第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年廣西示范性高中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若集合A={x|?4<x<12}，B={x|x<?1}，則A∩B=A.{x|?1<x<4} B.{x|?1<x<?12}

C.{x|?1<x<2.若實數(shù)m，n滿足m?2i=1+ni，則m?n=(

)A.?3 B.3 C.?1 D.13.已知△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足a=2，A=45°，sinB=45，則b=(

)A.85 B.65 C.84.已知正三棱柱ABC?A1B1C1A.43 B.33 C.5.已知角α的終邊經(jīng)過點(?3,m)，若tanα=23，則sinα=(

)A.?21313 B.2136.如圖所示，某廣場的六邊形停車場由4個全等的等邊三角形拼接而成，則BA=(

)A.3BD?2BC

B.2BD?3BC

7.已知△ABC的重心為O，若|OA+OB|=|OA?OBA.3 B.22 C.28.在一節(jié)數(shù)學(xué)選修課上，為了讓大家更加直觀地體會旋轉(zhuǎn)體的生成過程，唐老師用電腦繪制了一個△ABC，其中AB=4，BC=5，AC=6，然后分別以AB，BC，AC為旋轉(zhuǎn)軸，利用電腦的3D制圖功能將△ABC旋轉(zhuǎn)一周，得到幾何體Ω1，Ω2，Ω3，則Ω1，Ω2，A.4：5：6 B.15：12：10 C.6：5：4 D.10：12：15二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.如圖1是水平放置的邊長為4的正方形ABCO，則在由斜二測畫法畫出的該正方形的直觀圖A′B′C′O′中(如圖2所示)，下列說法正確的是(

)A.O′A′=4 B.O′C′=4

C.OB>O′B′ D.A′B′C′O′的面積為410.若復(fù)數(shù)z1，z2是方程x2?6x+12=0A.z1，z2實部相等

B.z1，z2虛部相等

C.|11.已知△ABC中，點P滿足PA+PB=CP，點Q在△PBC內(nèi)(含邊界)，其中AQA.若x=13,y=23，則CQBQ=2

B.若P，Q兩點重合，則AQ=13AB+13AC

C.存在三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知向量a=(2,1)，b=(?1,λ)，若(a+b)⊥13.如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z1，z2對應(yīng)的向量分別是OM,ON，則z14.已知圓臺O1O2的上、下底面積分別為2π，18π，體積為104π3，則圓臺O1O2的高為______；若線段AB，CD分別為圓臺O1O2上、下底面的兩條直徑，且A，四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

(1)已知復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，其中z+42?i為實數(shù)，求z?；

(2)若復(fù)數(shù)z滿足(z2)16.(本小題15分)

已知a,b是平面內(nèi)兩個不共線的單位向量，A，B，C，D是該平面內(nèi)的點，其中AB=2a+12b，AC=3a+λb，CD=4a?2b，A，C，17.(本小題15分)

已知正方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=2，點M，N分別是線段C1D1，CC1的中點．

(1)求點M到平面A18.(本小題17分)

已知△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足acosB+bcosA+2ccosC=0．

(1)求C的值；

(2)若c=27，S△ABC=23，求△ABC的周長；

(3)若a=b=4，點M為平面19.(本小題17分)

若定義在D上的函數(shù)f(x)滿足：對任意x∈D，存在常數(shù)M>0，都有|f(x)|≤M成立，則稱f(x)是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f(x)的上界，最小的M稱為函數(shù)f(x)的上確界．

(1)求函數(shù)f(x)=|sinx|+sinx的上確界；

(2)已知函數(shù)f(x)=1lnx+x+lnx+x?4,x∈(23,2)，證明：2為函數(shù)f(x)的一個上界；

(3)已知函數(shù)f(x)=4?x+λ+2x2x,x∈[0,+∞)，若參考答案1.D

2.B

3.C

4.C

5.A

6.C

7.D

8.B

9.ACD

10.AC

11.BCD

12.?3

13.?10+6i

14.4

72π

15.解：(1)復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，

設(shè)z=bi，b∈R，

則z+42?i=4+bi2?i=(4+bi)(2+i)(2?i)(2+i)=8+2bi+4i+bi24?i2=8?b5+2b+45i，

∵z+42?i為實數(shù)，∴2b+45=0，解得b=?2，

∴z?=?bi=2i．

16.解：(1)AC=3a+λb，CD=4a?2b，A，C，D三點共線，

則存在實數(shù)k，使得AC=kCD，即3a+λb=k(4a?2b)，

a,b是平面內(nèi)兩個不共線的單位向量，

則4k=3?2k=λ，解得λ=?32；17.解：(1)記點M到平面A1C1B的距離為?，

由題意知△A1BC1為正三角形，且A1B=22，

所以SΔA1BC1=12×22×22×sin60°=23，，

所以VB?A1C1M=13SΔA1C1M?BB1=13×1×2=23，

因為VB?A1C1M=VM?A1BC1，

所以18.解：(1)在△ABC中，由正弦定理得：sinAcosB+sinBcosA+2sinCcosC=0，

得sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B)=sinC=?2sinCcosC，

因為C∈(0,π)，所以sinC≠0，所以cosC=?12，即C=2π3；

(2)因為S△ABC=23，所以S△ABC=12absinC=12ab×32=23，所以ab=8，

由余弦定理得：c2=a2+b2?2abcosC=(a+b)2?2ab+ab=(a+b)2?ab，

即28=(a+b)2?8，解得a+b=6，所以a+b+c=6+27，

所以△ABC的周長為6+27；

(3)因為C=23π，a=b=419.解：(1)依題意f(x)=2sinx,2kπ≤x≤π+2kπ0,π+2kπ<x<2π+2kπ，

故f(x)∈[0,2]，|f(x)|≤2，

故f(x)=|sinx|+sinx的上確界為2；

(2)證明：令lnx+x=t∈(ln23+23,2+ln2)，

故原函數(shù)化為g(t)=t+1t?4，

由對勾函數(shù)性質(zhì)可知，g(t)在t∈(ln23+23,1)上單調(diào)遞減，在t∈(1,ln?2+2)上單調(diào)遞增，

且g(1)=