2021-2022學(xué)年江蘇省南京市六校聯(lián)合體高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求解集合與集合，然后再利用交集運(yùn)算即可.【詳解】解：因?yàn)?，解得，所以集合，又，故，解得，所以集合，所?故選：B.2．已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的虛部是

（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則求復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式，再得到其共扼復(fù)數(shù)的虛部．【詳解】解：復(fù)數(shù)，則，的虛部為．故選：A.3．已知向量，滿足，，夾角為，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．2 B． C．5 D．【答案】D【分析】首先根據(jù)向量數(shù)量積的定義求出，依題意，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算法則計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，且與夾角為，所以，又，所以，即，即，所以，解得；故選：D4．若雙曲線的一條漸近線與直線相互垂直，則雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)與虛軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為

（

）A． B．6 C． D．8【答案】C【分析】寫出漸近線方程，利用直線垂直列方程求解，從而得焦點(diǎn)坐標(biāo)與虛軸頂點(diǎn)坐標(biāo)，可求解得三角形面積.【詳解】雙曲線的一條漸近線方程為，由兩直線垂直得，，，所以雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，虛軸一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，故選：C5．已知的展開式中常數(shù)項(xiàng)為20，則

（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求展開式中含和項(xiàng)，然后可得的展開式中常數(shù)項(xiàng)，根據(jù)已知解方程可得.【詳解】展開式中第項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，所以的展開式中常數(shù)項(xiàng)為，所以，得.故選：B6．設(shè)某工廠倉庫中有10盒同樣規(guī)格的零部件，已知其中有4盒、3盒、3盒依次是甲廠、乙廠、丙廠生產(chǎn)的．且甲、乙、丙三廠生產(chǎn)該種零部件的次品率依次為，現(xiàn)從這10盒中任取一盒，再從這盒中任取一個(gè)零部件，則取得的零部件是次品的概率為（

）A．0.06 B．0.07 C．0.075 D．0.08【答案】C【分析】由全概率公式計(jì)算．【詳解】依題意，任取一盒產(chǎn)品，分別來自甲、乙、丙三廠的概率分別是，所以任取一個(gè)零部件，則取得的零部件是次品的概率為，故選：C．7．已知圓，圓，則同時(shí)與圓和圓相切的直線有（

）A．4條 B．2條 C．1條 D．0條【答案】B【分析】利用已知條件判斷圓與圓的關(guān)系，進(jìn)而可以求解.【詳解】由，得圓，半徑為，由，得，半徑為所以，，，所以，所以圓與圓相交，所以圓與圓有兩條公共的切線.故選：B.8．將等比數(shù)列按原順序分成1項(xiàng)，2項(xiàng)，4項(xiàng)，…，項(xiàng)的各組，再將公差為2的等差數(shù)列的各項(xiàng)依次插入各組之間，得到新數(shù)列：，，，，，，，，，，…，新數(shù)列的前項(xiàng)和為．若，，，則S200=（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知求得等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，以及等差數(shù)列的首項(xiàng)，再求得數(shù)列的前200項(xiàng)中含有數(shù)列的前7項(xiàng)，含有數(shù)列的前193項(xiàng)，運(yùn)用分組求和的方法可求得答案.【詳解】解：由已知得，，，等比數(shù)列的公比．令，則，，所以數(shù)列的前200項(xiàng)中含有數(shù)列的前7項(xiàng)，含有數(shù)列的前193項(xiàng)，故．故選：A．二、多選題9．下列說法正確的是

（

）A．若隨機(jī)變量的概率分布列為，則B．若隨機(jī)變量~，，則C．若隨機(jī)變量~，則D．在含有4件次品的10件產(chǎn)品中，任取件，表示取到的次品數(shù)，則．【答案】BD【分析】利用分布列的性質(zhì)可判斷A選項(xiàng)；利用正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性可判斷B選項(xiàng)；利用二項(xiàng)分布的方差公式可判斷C選項(xiàng)；利用超幾何分布的概率公式可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由分布列的性質(zhì)可知，解得，A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，若隨機(jī)變量且，則，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，若隨機(jī)變量，則，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，由超幾何分布的概率公式可得，D對(duì).故選：BD.10．為響應(yīng)政府部門疫情防控號(hào)召，某紅十字會(huì)安排甲、乙、丙、丁四名志愿者奔赴A，，C三地參加防控工作，則下列說法正確的是

（

）A．不同的安排方法共有64種B．若恰有一地?zé)o人去，則不同的安排方法共有42種C．若甲必須去A地，且每地均有人去，則不同的安排方法共有12種D．若甲?乙兩人都不能去A地，且每地均有人去，則不同的安排方法共有14種【答案】BCD【分析】四人到三地去，一人只能去一地，用人選地的方法，由分步乘法原理計(jì)數(shù)；若恰有一地?zé)o人去，可選先選無人去的一地然后4人去剩下的二地進(jìn)行計(jì)數(shù)；若甲必須去A地，且每地均有人去，剩下3人按一地去一人，或兩只去兩地計(jì)數(shù)；若甲?乙兩人都不能去A地，且每地均有人去，可先按地是去丙丁中的1人或2人分類，剩下的人安排去兩地進(jìn)行計(jì)數(shù)，從而判斷各選項(xiàng)．【詳解】四人到三地去，一人只能去一地，方法數(shù)為，A錯(cuò)；若恰有一地?zé)o人去，則不同的安排方法數(shù)是，B正確；若甲必須去A地，且每地均有人去，則不同的安排方法數(shù)為，C正確；若甲?乙兩人都不能去A地，且每地均有人去，則不同的安排方法數(shù)為，D正確．故選：BCD．11．已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．的周長(zhǎng)為8 B．橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2C．的最大值為5 D．面積最大值為3【答案】ACD【分析】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷正誤即可.【詳解】解：由題可知，在橢圓中，，的周長(zhǎng)為,故A項(xiàng)正確；橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，最小，代入，解得，故，所以的最大值為5，故C項(xiàng)正確；根據(jù)橢圓的性質(zhì)可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，面積最大，故,故D項(xiàng)正確.故選：ACD.12．已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且對(duì)任意的，且，都有，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是奇函數(shù) B．C．的圖像關(guān)于對(duì)稱 D．【答案】BCD【分析】根據(jù)題設(shè)有、，進(jìn)而可得，即可判斷的對(duì)稱性、奇偶性，再由周期性、奇偶性求，最后結(jié)合在上的單調(diào)性及對(duì)稱性和周期性判斷上的單調(diào)性，比較函數(shù)值大小.【詳解】由題設(shè)，，即，則關(guān)于對(duì)稱，C正確；，即，關(guān)于對(duì)稱，所以，即周期為4，且，即為偶函數(shù)，A錯(cuò)誤；則，B正確；又，且，都有，即在上遞增，綜上，在上遞增，則上遞減，故，D正確.故選：BCD三、填空題13．，則的取值范圍為__________．【答案】【分析】由二次不等式恒成立有，即可求參數(shù)范圍.【詳解】由題設(shè)，可得.故答案為：14．將公差不為零的等差數(shù)列，，調(diào)整順序后構(gòu)成一個(gè)新的等比數(shù)列，，，其中，試寫出一個(gè)調(diào)整順序后成等比數(shù)列的數(shù)列公比：_____．（寫出一個(gè)即可）．【答案】或【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，分別利用，為等比中項(xiàng)得到公差與首項(xiàng)的等量關(guān)系，再運(yùn)用定義求新數(shù)列的公比，即可求解.【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，則，，或，，不成等比數(shù)列；（1）若，，或，，成等比數(shù)列，則，即，解得，此時(shí)等比數(shù)列，，的公比為，等比數(shù)列，，的公比為；（2）若，，或，，成等比數(shù)列，則，即，解得，此時(shí)等比數(shù)列，，的公比為，等比數(shù)列，，的公比為．綜上可得，等比數(shù)列的公比為或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差、等比數(shù)列的定義，以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，其中解答中分別利用，為等比中項(xiàng)得到公差與首項(xiàng)的等量關(guān)系，再運(yùn)用定義求新數(shù)列的公比是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力．15．正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)M在線段CC1上，且．點(diǎn)P在平面A1B1C1D1上，且AP⊥平面MBD1，則線段AP的長(zhǎng)為________．【答案】【分析】分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由求出點(diǎn)坐標(biāo)后可得線段的長(zhǎng)．【詳解】如圖，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，則是靠近的線段的三等分點(diǎn)，，，，在平面上，設(shè)，則，由AP⊥平面MBD1，得，解得，所以，．故答案為：．16．設(shè)，是函數(shù)定義域的一個(gè)子集，若存在，使得在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，則稱為，上的單峰函數(shù)，為峰點(diǎn)．若為，上的單峰函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________．【答案】【分析】對(duì)求導(dǎo)，對(duì)的正負(fù)進(jìn)行討論，即可根據(jù)單峰函數(shù)的定義求解.【詳解】由得：，令，，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí)，取最小值，且最小值為，最小值為0.若,則，此時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.不符合單峰函數(shù)的定義.當(dāng)，則，此時(shí)存在，使得，當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)單調(diào)遞減，故滿足單峰函數(shù)的定義，其中是單峰區(qū)間，是峰點(diǎn).故答案為：四、解答題17．已知函數(shù)；(1)若關(guān)于的不等式的解集為，求實(shí)數(shù)的值；(2)存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)，；(2).【分析】（1）由一元二次不等式的解集及根系關(guān)系求參數(shù).（2）將問題轉(zhuǎn)化為存在，使得成立，結(jié)合基本不等式求范圍，注意等號(hào)成立條件，進(jìn)而求的范圍.【詳解】(1)由題意知：1和是的兩根，故，，即，.(2)存在，使得成立，即存在，使得成立，即存在，使得成立，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故，可得．即實(shí)數(shù)的取值范圍為.18．已知數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，，．(1)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若不等式對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)條件求得的公比，即可求得其通項(xiàng)公式，繼而可求得數(shù)列的公差，即可求得其通項(xiàng)公式；（2）由（1）的結(jié)果可得的表達(dá)式，由錯(cuò)位相減法求得，將不等式對(duì)任意的恒成立，轉(zhuǎn)化為數(shù)列的最值問題，即可求得答案.【詳解】(1)因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，又因?yàn)?，所以?shù)列的公比，由，所以得．又因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，且，，則公差，所以．故，；(2)由（1）得：，數(shù)列的前項(xiàng)和為①所以②由①-②得：，所以,不等式恒成立，化為不等式恒成立，令,則為遞增數(shù)列，即轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，，所以，綜上可得：實(shí)數(shù)的取值范圍是．19．某企業(yè)主管部門為了解企業(yè)某產(chǎn)品年?duì)I銷費(fèi)用x（單位：萬元）對(duì)年銷售量）（單位：萬件）的影響，對(duì)該企業(yè)近5年的年?duì)I銷費(fèi)用和年銷售量做了初步處理，得到的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值如下：15052518001200根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，發(fā)現(xiàn)年銷售量y（萬件）關(guān)于年?duì)I銷費(fèi)用x（萬元）之間可以用進(jìn)行回歸分析．(1)求y關(guān)于x的回歸方程；(2)從該產(chǎn)品的流水線上隨機(jī)抽取100件產(chǎn)品，統(tǒng)計(jì)其質(zhì)量指標(biāo)值并繪制頻率分布直方圖：規(guī)定產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值在的為劣質(zhì)品，在的為優(yōu)等品，在的為特優(yōu)品，銷售時(shí)劣質(zhì)品每件虧損0.8元，優(yōu)等品每件盈利4元，特優(yōu)品每件盈利6元，以這100件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于各區(qū)間的頻率代替產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于該區(qū)間的概率．如果企業(yè)今年計(jì)劃投入的營銷費(fèi)用為80萬元，請(qǐng)你預(yù)報(bào)今年企業(yè)該產(chǎn)品的銷售總量和年總收益．附：①收益＝銷售利潤(rùn)－營銷費(fèi)用；②對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，．【答案】(1)；(2)今年企業(yè)該產(chǎn)品的銷售總量估計(jì)為180萬件，年總收益估計(jì)為460萬元．【分析】（1）求出，再利用最小二乘法公式求解作答.（2）求出產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值在、、的頻率，由（1）估計(jì)銷售總量，再由已知列式計(jì)算作答.【詳解】(1)根據(jù)題意得，，，，y關(guān)于x的回歸方程為.(2)由（1）可知：當(dāng)時(shí)，，即營銷費(fèi)用為80萬元，該產(chǎn)品的銷售總量約為180萬件，由頻率分布直方圖知，產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值在、、的頻率分別為、、，以頻率為概率可以估計(jì)：銷售的180萬件產(chǎn)品中，劣質(zhì)品約為180×0.25=45（萬件），優(yōu)等品約為180×0.65＝117（萬件），特優(yōu)品約為180×0.1＝18（萬件），估計(jì)今年企業(yè)該產(chǎn)品的總收益為：（萬元），所以，今年企業(yè)該產(chǎn)品的銷售總量估計(jì)為180萬件，年總收益估計(jì)為460萬元.20．如圖，斜三棱柱中，為正三角形，為棱的中點(diǎn)，平面．(1)證明：平面；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由平面，得，再由，可得線面垂直；（2）以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由空間向量法求線面角．【詳解】(1)在正中，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以．因?yàn)槠矫妫矫嫠砸驗(yàn)?，，均在平面?nèi)，所以平面(2)因?yàn)槠矫妫裕?，，兩兩相互垂直．以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)椋渣c(diǎn)，，，所以，，從而，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則記直線與平面所成角為．則，所以，直線與平面所成角的正弦值為．21．已知點(diǎn)A是拋物線x2＝2py（p＞0）上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M（－1，2）的直線AM與拋物線交于另一點(diǎn)B．(1)當(dāng)A的坐標(biāo)為（－2，1）時(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)已知點(diǎn)P（0，2），若M為線段AB的中點(diǎn)，求面積的最大值．【答案】(1)(2)2【分析】（1）將的坐標(biāo)代入拋物線方程可得拋物線的方程為：，再根據(jù)直線的方程，聯(lián)立拋物線方程可得的坐標(biāo)；（2）設(shè)直線的方程：，聯(lián)立拋物線的方程，結(jié)合韋達(dá)定理與M為線段AB的中點(diǎn)可得，再代入的面積可得，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的最值求解即可【詳解】(1)當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時(shí)，則