專題3.3圓（全章分層練習(xí)）（提升練）單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2023上·浙江紹興·九年級(jí)統(tǒng)考期中）中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫，則點(diǎn)與的位置關(guān)系是（）A．點(diǎn)在內(nèi) B．點(diǎn)在上C．點(diǎn)在外 D．以上均不可能2．（2023上·湖北襄陽·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．3．（2023上·河北滄州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，是直徑，弦，垂足為，若，，則等于（

）A．6 B．7 C．8 D．94．（2023上·浙江杭州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在半徑為9的中，是直徑，是弦，是弧的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，若是的中點(diǎn)，則的長是（

）A． B． C． D．5．（2023上·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過格點(diǎn)A，B，C作一圓弧，則該弧的圓心的坐標(biāo)為（）

A．（1，0） B．（2，0） C．（2.5，0） D．（2.5，1）6．（2023上·重慶潼南·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，是的直徑，C為上一點(diǎn)，連接、，于點(diǎn)E，是的切線，且，若，，則的長為（

）A． B．5 C． D．47．（2023上·浙江金華·九年級(jí)校聯(lián)考期中）邊長為6的正三角形的外接圓的半徑為（

）A． B． C． D．8．（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)是正方形和正五邊形的中心，連接交于點(diǎn)，則的度數(shù)等于（

）A． B． C． D．9．（2023上·浙江杭州·九年級(jí)杭師大附中?？计谥校┤鐖D1為一圓形紙片，A，B，C為圓周上三點(diǎn)，其中為直徑，沿弦所在的直線翻折，交直徑于點(diǎn)D，如圖2所示，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．10．（2024上·北京海淀·九年級(jí)人大附中校考階段練習(xí)）如圖，是的一條弦，點(diǎn)C是上一動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，直線與交于G，H兩點(diǎn)，若的半徑是4，則的最大值是（

）

A．5 B．6 C．7 D．8填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2023上·福建廈門·九年級(jí)廈門市第九中學(xué)?？计谥校┮阎喝鐖D是的直徑，，點(diǎn)C為弧的三等分點(diǎn)（更靠近A點(diǎn)），點(diǎn)P是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，取弦的中點(diǎn)D，求線段的最大值為．

12．（2023上·北京朝陽·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，是的直徑，，若，則．

13．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考三模）如圖，已知的半徑為7，是的弦，點(diǎn)P在弦上．若，，則的長為．

14．（2023上·浙江臺(tái)州·九年級(jí)臺(tái)州初級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，將含角的三角板的頂點(diǎn)放在半圓上，這個(gè)三角板的兩邊分別與半圓相交于點(diǎn)，，若弦，則半圓的半徑為．

15．（2023上·山東德州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，是的弦，半徑于點(diǎn)，連接并延長，交于點(diǎn)連接．若，則的面積為．

16．（2023上·河南新鄉(xiāng)·九年級(jí)新鄉(xiāng)市第十中學(xué)?？计谥校┤鐖D，是的直徑，F(xiàn)為上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作交的延長線于點(diǎn)D，是的切線，若，，求半徑是．17．（2023上·新疆省直轄縣級(jí)單位·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，分別與相切于點(diǎn)A，B，連接，若，，則的半徑等于．

18．（2023·廣東河源·統(tǒng)考三模）如圖，在中，，，將繞的中點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，其中點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)路徑為，則圖中陰影部分的面積為．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2023上·江蘇常州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，是的直徑，點(diǎn)C是上一點(diǎn)，．（1）求的度數(shù)；（2）過點(diǎn)D作，垂足為E，的延長線交于點(diǎn)F．若，求的長．20．（8分）（2023上·北京西城·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，以為直徑的分別交于點(diǎn)，過點(diǎn)作使得，交的延長線于點(diǎn)．（1）求證：是的切線；（2）若，求的長．21．（10分）（2022上·浙江寧波·九年級(jí)校聯(lián)考期末）綜合與實(shí)踐“善思”小組開展“探究四點(diǎn)共圓的條件”活動(dòng)，得出結(jié)論：對角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓．該小組繼續(xù)利用上述結(jié)論進(jìn)行探究．提出問題：如圖1，在線段AC同側(cè)有兩點(diǎn)B，D，連接，如果，那么A，B，C，D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上．探究展示：求證：點(diǎn)A，B，C，D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上如圖2，作經(jīng)過點(diǎn)A，C，D的，在劣弧上取一點(diǎn)E（不與A，C重合），連接，，則．（1）請完善探究展示（2）如圖3，在四邊形中，，則∠4的度數(shù)為．（3）拓展探究：如圖4，已知是等腰三角形，，點(diǎn)D在上（不與的中點(diǎn)重合），連接．作點(diǎn)C關(guān)于的對稱點(diǎn)E，連接并延長交的延長線于F，連接．①求證：A，D，B，E四點(diǎn)共圓；②若，的值是否會(huì)發(fā)生變化，若不變化，求出其值；若變化，請說明理由22．（10分）（2023上·浙江杭州·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，的直徑垂直于弦，垂足為，，，

（1）求的半徑長；（2）連接，作于點(diǎn)，求的長．23．（10分）（2021·浙江寧波·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，以點(diǎn)為圓心，長為半徑作圓，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．

（1）若，求的度數(shù)；（2）若，求的長．24．（12分）（2023上·江蘇鹽城·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖1，扇形中，，，點(diǎn)C在半徑上，連接．把沿翻折，點(diǎn)O的對稱點(diǎn)為點(diǎn)D．

（1）當(dāng)點(diǎn)D剛好落在弧上，求弧的長；（2）如圖2，點(diǎn)D落在扇形內(nèi)，的延長線與弧交于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作，垂足為F，，求的長；（3）若點(diǎn)D落在扇形外，與弧交于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作，垂足為F，試探究與之間的數(shù)量關(guān)系．請直接寫出你的結(jié)論為：______．參考答案：1．B【分析】此題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，首先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得，據(jù)此可得以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫，點(diǎn)與的位置關(guān)系．熟練掌握點(diǎn)與圓的關(guān)系，理解直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解決問題的關(guān)鍵．解：在中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫，點(diǎn)在上．故選：．2．C【分析】本題考查了圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，先證明是等邊三角形，求出，根據(jù)圓周角定理求出即可．解：，，，，故選：C．3．C【分析】連接，根據(jù)題意求出，根據(jù)勾股定理、垂徑定理即可求解．本題主要考查了垂徑定理和勾股定理，熟練掌握相應(yīng)定理的應(yīng)用是求解的關(guān)鍵．解：連接，設(shè)，，∴，∵，∴，∴，∴，由勾股定理，得：，∴；故選：C．4．A【分析】由D是弧的中點(diǎn)得出，再根據(jù)等腰三角形三線合一得出，，由此證得是的中位線，即可得出，再利用證得和全等，得出由此根據(jù)半徑的長求出的長，在中，由勾股定理即可求出的長．解：如圖，連接、，設(shè)交于點(diǎn)F，∵D是弧的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，即點(diǎn)F是的中點(diǎn)，又∵是直徑，∴點(diǎn)O是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴∵是直徑，∴，∵，∴，∴∵E是的中點(diǎn)，∴，在和中，∴，∴，∴又∵半徑為9，∴，解得，∴，在中，由勾股定理得，，故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，勾股定理，直徑所對的圓周角是直角等知識(shí)，熟練掌握這些定理是解題的關(guān)鍵．5．B【分析】根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，可以作弦和的垂直平分線，交點(diǎn)即為圓心．解：根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，

可以作弦和的垂直平分線，交點(diǎn)即為圓心．如圖所示，則圓心是．故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查垂徑定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟知垂徑定理，即“垂直于弦的直徑平分弦”．6．C【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，連接，通過證明，得出，則，求出，則，根據(jù)切線的定義，求出，最后根據(jù)，即可解答．解：連接，如圖，∵是的直徑，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵是的切線，∴，∴，∴，故選：C．7．A【分析】如圖，連接，作，求解，，再利用勾股定理建立方程求解即可．解：如圖，連接，作，∵，∴，∵是等邊三角形，∴，∴，∵，∴，解得：（負(fù)值舍去），∴，故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查的是三角形的外接圓，垂徑定理的應(yīng)用，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，含的三角形的性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．8．A【分析】本題考查了圓內(nèi)接多邊形，圓周角定理，三角形外角的性質(zhì)．熟練掌握圓內(nèi)接多邊形，圓周角定理，三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．如圖，連接，則是正方形和正五邊形的外接圓，由圓周角定理可得，，然后根據(jù)，計(jì)算求解即可．解：如圖，連接，則是正方形和正五邊形的外接圓，∵，∴，∵，∴，∴，故選：A．9．B【分析】本題考查軸對稱的性質(zhì)，圓周角與弧的關(guān)系，由折疊的性質(zhì)和圓周角與弧的關(guān)系得到：，又是圓的直徑，即可求出的度數(shù)．解：如圖2，設(shè)上的點(diǎn)D翻折前為點(diǎn)E，連接，由折疊的性質(zhì)得到：，，∴，∴，∵為直徑，∴，即，∴，故選∶B．10．B【分析】首先連接，，根據(jù)圓周角定理，求出，進(jìn)而判斷出為等邊三角形；然后根據(jù)的半徑為4，可得，再根據(jù)三角形的中位線定理，求出的長度；最后判斷出當(dāng)弦是圓的直徑時(shí)，它的值最大，進(jìn)而求出的最大值即可．本題考查的是圓周角定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握圓的性質(zhì)，判斷出當(dāng)弦是圓的直徑時(shí)取得最大值是關(guān)鍵．解：如圖所示，連接，，

∵，∴，∵，∴為等邊三角形，∵的半徑為4，∴，∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，∴，∵，為定值，∴當(dāng)最大時(shí)，最大∵當(dāng)弦是圓的直徑時(shí)，它的最大值為：，∴的最大值為：．故選：B．11．/【分析】本題考查圓周角定理，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，能夠正確畫出輔助線是解題關(guān)鍵．連接，以為直徑作圓G，過G作于F，求出，求出、長，根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得出，再求出答案即可．解：∵直徑，∴，連接，以為直徑作圓G，過G作于F，

∵D為的中點(diǎn)，過O，∴，即點(diǎn)D在上，，∴，∵點(diǎn)C為弧的三等分點(diǎn)（更靠近A點(diǎn)），∴，∴，∴，∴，由勾股定理得：，∵，∴，∴的最大值是，故答案為：．12．【分析】由在同圓中等弧對的圓心角相等得，，則．解：∵，，∴，∵，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題利用了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓心角相等．13．5【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理等知識(shí)．熟練掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．由題意知，，如圖，作于，連接，則，由垂徑定理可得，，則，由勾股定理得，，根據(jù)，計(jì)算求解即可．解：由題意知，，如圖，作于，連接，則，

由垂徑定理可得，，∴，由勾股定理得，，由勾股定理得，，故答案為：5．14．【分析】本題考查圓周角定理，熟練使用圓周角定理進(jìn)行推導(dǎo)角度是解題關(guān)鍵．解：如圖，圓心為，連接、，

，，為等邊三角形，，．故答案為：．15．【分析】先運(yùn)用垂徑定理、平行線的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理以及勾股定理求出，再根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可．解：∵是的直徑，∴，∵，是的半徑，∴，∵，∴是的中位線，∴，∵，∴在中，由勾股定理得，，即，解得；或（舍去）∴．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了垂徑定理、平行線的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，求得的長是解題的關(guān)鍵．16．5【分析】本題主要考查了切線的判定，矩形的性質(zhì)與判定，過點(diǎn)作于，證明四邊形為矩形，設(shè)半徑為，由勾股定理列出方程求解即可，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．解：連接，過點(diǎn)作于，，四邊形為矩形，，設(shè)半徑為，則，，，，解得：，的半徑為5，故答案為：5．17．2【分析】此題考查了切線的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．由、分別與相切于點(diǎn)、，，易得是等邊三角形，則可求得的長，繼而求得答案．解：、分別與相切于點(diǎn)、，，，，是等邊三角形，，，．故的半徑長為為2，故答案為：218．【分析】連接，分別求出，，，即可求出陰影部分的面積．解：連接，∵，，∴，，∵，∴，∴，∴，由旋轉(zhuǎn)可知，，∴，∵，，∴，在中，，，∴，，∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】此題考查了扇形面積公式、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理、含角直角三角形的性質(zhì)、二次根式的運(yùn)算等知識(shí)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．19．（1）；（2）【分析】（1）連接，根據(jù)是的直徑可得，進(jìn)而求得的度數(shù)；（2）根據(jù)直角三角形30度角所對直角邊等于斜邊的一半可得的長，再根據(jù)垂徑定理和特殊角三角函數(shù)值可得的值，進(jìn)而可得的長．（1）解：如圖：連接，∵，∴，∵是的直徑，∴，∴．（2）解：∵，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題主要考查了圓周角定理、解直角三角形、垂徑定理、直角三角形的性質(zhì)，掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．20．（1）見分析；（2）【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的三線合一得到，則有，即可證明結(jié)論；（2）連接，根據(jù)三線合一得到，根據(jù)勾股定理先求出，然后求出，然后根據(jù)求出長，即可求出的長．解：（1）證明：∵為直徑的，∴，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，即，∴是的切線；（2）解：連接，∵，，∴，∵為直徑的，∴，∴，設(shè)，則，在中，，即，解得：，∴，又∵，，∴，∴，即，解得：，∴．【點(diǎn)撥】本題考查切線的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用相似三角形的線段成比例以及勾股定理求線段的長度．21．（1）圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)；過不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)圓；（2）45°；（3）①見分析；②的值不會(huì)發(fā)生變化，值為8【分析】（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、過三點(diǎn)的圓解答即可；（2）根據(jù)四點(diǎn)共圓、圓周角定理解答；（3）①根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到，，，，進(jìn)而得到，證明結(jié)論；②連接，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可．（1）解：如圖2，作經(jīng)過點(diǎn)A，C，D的，在劣弧AC上取一點(diǎn)E（不與A，C重合），連接，，則，∵，∴，∴點(diǎn)A，B，C，E四點(diǎn)在同一個(gè)圓上（對角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓），∴點(diǎn)B，D在點(diǎn)A，C，E所確定的上，∴點(diǎn)A，B，C，D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上；（2）解：∵，∴點(diǎn)四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，∴，∵，∴，故答案為：；（3）①證明：∵，∴，∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于的對稱，∴，，∴，，∴，∴，∴A，D，B，E四點(diǎn)共圓；②解：的值不會(huì)發(fā)生變化，理由如下：如圖4，連接，∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于的對稱，∴，∴，∴，∵A，D，B，E四點(diǎn)共圓，∴，∴，∴A，B，F(xiàn)，C四點(diǎn)共圓，∴，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題考查的是四點(diǎn)共圓、相似三角形的判定和性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)，正確理解四點(diǎn)共圓的條件是解題的關(guān)鍵．22．（1）的半徑長為；（2）的長為．【分析】此題考查了垂徑定理，勾股定理，（1）連接，如圖，設(shè)的半徑長為，先根據(jù)垂徑定理得到，再利用勾股定理得到，解方程即可；（2）先利用勾股定理計(jì)算出，再根據(jù)垂徑定理得到，然后利用勾股定理可計(jì)算出的長；正確理解垂徑定理并熟練應(yīng)用