸近線的距離為1，則E的離心率為（

）A． B． C．2 D．2．（23-24高三上·廣東湛江·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的一條漸近線與圓相切，則的離心率為（

）A． B． C． D．3．（23-24高二下·湖北·階段練習(xí)）如圖，已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過原點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，在第一象限，延長交于多一點(diǎn)，若且，則的離心率為（

）A． B． C． D．4．（23-24高二下·黑龍江大慶·階段練習(xí)）已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，則此雙曲線的離心率為（）A．2 B． C．2或 D．或25．（23-24高二下·內(nèi)蒙古興安盟·期中）已知雙曲線的離心率為，則雙曲線C的漸近線方程為（

）A． B． C． D．6．（2024·天津河北·二模）函數(shù)被稱為“對勾函數(shù)”，它可以由雙曲線旋轉(zhuǎn)得到，已知直線和直線是函數(shù)的漸近線，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B．C． D．【題組五雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程】1．（2024高三上·全國·專題練習(xí)）與雙曲線1共漸近線，且過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A．1 B．1C．1 D．12．（23-24高二下·浙江·階段練習(xí)）過點(diǎn)且與雙曲線有相同漸近線的雙曲線方程是（

）A． B． C． D．3．（23-24高三上·浙江寧波·期末）與雙曲線有共同的漸近線，且經(jīng)過點(diǎn)的雙曲線方程為（

）A． B． C． D．【題組六直線與雙曲線的位置關(guān)系】1．（24-25高二下·上海·期中）已知直線與雙曲線沒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．2．（24-25高二上·上海）直線與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)k的值是．3．（24-25高二上·上?！ふn后作業(yè)）已知直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值為．4．（24-25高二上·上海·課后作業(yè)）若斜率為的直線l過雙曲線的上焦點(diǎn)，與雙曲線的上支交于兩點(diǎn)，，則的值為．5．（23-24高二上·福建福州·期末）已知雙曲線方程為（），若直線與雙曲線左右兩支各交一點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【題組七弦長】1．（24-25高二上·上?！ふn堂例題）已知雙曲線C：，過點(diǎn)的直線l與雙曲線C交于M、N兩點(diǎn)，若P為線段的中點(diǎn)，則弦長.2．（23-24高二下·上海·期末）已知、是雙曲線的兩點(diǎn)，的中點(diǎn)的坐標(biāo)為．(1)求直線的方程；(2)求兩點(diǎn)間距離．3．（23-24高二下·河南南陽·期末）已知雙曲線的實(shí)軸比虛軸長2，且焦點(diǎn)到漸近線的距離為2.(1)求雙曲線的方程；(2)若動直線與雙曲線恰有1個(gè)公共點(diǎn)，且與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：的面積為定值.4．（23-24高二下·河南·開學(xué)考試）已知雙曲線的焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為.(1)求的方程；(2)若直線交雙曲線于兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，若是弦的中點(diǎn)，求的面積.5．（23-24高二上·四川攀枝花·期末）已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的焦距為4，且過點(diǎn).(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)的直線交雙曲線的右支于，兩點(diǎn)，連接并延長交雙曲線的左支于點(diǎn)，求的面積的最小值.【題組八雙曲線有關(guān)的軌跡問題】1．（2024高二上·全國·專題練習(xí)）設(shè)是橢圓與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，是橢圓上垂直于的弦的端點(diǎn)，則直線與交點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．2．（23-24高二上·吉林長春·階段練習(xí)）已知圓，動圓與圓都外切，則動圓圓心的軌跡方程為（

）A． B．C． D．3．（2023·