2025屆安徽省池州市東至第二中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，則的值為（）A. B.0C.1 D.2．若是函數(shù)的極值點(diǎn)，則函數(shù)（）A.有最小值，無(wú)最大值 B.有最大值，無(wú)最小值C.有最小值，最大值 D.無(wú)最大值，無(wú)最小值3．已知a、b是兩條不同的直線，α、β、γ是三個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若a∥α，a∥b，則b∥α B.若a∥α，a∥β，則α∥βC.若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β D.若a⊥α，b⊥α，則a∥b4．若雙曲線的一條漸近線方程為.則（）A. B.C.2 D.45．已知正實(shí)數(shù)x，y滿足4x+3y＝4，則的最小值為（）A. B.C. D.6．拋物線上有兩個(gè)點(diǎn)，焦點(diǎn)，已知，則線段的中點(diǎn)到軸的距離是（）A.1 B.C.2 D.7．已知拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為5，雙曲線的左頂點(diǎn)為A，若雙曲線的一條漸近線與直線AM平行，則實(shí)數(shù)n的值是（）A. B.C. D.8．已知拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，M是拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥l于N.若△MNF是邊長(zhǎng)為2的正三角形，則p=（）A. B.C.1 D.29．設(shè)F為雙曲線C：（a>0，b>0）的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P、Q兩點(diǎn)．若|PQ|=|OF|，則C的離心率為A. B.C.2 D.10．以橢圓＋＝1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，以這個(gè)橢圓的長(zhǎng)軸的端點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線方程是（）A. B.C. D.11．在中，，滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)為（）A.0 B.1C.2 D.無(wú)數(shù)多12．雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.和 B.和C.和 D.和二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．拋物線的準(zhǔn)線方程是________14．已知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，則的值為______.15．若，，，四點(diǎn)中恰有三點(diǎn)在橢圓上，則橢圓C的方程為________.16．已知拋物線方程為，則其焦點(diǎn)坐標(biāo)為__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知定點(diǎn)，圓：，點(diǎn)Q為圓上動(dòng)點(diǎn)，線段MQ的垂直平分線交NQ于點(diǎn)P，記P的軌跡為曲線C（1）求曲線C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)M與N作平行直線和，分別交曲線C于點(diǎn)A，B和點(diǎn)D，E，求四邊形ABDE面積的最大值18．（12分）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)為的中點(diǎn).（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）求點(diǎn)到平面的距離.19．（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)積，數(shù)列為等差數(shù)列，且，（1）求與的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和20．（12分）設(shè)函數(shù)，且存在兩個(gè)極值點(diǎn)、，其中.（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若恒成立，求最小值.21．（12分）已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，橢圓E的一個(gè)焦點(diǎn)為（1）求橢圓E的方程；（2）若直線l過(guò)點(diǎn)且與橢圓E交于A，B兩點(diǎn).求的最大值22．（10分）已知圓C的圓心在y軸上，且過(guò)點(diǎn)，（1）求圓C的方程；（2）已知圓C上存在點(diǎn)M，使得三角形MAB的面積為，求點(diǎn)M的坐標(biāo)

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】求導(dǎo)，代入，求出，進(jìn)而求出.【詳解】，則，即，解得：，故，所以故選：B2、A【解析】對(duì)求導(dǎo)，根據(jù)極值點(diǎn)求參數(shù)a，再由導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性并判斷其最值情況.【詳解】由題設(shè)，且，∴，可得.∴且，當(dāng)時(shí)，遞減；當(dāng)時(shí)，遞增；∴有極小值，無(wú)極大值.綜上，有最小值，無(wú)最大值.故選：A3、D【解析】根據(jù)空間線、面的位置關(guān)系有關(guān)定理，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一分析排除，由此得出正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，直線有可能平面內(nèi)，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于B選項(xiàng)，兩個(gè)平面有可能相交，平行于它們的交線，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于C選項(xiàng)，可能相交，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤.根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知D選項(xiàng)正確.故選:D.4、C【解析】求出漸近線方程為，列出方程求出.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，因?yàn)?，所以，所?故選：C5、A【解析】將4x+3y＝4變形為含2x+1和3y+2的等式，即2(2x+1)+(3y+2)＝8，再由換元法、基本不等式換“1”的代換求解即可【詳解】由正實(shí)數(shù)x，y滿足4x+3y＝4，可得2(2x+1)+(3y+2)＝8，令a＝2x+1，b＝3y+2，可得2a+b＝8，∴，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴的最小值為.故選：A6、B【解析】利用拋物線的定義，將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，即可求出線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即得到答案.【詳解】由已知可得拋物線的準(zhǔn)線方程為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和，由拋物線的定義得，即，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，故線段的中點(diǎn)到軸的距離是.故選：.7、C【解析】首先根據(jù)拋物線焦半徑公式得到，從而得到，再根據(jù)曲線的一條漸近線與直線AM平行，斜率相等求解即可.【詳解】由題知：，解得，拋物線.雙曲線的左頂點(diǎn)為，，因?yàn)殡p曲線的一條漸近線與直線平行，所以，解得.故選：C8、C【解析】根據(jù)正三角形的性質(zhì)，結(jié)合拋物線的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】如圖所示：準(zhǔn)線l與橫軸的交點(diǎn)為，由拋物線的性質(zhì)可知：，因?yàn)槿簟鱉NF是邊長(zhǎng)為2的正三角形，所以，，顯然，在直角三角形中，，故選：C9、A【解析】準(zhǔn)確畫圖，由圖形對(duì)稱性得出P點(diǎn)坐標(biāo)，代入圓的方程得到c與a關(guān)系，可求雙曲線的離心率【詳解】設(shè)與軸交于點(diǎn)，由對(duì)稱性可知軸，又，為以為直徑的圓的半徑，為圓心，又點(diǎn)在圓上，，即，故選A【點(diǎn)睛】本題為圓錐曲線離心率的求解，難度適中，審題時(shí)注意半徑還是直徑，優(yōu)先考慮幾何法，避免代數(shù)法從頭至尾，運(yùn)算繁瑣，準(zhǔn)確率大大降低，雙曲線離心率問(wèn)題是圓錐曲線中的重點(diǎn)問(wèn)題，需強(qiáng)化練習(xí)，才能在解決此類問(wèn)題時(shí)事半功倍，信手拈來(lái)10、B【解析】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)和長(zhǎng)軸端點(diǎn)坐標(biāo)，由此可得雙曲線的a，b，c，再求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】∵橢圓的方程為＋＝1，∴橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn)坐標(biāo)為，，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，∴雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，且a＝1，c＝2，∴b2＝3，∴雙曲線方程為，故選：B.11、B【解析】利用正弦定理得到，進(jìn)而或，由，得，即可求解【詳解】由正弦定理得，，或，，，故滿足條件的有且只有一個(gè).故選：B12、C【解析】由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程可得到焦點(diǎn)所在軸及半焦距的長(zhǎng)，進(jìn)而得到兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】雙曲線中，，則又雙曲線焦點(diǎn)在y軸，故雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是和故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，從而得到準(zhǔn)線方程.【詳解】拋物線方程可化為：拋物線準(zhǔn)線方程為：故答案為【點(diǎn)睛】本題考查拋物線準(zhǔn)線的求解，易錯(cuò)點(diǎn)是未將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程.14、【解析】先求出，由題設(shè)易知是的解集，利用根與系數(shù)關(guān)系求m、n，進(jìn)而求的值.【詳解】由題設(shè)，，由單調(diào)遞減區(qū)間是，∴的解集為，則是的解集，∴，可得，故.故答案為：15、【解析】由于，關(guān)于軸對(duì)稱，故由題設(shè)知C經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，C不經(jīng)過(guò)點(diǎn)，然后求出a，b，即可得到橢圓的方程.【詳解】解：由于，關(guān)于軸對(duì)稱，故由題設(shè)知經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，所以.又由知，不經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以點(diǎn)在上，所以.因此，故方程為.故答案為：.【點(diǎn)睛】求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種方法：①定義法：根據(jù)橢圓的定義，確定，的值，結(jié)合焦點(diǎn)位置可寫出橢圓方程②待定系數(shù)法：若焦點(diǎn)位置明確，則可設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合已知條件求出，；若焦點(diǎn)位置不明確，則需要分焦點(diǎn)在軸上和軸上兩種情況討論，也可設(shè)橢圓的方程為16、【解析】先將拋物線的方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，即可判斷拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，從而解得答案.【詳解】解：因?yàn)閽佄锞€方程為，即，所以，，所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）6【解析】（1）由橢圓的定義求解（2）設(shè)直線方程后與橢圓方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理表示弦長(zhǎng)，將面積轉(zhuǎn)化為函數(shù)后求求解【小問(wèn)1詳解】由題意可得，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，即曲線C的方程為：；【小問(wèn)2詳解】由題意可設(shè)的方程為，聯(lián)立方程得，設(shè)，，則由根與系數(shù)關(guān)系有，所以，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可得，與的距離即為點(diǎn)M到直線的距離，為，所以四邊形ABDE面積為，令得，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知：當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，四邊形ABDE面積取得最大值為6．18、（1）（2）【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量及，利用向量的夾角公式即可得解；（2）直接利用向量公式求解即可【小問(wèn)1詳解】解：以點(diǎn)作坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，2，，，0，，，0，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，又，則，則可取，又，設(shè)直線與平面的夾角為，則，直線與平面的正弦值為；【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)樗渣c(diǎn)到平面的距離為，點(diǎn)到平面的距離為19、（1），.（2）.【解析】（1）由已知得，，兩式相除得，由已知得，求得數(shù)列的公差為，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得；（2）運(yùn)用錯(cuò)位相減法可求得.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)閿?shù)列的前n項(xiàng)積，所以，所以，兩式相除得，因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，且，，所以，即，所以數(shù)列的公差為，所以，所以，【小問(wèn)2詳解】解：由（1）得，所以，，所以，所以.20、（1）（2）【解析】（1）存在兩個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于其導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)相異零點(diǎn)；（2）適當(dāng)構(gòu)造函數(shù)，并注意與關(guān)系，轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最大值問(wèn)題，即可求得的范圍.【小問(wèn)1詳解】（），，函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)、，且，關(guān)于的方程，即在內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根，令，，即，，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【小問(wèn)2詳解】函數(shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，由（1）可得，由，得，則，，，，，，，，令，則且，令，，，再設(shè)，則，，，即在上是減函數(shù)，（1），，在上是增函數(shù)，（1），，恒成立，恒成立，，的最小值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性，最值，不等式證明，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，解題的關(guān)鍵是將恒成立，轉(zhuǎn)化為恒成立，化簡(jiǎn)，令，則化為，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其最大值即可，屬于較難題21、（1）；（2）.【解析】（1）利用代入法，結(jié)合焦點(diǎn)的坐標(biāo)、橢圓中的關(guān)系進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)直線l是否存在斜率分類討論，結(jié)合一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、基本不等式進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】依題意：，解得，，∴橢圓E的方程為；【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)，，由得由得．由，得當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，，∴的最大值為22、（1）；（2）或.【解析】（1）兩點(diǎn)式求AB所在直線的斜率，結(jié)合點(diǎn)坐標(biāo)求AB的垂直平分線，根據(jù)已知確定圓心、半徑即可得