考點(diǎn)七解直角三角形及其應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)整合一、銳角三角函數(shù)的定義在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，正弦：sinA=；余弦：cosA=；正切：tanA=．根據(jù)定義求三角函數(shù)值時(shí)，一定根據(jù)題目圖形來理解，嚴(yán)格按照三角函數(shù)的定義求解，有時(shí)需要通過輔助線來構(gòu)造直角三角形.二、特殊角的三角函數(shù)值αsinαcosαtanα30°45°160°三、解直角三角形1．在直角三角形中，除直角外，一共有五個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的過程叫做解直角三角形．2．解直角三角形的常用關(guān)系：在Rt△ABC中，∠C=90°，則：（1）三邊關(guān)系：a2+b2=c2；（2）兩銳角關(guān)系：∠A+∠B=90°；（3）邊與角關(guān)系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=；（4）sin2A+cos2A=1．3．科學(xué)選擇解直角三角形的方法口訣：已知斜邊求直邊，正弦、余弦很方便；已知直邊求直邊，理所當(dāng)然用正切；已知兩邊求一邊，勾股定理最方便；已知兩邊求一角，函數(shù)關(guān)系要記牢；已知銳角求銳角，互余關(guān)系不能少；已知直邊求斜邊，用除還需正余弦.四、解直角三角形的應(yīng)用1．仰角和俯角仰角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角．俯角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線下方的角叫做俯角．2．坡度和坡角坡度：坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作i=．坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．學(xué)-科網(wǎng)3．方向角（或方位角）指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角叫做方向角．4．解直角三角形中“雙直角三角形”的基本模型：解題方法：這兩種模型種都有一條公共的直角邊，解題時(shí)，往往通過這條邊為中介在兩個(gè)三角形中依次求邊，或通過公共邊相等，列方程求解.學(xué)科_網(wǎng)5．解直角三角形實(shí)際應(yīng)用的一般步驟（1）弄清題中名詞、術(shù)語，根據(jù)題意畫出圖形，建立數(shù)學(xué)模型；（2）將條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題；（3）選擇合適的邊角關(guān)系式，使運(yùn)算簡(jiǎn)便、準(zhǔn)確；（4）得出數(shù)學(xué)問題的答案并檢驗(yàn)答案是否符合實(shí)際意義，從而得到問題的解．考向一求三角函數(shù)的值（1）分清直角三角形中的斜邊與直角邊.（2）正確地表示出直角三角形的三邊長(zhǎng)，常設(shè)某條直角邊長(zhǎng)為k（有時(shí)也可設(shè)為1），在求三角函數(shù)值的過程中約去k．（3）正確應(yīng)用勾股定理求第三邊長(zhǎng)．（4）應(yīng)用銳角三角函數(shù)定義，求出三角函數(shù)值．典例引領(lǐng)1．在中，若三個(gè)內(nèi)角，則等于（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值及三角形內(nèi)角和．熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．先求出、的度數(shù)，即可計(jì)算得到結(jié)論．【詳解】解：∵的度數(shù)之比為，，∴，，∴，，∴，故選：B．2．的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解本題的關(guān)鍵．【詳解】解：，故答案為：3．如圖是一個(gè)的方陣，其中每行、每列的兩數(shù)和相等，則a可以是（

）

A． B． C．0 D．【答案】D【分析】此題考查了立方根，零指數(shù)冪，以及絕對(duì)值，熟練掌握各自的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．利用立方根定義，零指數(shù)冪法則，以及絕對(duì)值的代數(shù)意義求出各自的值，判斷即可．【詳解】解：，，，根據(jù)題意得：，即，解得：，，可以是1．故選：D．4．的相反數(shù)是（）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了相反數(shù)的定義，特殊角的三角函數(shù)值．根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值以及相反數(shù)的定義即可求解．【詳解】解：∵，∴的相反數(shù)是，故選：B．5．角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了特殊角三角函數(shù)值，熟記特殊角三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．特殊角三角函數(shù)值即得答案．【詳解】角的正弦值為．故選：C．變式拓展6．如圖，在中，已知，，，則．

【答案】8【分析】本題主要考查了利用三角函數(shù)解直角三角形以及利用含直角三角形求邊長(zhǎng)，過點(diǎn)A作交與點(diǎn)D，由已知條件利用三角函數(shù)求出，再利用含直角三角形直接求出．【詳解】解：過點(diǎn)A作交與點(diǎn)D．

∵，，∴，∵，∴，故答案為：8．7．如圖，A、B、C是小正方形的頂點(diǎn)，且每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)相同，那么的正弦值為．

【答案】/【分析】本題考查的是勾股定理與勾股定理的逆定理的應(yīng)用，求解特殊角的三角函數(shù)值，根據(jù)網(wǎng)格求出三角形的三邊，得到是等腰直角三角形，再進(jìn)行求解．【詳解】解：由勾股定理可得，，，，∴，，∴是等腰直角三角形，且，，∴，故答案為：．8．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是．【答案】【分析】本題考查特殊角的三角函數(shù)值、坐標(biāo)與圖形變化-軸對(duì)稱，先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值得到已知點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)求解即可．【詳解】解：∵，，∴，∴點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是，故答案為：．9．和均為等腰直角三角形，按如圖所示的方式放置，的頂點(diǎn)與斜邊的中點(diǎn)重合，邊與邊相交于點(diǎn)，若，，，則的面積為．【答案】【分析】本題考查三角形面積，角，邊等性質(zhì)，相似三角形判定及性質(zhì)．根據(jù)題意先判定，利用相似三角形性質(zhì)得，繼而得到，，的面積，繼而得到本題答案．【詳解】解：∵，∴，∴設(shè)，∵是等腰直角三角形，∴，是直角三角形，∴，則：，∵，∵為等腰直角三角形，∴，，∵的頂點(diǎn)與斜邊的中點(diǎn)重合，∴，∵是的外角，∴，，∴，∴，∴，∴，即：，解得：，當(dāng)時(shí)，（舍），當(dāng)時(shí)，，且，故符合題意，則：，，∴，∴，∴的高，∴，∴的高，∴，∴，故答案為：．10．在等腰中，，高，則．【答案】或/或【分析】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，分情況討論是解題關(guān)鍵．分銳角三角形和鈍角三角形兩種情況，結(jié)合三角函數(shù)值分析計(jì)算．【詳解】解：當(dāng)為銳角時(shí)，如圖∵，高，在中，∴當(dāng)為鈍角時(shí)，∵，高，在中，∴，則，綜上，或，故答案為：或．11．在中，，則為三角形．【答案】等邊/正【分析】本題考查了絕對(duì)值的非負(fù)性，特殊角的三角函數(shù)值，等邊三角形的判定，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出，的值，進(jìn)而可判斷的形狀．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴，即，∴為等邊三角形．故答案為：等邊．考向二解直角三角形的應(yīng)用解此類題的一般方法：（1）構(gòu)造直角三角形；（2）理清直角三角形的邊角關(guān)系；（3）利用特殊角的三角函數(shù)值解答問題.典例引領(lǐng)1．如圖，為了測(cè)量斜坡上的建筑物的高度，一個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組，站在山腳C點(diǎn)處測(cè)得建筑物底部B點(diǎn)的仰角為，然后沿水平方向走了6米到達(dá)點(diǎn)D，再沿坡度為的斜坡走了26米到達(dá)點(diǎn)E，繼續(xù)向前走了25米到達(dá)了一個(gè)比較好的測(cè)量點(diǎn)F，在F點(diǎn)測(cè)得建筑物底部B的仰角為，建筑物頂部A的仰角為（測(cè)量員身高與測(cè)角儀高度均忽略不計(jì)，且A、B、C、D、E、F在同一平面內(nèi)）．(1)求點(diǎn)F到山腳C的水平距離；(2)求建筑物的的高度；（精確到，參考數(shù)據(jù)，，，，）【答案】(1)55米(2)米【分析】（1）過點(diǎn)D作，垂足為G，過點(diǎn)C作，垂足為F，根據(jù)題意可得米，，先由斜坡的坡度為，設(shè)米，米，從而利用勾股定理求出，再根據(jù)米，求出x的值，從而求出，的長(zhǎng)，進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，根據(jù)題意可得米，，先米，從而表示出的長(zhǎng)，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義表示出的長(zhǎng)，從而表示出的長(zhǎng)，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義，列出關(guān)于x的方程，即可求出x的值，從而求出，的長(zhǎng)，最后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】（1）解：如圖，過點(diǎn)D作，垂足為G，過點(diǎn)C作，垂足為F，則米，，∵斜坡DE的坡度為，∴，∴設(shè)米，米，∴（米），∵米，∴，∴，∴（米），（米），∵米，∴米），∴點(diǎn)F到山腳C的水平距離為55米；（2）延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，則米，，設(shè)米，∴米，在中，，∴（米），∴米，在中，，∴，∴，經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的根，∴米，米，在中，，∴（米），∴（米），∴建筑物的的高度為米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，坡度坡角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．2．如圖，大廳的天花板上掛有一盞吊燈，測(cè)量人員從點(diǎn)處測(cè)得吊燈頂端的仰角為，吊燈底端的仰角為，從點(diǎn)沿水平方向前進(jìn)6米到達(dá)點(diǎn)，測(cè)得吊燈底端的仰角為，求吊燈的長(zhǎng)度．(結(jié)果保留根號(hào)，參考數(shù)據(jù)：，，）

【答案】【分析】延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，在、中，根據(jù)銳角三角函數(shù)，求出、的長(zhǎng)，即可求解，本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：連接輔助線，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出邊長(zhǎng)．【詳解】解：延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，

，，，，，在中，，，，在中，，，故答案為：．3．如圖，為了測(cè)得某建筑物的高度，在C處用高為1米的測(cè)角儀，測(cè)得該建筑物頂端A的仰角為，再向建筑物方向前進(jìn)80米，又測(cè)得該建筑物頂端A的仰角為．求該建筑物的高度．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】該建筑物的高度為米【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用；設(shè)，則，根據(jù)等腰直角三角形的判定和性質(zhì)求出，再在中，根據(jù)列式求出x，進(jìn)而可得答案．【詳解】解：設(shè)，則，，，，，在中，，解得：，∴米，答：該建筑物的高度為米．4．七中育才學(xué)校正在舉行運(yùn)動(dòng)會(huì)，某同學(xué)想用無人機(jī)記錄下運(yùn)動(dòng)會(huì)的盛況，如圖，當(dāng)無人機(jī)到達(dá)離地面高度為米的A處時(shí)，儀器顯示正前方的教學(xué)樓頂部B的仰角是，底部C的俯角是，求教學(xué)樓的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，，，結(jié)果精確到米）

【答案】米【分析】本題考查解直角三角解決仰俯角問題，過A作，根據(jù)求出，結(jié)合即可得到答案；【詳解】解：過A作，由題意可得，

，∵，∴（米），∵，∴（米），∴（米）．5．鶴壁市新世紀(jì)廣場(chǎng)，是鶴壁市為了打造“火焰般的活力，鉆石般的晶瑩，田園般的美麗”的城市品牌，聘請(qǐng)清華大學(xué)設(shè)計(jì)建造的高起點(diǎn)、高品味的大型綜合性廣場(chǎng)．其中，鐘塔是廣場(chǎng)的主題，也是鶴壁市新區(qū)城市的標(biāo)志性建筑，他默默的陪伴著鶴壁人民走過了20多年的歲月．如圖所示，小明在鐘塔一側(cè)的水平面上的處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?，在某建筑物頂部處，又測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?，已知建筑物的總高度為米，水平距離的長(zhǎng)度為10米，試求鐘塔的高度．（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：）【答案】鐘塔的高度約為【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用；過點(diǎn)作于點(diǎn)，證明四邊形是矩形，求出，，然后在中，根據(jù)列式計(jì)算即可．【詳解】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，設(shè)，，四邊形是矩形．，在中，，，，，在中，，，，解得，答：鐘塔的高度約為．變式拓展6．如圖是一座人行天橋的引橋部分的示意圖，上橋通道由兩段互相平行并且與地面成角的樓梯和一段水平平臺(tái)構(gòu)成．已知天橋高度米，引橋水平跨度米．（參考數(shù)據(jù)：?。?1)求水平平臺(tái)的長(zhǎng)度；(2)若與地面垂直的平臺(tái)立柱的高度為3米，求兩段樓梯的長(zhǎng)度之比．【答案】(1)水平平臺(tái)的長(zhǎng)度約為1.8米(2)兩段樓梯的長(zhǎng)度之比為【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，平行四邊形的判定，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．（1）延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作，垂足為G，由題意得：，從而可得，四邊形是平行四邊形，進(jìn)而可得，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，從而求出的長(zhǎng)，即可解答；（2）根據(jù)題意可得：米，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，從而求出的長(zhǎng)，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，從而求出的長(zhǎng)，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】（1）解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作，垂足為G，由題意得：，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，在中，米，∴（米），∵米，∴（米），∴水平平臺(tái)的長(zhǎng)度約為1.8米；（2）解：由題意得：米，在中，（米），∴米，在中，米，∴（米），∴（米），∴兩段樓梯的長(zhǎng)度之比為．7．如圖，我國(guó)某邊防哨所樹立了“祖國(guó)在我心中”建筑物，它的橫截面為四邊形．其中，，建筑物頂上有一旗桿，士兵小明站在D處，由E點(diǎn)觀察到旗桿頂部A的仰角為，底部B的仰角為，已知旗桿米，米．求建筑物的高度（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：，）．【答案】11.8米【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題，過點(diǎn)作千點(diǎn)，設(shè)，則，進(jìn)而利用即可得出答案；【詳解】解：過點(diǎn)作千點(diǎn)，設(shè)，，，，在中，，，解得，即（米）．答：建筑物的高度約為11.8米．8．如圖，一艘漁船位于小島M的北偏東方向、距離小島180海里的A處，漁船從A處沿正南方向航行一段距離后，到達(dá)位于小島南偏東方向的B處．(1)求漁船從A處到B處的航行過程中，與小島M之間的最小距離（結(jié)果用根號(hào)表示）；(2)求的長(zhǎng)（結(jié)果精確到1海里，參考數(shù)據(jù)：，，）．【答案】(1)海里(2)200海里【分析】本題主要考查解直角三角形和方位角的應(yīng)用，過點(diǎn)M作于點(diǎn)D，根據(jù)題意可知，結(jié)合余弦定義可求得即為所求；分別在直角三角形中求得和，利用即可求得答案．【詳解】（1）解：過點(diǎn)M作于點(diǎn)D，如圖，根據(jù)題意可知，∵海里，∴海里．故小島M之間的最小距離為海里．（2）在中，海里．在中，∴，∴(海里)，則(海里)，故AB的長(zhǎng)為200海里．9．如圖，小瑩在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)中，利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)某小區(qū)居民樓的高度進(jìn)行測(cè)量，先測(cè)得居民樓與之間的距離為，后站在M點(diǎn)處測(cè)得居民樓的頂端D的仰角為，居民樓的頂端B的仰角為，已知居民樓的高度為，小瑩的觀測(cè)點(diǎn)N距地面．求居民樓的高度（精確到）．（參考數(shù)據(jù)：，，）．【答案】30米【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，過點(diǎn)N作交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，可得，，再根據(jù)解直角三角形可得，推出、的長(zhǎng)，進(jìn)而可得的高度．【詳解】解：過點(diǎn)N作交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F