專題幾何綜合題（道）學年北京各區(qū)及京城名校初二下學期期末數(shù)學試卷分類匯編（年西城初二下期末·第題）在平行四邊形中，是對角線的中點．點在平行四邊形外，且過點作直線的垂線，垂足為.連接，.（1）如圖，當平行四邊形為矩形，且時，畫出線段與，并直接寫出這兩條線段的數(shù)量關系；（2）在圖中，根據(jù)題意補全圖形，寫出線段與的數(shù)量關系并加以證明；（3）如圖，當平行四邊形為正方形時，若直接寫出的長．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）；【分析】（1）根據(jù)題意畫出圖形，由等腰直角三角形的性質得出則可得出結論連接，延長，，兩條延長線交于點，證明，得出,有直角三角形的性質得出結論；（3）證明，得出，求出，證明，得出，，證明為等腰直角三角形，則可求出答案．【詳解】（1）如圖，，連接，，，，矩形中，，垂直平分，，同理，；（2）如圖，，連接，延長，，兩條延長線交于點，平行四邊形，是對角線的中點，∴∵，，，，，，在和中，，，，在中，，為斜邊的中線，，．（3）．解：四邊形為正方形，，，，，，，，又，，，為對角線的中點，，，，又，，，，，，為等腰直角三角形，，，，，．（年朝陽初二下期末·第題）已知菱形，，直線不經(jīng)過點，，點關于直線的對稱點為，交直線于點，連接．（1）如圖，當直線經(jīng)過點時，點恰好在的延長線上，點與點重合，則________，線段與之間的數(shù)量關系為________，；（2）當直線不經(jīng)過點，且在菱形外部，時，如圖，①依題意補全圖；②（1）中的結論是否發(fā)生改變？若不改變，請證明；若改變，說明理由．【答案】（1），；（2）見解析【分析】（1）證明是等邊三角形即可解決問題．（2）①根據(jù)要求畫出圖形即可．②結論不變．證明是等邊三角形即可．【詳解】（1）如圖中，四邊形是菱形，垂直平分線段，，，關于對稱，垂直平分線段，，，是等邊三角形，，故答案為：，．（2）①圖形如圖所示：②不改變．理由：連接延長交于點．四邊形是菱形，，，，點關于點關于直線對稱，，，，，，，，，，，是等邊三角形，．（年通州初二下期末·第題）把一個含角的直角三角板和一個正方形擺放在一起，使三角板的直角頂點和正方形的頂點重合，聯(lián)結，點，分別為，的中點，聯(lián)結，．（1）如圖，點，分別在正方形的邊，上，請判斷，的數(shù)量關系和位置關系，直接寫出結論；（2）如圖，點，分別在正方形的邊，的延長線上，其他條件不變，那么你在（1）中得到的兩個結論還成立嗎？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由．【答案】（1），；（2）成立，理由詳見解析【詳解】（1）解：連接，四邊形是正方形，，，點是的中點，．是等腰直角三角形，，在與中，，，．點，分別為，的中點，是的中位線，，；是的中位線，，．，，是的外角，．，，，．，．（2）成立．理由：連接．四邊形是正方形，，．在中，點是的中點，，．點是的中點，是的中位線，，．是等腰直角三角形，，．點、分別在正方形、的延長線上，，即．在與中，，，，，．，，，，，．（年豐臺初二下期末·第題）數(shù)學課上，李老師提出問題：如圖，在正方形中，點是邊的中點，，且交正方形外角的平分線于點．求證：．經(jīng)過思考，小聰展示了一種正確的解題思路．取的中點，連接，則為等腰直角三角形，這時只需證與全等即可．在此基礎上，同學們進行了進一步的探究：（1）小穎提出：如圖，如果把“點是邊的中點”改為“點是邊上（不含點，）的任意一點”，其他條件不變，那么結論“”仍然成立，你認為小穎的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程，如果不正確，請說明理由；（2）小華提出：如圖，如果點是邊延長線上的任意一點，其他條件不變，那么結論“”是否成立？（填“是”或“否”）；（3）小麗提出：如圖，在平面直角坐標系中，點與點重合，正方形的邊長為，當為邊上（不含點，）的某一點時，點恰好落在直線上，請直接寫出此時點的坐標．【答案】（1）小穎的觀點正確，證明見解析；（2）是；（3）【分析】（1）在上截取，連接，由“”可證，可得；

（2）在的延長線上取一點，使，連接，由“”可證，可得；

（3）在上截取，連接，過點作軸于，設點，由等腰直角三角形的性質可得根據(jù)全等三角形的性質等腰直角三角形的性質可求點坐標，代入解析式可求的值，即可求解【詳解】（1）小穎的觀點正確

如圖，在上截取，連接，

四邊形是正方形，

，，

平分，

，

，

，，

，，

，

，

，

，

，

，

；

（2）如圖，在的延長線上取一點，使，連接．

，，

，

，

四邊形是正方形，

，

，

，

在和中，，，故答案是：是；（3）如圖，在上截取，連接，過點作軸于，設點，，，由（1）可得，，平分，，，，，，點，點恰好落在直線上，，，．（年門頭溝初二下期末·第題）如圖，在正方形中，是邊上的一動點（不與點，重合），連接，將線段繞點順時針旋轉得到線段，連接．（1）按已知補全圖形；（2）用等式表示線段與的數(shù)量關系并證明．（提示：可以通過旋轉的特征構造全等三角形，從而可以得到線段間的數(shù)量關系，再去發(fā)現(xiàn)生成的特殊的三角形，問題得以解決）【答案】（1）見解析；（2），理由見解析【分析】（1）根據(jù)要求畫出圖形即可．

（2）結論：．過點作，交的延長線于．證明，推出，，，推出，再利用等腰直角三角形的性質解決問題即可．【詳解】解：（1）圖形如圖所示．（2）結論：．理由：過點作，交的延長線于．四邊形是正方形，，，，，，，，，，，，，，．（年密云初二下期末·第題）正方形中，將線段繞點順時針旋轉(其中)，得到線段，連接．過點作交延長線于點，連接，．（1）在圖中補全圖形；（2）求的度數(shù)；（3）用等式表示線段，，的數(shù)量關系，并證明．【答案】（1）補圖見詳解；（2）；（3），證明見詳解．【分析】（1）將線段繞點順時針旋轉角度，在任意轉動即可，連接并延長，過點作交延長線于點，連接，即可補全圖形．（2）根據(jù)旋轉，可得和都為等腰三角形，，則，分別用表示和，相加即可得到答案．（3）在上取，然后證明，可以得到，證明，所以為等腰直角三角形，，根據(jù)圖可得．【詳解】解：（1）根據(jù)題意，可以畫出圖形，如圖所示：（2）旋轉到和都為等腰三角形，，（3）在上取，在和中,為等腰直角三角形（年延慶初二下期末·第題）如圖，四邊形是正方形，點是邊的任意一點，連接，過點做，垂足為，交于點，將線段繞著點逆時針旋轉得到線段，連接．（1）補全圖形；（2）寫出與的數(shù)量關系，并加以證明．【答案】（1）詳見解析；（2），理由詳見解析【分析】（1）利用幾何語言畫出對應的幾何圖形；（2）先證明得到，，再利用旋轉的性質得到，，接著判斷四邊形是平行四邊形，所以，從而得到．【詳解】解：（1）如圖；（2）．理由如下：四邊形為正方形，，，，，，，在和中，，，P繞點逆時針旋轉得到，，,，，四邊形是平行四邊形，．（年中學初二下期末·第題）如圖，在正方形中，，是邊上一動點（不與點重合），點與點關于所在的直線對稱，連接，，延長到點，使得，連接，．（1）當時，依題意補全圖；（2）在（1）的條件下，求線段的長；（3）當點在邊上運動時，能使為等腰三角形，請直接寫出此時與的數(shù)量關系．【答案】（1）見詳解；（2）；(3)或．【分析】（1）根據(jù)題意作出圖形便可，（2）連接，先證明，再證明，求得，便可得；（3）設，求出、、，當為等腰三角形，分兩種情況：或，列出方程求出的值，進而求得最后結果．【詳解】（1）根據(jù)題意作圖如下：（2）連接，如圖，點與點關于所在直線對稱，，，四邊形是正方形，，，在和中，，，，，，在和中，，四邊形是正方形，，，，在中，，；（3）設，則，在中，，在中，，當為等腰三角形時，只能有兩種情況：，或，①當時，有，解得，經(jīng)檢驗，是所列方程的解，，；②當時，，解得，，經(jīng)檢驗，是所列方程的解，，，，綜上，與的數(shù)量關系為或．故答案為：或．（年北大附中初二下期末·第題）在菱形中，,點是射線上一動點，以為邊向右側作等邊，點的位置隨點的位置變化而變化.（1）如圖，當點在菱形內部或邊上時，連接，與的數(shù)量關系是，與的位置關系是；（2）當點在菱形外部時，(1)中的結論是否還成立？若成立，請予以證明；若不成立，請說明理由(選擇圖，圖中的一種情況予以證明或說理).(3)如圖，當點在線段的延長線上時，連接，若,,求四邊形的面積.【答案】（1）；；（2）成立，理由見解析；（3）.【分析】（1）①連接，證明，根據(jù)全等三角形的對應邊相等即可證得；②根據(jù)菱形對角線平分對角可得，再根據(jù)，可得，繼而可推導得出，即可證得；（2）(1)中的結論：，仍然成立，利用（1）的方法進行證明即可；（3）連接交于點，，作于，由已知先求得，再利用勾股定理求出的長，長，由是等邊三角形，求得，的長，再根據(jù)，進行計算即可得.【詳解】（1）①，理由如下：連接，菱形，，是等邊三角形，，，是等邊三角形，，，，，；②，菱形對角線平分對角，，，，，，，，，即；（2）(1)中的結論：，仍然成立，理由如下：連接，菱形，，和都是等邊三角形，，，，是等邊三角形，，，，，，，，，，，，，(1)中的結論：，仍然成立；(3)連接交于點，，作于，四邊形是菱形，，平分，，，，，，，由(2)知，，，，，，由(2)知，，，，是等邊三角形，，，，，，四邊形的面積是.（年北京二中初二下期末·第題）在正方形中，是邊上一點，點在射線上，將線段繞點順時針旋轉得到線段，連接，．（1）①依題意補全圖；②猜想線段與的關系是：；（2）連接，若點，，恰好在同一條直線上，求證：．【答案】（1）①補全圖形如圖，見解析；②，；（2）見解析．【分析】（1）①根據(jù)要求畫出圖形即可；②證，可得；

（2）連接，如圖，只要證明，，在中，運用勾股定理即可解決問題；【詳解】（1）①補全圖形如圖：②如圖，延長，交于點，四邊形是正方形，，，將線段繞點順時針旋轉得到線段，，，，，，，，，，，，（2）證明：連接，如圖，線段繞點順時針旋轉得到線段，，，四邊形是正方形，，，．，∴DQ＝BP，∠Q＝∠3，在中，，，在中，，又，，．（年北師大附中初二下期末·第題）如圖，正方形中，點在邊上，在正方形外部做一個等腰直角三角形，且滿足．連接，，取的中點，連接，，交于點．（1）①依題意補全圖形；②求證：是中點．（2）請?zhí)骄烤€段，，所滿足的等量關系，并證明你的結論．（3）設，若點沿著線段從點運動到點，則在該運動過程中，線段所掃過的面積為（直接寫出答案）．【答案】（1）①補全圖形見解析；②見解析；證明見解析；（2）；（3）【分析】（1）①依照題意補全圖形即可；②連接，證得，推出點、在的垂直平分線上，從而證得結論；

（2）證得是的中位線，推出，即可得到；

（3）找出所掃過的圖形為四邊形．根據(jù)正方形以及等腰直角三角形的性質可得出，由此得出四邊形DFCN為梯形，再由，可算出線段、、的長度，利用梯形的面積公式即可得出結論．【詳解】（1）①依題意補全圖形，如圖所示．

②證明：連接，如圖所示．

四邊形是正方形，，，

，

，，

，

，

在中，點是中點，

．

，，點、在的垂直平分線上，

是中點；（2）由②得是線段的垂直平分線，，，是中點，，，且是中點，是的中位線，，，，即；（3）在點沿著線段從點運動到點的過程中，線段所掃過的圖形為四邊形．

，，

，

四邊形為梯形．

，

，，．（年交大附中初二下期末·第題），點在射線上，點A，B在射線上（點與點在點的兩側），且，以點為旋轉中心，將線段逆時針旋轉，得到線段（點與點對應，點與點對應）．（1）如圖，若，，依題意補全圖形（2），當線段在射線上運動時，線段與射線有公共點，求的取值范圍．（要寫過程）【答案】（1）詳見解析；（2）【分析】（1）由已知可得，，由旋轉的性質可得，，，即可根據(jù)旋轉畫出圖形．（2）作交于點，作交于點，當線段在射線上從左向右平移時，線段在射線上從下向上平移，且，即可求出的取值范圍．【詳解】解：（1）∵OA＝1，，，，，．由旋轉性質可知：，，正好落在上．補全圖形，如圖所示．（2）如圖，作交于點，作交于點．，，．由題意可知，當線段在射線上從左向右平移時，線段在射線上從下向上平移，且．如圖，當點與點重合時，取得最小值為．如圖，當點與點重合時，取得最大值為．綜上所述，的取值范圍是．（年北京市海淀區(qū)教師進修學校附屬實驗學校初二下期末·第題）已知，點在正方形的邊上（不與點，重合），是對角線，延長到點，使，過點作的垂線，垂足為，連接，．（1）根據(jù)題意補全圖形，并證明；（2）①用等式表示線段與的數(shù)量關系，并證明；②用等式表示線段，，之間的數(shù)量關系（直接寫出即可）【答案】（1）見解析；（2），【分析】（1）證是等腰直角三角形即可得；（2）①先證得，由知，證得，，由知是等腰直角三角形，從而得；②連接，證四邊形是平行四邊形得，由，知，結合BM＝EM，°得，從而得出答案．【解答】解：（1）如圖所示，四邊形是正方形，是對角線，，，是等腰直角三角形，；（2）①如圖所示，連接、，是等腰直角三角形，，，，又，，，，，，，，，是等腰直角三角形，，即；②，如圖，連接，，，又且，，，四邊形是平行四邊形，，，，，又，，，則．（年北京市海淀外國語實驗學校初二下期末·第題）如圖，在中，，將沿翻折，使點翻折到點．是上一點，且，連結并延長交于，連結．（1）依題意補全圖形；（2）判斷與的大小關系并加以證明；（3）若，，取的中點，連結，求的最小值．【答案】（1）見解析；（2）;（3）【分析】（1）將沿翻折，使點翻折到點．是上一點，且，連結并延長交于，連結，據(jù)此畫圖即可；（2）根據(jù)，可得．再根據(jù)，可得，進而得出；（3）連接，，根據(jù)可知，長就是的最小值，根據(jù)為邊長為的等邊三角形，為AD的中點，運用勾股定理即可得出，進而得到的最小值．【解答】解：（1）如圖所示：（2）判斷：．證明：將沿翻折，使點翻折到點．．四邊形為菱形．，．又，．．，．．（3）如圖，連接，．由軸對稱的性質可知，，，根據(jù)可知，長就是的最小值．，四邊形為菱形，．為邊長為的等邊三角形．又為的中點，，中，由勾股定理可得，的最小值為．（年清華附中初二下期末·第題）四邊形是正方形，是對角線，點是上一點（不與中點重合），過點作的垂線，在垂線上取一點，使，并且點和點在直線的同側，連結并延長至點，使，連結．（1）如圖所示①根據(jù)題意，補全圖形：②求的度數(shù)，判斷線段和的數(shù)量關系并給出證明．若點是正方形內任意一點，如圖所示，判斷（1）中的結論還成立嗎？如果成立，給出證明；如果不成立，說明理由． 【答案】（1）①見解析；②，;（2）見解析【分析】（1）①根據(jù)要求畫出圖形即可．②想辦法證明是等腰直角三角形即可．（2）如圖中，結論成立．連接，．證明，推出，，推出，推出是等腰直角三角形，可得結論．【解答】解：（1）①圖象如圖所示：②結論：，連接，，．四邊形是正方形，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，∴垂直平分線段，，，，．（2）如圖2，結論成立．理由：連接，．，，，，，，∠FDA＝∠ABE，，，，，，，，，，，，是等腰直角三角形，．（年北京市第五十七中初二下期末·第題）如圖①，已知正方形的邊長為，點是邊上的一個動點，點關于直線的對稱點是點，連接、、、，設．（1）的最小值是_______，此時的值是_______；（2）如圖②，若的延長線交邊于點，并且．①求證：點是的中點；②求的值．（3）若點是射線上的一個動點，請直接寫出當為等腰三角形時的值．【答案】（1）；；（2）①見詳解；②；（3）為等腰三角形時的值為：或或．【分析】（1）為點到兩段折線的和．由兩點間線段最短可知，連接，若點落在上，此時和最短，且為．考慮動點運動，這種情形是存在的，由，則，．又，所以，即．求解可得答案；（2）由已知條件對稱分析，，則，由,可得．那么若有，則結論可證．再分析新條件，易得①結論．②求的值，通常都是考慮勾股定理，選擇直角三角形，發(fā)現(xiàn)，，都可用來表示，進而易得方程，求解即可．（3）若為等腰三角形，則邊比為改等腰三角形的一腰或者底邊．又點為點關于的對稱點，則，以點為圓心，以的長為半徑畫弧，則點只能在弧上．若為腰，以點為圓心，以的長為半徑畫弧，兩弧交點即為使得為等腰三角形（為腰）的點．若為底邊，則作的垂直平分線，其與弧的交點即為使得為等腰三角形（為底）的點．則如圖所示共有三個點，那么也共有個點．作輔助線，利用直角三角形性質求之即可．【詳解】解：（1）連接，若點落在上，此時最短，如圖：由題意，正方形的邊長為，，的最小值是；由折疊的性質，，則，，，是等腰直角三角形，，，解得：；故答案為：；；（2）如圖2所示：①證明：在正方形中，有

，．

點為點關于的對稱點，

，，

，，，．

在中，

，

，

，

，

，即為的中點．

②解：，，

，，．

在中，

為的中點，

，

，

，

解得：．（3）如圖，以點為圓心，以的長為半徑畫弧，以點為圓心，以的長為半徑畫弧，兩弧分別交于，．此時，都為以為腰的等腰三角形．作的垂直平分線交弧于點，此時以為底的等腰三角形．；①討論，如圖作輔助線，連接、，作交于，過點，作于，交于．為等邊三角形，正方形邊長為，

，．

在四邊形中，

，

，

為含的直角三角形，

．

，

．②討論，如圖作輔助線，連接，，過點作，交于，連接，過點P2作于，交于．垂直平分，

垂直平分，

．

，

為等邊三角形．

在四邊形中，

∵，，

，

，

，

，

，

．③對，如圖作輔助線，連接，，，，過點作，交的延長線于，連接，過點，作于，此時在上，不妨記與重合．為等邊三角形，為等邊三角形，，

，，

．

在四邊形中

，

，

．

，

．綜合上述，為等腰三角形時的值為：或或．（年理工附中初二下期末·第題）正方形中，點為對角線的中點，點為平面內一點，且．（1）如圖，為正方形外一點，過點作交的延長線于，探究與之間的數(shù)量關系：，并說明理由．（2）直接寫出圖中、、三者之間的關系：；（3）如圖，當點在正方形內部時，其他條件不變，問、、三者之間又存在怎樣的關系？并說明理由．【答案】（1），理由見解析；（2）；（3），理由見解析．【分析】（1）先根據(jù)正方形的性質可得，再根據(jù)直角三角形的性質、垂直的定義可得，然后根據(jù)三角形全等的判定定理與性質即可得證；（2）先根據(jù)三角形全等的性質可