專題03平面與平面所成角（二面角）（含探索性問題）(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 2題型一：求二面角 2題型二：已知二面角求參數(shù) 4題型三：求二面角最值（范圍） 7三、專項訓(xùn)練 9一、必備秘籍1、二面角的平面角定義：從二面角棱上任取一點，在二面角的兩個半平面內(nèi)分別作棱的垂線、,則稱為二面角的平面角.2、二面角的范圍：3、向量法求二面角平面角（1）如圖①，，是二面角的兩個面內(nèi)與棱垂直的直線，則二面角的大?。?）如圖②③，，分別是二面角的兩個半平面的法向量，則二面角的大小滿足：；（特別說明，有些題目會提醒求銳二面角；有些題目沒有明顯提示，需考生自己看圖判定為銳二面角還是鈍二面角.）二、典型題型題型一：求二面角1．（22·23下·河南·模擬預(yù)測）如圖，直四棱柱的底面是正方形，，E，F(xiàn)分別為BC，的中點.

(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值.2．（2023·江西南昌·模擬預(yù)測）如圖，直三棱柱的體積為，的面積為．

(1)求到平面的距離；(2)設(shè)為的中點，，平面平面，求二面角的大?。?．（2023·浙江·模擬預(yù)測）如圖，在矩形中，為邊上的點，且.將沿翻折，使得點到，滿足平面平面，連接.

(1)求證：平面平面；(2)求二面角的正弦值的大小.4．（2023·河北滄州·三模）如圖，該幾何體是由等高的半個圓柱和個圓柱拼接而成.在同一平面內(nèi)，且.

(1)證明：平面平面；(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求平面與平面所成角的余弦值.5．（2023·海南省直轄縣級單位·三模）如圖所示，為等邊三角形，平面，，，，為線段上一動點．

(1)若為線段的中點，證明：．(2)若，求二面角的余弦值．題型二：已知二面角求參數(shù)1．（2023·四川南充·三模）如圖，在四棱臺中，底面是菱形，，，平面.

(1)證明：BDCC1；(2)棱上是否存在一點，使得二面角的余弦值為若存在，求線段的長；若不存在，請說明理由.2．（2023·吉林長春·一模）長方形中，，點為中點（如圖1），將點繞旋轉(zhuǎn)至點處，使平面平面（如圖2）．

(1)求證：；(2)點在線段上，當二面角大小為時，求四棱錐的體積．3．（2023·福建寧德·一模）如圖①在平行四邊形中，，，，，將沿折起，使平面平面，得到圖②所示幾何體．(1)若為的中點，求四棱錐的體積；(2)在線段上，是否存在一點，使得平面與平面所成銳二面角的余弦值為，如果存在，求出的值，如果不存在，說明理由．4．（2023·江西九江·一模）如圖，直角梯形中，，，，，將沿翻折至的位置，使得，為的中點．

(1)求證：平面平面；(2)為線段上一點（端點除外），若二面角的余弦值為，求線段的長．5．（2023·四川成都·模擬預(yù)測）如圖，四棱錐中，底面是矩形，，，側(cè)面底面，側(cè)面底面，點F是PB的中點，動點E在邊BC上移動，且.

(1)證明：垂直于底面.(2)當點E在BC邊上移動，使二面角為時，求二面角的余弦值.題型三：求二面角最值（范圍）1．（23·24高二上·山東·階段練習(xí)）如圖，在正四棱柱中，，點是線段上的點，點是線段上的點，且.

(1)證明：直線平面：(2)求平面與平面夾角的余弦值的取值范圍.2．（23·24高二上·四川遂寧·階段練習(xí)）如圖，在正四棱柱中，，.點、、、分別在棱、、、上，，，.

(1)證明：四點共面(2)當點在棱上運動時（包括端點），求平面與平面夾角余弦值的的取值范圍.3．（23·24高二上·湖北恩施·階段練習(xí)）如圖（1），在矩形中，，為線段的中點，將沿直線AE折起，使得，如圖（2）.(1)求證：平面平面；(2)已知點H在線段AB上移動，設(shè)平面ADE與平面DHC所成的角為，求的取值范圍.4．（23·24高二上·四川遂寧·階段練習(xí)）如圖，在三棱柱中，底面是邊長為2的等邊三角形，在菱形中，，，平面平面，，分別是線段?的中點.

(1)求證：平面；(2)若點為線段上的動點（不包括端點），求銳二面角的余弦值的取值范圍.三、專項訓(xùn)練1．（23·24高二上·北京房山·階段練習(xí)）已知長方體中，，，則平面與平面所成銳二面角的正切值為（

）A． B． C． D．2．（23·24高二上·山東濟南·階段練習(xí)）如圖所示，是棱長為6的正方體，分別是棱上的動點，且，當四點共面時，平面與平面所成夾角的余弦值為（

）

A． B． C． D．3．（23·24高二上·陜西寶雞·階段練習(xí)）如圖，在直四棱柱中，，，，E，F(xiàn)分別是側(cè)棱，上的動點，且平面AEF與平面ABC所成角的大小為，則線段BE的長的最大值為（

）

A． B． C． D．4．（21·22高二·全國·單元測試）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，，已知Q是四邊形ABCD內(nèi)部一點（包括邊界），且二面角的平面角大小為，則面積的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（20·21高一下·湖北·階段練習(xí)）在正三棱柱中，，點D為棱的中點，點E為上的點，且滿足，當二面角的正切值為時，實數(shù)m的值為（

）A． B．1 C．2 D．3二、填空題6．（21·22高二上·福建·期末）已知在一個二面角的棱上有兩點，線段分別在這個二面角的兩個面內(nèi)，并且都垂直于棱，則這個二面角的大小為.7．（23·24高二上·山東德州·階段練習(xí)）如圖，已知菱形所在的平面與所在的平面互相垂直，且．則平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．

8．（22·23高二上·廣東佛山·階段練習(xí)）如圖，在三棱柱中，，，兩兩互相垂直，，，分別是側(cè)棱，上的點，平面與平面所成的（銳）二面角為，則當最小時．

9．（23·24高二上·全國·單元測試）如圖，四棱錐中，底面是矩形，平面，且，點是線段上一點，當二面角的平面角的大小為時，．

三、解答題10．（23·24高三上·四川成都·開學(xué)考試）如圖，四棱錐中，底面是平行四邊形，平面底面，，，，．

(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．11．（2023·新疆·三模）如圖，在圓柱體中，，，劣弧的長為，AB為圓O的直徑．

(1)在弧上是否存在點C（C，在平面同側(cè)），使，若存在，確定其位置，若不存在，說明理由；(2)求二面角的余弦值．12．（2023·福建泉州·模擬預(yù)測）如圖，三棱錐中，，，，平面平面.

(1)求三棱錐的體積的最大值；(2)求二面角的正弦值的最小值.13．（2023·遼寧·模擬預(yù)測）已知直角梯形形狀如下，其中，，，．

(1)在線段CD上找出點F，將四邊形沿翻折，形成幾何體．若無論二面角多大，都能夠使得幾何體為棱臺，請指出點F的具體位置（無需給出證明過程）．(2)在（1）的條件下，若二面角為直二面角，求棱臺的體積，并求出此時二面角的余弦值．14．（22·23高一上·吉林·階段練習(xí)）如圖①所示，長方形中，，，點是邊的中點，將沿翻折到，連接，，得到圖②的四棱錐．(1)求四棱錐的體積的最大值；(2)設(shè)的大小為，若，求平面的最小值．17．（23·24上·湖北·開學(xué)考試）如圖所示，在三棱柱中，側(cè)面是邊長為2的菱形，；側(cè)面為矩形，，且平面平面.

(1)求證：；(2)設(shè)是線段上的動點，試確定點的位置，使二面角的余弦值為.

專題03平面與平面所成角（二面角）（含探索性問題）(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 2題型一：求二面角 2題型二：已知二面角求參數(shù) 10題型三：求二面角最值（范圍） 18三、專項訓(xùn)練 24一、必備秘籍1、二面角的平面角定義：從二面角棱上任取一點，在二面角的兩個半平面內(nèi)分別作棱的垂線、,則稱為二面角的平面角.2、二面角的范圍：3、向量法求二面角平面角（1）如圖①，，是二面角的兩個面內(nèi)與棱垂直的直線，則二面角的大?。?）如圖②③，，分別是二面角的兩個半平面的法向量，則二面角的大小滿足：；（特別說明，有些題目會提醒求銳二面角；有些題目沒有明顯提示，需考生自己看圖判定為銳二面角還是鈍二面角.）二、典型題型題型一：求二面角1．（22·23下·河南·模擬預(yù)測）如圖，直四棱柱的底面是正方形，，E，F(xiàn)分別為BC，的中點.

(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）連接，交于點G，連接FG，因為E，F(xiàn)分別為BC，的中點，所以，且，所以四邊形AEFG是平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面.（2）以D為坐標原點，DA為x軸，DC為y軸，為z軸建立坐標系，如圖所示，

設(shè)，則，，，所以，，，設(shè)平面的一個法向量為，則,即，不妨取，則，即，設(shè)平面的一個法向量為，則,即，不妨取，則，即，所以，設(shè)二面角的平面角為，則，所以故二面角的正弦值為.2．（2023·江西南昌·模擬預(yù)測）如圖，直三棱柱的體積為，的面積為．

(1)求到平面的距離；(2)設(shè)為的中點，，平面平面，求二面角的大小．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意知：；設(shè)點到平面的距離為，，解得：，即點到平面的距離為.（2）取的中點，連接，，，又平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，；三棱錐為直三棱柱，平面，又平面，；，平面，平面則以為坐標原點，正方向為軸的正方向，可建立如圖所示空間直角坐標系，

由（1）知：，，，，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，；設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，；，而，所以，則二面角的大小為.3．（2023·浙江·模擬預(yù)測）如圖，在矩形中，為邊上的點，且.將沿翻折，使得點到，滿足平面平面，連接.

(1)求證：平面平面；(2)求二面角的正弦值的大小.【答案】(1)證明見詳解(2)【詳解】（1）在中，，，，同理，在中，，，，又因為平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，，又，與是平面內(nèi)的兩條相交直線，平面，又平面，平面平面.（2）

如圖，作，垂足為，在中，可得，，由（1），，平面平面，以點為坐標原點，，分別為，軸，過點垂直平面為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，可得，，，，則，，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，可得，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，可得，，，，又，則，所以二面角的正弦值為.4．（2023·河北滄州·三模）如圖，該幾何體是由等高的半個圓柱和個圓柱拼接而成.在同一平面內(nèi)，且.

(1)證明：平面平面；(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求平面與平面所成角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）如圖，連接，因為該幾何體是由等高的半個圓柱和個圓柱拼接而成，

，所以，所以，所以.因為，，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以.因為平面，平面，所以.因為平面，，所以平面，因為平面，所以平面平面.（2）如圖，以為坐標原點建立空間直角坐標系，設(shè)，，則，，，，，，

則，，，設(shè)平面的一個法向量為，則即令，則，令，則.所以.因此平面與平面所成角的余弦值為.5．（2023·海南省直轄縣級單位·三模）如圖所示，為等邊三角形，平面，，，，為線段上一動點．

(1)若為線段的中點，證明：．(2)若，求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因為為線段的中點，且為等邊三角形，所以，因為平面，平面，所以，因為，所以，，，四點共面，因為平面，平面，，所以平面，因為平面，所以；（2）設(shè)的中點為，連接，在平面內(nèi)，過點作交于點，由（1）可得兩兩垂直，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則，令，得，，所以平面的一個法向量為，所以，所以二面角的余弦值為．

題型二：已知二面角求參數(shù)1．（2023·四川南充·三模）如圖，在四棱臺中，底面是菱形，，，平面.

(1)證明：BDCC1；(2)棱上是否存在一點，使得二面角的余弦值為若存在，求線段的長；若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)存在，【詳解】（1）證明:如圖所示，連接,因為為棱臺，所以四點共面，取，可得，所以.又由平面的法向量為，所以，解得由于二面角為銳角，則點在線段上，所以，即故上存在點，當時，二面角的余弦值為.

2．（2023·吉林長春·一模）長方形中，，點為中點（如圖1），將點繞旋轉(zhuǎn)至點處，使平面平面（如圖2）．

(1)求證：；(2)點在線段上，當二面角大小為時，求四棱錐的體積．【答案】(1)證明見詳解(2)【詳解】（1）證明：在長方形中，，為中點，，，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，，又，平面，平面，則，，令，得，，又平面，是平面的一個法向量，，令，解得或（舍）.即為的靠近的三等分點時，二面角的平面角為，平面，且，到平面的距離為，又四邊形的面積為3，四棱錐的體積3．（2023·福建寧德·一模）如圖①在平行四邊形中，，，，，將沿折起，使平面平面，得到圖②所示幾何體．(1)若為的中點，求四棱錐的體積；(2)在線段上，是否存在一點，使得平面與平面所成銳二面角的余弦值為，如果存在，求出的值，如果不存在，說明理由．【答案】(1)(2)存在，的值為【詳解】（1）由圖①知，，所以，在中，因為，，可得，，所以．即，所以，設(shè)平面的法向量為，所以，則，令，得，設(shè)平面的法向量為，所以，解得或（舍去），所以此時的值為.4．（2023·江西九江·一模）如圖，直角梯形中，，，，，將沿翻折至的位置，使得，為的中點．

(1)求證：平面平面；(2)為線段上一點（端點除外），若二面角的余弦值為，求線段的長．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）易知，，，平面，平面，又平面，所以由直角梯形，，，，可得，又，得；又，平面，所以平面又平面，可得平面平面（2）取的中點，連接，，

，，又平面平面，平面平面，平面，為的中點，為的中點，可得，又，平面的一個法向量為可得，解得或(舍)即為的中點，易知，故線段的長為.5．（2023·四川成都·模擬預(yù)測）如圖，四棱錐中，底面是矩形，，，側(cè)面底面，側(cè)面底面，點F是PB的中點，動點E在邊BC上移動，且.

(1)證明：垂直于底面.(2)當點E在BC邊上移動，使二面角為時，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因為側(cè)面底面，側(cè)面底面，而底面是矩形，故,底面，故平面，而平面，故;（2）由（1）知底面，底面，故，點F是PB的中點，且，故，；又平面，,故平面，平面，故，而平面，故平面，故即為二面角的平面角，由原圖可知二面角為銳角，故二面角的余弦值為.題型三：求二面角最值（范圍）1．（23·24高二上·山東·階段練習(xí)）如圖，在正四棱柱中，，點是線段上的點，點是線段上的點，且.

(1)證明：直線平面：(2)求平面與平面夾角的余弦值的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）如圖，連接并延長交于，過作交于，連接，因為，所以，又，所以，得到，又易知，且，又且，故且，所以四邊形為平行四邊形，得到，又，所以，又平面，平面，所以平面，

（2）如圖建立空間直角坐標系，因為，則，，，，，所以，，，，，又因為，則，，所以，設(shè)平面與平面的夾角為，則，又因為，，，所以，即平面與平面夾角的余弦值的取值范圍為.

2．（23·24高二上·四川遂寧·階段練習(xí)）如圖，在正四棱柱中，，.點、、、分別在棱、、、上，，，.

(1)證明：四點共面(2)當點在棱上運動時（包括端點），求平面與平面夾角余弦值的的取值范圍.【答案】(1)證明見解析．(2)．【詳解】（1）分別以為軸建立空間直角坐標系，如圖，則，，，，∴，，，∴，所以共面，即四點共面；，，則，所以，∴平面與平面夾角余弦值的的取值范圍是．3．（23·24高二上·湖北恩施·階段練習(xí)）如圖（1），在矩形中，，為線段的中點，將沿直線AE折起，使得，如圖（2）.(1)求證：平面平面；(2)已知點H在線段AB上移動，設(shè)平面ADE與平面DHC所成的角為，求的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）由題意證明如下，取線段AE的中點O，連接DO，OC，如圖.則，，，.易知平面ADE的一個法向量為.設(shè)點H的坐標為，，則，.設(shè)平面DHC的法向量為，則令，則.∴.令，則，∴.又，所以，∴的取值范圍為.4．（23·24高二上·四川遂寧·階段練習(xí)）如圖，在三棱柱中，底面是邊長為2的等邊三角形，在菱形中，，，平面平面，，分別是線段?的中點.

(1)求證：平面；(2)若點為線段上的動點（不包括端點），求銳二面角的余弦值的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）由平面平面，且兩平面交線為,為中點，，平面，所以平面，由于平面，故，在菱形中，，，所以為等邊三角形，

（2），設(shè)，則，，，；由（1）知平面，平面的一個法向量，設(shè)平面的法向量，又則，，即，令，則，，，，令，則，，，所以，，，即銳二面角的余弦值的取值范圍為．三、專項訓(xùn)練1．（23·24高二上·北京房山·階段練習(xí)）已知長方體中，，，則平面與平面所成銳二面角的正切值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】以為坐標原點，直線分別為軸，建立空間直角坐標系，則可得，則，可得，所以平面與平面所成銳二面角的正切值.故選：A.2．（23·24高二上·山東濟南·階段練習(xí)）如圖所示，是棱長為6的正方體，分別是棱上的動點，且，當四點共面時，平面與平面所成夾角的余弦值為（

）

A． B． C． D．【答案】D【詳解】以為坐標原點，所在的直線分別為軸、軸和軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，當時，即為的中點時，四點共面，可得，且，則，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，設(shè)平面的法向量為，則取，可得，所以，設(shè)平面與平面所成的二面角為，則，所以平面與平面所成的二面角的余弦值.故選：D.

3．（23·24高二上·陜西寶雞·階段練習(xí)）如圖，在直四棱柱中，，，，E，F(xiàn)分別是側(cè)棱，上的動點，且平面AEF與平面ABC所成角的大小為，則線段BE的長的最大值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【詳解】依題意，，，兩兩互相垂直，以A為原點，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系.

設(shè)，（，，且m，n不同時為0），則，，，所以，.設(shè)平面AEF的一個法向量為，則，令，得，則，顯然為平面ABC的一個法向量.因為平面與平面所成角的大小為，所以，即，得，所以，所以當時，m取得最大值，最大值為.故選：B4．（21·22高二·全國·單元測試）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，，已知Q是四邊形ABCD內(nèi)部一點（包括邊界），且二面角的平面角大小為，則面積的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】以A為坐標原點建立空間直角坐標系，如圖，由二面角的平面角大小為，可知Q的軌跡是過點D的一條直線，又Q是四邊形ABCD內(nèi)部一點（包括邊界），則Q的軌跡是過點D的一條線段.設(shè)Q的軌跡與y軸的交點坐標為，由題意可知，，，所以，，．易知平面APD的一個法向量為，設(shè)平面PDG的法向量為，則，即，令，得，，所以是平面PDG的一個法向量，則二面角的平面角的余弦值為，解得或（舍去），所以Q在DG上運動，所以面積的取值范圍為．故選：B．5．（20·21高一下·湖北·階段練習(xí)）在正三棱柱中，，點D為棱的中點，點E為上的點，且滿足，當二面角的正切值為時，實數(shù)m的值為（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】C【詳解】如圖，以D原點，DA，DB，DD1分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則，，，，，由得，，即，所以，，設(shè)面的法向量為：，則取，取面的法向量為：，設(shè)二面角為，由得，，則，所以，故選：D.二、填空題6．（21·22高二上·福建·期末）已知在一個二面角的棱上有兩點，線段分別在這個二面角的兩個面內(nèi)，并且都垂直于棱，則這個二面角的大小為.【答案】【詳解】如圖，設(shè)，（），則二面角的大小為，

，，，，故.故，故，.因此所求二面角的度數(shù)為.故答案為：.7．（23·24高二上·山東德州·階段練習(xí)）如圖，已知菱形所在的平面與所在的平面互相垂直，且．則平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．

【答案】【詳解】取中點，連接，在菱形中，所以是正三角形，所以，又因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以，又因為，，平面，所以平面.

如圖建立空間直角坐標系，則，，，，，設(shè)平面的法向量為，，，由，取，設(shè)面的法向量是，，，則由，即，則令，得，所以，所以平面與平面所成的銳二面角的余弦值是.故答案為:．8．（22·23高二上·廣東佛山·階段練習(xí)）如圖，在三棱柱中，，，兩兩互相垂直，，，分別是側(cè)棱，上的點，平面與平面所成的（銳）二面角為，則當最小時．

【答案】/60o【詳解】建立空間直角坐標系，如圖所示：

設(shè)，，則，，，，所以，，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，則，又平面的一個法向量為，所以，即，當最小時，，，所以，所以，故答案為：．9．（23·24高二上·全國·單元測試）如圖，四棱錐中，底面是矩形，平面，且，點是線段上一點，當二面角的平面角的大小為時，．

【答案】【詳解】設(shè)，以為坐標原點，以所在的直線分別為軸、軸和軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則，可得，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，又由平面的一個法向量為，則，解得或（舍去），所以.故答案為：.

三、解答題10．（23·24高三上·四川成都·開學(xué)考試）如圖，四棱錐中，底面是平行四邊形，平面底面，，，，．

(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因為平面平面，且平面平面，平面，，所以平面，又平面，所以．因為，，，所以，故．又，平面，所以平面．因為平面，所以，平面平面．（2）作的高，因為，，，所以，所以，因為平面平面，且平面平面，平面，所以平面．所以，可以建立如圖所示空間直角坐標系，其中軸．則，，，，所以，，．設(shè)平面的法向量為，

則即令得，，所以平面的一個法向量為．設(shè)平面的法向量為，則即令得，，所以平面的一個法向量為．，所以平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．11．（2023·新疆·三模）如圖，在圓柱體中，，，劣弧的長為，AB為圓O的直徑．

(1)在弧上是否存在點C（C，在平面同側(cè)），使，若存在，確定其位置，若不存在，說明理由；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)存在，為圓柱的母線(2)【詳解】（1）存在，當為圓柱的母線時，．證明如下：連接BC，AC，，因為為圓柱的母線，所以平面ABC，又因為平面ABC，所以．因為AB為圓O的直徑，所以．又，平面，所以平面，因為平面，所以．（2）以為原點，OA，分別為y，z軸，垂直于y，z軸的直線為x軸建立空間直角坐標系，如圖所示，

則，，，因為劣弧的長為，所以，，則，．設(shè)平面的法向量，則，令，解得，，所以．因為x軸垂直平面，所以平面的一個法向量．所以，又二面角的平面角為銳角，故二面角的余弦值為．12．（2023·福建泉州·模擬預(yù)測）如圖，三棱錐中，，，，平面平面.

(1)求三棱錐的體積的最大值；(2)求二面角的正弦值的最小值.【答案】(1)(2).【詳解】（1）取的中點，連接，

因為，所以又因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，因為，，，所以，，所以三棱錐的體積為以，過作于，連接，

因為平面，，所以平面，又平面，所以，所以為二面角的平面角，在中，，因為，當且僅當時等號成立，所以的最小值為2.此時取得最小值，故二面角的正弦值的最小值為.解法二：由（1）可知平面，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，又取平面的法向量為，設(shè)二面角的大小為，，所以，因為，所以，故二面角的正弦值的最小值為.13．（2023·遼寧·模擬預(yù)測）已知直角梯形形狀如下，其中，，，．

(1)在線段CD上找出點F，將四邊形沿翻折，形成幾何體．若無論二面角多大，都能夠使得幾何體為棱臺，請指出點F的具體位置（無需給出證明過程）．(2)在（1）的條件下，若二面角為直二面角，求棱臺的體積，并求出此時二面角的余弦值．【答案】(1)或為靠近點的三等分點；(2)；.【詳解】（1）在直角梯形中，延長交于點，連接并延長交于，如圖，

，，，于是，則，為靠近點的三等分點，將四邊形沿翻折，即將沿翻折，無論二面角多大，所成幾何體均為三棱錐，顯然平面平面，于是平面，同理平面，而平面，因此平面平面，從而幾何體是棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面間的部分，即幾何體是棱臺，所以無論二面角多大，都能夠使得幾何體為棱臺，，為靠近點的三等分點.（2）翻折前，將,,延長一倍，三線交予點，在等腰直角三角形中，，在棱臺中，，又二面角為直二面角，平