PAGE19-江蘇省鎮(zhèn)江市揚中高級中學2024-2025學年高二數(shù)學下學期期中試題（含解析）一?選擇題1.設，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】分析】分別求出和的解，結(jié)合充分必要條件的定義，即可得出結(jié)論.【詳解】，解得，，解得或，“”成立，則“或”成立，而“或”成立，“”不肯定成立，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A【點睛】本題考查充分不必要條件的判定，屬于基礎題.2.為了探討中學學生對鄉(xiāng)村音樂的看法(喜愛和不喜愛兩種看法)與性別的關(guān)系，運用2×2列聯(lián)表進行獨立性檢驗，計算得，則認為“喜愛鄉(xiāng)村音樂與性別有關(guān)系”的把握約為()P()0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828A.0.1% B.1% C.99.5% D.99.9%【答案】C【解析】【分析】依據(jù)觀測值與臨界值的比較可得結(jié)論.【詳解】∵K2＝8.01＞7.879，觀測值同臨界值進行比較可知，有99.5%的把握認為“喜愛鄉(xiāng)村音樂與性別有關(guān)系”．故選C.【點睛】本題主要考查獨立性檢驗，駕馭觀測值與臨界值進行比較的方法是求解的關(guān)鍵，題目較為簡潔，側(cè)重考查對概念的理解.3.若6把鑰匙中只有2把能打開某鎖，則從中任取2把能將該鎖打開的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】從中任取2把，基本領件總數(shù)，從中任取2把能將該鎖打開包含的基本領件個數(shù)，由此能求出從中任取2把能將該鎖打開的概率．【詳解】解：6把不同的鑰匙中只有2把能打開某鎖，從中任取2把，基本領件總數(shù)，從中任取2把能將該鎖打開包含的基本領件個數(shù)，從中任取2把能將該鎖打開的概率．故選：A．【點睛】本題考查概率的求法，考古典概型、排列組合等基礎學問，考查運算求解實力、推理論證實力，考查函數(shù)與方程思想，屬于基礎題．4.已知兩變量和一組觀測值如下表所示：假如兩變量線性相關(guān)，且線性回來方程為,則（）234546A. B. C. D.【答案】D【解析】分析】依據(jù)回來直線方程過樣本點的中心，求出，代入線性回來方程中即可．【詳解】把代入中，得，故本題選D．【點睛】本題考查了回來直線方程過樣本點的中心．5.由2，3，5，0組成的沒有重復數(shù)字的四位偶數(shù)的個數(shù)是（）A.12 B.10 C.8 D.14【答案】B【解析】【分析】依據(jù)個位是和分成兩種狀況進行分類探討，由此計算出全部可能的沒有重復數(shù)字的四位偶數(shù)的個數(shù).【詳解】當0在個位數(shù)上時，有個；當2在個位數(shù)上時，首位從5，3中選1，有兩種選擇，剩余兩個數(shù)在中間排列有2種方式，所以有個所以共有10個．故選：B【點睛】本小題主要考查簡潔排列組合的計算，屬于基礎題.6.在處有微小值，則常數(shù)c的值為（）A.2 B.6 C.2或6 D.1【答案】A【解析】函數(shù)，∴，又在x=2處有極值，∴f′(2)=12?8c+=0，解得c=2或6，又由函數(shù)在x=2處有微小值，故c=2，c=6時,函數(shù)在x=2處有極大值，故選A.點睛：已知函數(shù)的極值點求參數(shù)的值時，可依據(jù)建立關(guān)于參數(shù)的方程（組），通過解方程（組）得到參數(shù)的值后還須要進行驗證，因為“”是“為極值點”的必要不充分條件，而不是等價條件，因此在解答此類問題時不要忘了驗證，以免產(chǎn)生增根而造成解答的錯誤．7.已知是定義在上的奇函數(shù)，且對隨意總有，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)，得到，再結(jié)合奇偶性求解.【詳解】因為，所以，所以所以故選：B【點睛】本題主要考查函數(shù)奇偶性和周期性的應用，還考查運算求解的實力，屬于中檔題.8.若函數(shù)與函數(shù)有兩條公切線，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】設公切線與函數(shù)，分別切于點，，依據(jù)導數(shù)的幾何意義求出在處的切線的斜率并分別寫出切線的方程，再依據(jù)公切線的概念可得兩曲線的切線重合，列出方程消去，從而將問題轉(zhuǎn)化為有兩解，求出的取值范圍，即得到答案．【詳解】設公切線與函數(shù)的圖象切于點，因為，所以，所以在點處斜線的斜率，所以切線方程為；設公切線與函數(shù)的圖象切于點，因為，所以，所以在處點斜線的斜率，所以切線方程為，所以有，因為，所以，．又，令，則，所以，令且，得；令且，得，所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).所以函數(shù)與函數(shù)有兩條公切線，滿意，即，所以．故選：D．【點睛】本題主要考查已知兩公切線的條數(shù)求參數(shù)取值范圍，導數(shù)的幾何意義，同時考查導數(shù)在探討函數(shù)中的應用及數(shù)形結(jié)合的思想，屬于難題．二?多項選擇題9.下列各選項給出的兩個函數(shù)中，表示相同函數(shù)的有（）A.與 B.與C.與 D.與【答案】BC【解析】【分析】逐項考查每兩個函數(shù)的定義域和對應法則是否相同即可.【詳解】對于選項A，與對應法則不同，所以兩者不是同一函數(shù)；對于選項B，與定義域和對應法則均相同，所以兩者是同一函數(shù)；對于選項C，與定義域和對應法則均相同，所以兩者是同一函數(shù)；對于選項D，的定義域為，而的定義域為，定義域不同，所以兩者不是同一函數(shù)；故選：BC.【點睛】本題主要考查同一函數(shù)的判定，兩個函數(shù)是同一函數(shù)要滿意兩個條件：一是定義域要相同；二是對應法則要一樣.側(cè)重考查數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).10.若，則下列不等式中正確的是（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】由不等式的性質(zhì)及函數(shù)的單調(diào)性可得正確的選項.【詳解】因為在為減函數(shù)，故當時，有，故A不正確.因為在為增函數(shù)，故當時，有，故C錯誤.，因為，故，所以即，故B正確.因為，故，所以，故D正確.故選：BD.【點睛】本題考查不等式的性質(zhì)和函數(shù)的單調(diào)性，一般地，代數(shù)式的大小比較有作差法、作商法，也可以依據(jù)其形式選擇合適的函數(shù)來探討，本題屬于基礎題.11.某學生想在物理、化學、生物、政治、歷史、地理、技術(shù)這七門課程中選三門作為選考科目，下列說法錯誤的是（）A.若隨意選擇三門課程，選法總數(shù)為B.若物理和化學至少選一門，選法總數(shù)為C.若物理和歷史不能同時選，選法總數(shù)為D.若物理和化學至少選一門，且物理和歷史不能同時選，選法總數(shù)為【答案】ABD【解析】【分析】若隨意選擇三門課程，選法總數(shù)為，若物理和化學至少選一門，選法總數(shù)為，若物理和歷史不能同時選，選法總數(shù)為，若物理和化學至少選一門，且物理和歷史不能同時選，選法總數(shù)為.【詳解】若隨意選擇三門課程，選法總數(shù)為，故A錯誤若物理和化學至少選一門，選法總數(shù)為，故B錯誤若物理和歷史不能同時選，選法總數(shù)為，故C正確若物理和化學至少選一門，且物理和歷史不能同時選，選法總數(shù)為故D錯誤故選：ABD【點睛】當遇到“至多”“至少”型題目時，一般用間接法求會比較簡潔.12.函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A.時，有兩個零點 B.時，的微小值點為2C.時，恒成立 D.若只有一個零點，則【答案】ABD【解析】【分析】對選項逐個驗證即得答案.【詳解】對于選項，當時，，其定義域為，，令.當時，；當時，，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，且，在定義域內(nèi)有兩個零點，故選項正確；對于選項，由上面的推導過程可知，當時，的微小值點為2，故選項正確；對于選項，由上面的推導過程可知，，故選項錯誤；對于選項，若只有一個零點，則方程只有一個根，即方程只有一個根，令，則函數(shù)圖象與直線只有一個交點.，令，當時，；當時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，且當時，；當時，；函數(shù)圖象與直線只有一個交點時，，故選項正確.故選：.【點睛】本題考查導數(shù)在探討函數(shù)中的應用，屬于中檔題.三?填空題13.的綻開式中項的系數(shù)為___________【答案】14【解析】【分析】由二項式定理寫出的通向，求出通項中，即可求系數(shù).【詳解】解：綻開式中的第項為，則當時，；當時，，.故答案為：14.【點睛】本題考查了二項式定理.做題關(guān)鍵是駕馭二項綻開式通項公式.14.甲?乙兩人參與歌頌競賽晉級的概率分別為和，且兩人是否晉級相互獨立，則兩人中恰有一人晉級的概率為___________.【答案】【解析】【分析】分兩種狀況探討：①甲晉級而乙未晉級；②乙晉級而甲未晉級.利用獨立事務的概率乘法公式可求得所求事務的概率.【詳解】由題意可知，事務“兩人中恰有一人晉級”包含兩種狀況：①甲晉級而乙未晉級；②乙晉級而甲未晉級.由獨立事務的概率乘法公式可得，所求事務的概率為.故答案為：.【點睛】本題考查利用獨立事務的概率乘法公式計算事務的概率，考查計算實力，屬于基礎題.15.在曲線的全部切線中，切線斜率的最小值為________.【答案】【解析】【分析】求出原函數(shù)導函數(shù)，可得導函數(shù)的最小值，求出訪導函數(shù)取最小值的值，即可得出結(jié)果.【詳解】解：由題意得,，當且僅當時取等號.故答案為：.【點睛】本題考查利用導數(shù)探討過曲線上某點處的斜率，考查基本不等式求最值，是中檔題.16.已知函數(shù)在區(qū)間上有四個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)在R上有四個不同的零點，得到和上各自都有兩個零點，分類探討，即可求解．【詳解】由題意，要使得函數(shù)在R上有四個不同的零點，則當和上各自都有兩個零點，當時，函數(shù)的兩根方程為，，所以，解得；當時，函數(shù)，則，解得，所以當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當，函數(shù)取得最大值，所以，解得，綜上可得實數(shù)的取值范圍為．故答案為：．【點睛】本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合應用，其中解答中涉及到二次函數(shù)的零點問題，以及利用導數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性與最值的應用，著重考查了分析問題和解答問題的實力，屬于中檔試題．四?解答題17.已知集合，集合.(1)當時，求；(2)設，若“”是“”的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）化簡集合，再進行集合的交、并運算；（2）由“”是“”的必要不充分條件，得到集合，再利用數(shù)軸得到關(guān)于的不等式.【詳解】（1）當時，，集合，所以.（2）因為，所以，，因為“”是“”的必要不充分條件，所以，所以解得：.【點睛】利用數(shù)軸發(fā)覺關(guān)于的不等式時，要留意端點的取舍問題.18.盒子中放有大小形態(tài)完全相同的個球，其中個紅球，個白球.（1）某人從這盒子中有放回地隨機抽取2個球，求至少抽到個紅球的概率；（2）某人從這盒子中不放回地隨機抽取個球，每抽到個紅球得紅包嘉獎元，每抽到個白球得到紅包嘉獎元，求該人所得嘉獎的分布列.【答案】（1）；（2）分布列答案見解析.【解析】【分析】（1）方法一：分為三種狀況，即抽到個紅球，抽到1個紅球1個白球和抽到1個白球1個紅球，概率相加得到答案；方法二：至少抽到個紅球的事務的對立事務為2次均沒有取到紅球(或2次均取到白球)，計算可得結(jié)果；（2）隨機變量可能的取值為，計算每個數(shù)對應概率，得到分布列，計算數(shù)學期望得到答案.【詳解】（1）法1：記抽取紅球的事務為，抽取白球的事務為，且每次取到紅球的概率均為，每次取到白球的概率均為.則至少抽到個紅球的概率表示為：答：至少抽到個紅球的概率為.法2：至少抽到個紅球的事務的對立事務為2次均沒有取到紅球(或2次均取到白球)，每次取到紅球的概率均為，每次取到白球的概率均為，所以答：至少抽到個紅球的概率為.（2）由題意，隨機變量可能的取值為，，，，所以隨機變量的分布表為：【點睛】本題考查了概率的計算，分布列，數(shù)學期望，意在考查學生的計算實力，屬于基礎題.19.已知函數(shù)．當時，求的單調(diào)增區(qū)間；若在上是增函數(shù)，求得取值范圍．【答案】(1).(2).【解析】【分析】（1）求單調(diào)增區(qū)間，先求導，令導函數(shù)大于等于0即可；（2）已知在區(qū)間（0，1）上是增函數(shù)，即在區(qū)間（0，1）上恒成立，然后用分別參數(shù)求最值即可．【詳解】（1）當時，，所以，由得，或，故所求的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由，∵在上是增函數(shù)，所以在上恒成立，即恒成立，∵（當且僅當時取等號），所以，即.【點睛】本題考查利用導數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性和對勾函數(shù)在定區(qū)間上的最值問題，體現(xiàn)了分類探討和轉(zhuǎn)化的思想方法，考查了學生敏捷應用學問分析解決問題的實力．20.已知函數(shù)．（1）推斷并證明函數(shù)的奇偶性；（2）推斷當時函數(shù)的單調(diào)性，并用定義證明；（3）若定義域為，解不等式．【答案】（1）奇函數(shù)（2）增函數(shù)（3）【解析】【分析】（1）函數(shù)為奇函數(shù)，利用定義法能進行證明；（2）函數(shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)，利用定義法能進行證明；（3）由，得，由此能求出原不等式的解集．【詳解】（1）函數(shù)為奇函數(shù)．證明如下：定義域為，又，為奇函數(shù)．（2）函數(shù)在（-1，1）為單調(diào)函數(shù)．證明如下：任取，則，，，即，故在（-1，1）上為增函數(shù)．（3）由（1）、（2）可得則，解得：，所以，原不等式的解集為．【點睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的應用，先要正確理解和把握函數(shù)相關(guān)性質(zhì)本身的含義及其應用方向.在運用函數(shù)性質(zhì)特殊是奇偶性、周期、對稱性、單調(diào)性、最值、零點時，要留意用好其與條件的相互關(guān)系，結(jié)合特征進行等價轉(zhuǎn)化探討.如奇偶性可實現(xiàn)自變量正負轉(zhuǎn)化，周期可實現(xiàn)自變量大小轉(zhuǎn)化，單調(diào)性可實現(xiàn)去，即將函數(shù)值的大小轉(zhuǎn)化自變量大小關(guān)系.21.如圖所示，某建筑公司要在一塊寬大的矩形地面上進行開發(fā)建設，陰影部分為一公共設施建設不能開發(fā)，且要求用欄柵隔開（欄柵要求在始終線上），公共設施邊界為曲線的一部分，欄柵與矩形區(qū)域的邊界交于點，，交曲線于點，設．（1）將(為坐標原點)的面積表示成的函數(shù)；（2）若在處，取得最小值，求此時的值及的最小值．【答案】（1）S(t)＝（2）a＝，【解析】【詳解】試題分析：（1）求的導函數(shù)，設出的坐標，確定過點的切線方程，進而可得的坐標，表示出三角形的面積；（2）把代入，利用導數(shù)探討的最值問題，即可確定△（為坐標原點）的面積的最小值.試題