專題14用銳角三角形函數解決問題壓軸題七種模型全攻略考點一用銳角三角函數解直角三角形考點二用銳角三角函數解非直角三角形考點三利用銳角三角函數解決仰角俯角問題考點四利用銳角三角函數解決方位角問題考點五利用銳角三角函數解決坡度坡比問題考點六利用銳角三角函數測高問題考點七構造直角三角形求不規(guī)則圖形的邊長或面積典型例題典型例題考點一用銳角三角函數解直角三角形例題：（2022·江蘇·蘇州市胥江實驗中學校九年級期中）（1）在中，，已知，，求，a，b；（2）如圖，在中，，，D為AC上一點，，．求AD的長．【變式訓練】1．（2022·江蘇省錫山高級中學實驗學校九年級期中）在中，，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，(1)，，求b、(2)，，求的周長．2．（2022·山東·聊城江北水城旅游度假區(qū)李海務街道辦事處中學九年級階段練習）如圖，在直角中，，點是邊的中點，．．(1)求AD和AB的長；(2)求sin∠BAD的值．考點二用銳角三角函數解非直角三角形例題：（2022·江蘇淮安·九年級階段練習）如圖，在中，，，，求、的長．【變式訓練】1．（2022·遼寧·大連市第三十四中學九年級階段練習）中，，，，求邊的長度．2．（2022·山東·測試·編輯教研五九年級階段練習）在中，，，為銳角且．(1)求的面積；(2)求的值；(3)求的值．考點三利用銳角三角函數解決仰角俯角問題例題：（2021·陜西·渭南初級中學九年級期中）李威在A處看一棵大樹的頂端D處的仰角是30°，向樹的方向前進30米到B處看樹頂D處的仰角是60°，李威的眼睛離地面高米，已知，E、F、G在一條直線上，求樹高是多少？（結果保留根號）【變式訓練】1．（2022·重慶市育才中學九年級階段練習）如圖所示，在大樓的正前方有一斜坡（坡角），在它們之間有一片水域，現要測量大樓的高度．小明在斜坡上的點D處利用熱氣球探測器測得樓頂點B處的仰角為；當熱氣球探測器豎直向上上升到點F處，測得樓頂點B處的仰角為；已知米，米，其中點在同一直線上．（參考數據：，）(1)求斜坡的高度（精確到十分位）；(2)求大樓的高度（精確到十分位）．2．（2022·安徽·合肥市五十中學新校二模）如圖，坡的坡度為：，坡面長米，，現計劃在斜坡中點處挖去部分坡體用陰影表示修建一個平行于水平線的平臺和一條新的斜坡請將下面兩小題的結果都精確到米，參考數據：．(1)若修建的斜坡的坡角即恰為，則此時平臺的長為______米；(2)坡前有一建筑物，小明在點測得建筑物頂部的仰角為，在坡底點測得建筑物頂部的仰角為，點、、、、在同一平面內，點、、在同一條水平直線上，問建筑物高為多少米？考點四利用銳角三角函數解決方位角問題例題：（2022·湖南·長沙市北雅中學模擬預測）如圖，某日我國某島附近海域有兩艘自西向東航行的海監(jiān)船A、B船在A船的正東方向，且兩船保持20海里的距離，某一時刻兩海監(jiān)船同時測得在A的東北方向，B的北偏東15°方向有一我國漁政執(zhí)法船C，求此時船C與船B的距離是多少．（結果保留根號）【變式訓練】1．（2022·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）如圖，在東西方向的海岸線l上有長為300米的碼頭AB，在碼頭的最西端A處測得輪船M在它的北偏東方向上；同一時刻，在A點正東方向距離100米的C處測得輪船M在北偏東方向上．（參考數據：，，，．）(1)求輪船M到海岸線l的距離；（結果精確到0.01米）(2)如果輪船M沿著南偏東的方向航行，那么該輪船能否行至碼頭AB靠岸？請說明理由．2．（2022·浙江寧波·一模）如圖，某漁船沿正東方向以10海里／小時的速度航行，在A處測得島C在北偏東方向，1小時后漁船航行到B處，測得島C在北偏東方向，已知該島周圍9海里內有暗礁．參考數據：，，．(1)B處離島C有多遠？如果漁船繼續(xù)向東航行，有無觸礁危險？(2)如果漁船在B處改為向東偏南方向航行，有無觸礁危險？考點五利用銳角三角函數解決坡度坡比問題例題：（2022·湖南·炎陵縣教研室一模）如圖，株洲市炎陵縣某中學在實施“五項管理”中，將學校的“五項管理”做成宣傳牌（CD），放置在教學樓A棟的頂部（如圖所示）該中學數學活動小組在山坡的坡腳A處測得宣傳牌底部D的仰角為60°，沿芙蓉小學圍墻邊坡AB向上走到B處測得宣傳牌頂部C的仰角為45°．已知山坡AB的坡度為i=1：3，AB=2m，AE=8m．(1)求點B距水平面AE的高度BH．(2)求宣傳牌CD的高度．（結果精確到0.1米．參考數據：≈1.414,≈1.732）【變式訓練】1．（2022·上海·九年級專題練習）如圖是一座人行天橋的引橋部分的示意圖，上橋通道由兩段互相平行并且與地面成37°角的樓梯AD、BE和一段水平平臺DE構成．已知天橋高度BC=5.4米，引橋水平跨度AB=9米．(1)求水平平臺DE的長度(2)若與地面垂直的平臺立柱MN的高度為3米，求兩段樓梯AD、CE的長度之比．（參考數據：取sin370.60，cos370.80，tan370.75）2．（2022·湖南·醴陵市教育局教育教學研究室模擬預測）風能作為一種清潔能源越來越受到世界各國的重視，我市結合自身地理優(yōu)勢架設風力發(fā)電機利用風能發(fā)電．王芳和李華假期去明月峰游玩，看見風電場的各個山頭上布滿了大大小小的風力發(fā)電機，好奇的想知道風力發(fā)電機塔架的高度．如圖，王芳站在點測得點與塔底點的距離為，李華站在斜坡的坡頂處，已知斜坡的坡度，坡面長，李華在坡頂處測得輪轂點的仰角，請根據測量結果幫他們計算：(1)斜坡頂點B到CD所在直線的距離；(2)風力發(fā)電機塔架的高度．結果精確到，參考數據，，，，考點六利用銳角三角函數測高問題例題：（2022·全國·九年級課時練習）如圖，－樓房AB后有一－假山CD，CD的坡度為，測得B與C的距離為24米，山坡坡面上E點處有一休息亭，與山腳C的距離米，小麗從樓房房頂A處測得E的俯角為45°．(1)求點E到水平地面的距離；(2)求樓房AB的高．【變式訓練】1．（2022·河南·九年級專題練習）如圖，小明家馬路對面的商業(yè)樓外墻上有一個大型顯示屏，小明在自己家樓頂處測得顯示屏頂端的仰角為，后退10米到達處測得顯示屏底端處的仰角為，已知商業(yè)樓的底端與小明家樓底端之間的距離為50米，求顯示屏AB的高度．（結果精確到0.1米，參考數據：，，）2．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，在河流的右岸邊有一高樓，左岸邊有一坡度的山坡，點與點在同一水平面上，與在同一平面內．某數學興趣小組為了測量樓的高度，在坡底處測得樓頂的仰角為，然后沿坡面上行了米（即米）到達點處，此時在處測得樓頂的仰角為．（參考數據：，，）（1）求點到點的水平距離的長；（2）求樓的高度．考點七構造直角三角形求不規(guī)則圖形的邊長或面積例題：（2022·海南·九年級專題練習）一種可折疊的醫(yī)療器械放置在水平地面上，這種醫(yī)療器械的側面結構如圖實線所示，底座為，點、、在同一條直線上，測得，，，，其中一段支撐桿，另一段支撐桿，(1)求的距離；(2)求支撐桿上的到水平地面的距離是多少？（用四舍五入法對結果取整數，參考數據，，，）【變式訓練】1．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，是放在水平桌面上的臺燈的幾何圖，已知臺燈底座高度為2cm，固定支點O到水平桌面的距離為7.5cm，當支架OA、AB拉直時所形成的線段與點M共線且與底座垂直，此時測得B到底座的距離為31.64cm（線段AB，AO，OM的和），經調試發(fā)現，當∠OAB=115°，∠AOM=160°時，臺燈所投射的光線最適合寫作業(yè)，測量得A到B的水平距離為10cm，求此時點B到桌面的距離．（參考數據：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，）2．（2022·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）圖1是一款平板電腦支架，由托板、支撐板和底座構成．工作時，可將平板電腦吸附在托板上，底座放置在桌面上，圖2是其側面結構示意圖，已知托板AB長200mm，支撐板CB長80mm，當，時，求托板頂點A到底座CD所在平面的距離（結果精確到1mm）．（參考數據：，，，，）課后訓練課后訓練一、選擇題1．（2022·浙江·九年級專題練習）如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足是D，設∠CAB＝α，CD＝h，那么BC的長度為（）A． B． C． D．h?cosα2．（2022·陜西·西安市中鐵中學三模）如圖，在中，，，，平分交于點，則線段的長為A．+1 B．2 C． D．-3．（2022·山東威?！ぞ拍昙壠谥校┥衔?時，一條船從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度向正東方向航行，10時到達B處（如圖）．從A，B兩處分別測得小島M在北偏東45°和北偏東15°方向，那么船在B處時與小島M的距離（

）A．海里 B．海里 C．40海里 D．海里二、填空題4．（2022·山東·東平縣實驗中學九年級階段練習）如圖，在中，，為上一點，，，．則＝_____．5．（2022·江蘇省錫山高級中學實驗學校九年級期中）一條上山直道的坡度為，沿這條直道上山，每前進100米所上升的高度為_______米．6．（2022·江蘇·蘇州市胥江實驗中學校九年級期中）如圖，在一街道的兩旁有甲、乙兩幢建筑物，某廣告公司在甲建筑物上懸掛一條廣告條幅，現在乙建筑物的頂部測得條幅頂端A的仰角為，條幅底端B的俯角為，已知街道寬，則廣告條幅AB的長是______．（結果保留根號）三、解答題7．（2022·山東·東平縣實驗中學九年級階段練習）如圖，在中，，，，求的面積．8．（2022·山東·濟南陽光100中學九年級階段練習）如圖．已知中，，．(1).若，求的長度；(2).若，求的長度．9．（2022·山東·臨沂第二十七中學八年級期中）如圖，學校科技小組，計劃測量一處電信塔的高度，小明在A處用儀器測到D的仰角，向塔正前方水平直行到達點B，測到塔尖的仰角，若小明的眼睛離地面，你能計算出塔的高度DE嗎？寫出計算過程．10．（2022·江蘇·星海實驗中學九年級階段練習）如圖，在建筑物DF的左邊有一個小山坡，坡底B、C同建筑底端F在同一水平線上，斜坡AB的坡比為，小李從斜坡底端B沿斜坡走了26米到達坡頂A處，在坡頂A處看建筑物的頂端D的仰角α為，然后小李沿斜坡AC走了米到達底部C點，已知建筑物上有一點E，在C處看點E的仰角為，（點A、B、C、D、E、F在同一平面內）建筑物頂端D到E的距離DE長度為28.8米，求建筑物DF的高度．（參考數據：，，，）11．（2022·江蘇·陽山中學九年級階段練習）某中學廣場上有旗桿如圖1所示，在學習解直角三角形以后，數學興趣小組測量了旗桿的高度．如圖2，某一時刻，旗桿AB的影子一部分落在平臺上，另一部分落在斜坡上，測得落在平臺上的影長BC為4米，落在斜坡上的影長CD為3米，AB⊥BC，同一時刻，光線與水平面的夾角為72°，1米的豎立標桿PQ在斜坡上的影長QR為2米．(1)直接寫出∠BAD＝；(2)求旗桿的高度.（結果精確到0.1米）．（參考數據：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）12．（2022·山西·大同市云州區(qū)初級示范中學校九年級期中）綜合與實踐小明為自己家設計了一個在水平方向可以伸縮的遮陽蓬，如圖所示，已知太原地區(qū)在夏至日的正午太陽高度角（即正午太陽光線與地平面的夾角）為，冬至日的正午太陽高度角為，小明家的玻璃窗戶高為，在點上方的處安裝與墻垂直的寬為的遮陽蓬，并且該遮陽蓬可伸縮（可變化）；為了保證在夏至日正午太陽光不射到屋內，冬至日正午整塊玻璃都能受到太陽光照射，求可伸縮的遮陽蓬寬度的范圍．（結果精確到，參考數據：，，，，，）13．（2021·江蘇·陽山中學九年級階段練習）如圖是投影儀安裝截面圖，投影儀A發(fā)出的光線夾角∠BAC＝30°，投影屏幕高BC＝m．固定投影儀的吊臂AD＝0.5m，且AD⊥DE，ADEF，∠ACB＝45°，求(1)AC的長（結果保留根號）；(2)屏幕下邊沿C離教室頂部的距離CE．（結果精確到0.1m）（選用數據≈1.4，≈1.7）14．（2022·江西·尋烏縣教育局教學研究室二模）“為夢想戰(zhàn)，決戰(zhàn)中考”，如圖①是尋烏縣第三中學的中考倒計時牌，圖②為它的側面圖，圖③為它的側面簡意圖，已知，．(1)如圖③，A處離地面多高？(2)如圖④，芳芳站在倒計時牌前的點H處觀察倒計時牌（點D、C、H在同一水平線上），測得芳芳的身高為，當芳芳的視線恰好落在點B處時（忽略眼睛到頭頂的距離）視線俯角為，求此時的距離．（結果精確到．參考數據：，，，，）15．（2022·寧夏·中考真題）北京冬奧會自由式滑雪空中技巧比賽中，某運動員比賽過程的空中剪影近似看作一條拋物線，跳臺高度為米，以起跳點正下方跳臺底端為原點，水平方向為橫軸，豎直方向為縱軸，建立如圖所示平面直角坐標系．已知拋物線最高點的坐標為，著陸坡頂端與落地點的距離為米，若斜坡的坡度（即．求：(1)點的坐標；(2)該拋物線的函數表達式；(3)起跳點與著陸坡頂端之間的水平距離的長．（精確到米）（參考數據：）專題14用銳角三角形函數解決問題壓軸題七種模型全攻略考點一用銳角三角函數解直角三角形考點二用銳角三角函數解非直角三角形考點三利用銳角三角函數解決仰角俯角問題考點四利用銳角三角函數解決方位角問題考點五利用銳角三角函數解決坡度坡比問題考點六利用銳角三角函數測高問題考點七構造直角三角形求不規(guī)則圖形的邊長或面積典型例題典型例題考點一用銳角三角函數解直角三角形例題：（2022·江蘇·蘇州市胥江實驗中學校九年級期中）（1）在中，，已知，，求，a，b；（2）如圖，在中，，，D為AC上一點，，．求AD的長．【答案】（1），，；（2）2【分析】（1）根據直角三角形的兩個銳角互余可得，再利用銳角三角函數的定義，進行計算即可解答；（2）根據已知條件求出，再根據正弦的定義求出，再根據勾股定理求出，最后根據求出的長．【詳解】解：（1），，，，，，，；（2），，，，，，，，．【點睛】本題考查了解直角三角形，正弦的定義、勾股定理，解題的關鍵是熟練掌握直角三角形的兩個銳角互余，以及銳角三角函數的定義．【變式訓練】1．（2022·江蘇省錫山高級中學實驗學校九年級期中）在中，，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，(1)，，求b、(2)，，求的周長．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據，得到，利用勾股定理求即可；（2），，設參法求出，利用勾股定理求，進而得到的周長．【詳解】（1）解：，，，∴，；（2）解：，設，∴，解得：或（不符合題意，舍去）；∴，∴，∴的周長．【點睛】本題考查解直角三角形．熟練掌握三角函數的定義和勾股定理是解題的關鍵．2．（2022·山東·聊城江北水城旅游度假區(qū)李海務街道辦事處中學九年級階段練習）如圖，在直角中，，點是邊的中點，．．(1)求AD和AB的長；(2)求sin∠BAD的值．【答案】(1)，(2)【分析】（1）先求出長，再根據正切定義求得，進而利用勾股定理求解即可；（2）過作于，證明求得，再根據正弦函數定義求解即可．（1）解：∵點是邊的中點，，∴，，在中，由，得：，由勾股定理得，；（2）解：過作于，則，又，∴，∴即，解得：，∴．【點睛】本題考查解直角三角形、相似三角形的判定與性質，熟練掌握直角三角形的邊角關系并正確求解是解答的關鍵．考點二用銳角三角函數解非直角三角形例題：（2022·江蘇淮安·九年級階段練習）如圖，在中，，，，求、的長．【答案】【分析】過作，交于點，利用銳角三角函數和勾股定理解直角三角形即可．【詳解】解：過作，交于點，則：，∴，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查解直角三角形．熟練掌握銳角三角函數的定義，利用銳角三角函數解直角三角形是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2022·遼寧·大連市第三十四中學九年級階段練習）中，，，，求邊的長度．【答案】【分析】過點作，利用三角形的內角和定理先求出、，再利用直角三角形的邊角間關系求出、的長，最后利用等腰三角形的性質、線段的和差關系得結論．【詳解】解：過點作，交的延長線于點．，，，，．在中，，，，，．在中，，．．【點睛】本題主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的邊角間關系及等腰三角形的性質是解決本題的關鍵．2．（2022·山東·測試·編輯教研五九年級階段練習）在中，，，為銳角且．(1)求的面積；(2)求的值；(3)求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）過點作，根據的正切值確定的度數，再利用直角三角形的邊角間關系求出、，最后利用三角形的面積公式算出的面積；（2）先利用線段的和差關系求出，然后在中利用勾股定理求出；（3）在中利用直角三角形的邊角間關系求出的余弦值．（1）解：過點作，垂足為，∴，∵為銳角且，∴，∴，∴，∴，在，∵，，∴，∵，∴．∴的面積為．（2）∵，，∴，在中，．∴的值為．（3）在中，，，∴．∴的值為．【點睛】本題主要考查解直角三角形，掌握直角三角形的邊角間關系、特殊角的三角函數值、三角形的面積公式及勾股定理是解題的關鍵．考點三利用銳角三角函數解決仰角俯角問題例題：（2021·陜西·渭南初級中學九年級期中）李威在A處看一棵大樹的頂端D處的仰角是30°，向樹的方向前進30米到B處看樹頂D處的仰角是60°，李威的眼睛離地面高米，已知，E、F、G在一條直線上，求樹高是多少？（結果保留根號）【答案】樹的高是米【分析】先證明得到，解直角三角形求出的長即可得到答案．【詳解】解：由題意可知：，∴，∴（米），在中，∵，∴米，∴米，答：樹的高是米．【點睛】本題主要考查了解直角三角形的實際應用，三角形外角的性質，等腰三角形的判定，求出的長是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2022·重慶市育才中學九年級階段練習）如圖所示，在大樓的正前方有一斜坡（坡角），在它們之間有一片水域，現要測量大樓的高度．小明在斜坡上的點D處利用熱氣球探測器測得樓頂點B處的仰角為；當熱氣球探測器豎直向上上升到點F處，測得樓頂點B處的仰角為；已知米，米，其中點在同一直線上．（參考數據：，）(1)求斜坡的高度（精確到十分位）；(2)求大樓的高度（精確到十分位）．【答案】(1)米(2)米【分析】（1）根據題意可得是等腰直角三角形，然后根據勾股定理可得結果；（2）過點作于點，過點作于點，先證明是等腰三角形，可得，然后根據所對的直角邊等腰斜邊的一半可得的值，然后根據矩形的判定與性質得出，，結果可得．（1）解：∵米，，∴是等腰直角三角形，設，則根據勾股定理得：，解得：米（負值舍去），∴米；（2）過點作于點，過點作于點，∵，，，∴，，∴，即，∴米，在中，，，∴米，∵，∴四邊形是矩形，∴米，同理可得：米，∴米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，仰角俯角問題，坡度坡角問題，勾股定理，矩形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質，所對直角邊等于斜邊的一半等知識點，讀懂題意，熟練掌握相關定理是解本題的關鍵．2．（2022·安徽·合肥市五十中學新校二模）如圖，坡的坡度為：，坡面長米，，現計劃在斜坡中點處挖去部分坡體用陰影表示修建一個平行于水平線的平臺和一條新的斜坡請將下面兩小題的結果都精確到米，參考數據：．(1)若修建的斜坡的坡角即恰為，則此時平臺的長為______米；(2)坡前有一建筑物，小明在點測得建筑物頂部的仰角為，在坡底點測得建筑物頂部的仰角為，點、、、、在同一平面內，點、、在同一條水平直線上，問建筑物高為多少米？【答案】(1)7.0(2)建筑物高約為米【分析】（1）先利用勾股定理解直角求出，，再證，推出，代入數值即可求解；（2）過點作，垂足為，利用矩形的性質求出，，，解可得，進而得出，再解，列等式求出，則．【詳解】（1）解：由題意知，，，，∴設，則，由勾股定理得：，即，解得，∴，．∵，，∴，∴．由題意，，∴，又∵，∴，∴，∴，，，∴米；則平臺的長為，（2）解：過點作，垂足為．在矩形中，，，∴．在矩形中，，，在中，，∴，，，解得：，（米），即建筑物高約為米．【點睛】本題考查解直角三角形的實際應用，涉及勾股定理、相似三角形的判定與性質、矩形的判定與性質、特殊角的三角函數值等知識點，解題的關鍵是構造直角三角形，利用特殊角的三角函數值求解．考點四利用銳角三角函數解決方位角問題例題：（2022·湖南·長沙市北雅中學模擬預測）如圖，某日我國某島附近海域有兩艘自西向東航行的海監(jiān)船A、B船在A船的正東方向，且兩船保持20海里的距離，某一時刻兩海監(jiān)船同時測得在A的東北方向，B的北偏東15°方向有一我國漁政執(zhí)法船C，求此時船C與船B的距離是多少．（結果保留根號）【答案】此時船C與船B的距離是海里．【分析】過點B作于點D，進而利用，，求出即可．【詳解】解：過點B作于點D，由題意可知：，則，在中，，在中，．答：此時船C與船B的距離是海里．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用－方向角問題，解決此問題的關鍵在于正確理解題意得基礎上建立數學模型，把實際問題轉化為數學問題．【變式訓練】1．（2022·上海·九年級專題練習）如圖，在東西方向的海岸線l上有長為300米的碼頭AB，在碼頭的最西端A處測得輪船M在它的北偏東方向上；同一時刻，在A點正東方向距離100米的C處測得輪船M在北偏東方向上．（參考數據：，，，．）(1)求輪船M到海岸線l的距離；（結果精確到0.01米）(2)如果輪船M沿著南偏東的方向航行，那么該輪船能否行至碼頭AB靠岸？請說明理由．【答案】(1)167.79米(2)能，理由見解析【分析】（1）過點M作，交AC的延長線于D，設．解，得，解，得，進而可得，解方程即可；（2）作，交l于點F．解求出DF，進而求出AF，與AB比較大小即可．（1）解：過點M作，交AC的延長線于D，設．∵在中，，又∵在中，，∴，∵，∴．∴（米）．即輪船M到海岸線l的距離約為167.79米．（2）解：作，交l于點F．在中，有：（米），∴．∴該輪船能行至碼頭靠岸．【點睛】本題考查解直角三角形的實際應用，通過添加輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．2．（2022·浙江寧波·一模）如圖，某漁船沿正東方向以10海里／小時的速度航行，在A處測得島C在北偏東方向，1小時后漁船航行到B處，測得島C在北偏東方向，已知該島周圍9海里內有暗礁．參考數據：，，．(1)B處離島C有多遠？如果漁船繼續(xù)向東航行，有無觸礁危險？(2)如果漁船在B處改為向東偏南方向航行，有無觸礁危險？【答案】(1)B處離島C有10海里；有觸礁危險，證明見解析(2)沒有觸礁危險，證明見解析【分析】（1）過C作于O，通過證明，即可求出CB的長；判斷C到AB的距離即CO是否大于9，如果大于則無觸礁危險，反之則有；（2）過C作交BF于D，交BO于E，求出CD的長度即可作出判斷．（1）過C作于O，CO為漁船向東航行到C的最短距離，∵在A處測得島C在北偏東的方向，∴，又∵B處測得島C在北偏東方向，∴，，∴，∴（海里），∵，，∴，∴如果漁船繼續(xù)向東航行，有觸礁危險；（2）過C作交BF于D，交BO于E，，∴沒有觸礁危險．【點睛】本題是將實際問題轉化為直角三角形中的數學問題，可通過作輔助線構造直角三角形，再把條件和問題轉化到這個直角三角形中，使問題解決．考點五利用銳角三角函數解決坡度坡比問題例題：（2022·湖南·炎陵縣教研室一模）如圖，株洲市炎陵縣某中學在實施“五項管理”中，將學校的“五項管理”做成宣傳牌（CD），放置在教學樓A棟的頂部（如圖所示）該中學數學活動小組在山坡的坡腳A處測得宣傳牌底部D的仰角為60°，沿芙蓉小學圍墻邊坡AB向上走到B處測得宣傳牌頂部C的仰角為45°．已知山坡AB的坡度為i=1：3，AB=2m，AE=8m．(1)求點B距水平面AE的高度BH．(2)求宣傳牌CD的高度．（結果精確到0.1米．參考數據：≈1.414,≈1.732）【答案】(1)點B距水平面AE的高度BH是2米(2)廣告牌CD的高度約為2.1米【分析】（1）根據山坡AB的坡度為i=1：3，可設BH=a,則AH=3a,然后在Rt△ABH中，利用勾股定理進行計算即可解答；（2）過點B作BF⊥CE，垂足為F，則BH=EF=2米，BF=HE=14米，然后在Rt△ADE中，利用銳角三角函數的定義求出DE的長，再在Rt△BFC中，利用銳角三角函數的定義求出CF的長，最后進行計算即可解答．【詳解】（1）解：在Rt△ABH中，BH：AH=1:3，∴設BH=a,則AH=3a，∵AB=2，由勾股定理得BH=2，答:點B距水平面AE的高度BH是2米；（2）解：在Rt△ABH中,BH=2，∴AH=6，在Rt△ADE中,tan∠DAE=.，即DE=tan60·AE=8，如圖,過點B作BF⊥CE,垂足為F，BF=AH+AE=6+8=14，DF=DE-EF=DE-BH=8—2，在Rt△BCF中,∠C=∠CBF=45°，∴CF=BF=14,∴CD=CF-DF=14—（8—2）=14—8+2≈2.1答:廣告牌CD的高度約為2.1米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題，坡度坡角問題，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2022·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）如圖是一座人行天橋的引橋部分的示意圖，上橋通道由兩段互相平行并且與地面成37°角的樓梯AD、BE和一段水平平臺DE構成．已知天橋高度BC=5.4米，引橋水平跨度AB=9米．(1)求水平平臺DE的長度(2)若與地面垂直的平臺立柱MN的高度為3米，求兩段樓梯AD、CE的長度之比．（參考數據：取sin370.60，cos370.80，tan370.75）【答案】(1)1.8米(2)5：4【分析】（1）延長CE交AB于點F，過點E作EG⊥AB，垂足為G，由題意得：AD∥EF，從而可得∠EFG＝37°，四邊形ADEF是平行四邊形，進而可得AD＝EF，DE＝AF，然后在Rt△BCF中，利用銳角三角函數的定義求出BF的長，從而求出AF的長，即可解答；（2）根據題意可得：MN＝EG＝3米，然后在Rt△EFG中，利用銳角三角函數的定義求出EF的長，從而求出AD的長，再在Rt△BCF中，利用銳角三角函數的定義求出CF的長，從而求出CE的長，進行計算即可解答．（1）解：延長CE交AB于點F，過點E作EG⊥AB，垂足為G，由題意得：AD∥EF，∴∠A＝∠EFG＝37°，∵DE∥AF，∴四邊形ADEF是平行四邊形，∴AD＝EF，DE＝AF，在Rt△BCF中，BC＝5.4米，∴BF＝≈＝7.2（米），∵AB＝9米，∴DE＝AF＝AB﹣BF＝9﹣7.2＝1.8（米），∴水平平臺DE的長度約為1.8米；（2）由題意得：MN＝EG＝3米，在Rt△EFG中，EF＝≈＝5（米），∴AD＝EF＝5米，在Rt△BCF中，BC＝5.4米，∴CF＝＝＝9（米），∴CE＝CF﹣EF＝9﹣5＝4（米），∴兩段樓梯AD、CE的長度之比為：5：4．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題，平行四邊形的判定，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．2．（2022·湖南·醴陵市教育局教育教學研究室模擬預測）風能作為一種清潔能源越來越受到世界各國的重視，我市結合自身地理優(yōu)勢架設風力發(fā)電機利用風能發(fā)電．王芳和李華假期去明月峰游玩，看見風電場的各個山頭上布滿了大大小小的風力發(fā)電機，好奇的想知道風力發(fā)電機塔架的高度．如圖，王芳站在點測得點與塔底點的距離為，李華站在斜坡的坡頂處，已知斜坡的坡度，坡面長，李華在坡頂處測得輪轂點的仰角，請根據測量結果幫他們計算：(1)斜坡頂點B到CD所在直線的距離；(2)風力發(fā)電機塔架的高度．結果精確到，參考數據，，，，【答案】(1)；(2)．【分析】（1）在中，，可得，根據解直角三角形進行求解即可；（2）根據求解即可．（1）解：如圖，過點分別作的垂線，垂足分別為，，則為坡頂B到所在直線的距離，則，，在中，，∴，∵，∴；（2）由題意得，四邊形是矩形，由勾股定理得：，∵，∴，∴，在中，，，∴，答：塔架高度約為．【點睛】本題考查了解直角三角形的實際應用以及勾股定理，根據題意構造直角三角形是解本題的關鍵．考點六利用銳角三角函數測高問題例題：（2022·全國·九年級課時練習）如圖，－樓房AB后有一－假山CD，CD的坡度為，測得B與C的距離為24米，山坡坡面上E點處有一休息亭，與山腳C的距離米，小麗從樓房房頂A處測得E的俯角為45°．(1)求點E到水平地面的距離；(2)求樓房AB的高．【答案】(1)8米(2)48米【分析】（1）過點E作EF⊥BC的延長線于F，根據CD的坡度為i=1：2得CF=2EF，再由勾股定理可得：EF∶CF∶CE＝1∶2∶，可得EF=8米，CF=16米；（2）過E作EH⊥AB于點H，根據等腰直角三角形的性質求出AH的長，進而可得AB的長．（1）解：過點E作EF⊥BC的延長線于F．在Rt△CEF中，∵CD的坡度i＝EF∶CF＝1∶2，∴占（份），∴EF∶CF∶CE＝1∶2∶，∵CE＝8米，∴EF＝8米，CF＝16米∴點E到水平地面的距離為8米．（2）作EH⊥AB于點H，∵AB⊥BF，EF⊥BF，∴四邊形BFEH為矩形；∴BH＝EF＝8（米），HE＝BF∵BC＝24（米），CF＝16（米），∴HE＝BF＝BC＋CF＝24＋16＝40（米）在Rt△AHE中，∵∠HAE＝90°－45°＝45°，∴AH＝HE＝40（米），∴AB＝AH＋HB＝48（米）．∴樓房AB的高為48米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題，坡度坡角問題，正確作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2022·河南·九年級專題練習）如圖，小明家馬路對面的商業(yè)樓外墻上有一個大型顯示屏，小明在自己家樓頂處測得顯示屏頂端的仰角為，后退10米到達處測得顯示屏底端處的仰角為，已知商業(yè)樓的底端與小明家樓底端之間的距離為50米，求顯示屏AB的高度．（結果精確到0.1米，參考數據：，，）【答案】6.4米【分析】延長，交于點，則，解，求出的長，解，求出的長，進而求出的長．【詳解】延長，交于點，則，由題意：，，米，米，由于四邊形是矩形，∴米，在中，，∴米，∵米，∴米，在中，，∵，∴，∴(米)．答：顯示屏的高度約為米．【點睛】本題考查的是利用銳角三角函數知識解直角三角形，構造合適的直角三角形求出相應的線段是解本題的關鍵．2．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，在河流的右岸邊有一高樓，左岸邊有一坡度的山坡，點與點在同一水平面上，與在同一平面內．某數學興趣小組為了測量樓的高度，在坡底處測得樓頂的仰角為，然后沿坡面上行了米（即米）到達點處，此時在處測得樓頂的仰角為．（參考數據：，，）（1）求點到點的水平距離的長；（2）求樓的高度．【答案】（1）米；（2）樓的高度為米．【分析】（1）由的坡度，可得設則由勾股定理可得再列方程解方程可得答案；（2）如圖，過作于先證明四邊形是矩形，可得設證明可得由建立方程，再解方程檢驗即可得到答案．【詳解】解：（1）的坡度，設則（2）如圖，過作于四邊形是矩形，設由解得：經檢驗：符合題意，所以：建筑物的高為：米．【點睛】本題考查的是解直角三角形的實際應用，坡度的含義，掌握利用解直角三角形測量建筑物的高是解題的關鍵．考點七構造直角三角形求不規(guī)則圖形的邊長或面積例題：（2022·海南·九年級專題練習）一種可折疊的醫(yī)療器械放置在水平地面上，這種醫(yī)療器械的側面結構如圖實線所示，底座為，點、、在同一條直線上，測得，，，，其中一段支撐桿，另一段支撐桿，(1)求的距離；(2)求支撐桿上的到水平地面的距離是多少？（用四舍五入法對結果取整數，參考數據，，，）【答案】(1)16cm(2)105cm【分析】（1）根據直角三角形中60°角解直角三角形即可；（2）如圖作DG⊥EF，，證明EF=EG+QC+CP，再分別運用解直角三角形求出EG、QC、CP即可．（1）∵，，AB=32cm∴(cm)（2）如圖，作DG⊥EF于點G，過點C作，交DG于點Q，交AB于點P，∵DG⊥EF，AF⊥EF，∴DG⊥PQ，AF⊥PQ，∴四邊形FPQG是矩形，FG=PQ，∴(cm)，(cm)，∵∴∠EDG=75°-60°=15°∴(cm)∴EF=EG+FG=EG+PQ=EG+CQ+PC=(cm)故E到地面的距離EF為105cm．【點睛】本題主要考查解直角三角形，作輔助線構造相等線段，熟練運用解直角三角形求線段長度是解題關鍵．【變式訓練】1．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，是放在水平桌面上的臺燈的幾何圖，已知臺燈底座高度為2cm，固定支點O到水平桌面的距離為7.5cm，當支架OA、AB拉直時所形成的線段與點M共線且與底座垂直，此時測得B到底座的距離為31.64cm（線段AB，AO，OM的和），經調試發(fā)現，當∠OAB=115°，∠AOM=160°時，臺燈所投射的光線最適合寫作業(yè)，測量得A到B的水平距離為10cm，求此時點B到桌面的距離．（參考數據：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，）【答案】點B到桌面得距離為28.78cm【分析】點A作AC平行于水平桌面，過點B作BC⊥AC于點C，再延長MO交AC于點D，在Rt△ABC中，解直角三角形求得AB，繼而求得，在Rt△AOD中，解直角三角形求得OD，繼而即可求解．【詳解】如圖，過點A作AC平行于水平桌面，過點B作BC⊥AC于點C，再延長MO交AC于點D，由題意可知：OD⊥AC，AC=10cm，，∵∠AOM=160°，∴∠AOD=20°，∵OD⊥AC，∴∠ADO=90°，∴∠OAD=70°，∵∠OAB=115°，∴∠BAC=45°，∴∠ABC=∠BAC=45°，∴AC=BC=10cm，在Rt△ABC中，cos∠BAC=，∴，∵，∴，在Rt△AOD中，cos∠AOD=，∴，∴點B到桌面的距離為．【點睛】本題考查解直角三角形的應用，解題的關鍵是作輔助線構造直角三角形，熟練掌握并應用三角函數定義．2．（2022·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）圖1是一款平板電腦支架，由托板、支撐板和底座構成．工作時，可將平板電腦吸附在托板上，底座放置在桌面上，圖2是其側面結構示意圖，已知托板AB長200mm，支撐板CB長80mm，當，時，求托板頂點A到底座CD所在平面的距離（結果精確到1mm）．（參考數據：，，，，）【答案】托板頂點A到底座CD所在平面的距離為248mm．【分析】過點B作，，交CD于點G，過點A作，交BE于點F，由平行線的性質可得，得出，在與中，分別利用銳角三角函數求解得出，，托板頂點A到底座CD所在平面的距離即可得出．【詳解】解：如圖所示：過點B作，，交CD于點G，過點A作，交BE于點F，∵，∴，∴，在中，，∴，在中，，∴，∴，答：托板頂點A到底座CD所在平面的距離為．【點睛】題目主要考查平行線的性質，利用銳角三角函數解三角形，理解題意，作出相應輔助線，綜合運用銳角三角函數是解題關鍵．課后訓練課后訓練一、選擇題1．（2022·浙江·九年級專題練習）如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足是D，設∠CAB＝α，CD＝h，那么BC的長度為（）A． B． C． D．h?cosα【答案】B【分析】根據余角性質得∠BCD＝∠CAD＝α，然后利用余弦的定義可得答案．【詳解】解：∵CD⊥AB，∴∠CAD+∠DCA＝90°，∵∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠BCD＝∠CAD＝α，在Rt△BCD中，∵cos∠BCD＝，CD＝h，∴BC＝．故選：B．【點睛】本題考查的是解直角三角形，掌握余弦的定義是解決此題關鍵．2．（2022·陜西·西安市中鐵中學三模）如圖，在中，，，，平分交于點，則線段的長為A．+1 B．2 C． D．-【答案】B【分析】作于，作于，分別解直角三角形求得，和，從而求得，設，在直角三角形中表示出，進而根據列出方程求得，進而求得結果．【詳解】如圖，作于，作于，在Rt中，，在Rt中，，，，在Rt中，設，在Rt中，，，由得，，，，故答案為：B．【點睛】本題考查了解直角三角形，解決問題的關鍵是將作輔助線，將斜三角形劃分為直角三角形．3．（2022·山東威海·九年級期中）上午9時，一條船從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度向正東方向航行，10時到達B處（如圖）．從A，B兩處分別測得小島M在北偏東45°和北偏東15°方向，那么船在B處時與小島M的距離（

）A．海里 B．海里 C．40海里 D．海里【答案】D【分析】過點B作于點N．根據三角函數求的長，從而求的長．【詳解】解：如圖，過點B作于點N．由題意得，海里，．作于點．在中，海里．在直角中，，則，所以（海里）．故選：D．【點睛】本題考查解直角三角形、勾股定理的應用等知識，求三角形的邊或高的問題一般可以轉化為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線．二、填空題4．（2022·山東·東平縣實驗中學九年級階段練習）如圖，在中，，為上一點，，，．則＝_____．【答案】【分析】根據以及勾股定理可得BC=4，AC=3，從而得到CD=3，進而得到，過點D作DE⊥AB于點E，再由，可得，即可求解．【詳解】解：∵，，∴可設，則，由勾股定理得：，∵，∴，解得：k=1或1（舍去），∴BC=4，AC=3，∵，∴AC=CD，∴，如圖，過點D作DE⊥AB于點E，∵，∴可設，則，由勾股定理得：，∵BD=1，∴，解得：或（舍去），∴，∴．故答案為：【點睛】本題主要考查了解直角三角形，勾股定理，明確題意，準確構造直角三角形是解題的關鍵．5．（2022·江蘇省錫山高級中學實驗學校九年級期中）一條上山直道的坡度為，沿這條直道上山，每前進100米所上升的高度為_______米．【答案】【分析】根據題意畫出圖形，設米，則米，再由米，利用勾股定理求解即可．【詳解】：如圖所示，設米，則米，由勾股定理得：，解得，∴每前進100米所上升的高度為米，故答案為：．【點睛】本題考查的是解三角形的應用—坡度坡角問題，我們需要記住坡度指的是坡面的鉛直高度和水平寬度的比．6．（2022·江蘇·蘇州市胥江實驗中學校九年級期中）如圖，在一街道的兩旁有甲、乙兩幢建筑物，某廣告公司在甲建筑物上懸掛一條廣告條幅，現在乙建筑物的頂部測得條幅頂端A的仰角為，條幅底端B的俯角為，已知街道寬，則廣告條幅AB的長是______．（結果保留根號）【答案】##【分析】過點作于點，根據，得出，即可得出，根據等腰三角形的判定，得出，在中，根據正切函數，得出，即可得出結果．【詳解】解：過點作于點，如圖所示：∵，，∴，∴，∴，∵在中，，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了解直角三角形，特殊角的三角函數值，等腰三角形的判定和性質，熟練掌握三角函數的定義，記住特殊角的三角函數值，是解題的關鍵．三、解答題7．（2022·山東·東平縣實驗中學九年級階段練習）如圖，在中，，，，求的面積．【答案】【分析】過點A作ADCB于點D，利用，，勾股定理，結合三角形面積公式計算即可．【詳解】如圖，過點A作ADCB于點D，因為，AB=6，所以，所以=；因為，AD=3，所以DC=3AD=9，所以的面積為：=．【點睛】本題考考查了化斜為直解直角三角形，勾股定理，熟練掌握解直角的基本方法，靈活選擇三角函數是解題的關鍵．8．（2022·山東·濟南陽光100中學九年級階段練習）如圖．已知中，，．(1).若，求的長度；(2).若，求的長度．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據，求解即可；（2）根據，求出，根據勾股定理求解即可．（1）解：中，，，，，，；（2）解：在中，，，，，，．【點睛】此題考查了解直角三角形，熟練掌握銳角三角函數的定義及勾股定理是解題的關鍵．9．（2022·山東·臨沂第二十七中學八年級期中）如圖，學校科技小組，計劃測量一處電信塔的高度，小明在A處用儀器測到D的仰角，向塔正前方水平直行到達點B，測到塔尖的仰角，若小明的眼睛離地面，你能計算出塔的高度DE嗎？寫出計算過程．【答案】，計算過程見解析．【分析】先證明，在中，利用含角的直角三角形的性質求出，即可解決問題．【詳解】∵，，∴∴在中，∴∵∴【點睛】本題考查解直角三角形的應用-仰角俯角問題，等腰三角形的判定、含角的直角三角形的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握等腰三角形的判定和直角三角形的性質，屬于中考?？碱}型．10．（2022·江蘇·星海實驗中學九年級階段練習）如圖，在建筑物DF的左邊有一個小山坡，坡底B、C同建筑底端F在同一水平線上，斜坡AB的坡比為，小李從斜坡底端B沿斜坡走了26米到達坡頂A處，在坡頂A處看建筑物的頂端D的仰角α為，然后小李沿斜坡AC走了米到達底部C點，已知建筑物上有一點E，在C處看點E的仰角為，（點A、B、C、D、E、F在同一平面內）建筑物頂端D到E的距離DE長度為28.8米，求建筑物DF的高度．（參考數據：，，，）【答案】40.8米【分析】如圖于G，于H，連接，根據比例設，，結合勾股定理求出，得到，再次由勾股定理求出，設，然后利用解直角三角形，求出，即可得到答案．【詳解】解：如圖于G，于H，連接、，∵的坡比，設，，∴在中，，∴，∴，在中，，設，在中，，∴，∵四邊形是矩形，∴，又∵，在中，，，，∴，答：建筑物的高度為40.8米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用——仰角俯角問題，也考查了勾股定理，根據題意作出正確的輔助線是解答此題的關鍵．11．（2022·江蘇·陽山中學九年級階段練習）某中學廣場上有旗桿如圖1所示，在學習解直角三角形以后，數學興趣小組測量了旗桿的高度．如圖2，某一時刻，旗桿AB的影子一部分落在平臺上，另一部分落在斜坡上，測得落在平臺上的影長BC為4米，落在斜坡上的影長CD為3米，AB⊥BC，同一時刻，光線與水平面的夾角為72°，1米的豎立標桿PQ在斜坡上的影長QR為2米．(1)直接寫出∠BAD＝；(2)求旗桿的高度.（結果精確到0.1米）．（參考數據：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）【答案】(1)18°(2)13.8【分析】（1）過點D作DE⊥AB于點E，由光線與水平面的夾角為72°，即可求解；（2）如圖作CMAB交AD于M，MN⊥AB于N，根據，求出CM，在中利用，求出AN即可解決問題．（1）如圖，過點D作DE⊥AB于點E，∵光線與水平面的夾角為72°，∴∠ADE=72°，∵DE⊥AB，∴；（2）如圖，作CMAB交AD于M，MN⊥AB于N．由題意，即，（米），在中，∵∠ANM＝90°，MN＝BC＝4，∠AMN＝72°，∴，∴AN≈12.32（米），∵MNBC，ABCM，∴四邊形MNBC是平行四邊形，∴BN＝CM＝（米），∴AB＝AN＋BN＝12.32＋1.5≈13.8（米）．【點睛】本題