第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年北京市西城區(qū)第三十五中學(xué)高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知m，n表示兩條不同直線，α表示平面，下列說(shuō)法正確的是A.若m//α,n//α,則m//n B.若m⊥α，n?α，則m⊥n

C.若m⊥α，m⊥n，則n//α D.若m//α，m⊥n，則n⊥α2.下列說(shuō)法正確的是(

)A.任何三個(gè)不共線的向量可構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底

B.空間的基底有且僅有一個(gè)

C.兩兩垂直的三個(gè)非零向量可構(gòu)成空間的一個(gè)基底

D.任一個(gè)向量p在基底a,b,3.若直線l的方向向量為a?=(1,?2,3)，平面α的法向量為n?A.l?α B.l//α C.l⊥α D.l與α相交4.如圖，已知斜三棱柱ABC?A1B1C1，設(shè)AB=a,A.?12B.12a+bD.15.已知空間三點(diǎn)A1,3,?2,B2,5,1,Cp+1,7,q共線，則p和A.3，6 B.2，4 C.1，4 D.2，66.在正方體ABCD?A1B1C1D1中，P為BA.π2 B.π3 C.π4 7.棱長(zhǎng)為2的正四面體ABCD中，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，則BA?CE=A.1 B.?1 C.3 D.8.已知長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=2，AD=AA1A.33 B.22 C.9.在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1、BB1的中點(diǎn)，M為棱A1B1上的一點(diǎn)，且A.3λ B.22 C.10.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，M,N分別為BD1A.點(diǎn)P可以是棱BB1的中點(diǎn) B.線段MP的最大值為32

C.點(diǎn)P的軌跡是正方形 D.二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分。11.已知點(diǎn)P?3,1,5，則該點(diǎn)關(guān)于yOz平面的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為

．12.若a=(2,?3,1),b=(2,0,3),c=(3,4,2)，則a?(b+2c)=

，若13.如圖，在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，設(shè)AD=AA1=1，AB=2，則C14.正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為3，則側(cè)面與底面所成二面角的余弦值為

15.如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，E為線段PB的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，平面AEF與平面PBC

(填“垂直”或“不垂直”)；?AEF的面積的最大值為

．

16.如圖，正方形ABCD和矩形ABEF所在的平面互相垂直．點(diǎn)P在正方形ABCD及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在矩形ABEF及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)．設(shè)AB=2,AF=1，給出下列四個(gè)結(jié)論：①存在點(diǎn)P,Q，使PQ=3；②存在點(diǎn)P,Q，使CQ//EP；③到直線AD和EF的距離相等的點(diǎn)P有無(wú)數(shù)個(gè)；④若PA⊥PE，則四面體PAQE體積的最大值為13其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是

．三、解答題：本題共3小題，共36分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。17.(本小題12分)如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AD//BC，PA=AB=BC=2AD=2．

(1)設(shè)點(diǎn)M為AB上任意一點(diǎn)，求證：AD⊥PM；(2)求直線PB和平面PCD所成角的正弦值;(3)求二面角A?PD?C的余弦值．18.(本小題12分)如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AA(1)求證：B1M//平面(2)求直線BC1與直線(3)若直線AB1與平面BCM所成角為π4，求點(diǎn)A119.(本小題12分)設(shè)nn≥2為正整數(shù)，若α=x1,x2,???,xn滿足：①xi∈0,1,???,n?1，i=1,2,???,n；②對(duì)于1≤i<j≤n(1)設(shè)α=0,1,2，若β具有性質(zhì)E3，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)β及相應(yīng)的(2)設(shè)α=0,1,2,3,4，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)具有性質(zhì)E5的β，滿足(3)設(shè)α=0,1,2,3,4,5,6，是否存在具有性質(zhì)E7的β，使得Tα,β=0,1,2,3,4,5,6參考答案1.B

2.C

3.C

4.D

5.B

6.D

7.A

8.C

9.D

10.D

11.3,1,5

12.?1

3

13.51

14.215.垂直

16.①③④

17.(1)因?yàn)镻A⊥平面ABCD,AD?平面ABCD,所以PA⊥AD，又因?yàn)锳B⊥AD，PA∩AB=A,PA,AB?平面PAB，所以AD⊥平面PAB，點(diǎn)M為AB上任意一點(diǎn)，則PM?平面PAB，所以AD⊥PM．

(2)因?yàn)镻A⊥平面ABCD,AB⊥AD，所以以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)镻A=AB=BC=2AD=2，所以A0,0,0因?yàn)镻B=設(shè)平面PCD的法向量為n=x,y,z取y=2，可得x=?1,z=1，所以n=設(shè)直線PB和平面PCD所成角的大小為θ，所以sinθ=直線PB和平面PCD所成角的正弦值3(3)平面APD的法向量為m=設(shè)二面角A?PD?C的平面角大小為α，所以cosα=因?yàn)槎娼茿?PD?C的平面角為鈍角，所以二面角A?PD?C的余弦值?

18.(1)連接B1M，由三棱柱性質(zhì)可得平面ABC//平面又B1M?平面A1B1(2)因?yàn)锳A1⊥平面ABC，AB,AC?所以AA1⊥AB,A故AB,AC,AA故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)?xyz：

則A(0,0,0),A連接BC1，則由BC1?故直線BC1與直線AB(3)設(shè)M(0,a,1)，a∈0,1，則BM設(shè)平面BCM的法向量為n=(x,y,z)有{n??BM?=?x+ay+z=0n即n?因?yàn)橹本€AB1與平面BCM所成角為所以cosA解得a=12，即n=(1,1,所以點(diǎn)A1到平面BCM的距離為A

19.(1)令β=0,1,2，即y1=0，y2=1，y(2)當(dāng)α=0,1,2,3,4，∵4∈Tα,β=0,1,2,3,4，∴β=y1,y2,???,y5中的y1=4或者y5=0，不妨設(shè)y5=0，接下來(lái)，3∈T，∴可能y1=3或(3)不存在證明：不妨設(shè)α=0,1,2,3,4,5,6，β=假設(shè)Tα,β∵集合{0,1,2,3,4}中有3個(gè)奇數(shù)，4個(gè)偶數(shù)．設(shè)數(shù)列α中有x個(gè)奇數(shù)與有序數(shù)組β中x個(gè)偶數(shù)對(duì)應(yīng)作差的絕對(duì)值，α中y個(gè)偶數(shù)與β中的y個(gè)奇數(shù)對(duì)應(yīng)作差的絕對(duì)值