專題12二次函數目錄一覽知識目標（新課程標準提煉）中考命題趨勢（分析考察方向，精準把握重難點）重點考向（以真題為例，探究中考命題方向）?考向一二次函數的圖像?考向二二次函數的性質?考向三二次函數圖象與系數的關系?考向四二次函數圖象上點的坐標特征?考向五二次函數圖象與幾何變換?考向六二次函數的最值?考向七待定系數法求二次函數解析式?考向八拋物線與x軸的交點?考向九二次函數的應用?考向十二次函數綜合題最新真題薈萃（精選最新典型真題，強化知識運用，優(yōu)化解題技巧）1.會用描點法畫出二次函數的圖象，通過圖象了解二次函數的性質；用配方法將數字系數的二次函數的表達式化為y＝a(x－h(huán))2＋k的形式，并能由此得到二次函數圖象的頂點坐標，說出圖象的開口方向，畫出圖象的對稱軸，并能解決簡單實際問題；2.會利用二次函數的圖象求一元二次方程的近似解．結合具體情況體會二次函數的意義，能根據已知條件確定二次函數的表達式；會利用待定系數法確定二次函數的表達式．3.通過對實際問題的分析，體會二次函數的意義；會用配方法將數字系數的二次函數的表達式化為y＝a(x－h(huán))2＋k的形式，并能由此得到二次函數圖象的頂點坐標，說出圖象的開口方向，畫出圖象的對稱軸，并能解決實際問題．4.能運用二次函數的知識解決綜合型問題.二次函數是非常重要的函數，年年都會考查,總分值為18~20分，預計2024年各地中考還會考，它經常以一個壓軸題獨立出現，有的地區(qū)也會考察二次函數的應用題，小題的考察主要是二次函數的圖象和性質及或與幾何圖形結合來考查。二次函數一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）的函數，叫做二次函數．二次函數解析式的三種形式1.一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c為常數，a≠0）．2.頂點式：y=a（x–h）2+k（a，h，k為常數，a≠0），頂點坐標是（h，k）3.交點式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函數與x軸的交點的橫坐標，a≠0解析式二次函數y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）對稱軸x=–頂點（–，）a的符號a>0a<0圖象開口方向開口向上開口向下最值當x=–時，y最小值=當x=–時，y最大值=最點拋物線有最低點拋物線有最高點增減性當x<–時，y隨x的增大而減??；當x>–時，y隨x的增大而增大當x<–時，y隨x的增大而增大；當x>–時，y隨x的增大而減小二次函數圖像的平移1．將拋物線解析式化成頂點式y(tǒng)=a（x–h）2+k，頂點坐標為（h，k）．2．保持y=ax2的形狀不變，將其頂點平移到（h，k）處，具體平移方法如下：【注意】二次函數平移遵循“上加下減，左加右減”的原則，據此，可以直接由解析式中常數的加或減求出變化后的解析式；二次函數圖象的平移可看作頂點間的平移，可根據頂點之間的平移求出變化后的解析式．二次函數與一元二次方程1．二次函數y=ax2+bx+c（a≠0），當y=0時，就變成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．2．ax2+bx+c=0（a≠0）的解是拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交點的橫坐標．3．（1）b2–4ac>0?方程有兩個不相等的實數根，拋物線與x軸有兩個交點；（2）b2–4ac=0?方程有兩個相等的實數根，拋物線與x軸有且只有一個交點；（3）b2–4ac<0?方程沒有實數根，拋物線與x軸沒有交點．二次函數的實際應用在生活中，我們常會遇到與二次函數及其圖象有關的問題，解決這類問題的一般思路：首先要讀懂題意，弄清題目中牽連的幾個量的關系，并且建立適當的直角坐標系，再根據題目中的已知條件建立數學模型，即列出函數關系式，然后運用數形結合的思想，根據函數性質去解決實際問題．考察背景主要有：經濟問題；物體運動軌跡問題；拱橋問題等二次函數與幾何圖形此類問題一般是通過分析動點在幾何圖形邊上的運動情況，確定出有關動點函數圖象的變化情況．分析此類問題，首先要明確動點在哪條邊上運動，在運動過程中引起了哪個量的變化，然后求出在運動過程中對應的函數表達式，最后根據函數表達式判別圖象的變化．運動產生的線段問題1.確定線段長關系式（根據已知線段關系求點坐標）：先在圖中找出對應線段，弄清已知點和未知點；再聯系二次函數和一次函數，設出未知點的坐標，使其只含一個未知數；繼而表示出線段的長度（如果該線段與坐標軸平行的話，則利用橫縱坐標相加減確定；如果與坐標軸不平行的話，先轉化為有邊在與坐標軸平行的三角形中，再利用勾股定理、銳角三角函數或相似確定）.2.線段數量關系問題：根據前面所得的線段長的關系式，結合題干列出滿足線段數量關系的方程，解方程求解即可（注意排除不符合題意的數值）3.線段最值問題：求兩條線段和差、三角形周長、四邊形周長等一類最值問題，首先聯想到“對稱性質”，并進行解決。運動產生的面積問題探究面積問題的備考方法如下：1.設動點或圖形運動的時間并表示出點的坐標；2.用含有未知數的代數式表示出圖形的面積；3.用二次函數的知識來求最大值或最小值時，常采用配方法求解；4.特別注意，當所研究的圖形在運動過程中發(fā)生變化，要根據圖形的形狀進行分類討論，注意分析整個過程中圖形的變化情況，以防漏解.分類討論時要注意在每一種情況下的自變量的取值范圍.求面積最值時，分別求出圖形的面積在每種情況下的最值，比較即可得到面積的最值.5.面積為定值時，可將圖形面積與圖形中動點的坐標結合起來，列方程求得參數的值即可求得點坐標.運動產生的等腰三角形、菱形問題法一：分別表示出三點坐標，再表示出三邊的長度，分類討論，列方程解出坐標.法二：作等腰三角形底邊的高，用勾股定理或相似建立等量關系運動產生的直角三角形、矩形問題法一：分別表示出三點坐標，再表示出三邊的長度，分類討論，列方程解出坐標.法二：作垂線，用勾股定理或相似建立等量關系.運動產生的平行四邊形問題法一：分別表示出四點坐標，再利用中點公式，分類討論，列方程解出坐標.法二：作垂線，用勾股定理或相似建立等量關系.二次函數其它綜合問題解答二次函數綜合題，要把大題拆分，做到大題小做，逐步分析求解，最后匯總成最終答案．?考向一二次函數的圖像解題技巧/易錯易混1．二次函數的一般形式的結構特征：①函數的關系式是整式；②自變量的最高次數是2；③二次項系數不等于零．2．一般式，頂點式，交點式是二次函數常見的表達式，它們之間可以互相轉化．3.二次函數的圖象是一條關于某條直線對稱的曲線，叫做拋物線，該直線叫做拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點叫做拋物線的頂點.4.二次函數的圖象是一條關于某條直線對稱的曲線，叫做拋物線，該直線叫做拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點叫做拋物線的頂點.1．（2022?杭州）已知二次函數y＝x2+ax+b（a，b為常數）．命題①：該函數的圖象經過點（1，0）；命題②：該函數的圖象經過點（3，0）；命題③：該函數的圖象與x軸的交點位于y軸的兩側；命題④：該函數的圖象的對稱軸為直線x＝1．如果這四個命題中只有一個命題是假命題，則這個假命題是（）A．命題① B．命題② C．命題③ D．命題④2．（2022?株洲）已知二次函數y＝ax2+bx﹣c（a≠0），其中b＞0、c＞0，則該函數的圖象可能為（）A． B． C． D．3．（2021?江西）在同一平面直角坐標系中，二次函數y＝ax2與一次函數y＝bx+c的圖象如圖所示，則二次函數y＝ax2+bx+c的圖象可能是（）A． B． C． D．?考向二二次函數的性質4．（2023?臺灣）坐標平面上有兩個二次函數的圖形，其頂點P、Q皆在x軸上，且有一水平線與兩圖形相交于A、B、C、D四點，各點位置如圖所示，若AB＝10，BC＝5，CD＝6，則PQ的長度為何（）A．7 B．8 C．9 D．105．（2023?內蒙古）已知二次函數y＝﹣ax2+2ax+3（a＞0），若點P（m，3）在該函數的圖象上，且m≠0，則m的值為．6．（2023?北京）在平面直角坐標系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）是拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意兩點，設拋物線的對稱軸為x＝t．（1）若對于x1＝1，x2＝2，有y1＝y(tǒng)2，求t的值；（2）若對于0＜x1＜1，1＜x2＜2，都有y1＜y2，求t的取值范圍．?考向三二次函數圖象與系數的關系解題技巧/易錯易混二次函數圖象的特征與a，b，c的關系字母的符號圖象的特征aa>0開口向上a<0開口向下bb=0對稱軸為y軸ab>0（a與b同號）對稱軸在y軸左側ab<0（a與b異號）對稱軸在y軸右側cc=0經過原點c>0與y軸正半軸相交c<0與y軸負半軸相交7．（2023?煙臺）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c的頂點A的坐標為（﹣，m），與x軸的一個交點位于0和1之間，則以下結論：①abc＞0；②2b+c＞0；③若圖象經過點（﹣3，y1），（3，y2），則y1＞y2；④若關于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣3＝0無實數根，則m＜3．其中正確結論的個數是（）A．1 B．2 C．3 D．48．（2023?廣元）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數且a＜0）過（﹣1，0）和（m，0）兩點，且3＜m＜4，下列四個結論：①abc＞0；②3a+c＞0；③若拋物線過點（1，4），則﹣1＜a＜；④若關于x的方程a（x+1）（x﹣m）＝3有實數根，則4ac﹣b2≥12a，其中正確的結論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個?考向四二次函數圖象上點的坐標特征9．（2023?廣東）如圖，拋物線y＝ax2+c經過正方形OABC的三個頂點A，B，C，點B在y軸上，則ac的值為（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣410．（2023?廣州）已知點A（x1，y1），B（x2，y2）在拋物線y＝x2﹣3上，且0＜x1＜x2，則y1y2.（填“＜”或“＞”或“＝”）11．（2023?麗水）已知點（﹣m，0）和（3m，0）在二次函數y＝ax2+bx+3（a，b是常數，a≠0）的圖象上．（1）當m＝﹣1時，求a和b的值；（2）若二次函數的圖象經過點A（n，3）且點A不在坐標軸上，當﹣2＜m＜﹣1時，求n的取值范圍；（3）求證：b2+4a＝0．?考向五二次函數圖象與幾何變換12．（2023?徐州）在平面直角坐標系中，將二次函數y＝（x+1）2+3的圖象向右平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度，所得拋物線對應的函數表達式為（）A．y＝（x+3）2+2 B．y＝（x﹣1）2+2 C．y＝（x﹣1）2+4 D．y＝（x+3）2+413．（2023?廣西）將拋物線y＝x2先向右平移3個單位，再向上平移4個單位，得到的拋物線是（）A．y＝（x﹣3）2+4 B．y＝（x+3）2+4 C．y＝（x﹣3）2﹣4 D．y＝（x+3）2﹣414．（2023?益陽）我們在學習一次函數、二次函數圖象的平移時知道：將一次函數y＝2x的圖象向上平移1個單位得到y(tǒng)＝2x+1的圖象；將二次函數y＝x2+1的圖象向左平移2個單位得到y(tǒng)＝（x+2）2+1的圖象，若將反比例函數y＝的圖象向下平移3個單位，如圖所示，則得到的圖象對應的函數表達式是．?考向六二次函數的最值15．（2023?杭州）設二次函數y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）（a＞0，m，k是實數），則（）A．當k＝2時，函數y的最小值為﹣a B．當k＝2時，函數y的最小值為﹣2a C．當k＝4時，函數y的最小值為﹣a D．當k＝4時，函數y的最小值為﹣2a16．（2023?鎮(zhèn)江）二次函數y＝﹣2x2+9的最大值等于．17．（2023?紹興）在平面直角坐標系xOy中，一個圖形上的點都在一邊平行于x軸的矩形內部（包括邊界），這些矩形中面積最小的矩形稱為該圖形的關聯矩形．例如：如圖，函數y＝（x﹣2）2（0≤x≤3）的圖象（拋物線中的實線部分），它的關聯矩形為矩形OABC．若二次函數圖象的關聯矩形恰好也是矩形OABC，則b＝?考向七待定系數法求二次函數解析式18．（2023?上海）一個二次函數y＝ax2+bx+c的頂點在y軸正半軸上，且其對稱軸左側的部分是上升的，那么這個二次函數的解析式可以是．19．（2023?寧波）如圖，已知二次函數y＝x2+bx+c圖象經過點A（1，﹣2）和B（0，﹣5）．（1）求該二次函數的表達式及圖象的頂點坐標．（2）當y≤﹣2時，請根據圖象直接寫出x的取值范圍．20．（2022?黑龍江）如圖，拋物線y＝x2+bx+c經過點A（﹣1，0），點B（2，﹣3），與y軸交于點C，拋物線的頂點為D．（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線上是否存在點P，使△PBC的面積是△BCD面積的4倍，若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．?考向八拋物線與x軸的交點21．（2023?衡陽）已知m＞n＞0，若關于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解為x1，x2（x1＜x2），關于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解為x3，x4（x3＜x4）．則下列結論正確的是（）A．x3＜x1＜x2＜x4 B．x1＜x3＜x4＜x2 C．x1＜x2＜x3＜x4 D．x3＜x4＜x1＜x222．（2023?婁底）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸相交于點A（1，0）、點B（3，0），與y軸相交于點C，點D在拋物線上，當CD∥x軸時，CD＝．23．（2023?牡丹江）如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0），B（4，0），與y軸交于點C．（1）求拋物線對應的函數解析式，并直接寫出頂點P的坐標；（2）求△BCP的面積．注：注拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸是直線x＝﹣，頂點坐標是（，）．?考向九二次函數的應用解題技巧/易錯易混二次函數的實際應用在生活中，我們常會遇到與二次函數及其圖象有關的問題，解決這類問題的一般思路：首先要讀懂題意，弄清題目中牽連的幾個量的關系，并且建立適當的直角坐標系，再根據題目中的已知條件建立數學模型，即列出函數關系式，然后運用數形結合的思想，根據函數性質去解決實際問題．考察背景主要有：經濟問題；物體運動軌跡問題；拱橋問題等二次函數與幾何圖形此類問題一般是通過分析動點在幾何圖形邊上的運動情況，確定出有關動點函數圖象的變化情況．分析此類問題，首先要明確動點在哪條邊上運動，在運動過程中引起了哪個量的變化，然后求出在運動過程中對應的函數表達式，最后根據函數表達式判別圖象的變化．24．（2023?天津）如圖，要圍一個矩形菜園ABCD，其中一邊AD是墻，且AD的長不能超過26m，其余的三邊AB，BC，CD用籬笆，且這三邊的和為40m，有下列結論：①AB的長可以為6m；②AB的長有兩個不同的值滿足菜園ABCD面積為192m2；③菜園ABCD面積的最大值為200m2．其中，正確結論的個數是（）A．0 B．1 C．2 D．325．（2023?濱州）某廣場要建一個圓形噴水池，計劃在池中心位置豎直安裝一根頂部帶有噴水頭的水管，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1m處達到最高，高度為3m，水柱落地處離池中心的水平距離也為3m，那么水管的設計高度應為．26．（2023?菏澤）某學校為美化學校環(huán)境，打造綠色校園，決定用籬笆圍成一個一面靠墻（墻足夠長）的矩形花園，用一道籬笆把花園分為A，B兩塊（如圖所示），花園里種滿牡丹和芍藥．學校已定購籬笆120米．（1）設計一個使花園面積最大的方案，并求出其最大面積；（2）在花園面積最大的條件下，A，B兩塊內分別種植牡丹和芍藥，每平方米種植2株，已知牡丹每株售價25元，芍藥每株售價15元，學校計劃購買費用不超過5萬元，求最多可以購買多少株牡丹？?考向十二次函數綜合題解題技巧/易錯易混一、解決二次函數存在點問題，一般先假設該點存在，根據該點所在的直線或拋物線的表達式，設出該點的坐標；然后用該點的坐標表示出與該點有關的線段長或其他點的坐標等；最后結合題干中其他條件列出等式，求出該點的坐標，然后判別該點坐標是否符合題意，若符合題意，則該點存在，否則該點不存在．二、函數壓軸題主要分為兩大類：一是動點函數圖象問題；二是與動點、存在點、相似等有關的二次函數綜合題．2.解答動點函數圖象問題，要把問題拆分，分清動點在不同位置運動或不同時間段運動時對應的函數表達式，進而確定函數圖象；3.解決二次函數動點問題，首先要明確動點在哪條直線或拋物線上運動，運動速度是多少，結合直線或拋物線的表達式設出動點的坐標或表示出與動點有關的線段長度，最后結合題干中與動點有關的條件進行計算．26．（2023?綿陽）如圖，拋物線經過△AOD的三個頂點，其中O為原點，A（2，4），D（6，0），點F在線段AD上運動，點G在直線AD上方的拋物線上，GF∥A0，GE⊥DO于點E，交AD于點I，AH平分∠OAD，C（﹣2，﹣4），AH⊥CH于點H，連接FH．（1）求拋物線的解析式及△AOD的面積；（2）當點F運動至拋物線的對稱軸上時，求△AFH的面積；（3）試探究的值是否為定值？如果為定值，求出該定值；不為定值，請說明理由．27．（2023?武漢）拋物線交x軸于A，B兩點（A在B的左邊），交y軸于點C．（1）直接寫出A，B，C三點的坐標；（2）如圖（1），作直線x＝t（0＜t＜4），分別交x軸，線段BC，拋物線C1于D，E，F三點，連接CF，若△BDE與△CEF相似，求t的值；（3）如圖（2），將拋物線C1平移得到拋物線C2，其頂點為原點．直線y＝2x與拋物線交于O，G兩點，過OG的中點H作直線MN（異于直線OG）交拋物線C2于M，N兩點，直線MO與直線GN交于點P．問點P是否在一條定直線上？若是，求該直線的解析式；若不是，請說明理由．1．（2023?牡丹江）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c經過點（﹣2，0），（3，0）．下列結論：①＞0；②c＝2b；③若拋物線上有點（，y1），（﹣3，y2），（﹣，y3），則y2＜y1＜y3；④方程cx2+bx+a＝0的解為x1＝，x2＝﹣．其中正確的個數是（）A．4 B．3 C．2 D．12．（2021?阜新）如圖，二次函數y＝a（x+2）2+k的圖象與x軸交于A，B（﹣1，0）兩點，則下列說法正確的是（）A．a＜0 B．點A的坐標為（﹣4，0） C．當x＜0時，y隨x的增大而減小 D．圖象的對稱軸為直線x＝﹣23．（2023?湖北）已知二次函數y＝ax2+bx+c（a＜0）的圖象與x軸的一個交點坐標為（﹣1，0），對稱軸為直線x＝1，下列結論中：①a﹣b+c＝0；②若點（﹣3，y1），（2，y2），（4，y3）均在該二次函數圖象上，則y1＜y2＜y3；③若m為任意實數，則am2+bm+c?﹣4a；④方程ax2+bx+c+1＝0的兩實數根為x1，x2，且x1＜x2，則x1＜﹣1，x2＞3．正確結論的序號為（）A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①④4．（2023?武漢）拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數，c＜0）經過（1，1），（m，0），（n，0）三點，且n≥3．下列四個結論：①b＜0；②4ac﹣b2＜4a；③當n＝3時，若點（2，t）在該拋物線上，則t＞1；④若關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝x有兩個相等的實數根，則．其中正確的是（填寫序號）．5．（2023?宜昌）如圖，一名學生推鉛球，鉛球行進高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）之間的關系是y＝﹣（x﹣10）（x+4），則鉛球推出的距離OA＝m．6．（2022?六盤水）如圖是二次函數y＝x2+bx+c的圖象，該函數的最小值是．7．（2023?淮安）已知二次函數y＝x2+bx﹣3（b為常數）．（1）該函數圖象與x軸交于A、B兩點，若點A坐標為（3，0），①b的值是，點B的坐標是；