人教B版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第二冊第四章概率與統(tǒng)計4.2.4隨機變量的數(shù)字特征第2課時離散型隨機變量的方差課標定位素養(yǎng)闡釋1.通過實例,理解離散型隨機變量的方差.2.理解兩點分布、二項分布的方差及方差的性質(zhì),并能解決簡單的實際問題.3.體會隨機變量方差的數(shù)學(xué)抽象的過程,提升數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)一、離散型隨機變量的方差1.A,B兩臺機床同時加工同一種零件,每加工一批數(shù)量較大的零件,出現(xiàn)的次品數(shù)與對應(yīng)的概率如下表.A機床次品數(shù)X10123P0.70.20.060.04B機床

次品數(shù)X20123P0.80.060.040.1(1)E(X1)與E(X2)有什么關(guān)系?提示:E(X1)=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44,E(X2)=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.1=0.44,E(X1)=E(X2).(2)能說明兩臺機床加工零件的質(zhì)量一樣嗎?提示:不能.(3)還需利用什么指標才可以比較兩臺機床的加工質(zhì)量?提示:方差或標準差.2.方差及標準差的定義(1)設(shè)離散型隨機變量X的分布列如下表所示.Xx1x2…xk…xnPp1p2…pk…pn因為X的均值為E(X),所以D(X)=

能夠刻畫X相對于均值的離散程度(或波動大小),這稱為離散型隨機變量X的方差.離散型隨機變量X的方差D(X)也可用DX表示.

(2)一般地,稱為離散型隨機變量X的標準差,它也可以刻畫一個離散型隨機變量的離散程度(或波動大小).3.已知離散型隨機變量X的可能取值為x1=-1,x2=0,x3=1,且E(X)=0.1,D(X)=0.89,則x1,x2,x3對應(yīng)的概率p1,p2,p3分別為

,

,

.

答案:0.4

0.1

0.5二、幾類特殊分布的方差與方差的性質(zhì)1.已知隨機變量X服從參數(shù)為p的兩點分布,其分布列為X10Pp1-p(1)兩點分布的方差D(X)與參數(shù)p有什么關(guān)系?提示:D(X)=p(1-p).(2)若隨機變量Y=2X+1,則D(Y)與D(X)有什么關(guān)系?提示:D(Y)=4D(X).2.(1)若X服從參數(shù)為p的兩點分布,則D(X)=p(1-p).(2)若X服從參數(shù)為n,p的二項分布,即X~B(n,p),則D(X)=np(1-p).(3)方差的性質(zhì):若X與Y都是離散型隨機變量,且Y=aX+b(a≠0),則D(Y)=a2D(X).3.同時拋擲兩枚均勻的硬幣10次,設(shè)兩枚硬幣同時出現(xiàn)反面向上的次數(shù)為ξ,則D(ξ)=(

)答案:A【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在它后面的括號里畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)離散型隨機變量的方差越大,隨機變量越穩(wěn)定.(×)(2)離散型隨機變量的方差反映了隨機變量偏離均值的平均程度.(√)合作探究釋疑解惑探究一求離散型隨機變量的方差【例1】

編號為1,2,3的三名學(xué)生隨意入座編號為1,2,3的三個座位,設(shè)與座位編號相同的學(xué)生的個數(shù)為X,求D(X).解:由題意可知,X的所有可能的取值為0,1,3,求離散型隨機變量的均值或方差的關(guān)鍵是求分布列,而求分布列的關(guān)鍵是要清楚隨機試驗中每一個可能出現(xiàn)的結(jié)果.同時還要能正確求出每一個結(jié)果出現(xiàn)的概率.反思感悟【變式訓(xùn)練1】

設(shè)投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子得到的點數(shù)為X,則X的方差為

.

探究二兩點分布與二項分布的方差【例2】

為防止風沙危害,某地決定建設(shè)防護綠化帶,種植楊樹、沙柳等植物.某人一次種植了n株沙柳,各株沙柳的成活與否是相互獨立的,成活率為p,設(shè)成活沙柳的株數(shù)為ξ,均值E(ξ)=3,標準差

.(1)求n和p的值,并寫出ξ的分布列;(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活,則需要補種,求需要補種沙柳的概率.若隨機變量X服從兩點分布或二項分布,則可直接利用方差公式求方差,避免了繁雜的計算.若已知隨機變量X服從兩點分布或二項分布,且已知E(X),D(X),則可利用公式構(gòu)造方程或方程組求出參數(shù)p或n,p.反思感悟【變式訓(xùn)練2】

設(shè)一次試驗的成功率為p,進行100次獨立重復(fù)試驗,求當p為何值時,成功次數(shù)的標準差的值最大?并求其最大值.探究三離散型隨機變量方差的實際應(yīng)用【例3】

最近,李師傅一家三口就如何將手中的10萬元錢投資理財,提出了三種方案.[方案一]李師傅的兒子認為:根據(jù)股市收益大的特點,應(yīng)該將10萬元錢全部用來買股票.據(jù)分析預(yù)測:投資股市一年可能獲利40%,也可能虧損20%(只[方案三]李師傅的妻子認為:投入股市、基金均有風險,應(yīng)該將10萬元錢全部存入銀行一年,現(xiàn)在存款年利率為1.5%.針對以上三種投資方案,請你為李師傅家選擇一種合理的理財方法,并說明理由.解:若按方案一執(zhí)行,設(shè)收益為X1萬元,則其分布列為

若按方案二執(zhí)行,設(shè)收益為X2萬元,則其分布列為

若按方案三執(zhí)行,則收益y=10×1.5%=0.15(萬元).又E(X1)=E(X2)>y,D(X1)>D(X2),說明雖然方案一、二平均收益相等,但方案二更穩(wěn)妥.所以,建議李師傅家選擇方案二投資較為合理.在解決此類實際問題時,應(yīng)先比較均值,根據(jù)均值的大小及實際意義作出合理的選擇.若均值相等,則再比較方差,方差越小越穩(wěn)定.反思感悟【變式訓(xùn)練3】

已知甲、乙兩名學(xué)生在解答同一份數(shù)學(xué)試卷時,各自的成績?yōu)?0分、90分、100分的分布列如下表所示.甲:分數(shù)X8090100概率P0.20.60.2乙:分數(shù)Y8090100概率P0.40.20.4試分析兩名學(xué)生的成績水平.解:∵E(X)=80×0.2+90×0.6+100×0.2=90,D(X)=(80-90)2×0.2+(90-90)2×0.6+(100-90)2×0.2=40,E(Y)=80×0.4+90×0.2+100×0.4=90,D(Y)=(80-90)2×0.4+(90-90)2×0.2+(100-90)2×0.4=80,∴E(X)=E(Y),D(X)<D(Y),∴兩名學(xué)生的成績的平均水平相同,但甲學(xué)生的成績更穩(wěn)定.【易錯辨析】

混淆方差的性質(zhì)與均值的性質(zhì)而致誤【典例】

已知隨機變量X的分布列如下表.X-2-1012P0.10.20.40.10.2且Y=3X+1,求E(Y),D(Y).錯解:因為E(X)=-2×0.1+(-1)×0.2+0×0.4+1×0.1+2×0.2=0.1,所以E(Y)=E(3X+1)=3E(X)+1=1.3.又因為D(X)=(-2-0.1)2×0.1+(-1-0.1)2×0.2+(0-0.1)2×0.4+(1-0.1)2×0.1+(2-0.1)2×0.2=1.49,所以D(Y)=D(3X+1)=3D(X)+1=5.47.以上解答過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:利用方差的性質(zhì)求解D(Y)時,錯誤地認為D(Y)=D(3X+1)=3D(X)+1,與均值的性質(zhì)混淆.正解:因為E(X)=-2×0.1+(-1)×0.2+0×0.4+1×0.1+2×0.2=0.1,所以E(Y)=E(3X+1)=3E(X)+1=1.3.又因為D(X)=(-2-0.1)2×0.1+(-1-0.1)2×0.2+(0-0.1)2×0.4+(1-0.1)2×0.1+(2-0.1)2×0.2=1.49,所以D(Y)=D(3X+1)=9D(X)=13.41.求解此類問題,要牢記公式E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X),并能熟練使用.防范措施隨堂練習(xí)1.設(shè)隨機變量X的方差D(X)=1,則D(2X+1)的值為(

)A.2 B.3

C.4

D.5解析:D(2X+1)=4D(X)=4×1=4.答案:C2.已知ξ~B(n,p),E(ξ)=8,D(ξ)=1.6,則n與p的值分別為(

)A.100和0.08 B.20和0.4C.10和0.2 D.10和0.8解析:因為ξ~B(n,p),答案:D3.(多選題)下列說法正確的是(

)A.離散型隨機變量的均值E(X)刻畫了X取值的概率平均值B.離散型隨機變量的方差D(X)刻畫了X取值的平均取值C.離散型隨機變量的均值E(X)刻畫了X取值的平均取值D.離散型隨機變量的方差D(X)刻畫了X相對于均值的離散程度答案:CD4.有甲、乙兩臺自動包裝機,包裝質(zhì)量分別為隨機變量X,Y,已知E(X)=E(Y),D(X)>D(Y),則自動包裝機

的包裝質(zhì)量較好.

解析:在均值相等的情況下,方差越小,說明包裝機的質(zhì)量越穩(wěn)定,故自動包裝機乙的包裝質(zhì)量較好.答案:乙5.已知離散型隨機變量X的分布列如下表.若E(X)=0,D(X)=1,則a=

,

b=

.

解析:由題意,得

6.某人練習(xí)射